反证法(初中数学)
初中韦达定理证法六种
初中韦达定理证法六种『韦达定理证法六种』韦达定理是数学中有名的一种定理，它可以用来证明三角形的角是有角度的，并有六种不同的证明方式及其对应的几何证明。
下面介绍一下韦达定理的六种证明方式：一、反证法。
反证法的意思是证明一个论断其不成立，也就是说证明论断没有被证明，即它不成立。
在韦达定理的反证法中，我们拿到非韦达定理的三角形，然后证明它不是韦达定理求得的结果。
这样，既然找不到合适的三角形来证明韦达定理，就可以验证出该定理的真实性。
二、对偶原理。
对偶原理的意思是，如果两个命题中的一个为假，另一个也为假。
在韦达定理的证明中，根据对偶原理，如果两个三角形（A，B）有任何相同的角，有相同的面积，则韦达定理成立。
三、拓扑定理。
拓扑定理指的是，如果在某结构中两个点到另外两个点的路径有三条，则这两个点之间有三个连通路径。
这里，证明三角形角度小于或等于180°时拓扑定理也可以成立，因此韦达定理也证明了。
四、全等定理。
全等定理说，如果某两个图形的顶点和边的长度完全相等，则它们的形状也完全相等。
这里，应用韦达定理的全等定理，使用两个完全相等的三角形来证明该定理。
五、力学定理。
力学定理主要指的是，在结构物中，所有外力汇于一点处，因此它们的合力为零。
在韦达定理的证明中，用力学定理可以证明一定条件下三角形角度小于等于180°，从而证明韦达定理。
六、叉乘定理。
叉乘定理是指，两个向量叉乘（即点积）的结果为它们仅共有一个公共顶点的三角形的面积乘以2。
这里，在韦达定理的证明中，可以借助前一条的错角公式将叉乘定理应用到三角形形状中，从而证明角度小于或等于180°，最终证明韦达定理成立。
总结：在韦达定理的证明中，用到了反证法、对偶原理、拓扑定理、全等定理、力学定理、叉乘定理等六种方式证明了该定理的成立。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中常用的一种证明方法，它通过对反命题进行证明，从而推出原命题的真实性。
在初中数学中，反证法的应用十分广泛，尤其在数学证明和解题过程中起到了重要作用。
本文将通过分析初中数学中常见的反证法运用案例，探讨反证法在数学解题中的运用及其意义。
1.证明题中的应用在初中数学中，证明题是数学学习中的一个重要内容。
而反证法在证明题中常常发挥重要作用。
证明某个命题成立时，我们可以采用反证法，假设命题不成立，然后进行推导证明出现矛盾，从而得出原命题的成立。
2. 数学问题的解答中的应用在初中数学解题中，反证法也常常用于解决一些复杂的数学问题。
有一个常见的数列问题：已知数列的通项公式为an=n^2+n+41，要证明对于任意的整数n,an不可能是素数。
采用反证法，假设存在一个整数n，使得an是素数，然后进行推导得出矛盾，从而证明了原命题的成立。
这个案例展示了反证法在解决数学问题中的应用。
二、反证法在初中数学解题中的意义1. 提高解题的逻辑性反证法在初中数学解题中的应用，可以提高解题的逻辑性，让解题过程更加清晰和严密。
在解题过程中，采用反证法可以让学生对问题进行更全面的思考，不仅能够得出结论，还能够通过推导和反驳的过程加深对问题的理解。
2. 培养学生的思维能力反证法的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
通过运用反证法，学生需要进行思考、推导和分析，从而加深对问题的理解和抽象能力。
这对学生的思维发展和逻辑能力的培养有着重要的意义。
反证法的应用可以提高学生解题的灵活性。
在解题过程中，遇到一些较为复杂的问题，可以尝试采用反证法来解决。
这种方法能够拓宽解题思路，增加解题的方式和途径，提高解题的灵活性。
三、结语反证法在初中数学解题中的运用极为广泛，它在证明题、数学问题解答及几何问题的解答中发挥着重要作用。
采用反证法不仅可以提高解题的逻辑性和灵活性，还能够培养学生的思维能力。
在教学实践中，应该重视反证法的教学和运用，让学生在解题过程中更加注重推理、严密、逻辑，从而提高数学学习的效果。
初中数学反证法
反证法教学目标： ⑴ 了解间接证明的一种基本方法---------反证法⑵ 了解反证法的思维过程，明确反证法的证题步骤⑶ 培养学生用反证法进行推理的技能和应用意识教学重难点：⑴ 理解解反证法的思维过程⑵ 明确反证法的证题步骤，能对反证法的假设进行正确的等价转化新课教学：回顾前面学习的综合法和分析法，引出问题继续研究数学命题的证明。
一、感知体验1． 问题1已知：a 是整数，2能整除2a 。
试证：2能整除a① 探究：问题实际上是在讨论a 是奇数，还是偶数。
已知中：说明2a 是偶数，则()22a m m N =∈，此时)a m N =∈② 反思：条件已用完，结论还不能明确得证，可能结论自身有问题。
③ 若结论有问题，则“2不能整除a ”应该成立，此时会发生怎样的情况，进行推理引出反证法。
总结：在上题由“2不能整除a ”这个假设下，推理出了矛盾，肯定了原题的结论，从而说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法，再通过问题2继续认识。
2. 问题2 在同一平面内，两条直线,a b 都和直线c 垂直。
求证：a 与b证明：假设命题的结论不成立，即“直线a 与b 相交”。
不妨设直线,a b 的交点为M ,,a b 与c 的交点分别为,P Q ,如图所示，则00PMQ ∠>.这样，MPQ ∆的内角和PMQ MPQ PQM =∠+∠+∠0009090180PMQ =∠++>这与定理“三角形的内角和等于0180”相矛盾。
说明假设不成立。
所以，直线a 与b 不相交，即a 与b 平行。
二、理论总结1.反证法的思维过程及定义2.反证法的证题步骤：① 假设。
假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化② 归结矛盾。
矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。
③ 否定假设，肯定结论。
三、实践巩固1.是无理数是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，,0,q p p=≠且,p q q =。
所以，222p q =。
---------①故2q 是偶数，q 也必然为偶数。
初中数学初三数学下册《反证法》优秀教学案例
在讲授新知环节，我首先详细解释反证法的定义，并通过具体实例演示反证法的步骤。在讲解过程中，注重让学生理解反证法的核心思想——通过假设命题不成立，从而推导出矛盾，进而证明原命题成立。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我将设计几个具有挑战性的问题，让学生分组进行讨论。这些问题涵盖反证法在不同类型的数学题目中的应用，旨在培养学生的逻辑推理能力和团队协作能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的学习态度。
2.使学生认识到反证法在数学学习中的重要性，体会数学的严谨性和美妙，增强学生的数学素养。
3.通过反证法的学习，培养学生面对困难时，勇尝试、坚持不懈的品质。
4.引导学生学会尊重他人意见，善于合作交流，培养良好的团队精神和沟通能力。
在本章节的教学过程中，教师将始终关注学生的全面发展，注重知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学，提高他们的数学素养和综合素质。通过本章节的学习，学生将更加深入地理解反证法的内涵，为今后的数学学习和人生发展奠定坚实基础。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握反证法，我将创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以通过讲述一个侦探故事，让学生扮演侦探，寻找线索，解决问题。在这个过程中，引导学生体会反证法在推理过程中的作用，使他们在情景体验中自然地接纳反证法。
3.小组合作，促进交流
案例中注重小组合作，让学生在互动交流中共同解决问题。这种教学策略有助于培养学生的团队协作能力、沟通能力，以及尊重他人意见的良好品质。
4.反思与评价，提高自我认知
在教学过程中，引导学生进行反思与评价，使他们在总结经验教训的基础上，不断提高自我认知。此外，实施多元化的评价方式，关注学生的全面发展，激发他们的学习信心。
漫谈初中数学解题中的“反证法”
61学子 ２０１７．０５数学教学漫谈初中数学解题中的“反证法”王玉琴一、“反证法”解题方法在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。
2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。
3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。
反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：其中，在至少有一个、至多有n 个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n 个的深刻含义，从而顺利进行证明。
反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。
二、“反证法”例题展示１．定理性命题的证明在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。
案例１：勾股定理的证明如图所示，在直角三角形△ABC 中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.证明：过C 点作斜边AB 上的垂线于D，假设a 2+b 2 ≠ c 2，即AC 2+BC 2≠AB 2，根据三角形的中垂线定理可得：AB 2=AB•AB=AB（AD+BD）=AB•AD+AB•BD 根据假设又知：AC2≠AB•AD，BC2≠AB•BD 即AD：AC ≠AC：AB，或者BD：BC ≠BC：AB，在△ADC 和△ACB 中，因为∠A=∠A，则当AD：AC ≠AC：AB 时，∠ADC ≠∠ACB；在△CDB 和△ACB 中，因为∠B=∠B，则当BD：BC ≠BC：AB 时，∠CDB ≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC ≠90°，∠CDB ≠90°，这与CD ⊥AB 是矛盾的，所以AC 2+BC 2≠AB 2不成立，则有：AC 2+BC 2=AB 2，即c 2=a 2+b 2２．无限性命题的证明“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。
八年级数学下册《反证法》优秀教学案例
1.培养学生对数学的热爱，激发他们学习数学的兴趣和积极性；
2.培养学生的逆向思维，让他们明白事物具有多面性，学会从不同角度看待问题；
3.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强他们面对困难时的自信心；
4.培养学生的批判性思维，使他们学会质疑、善于思考，形成独立见解。
三、教学策略
（一）情景创设
3.教师简要介绍反证法的概念，让学生对反证法有一个初步的认识。
（二）讲授新知
1.教师详细讲解反证法的定义、原理和应用步骤，结合具体例题进行分析，使学生明白反证法的思路和关键点。
2.通过多媒体展示反证法的思维过程，让学生更加直观地理解反证法的特点。
3.引导学生总结反证法的关键步骤：假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论成立。
八年级数学下册《反证法》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，八年级的学生已经具备了一定的逻辑推理能力。在此基础上，本教学案例以人教版八年级数学下册《反证法》为主题，旨在引导学生运用反证法解决数学问题，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的策略。反证法作为数学证明的重要方法，对于培养学生的逆向思维、拓展解题思路具有重要意义。本案例通过设计丰富多样的教学活动，让学生在实践中掌握反证法的要领，激发他们的学习兴趣，使他们在探索与实践中不断提高自身的数学素养。在教学过程中，教师将以学生为主体，关注个体差异，充分调动学生的积极性与主动性，营造一个充满活力、富有挑战的课堂氛围。
（四）反思与评价
1.教学过程中，教师及时对学生的学习情况进行反馈，帮助学生发现自身在反证法学习中的不足，指导他们进行有针对性的改进；
2.鼓励学生进行自我反思，总结自己在解决问题过程中成功和失败的经验，形成自己的学习策略；
反证法
初中数学竞赛辅导资料反证法甲内容提要1.反证法是一种间接的证明方法。
2.一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B⇔例如原命题：对顶角相等(真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题)证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。
但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数 证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1 当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。
∴ m 2是3的倍数时，m 也是3的倍数例4.求证：2不是有理数 是互质的整数），∵ba ∵a 2设∵由那么 ∴例分子与分母, 且k,a,b 都是正整数，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎭⎬⎫=+=+143214314421bk n ak n bk n ak n 143-bk ， 3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1 ∴3b-2a=±1, k=±1 ∴分子、分母有公约数的假设不能成立 因此分数314421++n n 是既约分数丙练习3411.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD 求证：AB<AC13.已知：抛物线y=x2－(m－3)x－m求证：m不论取什么值，抛物线与x轴的两个交点，不可能都落在正半轴上（福建省1988年中招考试题）14.若a,b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根15平面内7个点，它们之间的距离都不相等，求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离16.已知：a,b,c为实数，a=b+c+1求证：两个方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根（1990年泉州市初二数学双基赛题）参考答案练习341. ① a 和b 相交 ②m>n 或m<n ④∠A 是直角或钝角⑤点A 在⊙O 外或在⊙O 内 ⑥∠A ，∠B ，∠C 都小于60 ⑦m=5k ±1，5k ±2（k 是整数） ⑧方程有理数根ab (a 是整数，b 是正整数，a,b 互质)⑨没有一个方程是两根不相等2. 设A ，B ，C 三点不在同一直线上，证明AB ＋BC ＞AC4.设有两个圆心O 和O 1，经过O 和O 1的直线和圆交于A ，B 则……5.5. ①设33k ±16. ∵7. 设a,b 11.13.那么x 1＋x⎧0m －mn （n 是整数，m 是正整数且m,n 是互质的）mn )+c=0, m,n 不能同偶数外，按奇数、偶数分3类讨论，逐2. 设点A 和其他6个点B ，C ，D ，E ，F ，G 的距离都小于这6个点彼此这间的距离（如图）在△ABC中，∵BC＞AB且BC＞AC，∠BAC＞60 同理∠CAD＞60 ………这与1周角＝360 相矛盾……16.设……则△1≤0且△2≤0……。
初中数学初二数学下册《反证法》优秀教学案例
（三）小组合作
小组合作是一种有效的教学策略，可以培养学生的团队协作能力和沟通能力。在本章节的教学中，我将把学生分成若干小组，每组学生在探究反证法的过程中，相互讨论、交流、分享。具体做法如下：
1.分组讨论：让学生在小组内讨论反证法的概念、步骤和应用。
2.分工合作：每个小组选择一道题目，运用反证法进行证明，并派代表进行汇报。
（Hale Waihona Puke ）作业小结1.布置作业：设计不同难度的题目，让学生巩固反证法的应用。
a.基础题目：运用反证法证明简单数学命题。
b.提高题目：运用反证法解决实际问题，如几何图形中的反证法证明。
c.拓展题目：研究反证法在其他数学领域的应用，如数列、函数等。
2.要求学生在完成作业时，注意书写规范，保持解答过程的简洁。
2.在探究反证法的过程中，引导学生独立思考，培养学生的逻辑思维和逆向思维。
3.引导学生通过观察、分析、归纳等思维方法，发现数学问题中的规律，提高学生解决问题的能力。
4.注重学法指导，让学生在自主学习、合作学习、探究学习的过程中，形成适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神。
3.教师在批改作业时，关注学生的解答过程，及时给予反馈，指导学生提高。
五、案例亮点
1.创设生活化的教学情境
本案例以贴近学生生活的实例为背景，创设教学情境，让学生在具体情境中感受反证法的意义和价值。这种做法有助于激发学生的学习兴趣，提高学生对数学知识的认同感，使学生在轻松愉快的氛围中掌握反证法。
2.以问题为导向，注重学生逻辑思维能力的培养
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，能够引导学生主动思考，培养其逻辑推理能力。在本章节的教学中，我将设计一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握反证法的步骤和应用。例如，在讲解反证法证明数学命题时，可以提出以下问题：
初中数学初二数学下册《反证法》教案、教学设计
1.作业应在规定的时间内完成，确保学生有足够的时间进行思考和消化；
2.作业应注重质量而非数量，要求学生在完成作业时，注重解题思路的清晰性和逻辑性；
5.设计丰富的例题和练习题，让学生在实际操作中感受反证法的运用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生对数学学科的兴趣；
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力；
3.培养学生的逆向思维，使学生懂得从不同角度审视问题，形成创新意识；
4.培养学生的合作精神，使学生学会与他人共同探讨、共同进步；
在此过程中，学生可以充分发表自己的观点，学会倾听他人意见，形成共识。我会在各组间巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨反证法的应用。
（四）课堂练习，500字
课堂练习环节，我将设计不同难度的题目，让学生独立完成。这些题目包括基础题、提高题和拓展题，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生完成练习后，我会邀请部分学生分享他们的解题思路和答案。通过这种方式，学生可以相互学习，取长补短，共同提高。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的反证法知识，概括反证法的定义、关键步骤和应用。同时，强调反证法在数学证明中的重要性，以及它在解决实际问题中的应用价值。
此外，我会鼓励学生课后进行反思，总结自己在学习反证法过程中的收获和不足。这样，学生可以更好地掌握反证法，为今后的数学学习打下坚实基础。
2.学会运用反证法进行简单命题的证明，并能解决实际问题；
初中 反证法教案
初中反证法教案教学目标：1. 理解反证法的概念和基本步骤；2. 能够运用反证法证明一些简单的数学命题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 反证法的概念和基本步骤；2. 运用反证法证明简单命题的方法。
教学难点：1. 反证法的理解和运用；2. 证明过程中逻辑的严密性。
教学准备：1. 反证法的定义和示例；2. 相关的数学命题和证明题目。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的证明方法，如直接证明、归纳证明等；2. 提问：有没有同学听说过反证法？能否简单介绍一下？二、新课讲解（15分钟）1. 给出反证法的定义和基本步骤；2. 通过示例讲解反证法的运用过程；3. 强调反证法中的逻辑严密性。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些简单的反证法证明题目；2. 引导学生思考证明过程中的关键步骤和逻辑关系。
四、巩固提高（15分钟）1. 让学生尝试证明一些较复杂的数学命题；2. 引导学生运用反证法解决实际问题。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，总结反证法的概念和步骤；2. 强调反证法在数学证明中的重要性。
六、课后作业（课后自主完成）1. 进一步学习反证法的应用，尝试解决更多的数学问题；2. 总结反证法的优缺点，并与其他证明方法进行比较。
教学反思：本节课通过讲解反证法的概念和示例，使学生掌握了反证法的基本步骤和运用方法。
在课堂练习环节，学生能够独立完成一些简单的反证法证明题目，但对于较复杂的题目仍需进一步指导和启发。
在今后的教学中，应加强对学生逻辑思维能力的培养，提高他们运用反证法解决问题的能力。
同时，要注意引导学生比较反证法与其他证明方法的区别和优缺点，使他们在实际应用中能够灵活选用合适的证明方法。
初中数学竞赛专题反证法与同一法(有答案)-学习文档
第 1 页板块一 反证法反证法反证法是一种间接证法．为了证明某个命题的正确性，先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的目的，这种方法就是反证法．反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【例1】设)0是一次函数()0y ax b a =+≠上一点，试证y ax b =+的图象至多只能通过一个有理点（横坐标和纵坐标都是有理数的点）．【解析】将x =，0y =代入y ax b =+，得b =，于是(y a x =，设()0y a x b a =+≠的图象上有两个不同的有理点()11x y ，、()22x y ，，则1x 、1y 、2x 、2y 都是有理数，且消去a，变形得122121x y x y y y -=-因为12x x ≠，则12y y ≠，所以上式左端是有理数，它不可能等于无理数，故()0y ax b a =+≠的图象至多只能通过一个有理点．【备选】 求证:平面上任意两个不同的整点到点P 的距离都不相等．【解析】 假设结论不成立，则平面上两个不同的整点(,)A a b 、(,)B c d （其中a 、b 、c 、d 都是整数）使得AP BP =．由22AP BP =可得2222((((a b c d +=+，即22222(2(a c b d a b c d --+--，从而22222228()12()8()(()a c b d a c b d a b c d -+-+--=+--，进而可得22222228()(()8()12()a c b d a b c d a c b d --=+------，因此()()0a c b d --=．⑴ 若0a c -=，则0b d -=，从而a c =，b d =，A 、B 重合．⑵ 同理，若0b d -=，A 、B 重合．习题1. 若0a ≠，则关于x 的方程0ax b +=的解是唯一的．知识导航 夯实基础反证法与同一法【解析】 因为0a ≠，则b x a=-是0ax b +=的一个解， 假设0ax b +=的解不是唯一的，不妨设1x 、2x 都是0ax b +=的解，这里12x x ≠，则①-②得由于12x x ≠，所以120x x -≠，则0a =，这与0a ≠矛盾．故若0a ≠，则x 的方程0ax b +=的解是唯一的．【点评】证明的第一行是说明解的存在，在这种情况下，结论“解是唯一的”的否定是“至少有两个解”，但本题的反设是“若1x 、2x （12x x ≠）是0ax b +=的解”，其实，这里省去了“只要有两个不同的解，就能导出矛盾，当然不可以有更多的不同的解”的推理．【例2】 平面上有一点P 及ABC △，若PB PC AB AC +>+，求证：点P 在ABC △外部．【解析】 假设点P 不在ABC △外部，则有如下几种可能：⑴ 若点P 在BC 边上（如下左图）．由PB PC BC AB BC +=<+，与已知矛盾，所以点P 不可能在BC 边上．⑵ 若点P 在AC （或AB ）边上（不包括端点）（如下中图），则PB AB AP <+所以PB PC AB AP PC AB AC +<++=+与已知矛盾，所以点P 不可能在AC （或AB ）边上．⑶ 若P 与A 重合，显然PB PC AB AC +=+，与已知矛盾，故点P 不可能是A 点． ⑷ 若点P 在ABC △内（如上页右图），延长BP 交AC 于D ，则①+②得AB AD PD DC BP PD PC +++>++即AB AC PB PC +>+，与已知矛盾，所以点P 不在ABC △内．由以上⑴～⑷知，点P 必在ABC △外．习题2. 如右图，在凸四边形ABCD 中，若AB BD AC CD ++≤，求证：AB AC <．【解析】 设AB AC ≥，则ACB ABC ∠∠≥，因为ABCD 是凸四边形，所以BCD ACB ∠>∠，ABC DBC ∠>∠，则BCD DBC ∠>∠，于是BD CD >，故AB BD AC CD +>+，与已知条件矛盾，因此，AB AC <得证．习题3. 在同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a 与b 相交，c a ⊥，d b ⊥，则c 与d 也相交．【解析】 假设c d ∥，因为a c ⊥，所以a d ⊥，又因为b d ⊥，所以a 、b 平行，这与已知条件a与b 相交矛盾，故c 与d 也相交．【例3】 在四边形ABCD 中，OA OC =，ABC ADC ∠=∠，求证：ABCD 是平行四边形．【解析】 若OB OD =，则显然ABCD 是平行四边形．若OB OD ≠，不妨设OB OD >，则在OB 上取点'B ，使得'OB OD =，连结''AB B C 、，则四边形'AB CD 是平行四边形，则'ADC AB C ABC ∠=∠>∠，矛盾！故ABCD 是平行四边形．习题4. 已知在四边形ABCD 和''''A B C D 中，''AB A B =，''BC B C =，''CD C D =，''DA D A =，且AB CD ∥，''''B C D A ∥．证明：这两个四边形都是平行四边形．【解析】 显然，若AB CD =则结论成立．否则，不妨设AB CD >，BC DA >．如图，在线段BA 上截取BE CD =，连结DE ；则四边形EBCD 是平行四边形，DE BC =．同样，在线段''B C 上截取'''B F A D =，则'''A B FD 是平行四边形，'''D F A B =．那么'''''AB CD AE ED AD BC AD B C A D FC -=>-=-=-=，'''''''D F C D A B C D AB CD >-=-=-，矛盾!即两个四边形均是平行四边形．探索提升第 3 页【例4】 G 是ABC △的重心，若AB GC AC GB +=+，则AB AC =．【解析】 若AB AC ≠，不妨设AB AC >，通过倍长中线可得CAG BAG ∠>∠，作点C 关于AG 的对称点'C ，则由“8字模型”，''AB GC AC GB +>+，可得AB GC AC GB +>+，矛盾！故AB AC =．【例5】 试证明雷米欧司—斯坦纳定理：内角平分线相等的三角形是等腰三角形．【解析】 如图，若AB AC >，则一方面， ACB ABC ∠>∠，DCB EBC ∠>∠，在DBC △和EBC △中，CD BE =，BC CB =于是BD CE > ……①另一方面，作DBEF □，则BE DF =，又BE CD =∴FDC △为等腰三角形，其中DF DC =∴FCD DFC ∠=∠，而ABE ACD ∠<∠∴EFC ECF ∠>∠，从而EC EF BD >= ……②综合①、②，矛盾．【备选】 设凸五边形ABCDE 的各边相等，并且A B C D E ∠∠∠∠∠≥≥≥≥，求证：此五边形是正五边形．【解析】 假设A E ∠>∠，那么在BAE △和AED △中，由BAE AED ∠>∠可得BE AD >；因此，在ABD △和EBD △中，由BE AD >可得BDE ABD ∠>∠．另外，由BC CD =可得BDC CBD ∠=∠，结合BDE ABD ∠>∠可得CDE CBA ∠>∠，而这与已知条件B D ∠≥∠矛盾．所以A E ∠≤∠，结合已知条件可得A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠，得证．本题中，多次使用了“两边对应相等的两个三角形中，夹角越大，则第三边也越大；反之亦然”这一定理．板块二 同一法 同一法在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法是间接证法的一种．当要证明某种图形具有某种特性而不易直接证明时，使用此法往往可以克服这个困难．用同一法证明的一般步骤是:(1)不从已知条件入手，而是作出符合结论特性的图形；(2)证明所作的图形符合已知条件；(3)推证出所作图形与已知为同一图形．【例6】 在等腰ABC △中，AB AC =，36A ∠=︒，D 是AC 上的一点，满足AD BC =；求证：（1）ABD CBD ∠=∠；（2）BD BC =．【解析】 由点D 的唯一性，利用同一法可以轻松解决问题．【例7】 在ABC △中，D 是BC 边上一点，40B ∠=︒，30BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 在BC 所在直线上找点'C ，使得'AC AB =，连结'AC则'40C ∠=︒，70ADC ∠=︒，那么'70DAC ∠=︒，由此''DC AC AB DC ===，即C 、'C 非常挑战探索提升知识导航重合．所以40C ∠=︒．习题5. 在ABC △中，D 是BC 边上一点，42B ∠=︒，27BAD ∠=︒，AB CD =，求C ∠．【解析】 说明：答案为42︒；题目可进一步变成“在ABC △中，D 是BC 边上一点，B α∠=，BAD β∠=，32180αβ+=︒，AB CD =，求C ∠”．【备选】 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B C ∠+∠=︒，E 、F 分别是AD 、BC 的中点， 求证：()12EF BC AD =-． 【解析】 延长BA 、CD 交于点P ，连结PF 交AD 于点'E ，利用线束定理容易证明'E 即为AD 的中点，那么E 、'E 重合，则1122EF PF PE BC AD =-=-，得证．【例8】 在ABC △中，AD 是角平分线，I 是AD 上一点，且1902BIC BAC ∠=︒+∠，则I 为ABC △的内心．【解析】 设'I 为三角形的内心，显然'I 必在AD 上，且1'902BI C BAC ∠=︒+∠．若点I 在'AI 上，易得1902BIC BAC ∠<︒+∠；若点I 在'I D 上，易得1902BIC BAC ∠>︒+∠．所以，点I 与点'I 重合，即I 为三角形的内心．习题6. 如图，I 是ABC △的BAC ∠的角分线上一点，直线MN 过点I ，与A B A C 、边分别交于点M N 、，且ABI NIC ∠=∠，ACI MIB ∠=∠．求证：I 是ABC △的内心．【解析】 1180902BIC MIB NIC BAC ∠=︒-∠-∠==︒+∠，结合上题结论可知，I 是ABC △的内心． 非常挑战。
初中数学初三数学下册《反证法》教案、教学设计
1.通过教师引导，让学生自主探究反证法的原理和步骤，培养学生的学习兴趣和自主学习能力。
2.通过小组讨论、合作学习，让学生在讨论和实践中掌握反证法的应用，提高学生团队协作能力和沟通能力。
3.设计不同难度层次的例题和练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步掌握反证法，提高问题解决能力。
（三）情感态度与价值观
1.必做题：
a.请学生运用反证法证明勾股定理。
b.选取课本中一道几何证明题，要求学生使用反证法进行证明。
c.结合本节课的案例，自选一个数学问题，运用反证法求解，并详细说明解题过程。
2.选做题：
a.探索反证法在代数问题中的应用，如求解不等式、方程等，并给出至少两个例题的解答过程。
b.阅读相关数学资料，了解反证法在数学发展史上的重要地位和作用，撰写一篇简短的阅读心得。
1.教学内容：反证法的定义、步骤和注意事项。
2.教学方法：采用讲解、演示、举例等方式，让学生理解并掌握反证法的基本知识。
3.教学过程：
a.教师讲解反证法的定义，解释其基本原理。
b.教师通过具体例题，演示反证法的步骤，强调注意事项。
c.学生跟随教师思路，学习反证法的应用。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：将学生分成小组，针对几个典型的数学问题，讨论如何运用反证法进行求解。
3.关注学生个体差异，实现因材施教，提高教学质量。
4.激发学生对数学学习的兴趣，树立正确的数学观念，为学生的终身学习奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以一个与学生生活息息相关的问题导入新课，如“一个数字谜语：一个三位数，它的百位数是3，十位数是它的一半，个位数是十位数的两倍。这个三位数是什么？”
【初中数学】初中数学反证法的学习方法
【初中数学】初中数学反证法的学习方法
【—汇编】反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
那么接下来的
初中数学
学习方法请同学们认真记忆了。
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：
（1）反向设置；
(2)归谬;
（3）结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：
是/否；
存在/不存在;
平行于/不平行于；
垂直于/不垂直于;
等于/不等于；
大(小)于/不大(小)于;
是/否；
至少有一个/一个也没有;
至少N/最多（N-1）；
至多有一个/至少有两个;
独特/至少两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
有几种类型的矛盾：
与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
我相信学生们已经仔细记住了本章中初中数学学习方法汇编的反证。
接下来，有越来越多的综合性初中数学学习方法等着你去掌握。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析1. 引言1.1 反证法在初中数学解题中的重要性反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。
通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。
这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。
在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。
通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。
它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。
在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。
反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。
它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。
熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。
1.2 反证法的基本原理反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。
这种方法在数学证明中被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。
反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。
假设我们要证明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。
我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。
这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。
反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。
在数学解题中，反证法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。
了解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。
反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。
2. 正文2.1 反证法在代数方程解题中的运用在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。
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角形”的第一步假设这个三角形是等腰三角形
五、小结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题
不成立→正确的推理,得出矛盾→肯 定待定命题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要
准确而全面的找出命题结论的反面。 至少的反面是没有，最多的反面小伙伴们外出游 玩,看到路边的李 树上结满了果子. 小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王 戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李 .”
王小戎伙是伴怎摘样取知一道个李尝子了是一苦下的果呢然?是他苦运李用.了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不 会被过路人摘去解渴呢？
对任何x 存在某个x,成 不成立 立
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C 证明：假设 ∠B ＝ ∠，C
感 受 则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
反 证 这与 已知AB≠AC
矛盾．
法
A
: 假设不成立．
∴ ∠B ≠ ∠ C ．
B
C
例2 求证：两条直线相交只有一个交点 已知：。如图两条相交直线a、b。
求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交 a ●
● A，
点，不妨假设有两个交点A和 A
A’
b
小结：根据假设
因为两点确定一条直线，即 推出结论除了可
经过点A和A’的直线有且只有 以与已知条件矛
一条，这与已知两条直线矛盾 ,假设不成立。
盾以外，还可以 与我们学过的基 本事实、定理矛
所以两条直线相交只有一个 盾
例3 求证：在一个三角形中，至少有一个 内角小于或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60，°
则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=，1 即 80∠°A+∠B+∠C>180 。 这与 °三角形的内角和为180度 矛盾．
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看 见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚 上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是 干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以 说昨晚下雨是正确的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问 题上。
一、复习引入
如图，在△ABC中，AB=c， BC=a，AC=b,（a≤b≤c）
那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。 说明李子是甜的这 个假设是错的还是 对的？
所以，李子是苦的
学习目标
1、了解反证法的证明步骤，体会反证法 证明问题的思 想，并能够运用反证法来证明一些问题； 2、理解并体会反证法的思想内涵； 3、通过反证法的学习，培养辩证唯物主 义观念。
学习重难点 重点：反证法的证明步骤； 难点：运用反证法证题。
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词 原词语
等于 不等于 任意的
否定词
某个
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 小于
对所有x 成立
不大于 不小于
存在某个 x不成立
至少有n个 至多有（n-1)个 至多有n个 至少有（n+1)个
假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60．°
点拨：至少的反面是没有！
回顾与归纳
假 设 结 论
基 得本 出事 推理论证 矛 实
的
盾、
反
（定
面
已理
正
反确设
知等
、归谬
命
假题
得出结论
设成 不立
.
成
立
，
原
结论
证明真命题 的方法
直接证法
间接证法
反证法
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面：a小于或等于２
（1）a是实数a。不是实数（2)a大于2没。有两个 （3）a小a大于于2。或等于２ （4）至少有2个
（5）最多有一个 （6）两条直线平行
一个也没有
两直线相交
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的
第一步是 假设a=b 。
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两
个相等的角，那么这个三角形不是等腰三
c
，请问这个三角形是否一定不是
直角三角形呢？请说明理由。
Ca
B
探究： （1）假设它是一个直角三角形 （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与 已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直 角三角形。
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法 不同，其步骤为：
(1)先假设结论的反面是正确的; (2)然后通过逻辑推理，得出与基 本事实、已证的定理、定义或已知条 件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得 出原结论正确。象这样的证明方法叫 做反证法。
有关系a2 +b2 ＝c2时，这个三
角形一定是直角三角形吗？
解析： 由a2 +b2 ＝c2 ，根据
勾股定理的逆定理可知 ∠C=90°，这个三角形 一定是直角三角形
.
A
b
c
Ca
B
二、探究
问题：若将上面的条件改为“ A
在△ABC中，AB=c，BC=a，
AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2” b