圆的基本概念

圆的基本概念

Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

A

B

C

圆的基本概念

1、定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，点的距离

等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

3.直径：经过圆心的弦叫直径。注：圆中有无数条直径 4圆的对称性及特性：

(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;

(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.

(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 5.圆弧：

(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧” 以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂

,读作“弧AB”.

(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.

(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂

(用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ⋂

(用三个字母).

学习重点:圆及其有关概念

学习难点:用集合的观念描述圆

【例1】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N 分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．

【例2】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响

【随堂针对练习】

1．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．

2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）

A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径

B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径

C．⊙O上有两点到点P的距离最小

D．⊙O上有两点到点P的距离最大

3．以已知点O为圆心作圆，可以作（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）

A．1个B．2个C．3个

D．无数个

5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是cm．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是．

7．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．

8．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒

垂径定理及其推论:

（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；

（2）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对

的两条弧。

推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分

例题1、如图3－5，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，若CE a ，ED=b.

求：（1）=的长；（2）AB 的长.

例题2、如图所示，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若5cm ，OC=1cm ，则⊙O 的半径长为______cm ．

例题3、（易错题）在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB•与CD 之间距离． 解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm ． 由垂径定理得BM=

12AB=1

2

×40=20cm ， ∴22222520OB BM --=15cm ． 同理可求22222524OC CN -=-， 所以MN=OM-ON=15-7=8cm ．

以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上 【巩固练习】基础题：

A

B

C D

E .O

1．下列命题中，正确的是（ ）

A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B ．过弦的中点的直线必过圆心

C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

D ．弦的垂线平分弦所对的弧

2．下列命题中错误的有（）

①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径. A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3.在半径为25cm 的⊙O 中，弦AB ＝40cm ，则此弦和所对的弧的中点的距离

为()

10cm15m40cm10cm 或40cm

4.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，

cm 6,cm 10==CD AB ，则AC 的长为（）

A ．0.5cm

B ．1cm

C ．1.5cm

D ．2cm

5.过⊙O 内一点P 的最长的弦长为13cm ，最短的弦长5cm ，则OP=.

6.直径是1000mm 的圆柱形水管面积如图所示，若水面宽800=AB mm ，则水的最大深度CD 为_______mm. 6题图7题图8题图

7.如图，是一个水平放置的圆柱形水管的截面，已知水面高22+=CD cm ，水面宽cm AB 22=．那么水管截面圆的半径是_________cm ．

8.如图，弦cm 24=AB ，直径AB CD ⊥于M ，且cm 8=CM ，求⊙O 的半径。 ◆拓展创新