精 品 教 学 设 计3.1正整数指数函数

精品教学设计

§1 正整数指数函数

教学目的：

1.理解正整数指数函数的概念，了解其图象及性质.

2.能初步应用正整数指数函数性质解决实际应用问题

教学重点：正整数指数函数的图象、性质

教学难点：正整数指数函数的概念及图象.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教材分析：

正整数指数函数是在初中学习了正整数指数幂运算、以及函数的基本概念性质的基础上，并结合实际问题引入.这样既说明指数函数

同时，由于正整数指数函数的局限性（定义域为正整数集），为后面学习指数幂概念的扩充及指数函数留下伏笔.

教学过程：

一、复习引入：

引例1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，……一直分裂下去.

（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；

)与得到的细胞个数（2）用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N

+

y之间的关系；

（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数.

)和它的图引例1主要目的是为了得出函数关系：2n

y= (n∈N

+

像.

引例2：电冰箱使用的氟化物的释放会破坏大气层中的臭氧层. 臭氧含量 Q 近似满足关系式 Q=

Q×0.9975t,其中0Q是臭氧的初始

量，t是时间(年). 这里设

Q =1.

(1)计算经过20，40，60，80，100年，臭氧量Q；

(2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q 的变化；

(3)试分析随着时间的增加，臭氧含量Q 是增加还是减少.

引例 2 除了进一步认识函数0.9975()t Q t N +=∈的图像外，又直观

感受其单调性.

在2n y =(n ∈N + ),0.9975()t Q t N +=∈中指数为正整数的n,t 是自

变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.

我们把这种自变量在指数位置上且自变量取正整数而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做正整数指数函数.

二、新授内容：

1．正整数指数函数的定义：

函数(01,)x y a a a x N +=>≠∈且叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是正整数集N +.

注意： (1)定义域是正整数集;

(2)图像是一列孤立的点；

(3)当a>1时是增函数，当0

2. 复利和公式：

正整数指数函数在研究增长问题，复利问题，质量浓度问题中常有应用. 通过概括这类问题，我们得到一个常用模型，通常称之为“复利和公式”.

复利和公式：设本金为a ，年增长率为p ，则x 年后本利和A 为

(1)x A a p =+

三、讲解范例：

例1 某地现有森林面积为1000 h ㎡，每年增长5%.经过x (x ∈N +)年,森林面积为y h ㎡. 写出x,y 间的函数关系式，并求出经过

5年，森林的面积.

解： y 与x 之间的函数关系式为1000(15%)()x y x N +=+∈.

经过5年，森林的面积为 521000(15%)1276.28()hm +=. （答略）

例2 已知镭经过100年剩留原来质量的95.76﹪.设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，求y 关于x 的函数解析式.

解：设经过1年，镭剩留原来质量的a ﹪.则

,()100x

a y x N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭

∵1000.9576100a ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ∴11000.9576.100a = ∴100

0.9576,().x y x N +=∈ （答略）

例3 某商品1月份降价10﹪，此后价格又上涨三次，使目前价格与1月份降价前相同. 问三次价格的平均上涨率是多少？ 解： 设原价格为1，平均上涨率为x ﹪，则 30.9(1%)1x +=

∴%1x =.

1. （答略） 例4已知光线通过1块玻璃，光线的强度要损失掉10﹪ . 要使通过玻璃的光线的强度减弱到原来的1／3以下，问至少需要重叠多少块玻璃？

解： 设需要重叠n 块玻璃，则

1(110%)3

n -≤ 利用计算器可解得n ≥11. （答略）

四、练习：

1. 给出下列函数:

(1)4x y =;(2)4y x =(x N +∈);(3)4x y =-(x N +∈);(4)(4)x y =-

(x N +∈);(5)x y π=(x N +∈);(6)1(21)(,1,)2

x y a a a x N +=->≠∈. 其中为正整数函数的是＿＿＿＿＿.

2. 比较大小：(1)191.58,201.58;(2)20080.5,20090.5.

3. 按复利计算利息是目前储蓄计息的一种方式.设本金为a 元，每期利率为r ，记本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25﹪，试求5期后的

本利和是多少？（精确到1元）

解：本利和y随存期x变化的函数关系式为

y a r

=+

(1)x

当a=1000,r=2.25﹪,x=5时，利用计算器可得y≈1118.即5期后的本利和是1118元.

4. 画出函数1

=(x∈Z)的图像，分析函数图像的对称性,单调性.

2x

y-

函数有无最值？

解：（图像略）函数的图像关于直线x=1对称.函数在{x∈Z|x<1}上是减函数；在{x∈Z|x≥1}上是增函数.函数有最小值1.

五、小结本节课学习了以下内容：正整数指数函数概念，正整数指数函数的图象和单调性.研究增长等问题常用的“复利和公式”. 六、课后作业：