反证法(初中数学)

例3 求证：在一个三角形中，至少有一个 内角小于或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60，°
则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=，1 即 80∠°A+∠B+∠C>180 。 这与 °三角形的内角和为180度 矛盾．
那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。 说明李子是甜的这 个假设是错的还是 对的？
所以，李子是苦的
学习目标
1、了解反证法的证明步骤，体会反证法 证明问题的思 想，并能够运用反证法来证明一些问题； 2、理解并体会反证法的思想内涵； 3、通过反证法的学习，培养辩证唯物主 义观念。
学习重难点 重点：反证法的证明步骤； 难点：运用反证法证题。
角形”的第一步假设这个三角形是等腰三角形
五、小结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题
不成立→正确的推理,得出矛盾→肯 定待定命题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要
准确而全面的找出命题结论的反面。 至少的反面是没有，最多的反面是不 止。
求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交 a ●
● A，
点，不妨假设有两个交点A和 A
A’
b
小结：根据假设
因为两点确定一条直线，即 推出结论除了可
经过点A和A’的直线有且只有 以与已知条件矛
一条，这与已知两条直线矛盾 ,假设不成立。
盾以外，还可以 与我们学过的基 本事实、定理矛
所以两条直线相交只有一个 盾
有关系a2 +b2 ＝c2时，这个三
角形一定是直角三角形吗？
解析： 由a2 +b2 ＝c2 ，根据
勾股定理的逆定理可知 ∠C=90°，这个三角形 一定是直角三角形
.
A
b
c
Ca
B
二、探究
问题：若将上面的条件改为“ A
在△ABC中，AB=c，BC=a，
AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2” b
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词 原词语
等于 不等于 任意的
否定词
某个
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 小于
对所有x 成立
不大于 不小于
存在某个 x不成立
至少有n个 至多有（n-1)个 至多有n个 至少有（n+1)个
（1）a是实数a。不是实数（2)a大于2没。有两个 （3）a小a大于于2。或等于２ （4）至少有2个
（5）最多有一个 （6）两条直线平行
一个也没有
两直线相交
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的
第一步是 假设a=b 。
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两
个相等的角，那么这个三角形不是等腰三
路边苦李
王戎7岁时,与 小伙伴们外出游 玩,看到路边的李 树上结满了果子. 小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王 戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李 .”
王小戎伙是伴怎摘样取知一道个李尝子了是一苦下的果呢然?是他苦运李用.了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不 会被过路人摘去解渴呢？
假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60．°
点拨：至少的反面是没有！
回顾与归纳
假 设 结 论
基 得本 出事 推理论证 矛 实
的
盾、
反Leabharlann Baidu
（定
面
已理
正
反确设
知等
、归谬
命
假题
得出结论
设成 不立
.
成
立
，
原
结论
证明真命题 的方法
直接证法
间接证法
反证法
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面：a小于或等于２
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看 见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚 上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是 干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以 说昨晚下雨是正确的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问 题上。
一、复习引入
如图，在△ABC中，AB=c， BC=a，AC=b,（a≤b≤c）
c
，请问这个三角形是否一定不是
直角三角形呢？请说明理由。
Ca
B
探究： （1）假设它是一个直角三角形 （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与 已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直 角三角形。
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法 不同，其步骤为：
(1)先假设结论的反面是正确的; (2)然后通过逻辑推理，得出与基 本事实、已证的定理、定义或已知条 件相矛盾； (3)从而说明假设不成立，进而得 出原结论正确。象这样的证明方法叫 做反证法。
对任何x 存在某个x,成 不成立 立
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C 证明：假设 ∠B ＝ ∠，C
感 受 则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
反 证 这与 已知AB≠AC
矛盾．
法
A
: 假设不成立．
∴ ∠B ≠ ∠ C ．
B
C
例2 求证：两条直线相交只有一个交点 已知：。如图两条相交直线a、b。