§4不定积分习题与答案
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第四章 不定积分
（Ａ）
１、求下列不定积分
１）⎰2
x dx
２）⎰x x dx 2
３）dx x ⎰-2
)2( ４）dx x
x ⎰+2
2
1
５）⎰⋅-⋅dx x x x 32532 ６）dx x
x x
⎰22sin cos 2cos
７）dx x e x
)32(⎰
+
８）dx x x x
)1
1(2⎰-
２、求下列不定积分（第一换元法）
１）dx x ⎰-3)23( ２）
⎰
-3
32x
dx
３）dt t
t ⎰
sin ４）⎰
)
ln(ln ln x x x dx
５）⎰x x dx sin cos ６）⎰-+x x e e dx
７）dx x x )cos(2
⎰ ８）dx x x ⎰-4
3
13 ９）dx x
x
⎰3cos sin 10）dx x x ⎰--2491 11）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos
13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰
xdx x sec tan 3
15) dx x x ⎰+2
39 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 31
17)
dx x
x ⎰
-2
arccos 2110 18)dx x x x ⎰
+)
1(arctan
3、求下列不定积分（第二换元法）
１）dx x
x
⎰+2
11 ２）dx x ⎰sin
３）dx x x ⎰
-42 ４）⎰>-)0(,222
a dx x
a x
５）⎰
+3
2
)
1(x dx ６）
⎰+
x
dx 21
７）
⎰-+
2
1x
x dx ８）
⎰-+
2
11x
dx
４、求下列不定积分（分部积分法）
１）inxdx xs ⎰ ２）⎰
xdx arcsin
３）⎰
xdx x ln 2
４）dx x
e x
⎰
-2
sin 2
５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰
xdx x cos 2
７）⎰xdx 2ln ８）
dx x x 2
cos 2
2⎰
５、求下列不定积分（有理函数积分）
１）dx x x ⎰+3
3
２）⎰-++dx x x x 1033
22
3）
⎰+)1(2x x dx
（Ｂ） １、 一曲线通过点)3,(2
e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲
线的方程。
２、 已知一个函数)(x F 的导函数为
2
11x -，且当1=x 时函数值为π2
3
，试求此函数。
３、
证明：若
⎰+=c x F dx x f )()(，则 )0(,)(1
)(≠++=+⎰
a c
b ax F a
dx b ax f 。
４、 设)(x f 的一个原函数为
x
x
sin ，求⎰'dx x f x )(。
５、
求下列不定积分
１）dx x
⎰
2
cos 2
２）dx x ⎰-2sin 1
３）⎰
+dx x x
2
11arctan
４）dx x
x
x
⎰+-11 ５）
⎰++)
)((2222b x a x dx
６）dx x a x x ⎰-2
7）
⎰+dx x
x
x ln 1ln 8）⎰
+dx x xe x 2
32arctan )
1(
（Ｃ）
１、求以下积分
１）⎰
-dx e xe x x 1
2)⎰
+x
x dx
sin 2)2sin(
３）dx e e x x ⎰2arctan ４）dx x x ⎰+435
1
５）dx x x x ⎰+-18
5 ６）dx x
x x x ⎰+cos sin cos sin
第四章 不定积分 习 题 答 案
（Ａ）
１、（１）c x
+-1
（２）c x +--23
32
（３）
c x x x ++-423
123
（４）c x x +-arctan （５）c x x
+--3
ln 2ln )32(52 （６）c x x ++-)tan (cot （７）c x e x
++ln 32 （８）
c x
x ++4
27)7(4
２、（１）c x +--4
)23(8
1 （２）c x +--32
)32(21
（３）c t +-cos 2 （４）c x +ln ln ln （５）c x +tan ln （６）c e x
+arctan
（7）c x +)sin(212 （８）c x +--41ln 43
（9）c x
+2
cos 21 (10)c x x +-+2
494132arcsin 21 (11)
c x x ++-1
21
2ln
2
21 (12)c x
x +-3sin sin 3 (13)c x x +-5cos 101cos 21 (14)c x x +-sec sec 3
1
3 (15)
c x x ++-)9ln(29
2122 (16)
c +3
2arctan 321 (17)c x
+-
10
ln 210arccos 2 (18)c x +2)(arctan 3、(1)c t t +-cot csc ln （2）c x x x +--)sin
cos (2
（3）c x
x +--)2
arccos 24(tan
22 (4)c x a a
x a x a +--)(arcsin 22222