第1章 刚体转动动力学基础

c11 Cbn c 12 c13
c 21 c 22 c 23
c31 c32 c33
对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦 矩阵，反之亦然。
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讨论：
方向余弦矩阵的应用：坐标变换及基本公式
xb xn cos( xb , xn ) yn cos( xb , yn ) zn cos( xb , zn ) yb xn cos( yb , xn ) yn cos( yb , yn ) zn cos( yb , zn ) z x cos( z , x ) y cos( z , y ) z cos( z , z ) n b n n b n n b n b
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§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
五 定点转动刚体角速度的欧拉角描述
ω ψ θ
xb sin cos sin 0 sin sin cos 0 yb 0 zb cos sin cos sin sin sin cos cos
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§1.2 常用参考坐标系
2. 当地地理坐标系
原点设在沿地球表面运动的物 体上，轴与地固地理坐标系的 指向相同，不与地球固结。除 随地球自转以外，还随物体相 对地球运动，但不参与物体俯 仰、倾斜等运动。 VE V sin K Re cos Re cos V N V cos K Re Re 2018/10/10
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§1.2 常用参考坐标系
三 地理坐标系 1. 地固地理坐标系
原点选在地球上任一点， 三根轴与地球固结，东北 天指向。
(ie ) xn 0 n n ωin ωie (ie ) yn ie cos sin (ie ) zn ie
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四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述
第Ⅰ类欧拉角的线性化
-( ) 0 1 n Cb ( ) 1 1 0
对于无限小角度转动，第Ⅰ类欧拉角的三个参
数不再独立。
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四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述
zb c
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确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个3×3的 矩阵），可以确定刚体的角位置。
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§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
三 定点转动刚体角位置的方向余弦描述
c11 b C n c 21 c31
c12 c 22 c32
c13 c 23 c33
x 2 0 0 0 C 2 C1 0 C 2 0 1 n 1 y2 z 2 0
x 2 sin 0 0 sin 0 0 y2 z 2 cos 0 cos
第Ⅱ类欧拉角（转动顺序为：X-Y-Z）
cos cos n Cb sin sin cos cos sin -cos sin cos sin sin
cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos
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§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述
选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。 依次三次转动，第三次转动的转动轴选取不同，产 生两类欧拉角。
Cn CII CI Cn
b b II
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I
Cb CI CII Cb
n n I
-sin cos cos cos
sin
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四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述
第Ⅱ类欧拉角的线性化
1 n Cb -
1

- 1
对于无限小角 度转动，第Ⅱ 类欧拉角的三 个参数独立。
两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第 一次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。
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§1.2 常用参考坐标系
一 惯性坐标系
1.日心惯性坐标系
日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定 的恒星。
2.地心惯性坐标系
地心坐标系的原点设在地球中心处，x和y轴位于地球赤 道平面并分别指向确定的恒星，z轴与地球自转轴（地 球极轴）重合，并指向北极星。
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II
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四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述 第Ⅰ类欧拉角 (转动顺序为：Z-X-Z)
0 0 cos -sin 0 cos -sin 0 1 0 cos -sin sin cos 0 Cbn sin cos 0 0 1 0 1 0 0 sin cos 0 cos -sin cos sin sin cos -sin 0 sin cos 0 sin cos cos -cos sin sin cos 0 1 0 0 cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos sin -sin sin cos cos cos -cos sin sin sin sin cos cos
§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
二 定点转动刚体角位置的广义坐标表示 三个非共线向 量的广义坐标
自由刚体六个 参数独立 定点刚体三个 参数独立
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§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
三 定点转动刚体角位置的方向余弦描述
采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：
b n Rb Cn R
R C R
n n b
b
C C C C C
n b n G G p p t
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t b
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 讨论：
方向余弦矩阵的性质
（1）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵 （2）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵 （3）方向余弦矩阵是正交矩阵 约束方程
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讨论：
方向余弦矩阵的约束方程
§1.2 常用参考坐标系
二 地球坐标系及其旋转角速度
坐标系原点设在地球中心, 三根轴与地球相固结。
(ie ) xe 0 e ωie (ie ) ye 0 (ie ) ze ie
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§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法 刚体
如果有某些不为零的力或力系作用在一个系统 的某些质点或所有质点上，并且对于任意时刻， 系统两点之间的距离始终保持，则该系统称为刚 体。
固结在刚体上的坐标系。刚体系相对参考坐标系 的位置和运动，可以描述刚体相对参考坐标系的 位置和运动。
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§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
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§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
一 质点的位置向量及其表示方法
广义坐标 列向量表示 方向余弦
一个空间自由质点相对参考系的位置，可以用三个独立参 数来表示，也可以用多于三个的不完全独立的参数来表示，后 者必须满足约束条件。 2018/10/10 5
N V K E
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§1.2 常用参考坐标系
2. 当地地理坐标系
ωie λ ωin
V cos K Re ) xn (in V sin K n (in ) yn Ie cos in Re (in ) zn V sin K tg Ie sin Re
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§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
五 定点转动刚体角速度的欧拉角描述
ω α β γ
x 2 0 0 cos 0 0 cos y2 sin 0 sin z2
2 2 2 c11 c12 c13 1
c c
2 21
2 22
c c
2 23
1 1
c c
2 31
2 32
2 33
c11c21 c12 c22 c13 c23 0 c11c31 c12 c32 c13 c33 0 c31c21 c32 c22 c33 c23 0
xn
yn
zn
xb
c11 cos( xb , xn ) c12 cos( xb , yn ) c13 cos( xb , zn ) cos( zb , xn ) c32 cos( zb , yn ) c33 cos( zb , zn )
yb c21 cos( yb , xn ) c22 cos( yb , yn ) c23 cos( yb , zn )
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为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出
刚体转动角速度在中间坐标系中的投影：
x 2 x 2 x 2 x 2 y2 y2 y2 y2 z 2 z 2 z 2 z 2
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§1.2 常用参考坐标系
四 地平坐标系
原点设在运载体质心，y轴水平并沿载体运动方向,z轴铅 直向上。
cos K l sin K ωil 0 V cos K R e 0 sin K 0 V sin K cos K 0 ωe cos 0 R e -K 0 1 V sin K tg ωe sin R e
刚体坐标系
§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法 自由刚体的运动自由度
三个平动自由度和三个转动自由度（即六自 由度）。
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§1.1 刚体的角位置与角速度描述方法
自由刚体位置和运动的描述：用刚体上三个非共 线的点的位置和运动来描述。
定轴转动刚体：刚体上的两点相对于参考坐标系 固定，失去平动的自由，只能绕该轴转动。 定点转动刚体：刚体上的一点相对于参考坐标系 固定，失去平动的自由，只能绕该点转动。