高二数学数列的递推公式优质PPT
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4.1.2数列的通项公式与递推公式(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性)
如果数列的第n项与序号n之间的关系可以 用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的通项公式 。
(3)数列的图象表示法
巩固复习
注意
1.不是每一个数列都能写出其通项公式
2.数列的通项公式不唯一
如 -1，1，-1，1，-1，….可写成
an
(1)n
和
an
sin(n
)
2
3.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分
_F_n_＝__F__n－__1＋___F_n_－_2_(_n_>_2_)．
数列的周期性
一般地 ，若数列{an}满足存在正整数T使得an+T=an,对
一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列,T叫做
数列{an}的周期，如数列sin{
n
2
}：1,0，-1,0,1,0，-
1,0，...的周期为4，数列的这种性质被称为周期性.这
a3＝11＋－aa22＝11－＋33＝－12，
a4＝11＋－aa33＝11－＋1212＝13，
a5＝11＋－aa44＝11－＋1313＝2＝a1，
∴{an}是周期为 4 的数列，∴a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－12.
例题感悟
一般地，对于以递推公式的形式给出的数列，求解时 常需要转化为通项公式或得到一个特殊数列(如本题中的周 期数列)来解决． (1)周期数列的一般形式 周 期 数 列 的 递 推 公 式 的 一 般 形 式 为 an ＋ k ＝ an(n∈N* ， k∈N*，k≥2)，如数列1,2,3,1,2,3,1,2,3，…是周期为3的 周期数列，满足an＋3＝an(n∈N*)． (2)周期数列的判断方法 要判断一个数列是否具有周期性，主要方法是利用递推公 式求出数列的若干项，观察得到规律或由递推公式直接发 现规律．
(3)数列的图象表示法
巩固复习
注意
1.不是每一个数列都能写出其通项公式
2.数列的通项公式不唯一
如 -1，1，-1，1，-1，….可写成
an
(1)n
和
an
sin(n
)
2
3.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分
_F_n_＝__F__n－__1＋___F_n_－_2_(_n_>_2_)．
数列的周期性
一般地 ，若数列{an}满足存在正整数T使得an+T=an,对
一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列,T叫做
数列{an}的周期，如数列sin{
n
2
}：1,0，-1,0,1,0，-
1,0，...的周期为4，数列的这种性质被称为周期性.这
a3＝11＋－aa22＝11－＋33＝－12，
a4＝11＋－aa33＝11－＋1212＝13，
a5＝11＋－aa44＝11－＋1313＝2＝a1，
∴{an}是周期为 4 的数列，∴a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－12.
例题感悟
一般地，对于以递推公式的形式给出的数列，求解时 常需要转化为通项公式或得到一个特殊数列(如本题中的周 期数列)来解决． (1)周期数列的一般形式 周 期 数 列 的 递 推 公 式 的 一 般 形 式 为 an ＋ k ＝ an(n∈N* ， k∈N*，k≥2)，如数列1,2,3,1,2,3,1,2,3，…是周期为3的 周期数列，满足an＋3＝an(n∈N*)． (2)周期数列的判断方法 要判断一个数列是否具有周期性，主要方法是利用递推公 式求出数列的若干项，观察得到规律或由递推公式直接发 现规律．
数列的递推公式和前n项和公式(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
二、数列的前n项和
我们把数列 {an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn ， 即 Sn a1 a2 an.
如果数列 {an} 的前n项和 Sn 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，
那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式．
an与Sn的关系 追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？
由． (2)判断数列{an}中是否存在连续且相等的两项，若存在，指出分别是第几项；
若不存在，请说明理由． [思路分析] (1)利用通项公式，分别令通项公式等于 0,1 分别求解． (2)利用假设法进行求解．
[解] (1)令 an＝0，得 n2－21n＝0， ∴n＝21 或 n＝0(舍去)，∴0 是数列{an}的项，是第 21 项． 令 an＝1，得n2－221n＝1，该方程无正整数解， ∴1 不是数列{an}的项． (2)假设存在连续且相等的两项 am，am＋1，m∈N*， 则有 am＝am＋1，即m2－221m＝m＋12－221m＋1， 解得 m＝10， ∴存在连续且相等的两项，它们分别是第 10 项和第 11 项．
大值为( C )
A．3
B．4
C．5
D．6
(2)设数列{an}的通项公式为 an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数 b 的取值范围为_(－__3_，__＋__∞__)
解析：(1)由 an＋1<an 得 an＋1－an＝9－42n－11－4 2n＝9－2n811－2n<0， ∴(9－2n)(11－2n)<0，∴92<n<121， 又 n∈N*，∴n＝5.故选 C. (2)因为数列{an}是单调递增数列， 所以对任意 n∈N*，an＋1>an， (n＋1)2＋b(n＋1)>n2＋bn，化为：b>－(2n＋1)， 因为数列{－(2n＋1)}是单调递减数列，所以当 n＝1，－(2n＋1)取得最大值－3， 所以 b>－3. 即实数 b 的取值范围为(－3，＋∞)．
高考数学 数列的递推公式 PPT课件
模型一：自上而下： 第1层钢管数为4:即 4＝1+3 第2层钢管数为5:即 5＝2+3 第3层钢管数为6:即 6＝3+3 第4层钢管数为7:即 7＝4+3 第5层钢管数为8:即 8＝5+3 第6层钢管数为9:即 9＝6+3 第7层钢管数为10:即 10＝7+3 若用 表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列.且
想这个数列的通项公式
20
。
18
16 14
。
12
10
。
8 6 4
。 。。
2
O 12 3456 7
已知数列Βιβλιοθήκη 的前5项为5，7，10，14，19
试猜想这个数列的通项公式
解：
一、请回答下列概念：
1. 数列的定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公
式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
3.数列的图像：
4.数列表示形式： 都是一群孤立的点.
列举法、通项公式法、图象法.
二、知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来解决一些实际问 题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型
请同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都 钢管数多1。即:
比上一层
依此类推：
三、递推公式：
如果已知数列 的第1项（或前n项），
且任一项 与它的前一项 （或前n项） 间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式。
●递推公式也是给出数列的一种方法。 ●注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义。
想这个数列的通项公式
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8 6 4
。 。。
2
O 12 3456 7
已知数列Βιβλιοθήκη 的前5项为5，7，10，14，19
试猜想这个数列的通项公式
解：
一、请回答下列概念：
1. 数列的定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公
式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
3.数列的图像：
4.数列表示形式： 都是一群孤立的点.
列举法、通项公式法、图象法.
二、知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来解决一些实际问 题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型
请同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都 钢管数多1。即:
比上一层
依此类推：
三、递推公式：
如果已知数列 的第1项（或前n项），
且任一项 与它的前一项 （或前n项） 间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式。
●递推公式也是给出数列的一种方法。 ●注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义。
数列的递推公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1
1.设数列an 满足 a1 1, an 1
1, n N , 求a2025
an 1
a2025 1
2.（多选题）已知数列{ }满足 =
−
，+ =
−
,
则下列各数不是
{ }的第2025项的有（ ABC ）
A．-2
B.
C.
D. 3
解： 因为数列{ }满足 = − ，+ = ,
an.
解：
(+)
∵ an＋1－an＝
∴ a2－a1＝×
− =
×
− =
×
……
an－an-1＝
以上各式累加得，
(−)
，n∈N*，求数列的通项公式
(+)
− =
+
+ ⋯+
× ×
−
= −
+
−
+ ⋯+
a 2 a 3 a4
以上各式相乘得
...
3 3 2 3 3 3 n 2 3 n 1
a1 a2 a3
a n 3 a n 2 a n 1
an
3 3 2 3 3 3 n 2 3 n 1
a1
an a1 3 3 2 3 3 3 n 2 3 n 1
−
=−
−
∴ + = −
人教版高二数学必修5课件第二章数列第二课时数列的性质和递推公式精选ppt课件
＝－1n＋1＋1
＝2－1n＝2n－n 1(n∈N*)．
[点评] (1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清 楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答 这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式 整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末 项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形 式．
[点评] 由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求 通项公式时，通常用累乘法或迭代法，形成函数的运动变 化的观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以 利用首项或前几项是解题的关键．
变式训练3
设{an}是首项为1的正项数列，且
an＋1 an
＝
n＋n 1，求它的通项公式．
解：∵aan＋n 1＝n＋n 1， ∴当n≥2时， aa21＝12，aa23＝23，aa43＝34，…，aan－n 1＝n－n 1. ∴aa21·aa23·aa43…aan－n 1＝12×23×34×·…·×n－n 1＝1n.
问题 3：第 n 排座位数 an 与第 n＋1 排座位数 an＋1 能 用等式表示吗？
提示：能．an＋1＝an＋2.
反之若不知a1＝20，仅由数列{an}的关系式an+1＝an＋2(n≥2， n∈N*)你能否确定这个数列？
[导入新知]
如果已知数列{an}的 第一项 (或前几项)，且任一项 an
与它的 前一项an－1 (或前几项)间的关系可以用一个公
解 an＋1－an＝n＋n＋112＋2 1－n2n＋2 1 ＝n＋1[2nn＋2＋112＋－1n]2[n2n＋＋112＋1] ＝[n＋122n＋＋1]1n2＋1， 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
数列的递推公式PPT优秀课件
3.已知数列 an :1,12,123 ,1234 ,
,123456789
(在每一项的数字后面添写后一项的序号,便得到后一项)
求数列 an 的递推公式.
解:
a 1 1 ,a n 1a n 0 1 n (2 n 9 )
实例探索
意大利匹萨饼店的伙计喜欢将饼切成形状
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
数列的递推公式 (共15张PPT)
课堂检测
(1)数列-1,7,-13,19， 的一个通项公式是 ______ 2a n （2）a1 = 1，a n+1 = （n ∈ N *）,则an = ______(观察归纳出公式) an + 2 (3)已知数列an 满足an an 1 2n 1, （n 2）,则an = ______ 1 (4)已知数列an 满足an 1 an , n n , 则an = ______ n(n 1) n （5）数列an 中，a1 1, an 1 an , 则an = ______ n 1 1 （6）数列an 中，an =（1- ）an 1 ,（n 2）,则an = ______ n
典型例题
题型1 已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式
例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前 4 项，
并推测数列的通项公式．
(1)数列{an}满足 an＋1＝2an＋1，n∈N*，且 a1＝－1； 1 (2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ n(n－1) (n≥2)．
自主解答：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推测数列{an}的通项公式 an＝－1. 1 3 (2)由已知，得 a1＝1，a2＝1＋ ＝ ， 2×1 2 3 1 5 5 1 7 a3＝2＋ ＝ ，a ＝ ＋ ＝ ， 3×2 3 4 3 4×3 4 2n－1 可推测数列{an}的通项公式 an＝ n .
自主解答： 解法一： a1＝2， a2＝2×2＝22， a3＝2×22＝23， …， 观察可得： an＝2n. an 解法二：由 an＋1＝2an，得 an＝2an－1，即 ＝2. an－1 an an－1 an－2 a2 n－1 ∴ × × ×…× ＝2 . a1 an－1 an－2 an－3 若数列有形如an＋1＝nan的 递推公式，可用累乘法求 ∴ an＝a1· 2n－1＝2n. 通项公式．
人教B版必修5高二数学2.1.2数列的递推公式教学课件
5.设数列{an}：a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9。 求通项an.
解：把已知式子变形为
an+1
=
2an - 9 an - 4
，令an= bn+t
an+1
=
bn+1
+
t
=
2(bn + t) - 9 bn + t - 4
从而
bn+1
=
(2
-
t)bn - (t2 - 6t bn + t - 4
解：1= 1 ，点Qn+1与Pn的纵坐标相同，都 是an，2同时点Pn+1与Qn+1的横坐标相等，
点Pn+1在曲线c：y
=
(
1 2
)x
上，
由横坐标得它的纵坐标为 ( 1 )an 2
即
an+1
=
( 1 )an 2
这就是数列{an}的递推公式。
例3.已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有
a5
25 16
a3
a5
9 4
25 16
61 16
解法2：（1）因为 a1 a2 an n2
所以a1a2 4 解得a2=4，
又 a1a2a3 9
解得
a3
9 4
同理可得
a4
16 9
,
a5
25 16
a3
a5
9 4
25 16
61 16
（2） 256 225
是此数列中的项吗？
解：（2）令
256 225
知识回顾
1、数列：按一定顺序排列的一列数叫数列。
5.1.2数列中的递推(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第三册)
=2 +1.
你能写出1 ，2 ，3 吗？
【提示】∵1=2 × 1 + 1=3，又∵ 1=1，∴1=3.
∵ 2=2 × 2 + 1=5，又∵ 2=1+2， ∴ 2 =S2 − 1 = 5 − 3 = 2.
∵ 3=2 × 3 + 1=7，又∵ 3=1+2+3=2+3， ∴ 3 = 3 − S2=7-5=2.
7 = ��6 + 7 = 21 + 7
= 28
8 = 7 + 8 = 28 + 8 = 36
追问1：你能得出数列{ }的第项与第 + 1项之间的关系式吗？
+1 − = + 1
追问2：前面数列{ }的每一项可以由关系式an+1 − an = n + 1
确定吗？
【提示】若已知1 = 1, +1 − = + 1，则该数列可确定.
跟踪训练：
1.数列{}对任意n∈N+满足+1 = + 2 ，且3 = 6，
则10 等于（
A.24
B .27
B ）
C.30
D.32
2.已知{}满足1 = 3,+1 = 2 + 1,则5 =_____,由前5项猜想
63
=______.
2n+1-1
例 2：意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖
【提示】将数列记作{ }，那么相当于是给出了数列的前5项，要
求写出数列的第8项8 .
根据观察可知
2 − 1 = 3 − 1 = 2
3 − 2 = 6 − 3 = 3
4 − 3 = 10 − 6 = 4
你能写出1 ，2 ，3 吗？
【提示】∵1=2 × 1 + 1=3，又∵ 1=1，∴1=3.
∵ 2=2 × 2 + 1=5，又∵ 2=1+2， ∴ 2 =S2 − 1 = 5 − 3 = 2.
∵ 3=2 × 3 + 1=7，又∵ 3=1+2+3=2+3， ∴ 3 = 3 − S2=7-5=2.
7 = ��6 + 7 = 21 + 7
= 28
8 = 7 + 8 = 28 + 8 = 36
追问1：你能得出数列{ }的第项与第 + 1项之间的关系式吗？
+1 − = + 1
追问2：前面数列{ }的每一项可以由关系式an+1 − an = n + 1
确定吗？
【提示】若已知1 = 1, +1 − = + 1，则该数列可确定.
跟踪训练：
1.数列{}对任意n∈N+满足+1 = + 2 ，且3 = 6，
则10 等于（
A.24
B .27
B ）
C.30
D.32
2.已知{}满足1 = 3,+1 = 2 + 1,则5 =_____,由前5项猜想
63
=______.
2n+1-1
例 2：意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖
【提示】将数列记作{ }，那么相当于是给出了数列的前5项，要
求写出数列的第8项8 .
根据观察可知
2 − 1 = 3 − 1 = 2
3 − 2 = 6 − 3 = 3
4 − 3 = 10 − 6 = 4
高二数学递推数列(1)课件
an
打印
关键点: 找出数列
任意一项与
B aAn1
它的前一项的关系.
an1 an (an 1)
A aAn(Ban 1)
递推公式为:
a1 1
an1 an (an 1)
练习: 根据下列框图,建立所打印的数列的递推公式,
并求出数列的前4项.பைடு நூலகம்
输入A 2
输入A 1
an
打印
an
打印
B AA
B 1 A
A B 7
an1 3an 5
A 3Aan5
递推公式为:
a1 2
an1 3an 5
前4项为: 2 1 2 11
如果将打印出来的数依次记为a1, a2, a3, ，那么当
输入的A(即a1)确定时，可得到数列an
输入A 0an
写出数列an的递推公式，
并写出数列的前4项。
an
打印
关键点: 找出数列
任意一项与
A AB A A
2
已知a1 a, an1 an d,试写出这个数列的前4项,
并证明数列an是一个以d为公差的等差数列.
解: 前4项为: a a d a 2d a 3d
an1 an d
an1 an d
数列an是一个以d为公差的等差数列.
等差数列的递推公式：
aa1n1
a
an
d
等差数列的递推公式： a1 a an1 an d
数列bn是以4为首项，2为公比的等比数列 则：an1 x 2an 2x
bn 4 2n1 2n1 an bn 1 2n1 1
an1 2an x x 1
an1 1 2(an 1)
an1 an 1 (1 n 6，n N)
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请同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？ 模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都 比上一层钢管数多1。即:
a1 4
a 2 5 4 1 a 1 1
a 365 1a 2 1 依此类推：
a n a n1 1 (2n7 )
三、递推公式：
如 且果任已一项知数a 列n 与a它n的的前第一1项项（a或n（前1 或n项前）n项，）
分析：题中已给出｛an｝的第1项即a1=1，递推关系：
1
an
1 an 1
11
解：据题意可知：a1=1, a2
1 a1
1 2, 1
a3
1 1
a2
11 2
3, 2
a4
11 a3
12 3
5, 3
1 38
a5
1 a4
1
.
55
{ a n } 的 前 5 项 是 1 , 2 , 3 2 ,5 3 ,8 5 .
例2：已知数列｛an｝中，a1=1,a2=2,an=3an－1+an－2（n≥3)，
3．已知数列{ a n } 满足：a1=5,an=an－1+n（n≥2） （1）写出这个数列{ a n } 的前五项为 5，7，10，14，19 。
（2）试猜想这个数列 { a n } 的一个通项式
。
3．已知数列 { a n } 满足：a1=5,an=an－1+n（n≥2）
（1）写出这个数列{ a n } 的前五项为
若将上述na 1 -1个式a 子2 左右两a 3 边分别相乘a n ，2 便可得a n ：1 aa1n
2n 1
即 : a n 2 n ( n 2 ) , 又 由 a 1 2 满 足 上 式 a n 2 n ( n 1 )
a 22 24 , a 3 2 3 8 , a 42 4 1 6 , a 5 2 5 3 2
四、课堂练习：
a1 1
1已知数列{ a n } 满足： an
an写出这个数列{ a n } 的前五项为
1,2,5,29, 941 2 10 290
。
2．已知数列{ a n } 满足：a1=2,an=2an－1（n≥2） （1）写出这个数列{ a n } 的前五项为 2，4，8，16，32。 （2）这个数列{ a n } 的通项公式是 an2n(nN) 。
例3：已知数列{ a n } 满足：a1=5,an=an－1+3（n≥2）
（1）写出这个数列{ a n }的前五项为
。
（2）这个数列{ a n } 的通项公式是
。
a na n 13 a na n 13 ( n 2 )
a 2 a 1 3 , a 3 a 2 3 , a 4 a 3 3 ,, a n a n 1 3
即 : an (234
n) 5
a n( 2 n 2 ) ( n 1 )5 n 2 2 n 2 5 1 2 n 21 2 n 4 ( n 2 ) 又 n 1 时 , a 15 满 足 上 式 a n1 2 n 21 2 n 4 ( n 1 )
a 15 , a 27 , a 31 0 , a 41 4 , a 51 9
一、请回答下列概念： 1. 数列的定义： 按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 an的第n项 a n 与n之间的
关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的通项公式.
3.数列的图像：都是一群孤立的点.
4.数列表示形式： 列举法、通项公式法、图象法.
二、知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来 解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律， 建立数学模型 模型一：自上而下：
若将上述n-1个式子左右两边分别相加，便可得： 即 a n a 1 3 (n1 ) (n2 )
a n5 3 ( n 1 )3 n 2 ( n2 )
又 n 1 时 , a 1 5 满 足 上 式 a n 3 n 2 ( n 1 )
这 个 数 列 的 前 5 项 为 : 5 , 8 , 1 1 , 1 4 , 1 7 .
试写出数列 { a n } 的前4项.
解：由已知得a1=1,a2=2，a3=3a2+a1=7，a4=3a3+a2=23 { a n } 的 前 4 项 是 1 , 2 , 7 , 2 3 .
例3：已知数列{ a n } 满足：a1=5,an=an－1+3（n≥2） （1）写出这个数列{ a n }的前五项为 5，8，11，14，17 。 （2）这个数列 { a n } 的通项公式是 an=3n+2（n≥1） 。
第1层钢管数为4:即 4＝1+3
第2层钢管数为5:即 5＝2+3
第3层钢管数为6:即 6＝3+3
第4层钢管数为7:即 7＝4+3
第5层钢管数为8:即 8＝5+3
第6层钢管数为9:即 9＝6+3
第7层钢管数为10:即 10＝7+3
若用 a n 表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管 数为一数列.且 a n n3 (1n7 )
间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式。
●递推公式也是给出数列的一种方法。
●注意递推公式包括初始条件和递推关系两部分。
如 上述数列 a n 可表示成：
a1
4 (2 n 7)
an an1 1
例1：已知数列｛an｝的第1项是1，以后的各项由公式
an
1
1 给出，写出这个数列的前5项. an 1
2．已知数列{ a n } 满足：a1=2,an=2an－1（n≥2）
（1）写出数列{ a n } 的前五项为
。
（2）这个数列{ a n } 的通项公式是
。
(2)：
由 a n 2 a n 1 ( n2 ) ,得 a a n n 1 2 ( n2 ) ,且 a 12
则 :a 2 2 ,a 3 2 ,a 4 2 , ,a n 1 2 ,a n 2
4.已知数列{an},以后的各项由公式 an
an1 1 an1
给出，写出这个数列的前5项，并求其通项公式
5.已知直线l：y=x与曲线C:
y
1 2
x
,过曲线C
上横坐标为1的一点P1作x轴的平行线交l于Q2,过Q2 作x轴的垂线交曲线C于P2，再过P2作x轴的平行线交 l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲线C于P3……设点 P1,P2,……Pn……的纵坐标分别为a1,a2,a3,……an……， 试求数列{an}的递推公式
。
（2）试猜想这个数列{ a n } 的通项式
。
解(2)： a na n 1n a na n 1n ( n 2 )
a 2 a 1 2 , a 3 a 2 3 , a 4 a 3 4 ,, a n a n 1 n
若将上述n-1个式子左右两边分别相加，便可得：
a n a 1 234 n
an (234
n) a 1