2016-2017高等数学试卷(A)

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2016-2017学年高等数学期末试卷A及参考答案-精品文档

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2016~2017学年第2学期考试科目：高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设两点(3,1,1)A ,(2,0,1)B ，则与AB 方向相同的单位向量=e .2．设函数2(,)(f x y y x =+-，则(1,1)y f = ．3．已知{}22(,)4D x y x y =+≤，则2d d Dx y =⎰⎰ ．4．幂级数1(1)2nnn x n +∞=-⋅∑的收敛区间为． 5．若2xy Ce=为微分方程()0yp x y '+=的通解，则()p x = ．二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．直线11211x y z -+==-与平面1x y z -+=的位置关系是（） A ．平行； B ．垂直；C ．夹角为4π； D ．夹角为4π-．2．设z =，则 z zxy x y∂∂+=∂∂ （） A ．0； B ．12； C； D． 3．设22{(,)|,0}D x y xy x y =+≤≥，则二重积分(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）A．100(,)dy f x y dx ⎰⎰； B．100(,)dy f x y dx ⎰⎰； C ．1100(,)dx f x y dy ⎰⎰； D．100(,)dx f x y dy ⎰⎰．4．下列级数收敛的是（）A．n +∞=； B．1n +∞=； C．n +∞=； D．1n +∞=5．差分方程122t t ty y t +-=⋅的特解形式为（）A ．2t t y A =⋅；B ．2t t y At =⋅；C ．()2t t y At B =+⋅；D ．()2t t y t At B =+⋅．三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）1. 求过点(2,1,0)且与直线520350x y z y z +--=⎧⎨--=⎩垂直的平面方程．2. 设函数yz x =（0,1x x >≠），求2zx y∂∂∂．3. 求函数arctanxz xy y=+在点(0,1)处的全微分．4．试将函数2()12xf x x x=+-展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间．5．计算二重积分22Dx I dxdy y =⎰⎰，其中D 是由直线,2y x x ==及1xy =所围成的闭区域．6．求微分方程30xy y '''+=满足初始条件(1)1,(1)2y y '==-的特解．四、解答题（本大题共3小题，第1题 10分，第2、3题各6分，共 22 分） 1．设某工厂生产A 和B 两种产品，产量分别为x 和y (单位:千件), 利润函数为22(,)2336590L x y x xy y x y =---++（单位:万元），问如何安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少？2．设0S 为初始存款，年利率为(01)r r <<，t 年末金额累积到t S （1,2,t =）．若以复利累积，试求t S 满足的差分方程，并解此差分方程．3．若0,1n a n ≥≥，级数21n n a +∞=∑收敛，试讨论级数1nn a n+∞=∑的敛散性。

2016-2017学年高数试卷A卷

《高等数学》试卷，第1页，共4 页《高等数学》试卷，第2页，共4页江西应用科技学院2016—2017学年第一学期期末考试高等数学 A 卷机械设计制造及自动化、车辆服务与工程专业一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列极限存在的是（）A ．11lim 0-→x x eB ．xx e 10lim →C ．x x sin lim ∞→D ．221lim x x x -∞→2．若120lim(1)xx ax e -→+=则a=（）A. -2B. 12-C. 2D. 123．设⎩⎨⎧=≠-+=-0,00),11()(1x x x x x f 则0=x 是)(x f 的（）A 、可去间断点B 、无穷间断点C 、连续点D 、跳跃间断点4．函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（）. A 、必要但非充分条件 C 、充分必要条件B 、充分但非必要条件 D 、既非充分又非必要条件5．31log d x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )32221111ln .;.log ;.;..ln 3ln 3ln 3xA B xdx C D dx x x x x --6. 若曲线ln(5+2)y x =在0x x =处的切线平行于直线23y x =-，则 x 0=（）A. -1B. 0C. 1D. -2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的五个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

多选、少选、错选均无分。

7. 若211limx x x kA x→++=- ，则k= ，A= 8. 曲线tan y x =在点(3π处的切线斜率为9. 函数3()3f x x x =-在[0,2]上的最小值是________________________10. 作直线运动的质点的运动方程是322+31s t t =-，则t=2时的瞬时速度为 _____11. 定积分dx x xx ⎰-+554231sin =___________三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）12. 求极限201limln(1)x x x →+⎰《高等数学》试卷，第3页，共4 页《高等数学》试卷，第4页，共4页…………………………………… 密 ……………………………… 封 …………………………. 线 ………………………………13. 已知yxe y -=1，求dxdy14. 设)(xe f y -=，)(x f ''存在，求22,dx y d dx dy15. 求曲线⎩⎨⎧==t e y te x tt cos 2sin 在点)1,0(的法线方程。

武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A卷)

x 2+ax +b(x −1)(x +2) , x /= 1d x 1+cos 2x√ cos 2 x x10 1+x 2a武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A 卷)一. 计算 lim n →∞ n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)√ √ √二. 计算 lim x −√ a + x −a . (7分) x →a +x 2−a 2续.(7分)2,x = 1四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .六. 设y = arctan 1+x , 求y II . (7分)1−x七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)八. 计算J 1+cos 2x d x . (7分)九. 计算J 1 d x . (7分)2+ x +1十. 计算J ln cos xd x . (7分)十一. 设f (x ) = x arctan 1+ J x e t 2 d t , 求f I(1). (7分)十二. 计算J 1(√1 + x + 2x） d x . (7分) 十一. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ, 使得f (b ) − f (a ) =ξf I (ξ) ln b . (7分) 十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)一. 设f(x ) = , 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连− √ 2 2✓ ✓ x 2 − a 2 x → +ax →a + (x − a )(x + a )(x − a )(x + a ) 1 − − −武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A 卷)答案一. 计算 lim n →∞n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)解.lim n →∞ n [ln(n +2) ln n ] = lim n →∞n ln(1+ 2 )(2分) = lim nn →∞ln[(1+ 2 n ) 2 ] n = 2(5分).二. 计算 limx →a +√x −√a +√x −a . (7分) x −a解.√x − √a + √x − a√x − √a √x − a ](2分)li m √ = lim [ + x − a √x − a = lim [ ✓(x − a )(x + a )(√x + √a ) + ✓(x − a )(x + a )] = √2a. (5分)三. 设f (x ) =x 2+ax +b(x −1)(x +2), x /= 1, 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连续.(7分)2,x = 1解. 由lim(x 1)(x + 2) = 0, 1 + a + b = 0, a = b 1(3分). 又 x →1由x 2− (b + 1)x + b = (x − 1)(x − b )及lim (x −1)(x −b ) = 1−b = 2得, b = −5.由此, a = 4(4 分).x →1 (x −1)(x +2)1+2四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)解. 由y l =√2x +1 − √ x −1 (5分), d y = [ √2x +1 − √ x −1 ]d x.(2分) 2 x 2+x −1 x 2−2x +3 2 x 2+x −1 x 2−2x +32x →a +d x −1+cos 2xr √五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .解. 方程两边同时对x 求导得, 2yy l + 2 y l = 6x 5(5分). 故d y = 3x 5y (2分).yd x y 2+1六. 设y = arctan 1+x , 求y ll . (7分)1−x解.1 + 1+x21 − x + 1 + x1y l= 1−x (1−x ) = 1 + (1+x )2 (1−x )2=(1 − x )2 + (1 + x )2 1 + x 2(4分),y ll = 2x.(3分)(1 + x 2)2七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)解. 由f l(x ) = 5x 4−20x 3+15x 2 = 5x 2(x −1)(x −3), 函数在区间[−1, 2]有驻点x = 0, x = 1(4分). 又f (−1) = −10, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = −7, 函数在区间[−1, 2]上的最大值为f (1) = 2, 最小值为f (−1) = −10(4分). 八. 计算J 1+cos 2 xd x . (7分)解.1 + cos 2x d x = 1 + cos 2x1 + cos2 x 2 cos 2 x d x (3 分) = 1 r( 1 + 1)d x = tan x + x + C. (4分)九. 计算J 21d x . (7分) cos 2 x 2 2r2 +t cos 2 xr r r −r − x 1 01+x 21 + x + 11 d x = (1 + x )32 + ln(1 + x 2)1 a解. 令t = √x + 1, 则x = t 2 − 1, d x = 2t d t (3分),1 2 + √x + 1 d x = r2t d t = 2t − 4 ln |2 + t | + C =2√x + 1 − 4 ln |2 + √x + 1| + C. (4分) 十. 计算J ln cos xd x . (7分)解.ln cos x d x = ln cos x d tan x = tan x ln cos xtan x d ln cos x(3分)cos 2 x = tan x ln cos x + rtan 2 x d x = tan x ln cos x + (11)d xcos 2 x = tan x ln cos x + tan x − x + C.(4分)十一. 设f (x ) = x arctan 1 + J x e t 2d t , 求f l(1). (7分)解. 由f l (x ) = arctan 1 − x + e x 2 (5分), f l(1) = π − 1 + e (2分).x1+x 242十二. 计算J 1 (√1 + x + 2x） d x . (7分)解.r 1 (√2x '2 1 114√2 2= 3 − 3+ ln 2. (2分)十三. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ ∈ (a, b ), 使得f (b )−f (a ) =ξf l (ξ) ln b . (7分)证. 令g (x ) = ln x , 则函数f (x ), g (x )在区间[a, b ]上满足Cauch 中值定理的条件(3分). 故存在ξ ∈ (a, b )使得0 0 3 1 + x 2 0 r (5分)ξ a d x2 6 f (b ) − f (a ) = f l (ξ) = f l(ξ) .g (b ) − g (a ) g l (ξ) 1即有f (b ) − f (a ) = ξf l (ξ) ln b (4分).十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)解. 设小正方形的边长为x , 则无盖方盒子的底边长为a − 2x , 高为x ,体积V = (a −2x )2x (3分). 由d V = (6x − a )(2x − a ), 函数V 有驻点x = a , x = a . 故小方块边长为x = a 盒子的容积最大, 此时小盒子的容积为2a 3(5分).627。

2016-2017 学年第二学期高等数学AII 期末试卷(试卷+A3排版+解析)

f (x)g(y) d x d y = 0
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
13.
设由方程组
y + xyz
z+x =1
=
0
确定的隐函数
y
=
y(x)
及
z
=
z(x)，求
dy dx ,
dz dx
.
14.
设连续函数
f (x)
满足方程
f (x)
=
ˆ
3x
f
() t d t + e2x,
求
f (x).
¨(
0
3
)
(
)
15. 计算曲面积分 I = x2 − yz d y d z + y2 − zx d z d x + 2z d x d y, 其中 Σ
xOy ydx
平面上一条简单光滑的正向闭曲线，原点在其所围闭区域之外，则
=
【】
C x2 + 4y2
(A) 4π
(B) 0
(C) 2π
(D) π
6. 微分方程 xy′′ − y′ = 0 满足条件 y′(1) = 1, y(1) = 0.5 的解为
【】
(A) y = x2 + 1 44
(B) y = x2 2
1,
√ − ¨x
⩽
y
⩽
√x}，则正确的选x 项为
¨
【】
(A) f (y)g(x) d x d y = 0
(B) f (x)g(y) d x d y = 0
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0

北京大学学第精编学期高等数学A期末考试试卷

北京大学高等数学A 期末考试试卷2016~2017学年第2学期考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。

2.设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ=。

3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。

4．设yz u x =，则du =。

5．级数11(1)npn n ∞=-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)limx y →=（）A ．14B ．12-C ．14-D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面πB ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面πD ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ=（）A ．33()2b a π-B ．332()3b a π-C ．334()3b a π-D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是（）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑B ．2111n n n ∞=++∑C ．1121n n ∞=-∑D．n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。

1.求2.计算二重积分22Dx ydxdy x y++⎰⎰，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

《高等数学》 2016-2017学年第一学期期末试卷A卷

河海大学2016—2017学年第一学期《高等数学》期末试卷（A ）一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设函数xxx f g x x f -+=-=-11))((,1)2(，则)3(g 等于（ A ）。

A ．3- B ．2- C ．0 D ．1 2．设x x x x y ++-=，则y 是x 的（ A ）阶无穷小。

A ．81B ．41C ．21D ．13．点0=x 是函数xe xf 111)(+=的（ C ）。

A ．振荡间断点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．无穷间断点 4．下列条件中,（ C ）是函数)(x f 在0x 处有导数的充分必要条件。

A ．hh x f h x f h 2)()(lim000--+→存在 B ．)(lim 0x f x x '→存在C ．)(x f 在0x 处可微D ．)(x f 在0x 处连续 5．设)(u f 可微,则)(sin x f y =的微分=dy （ B ）。

A ．dx x f )(sin 'B ．xdx x f cos )(sin 'C ．()x d x f sin )(sin 'D ．xdx x f sin )(sin '二、填空题（每小题3分，共15分）： 1. 函数[]x x y -=的最小正周期是1。

2．设)0(003cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤+=a x x a x a x x xx f ,当=a 49时, 0=x 是)(x f的连续点。

3．⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim )(2nx nx x f n 的间断点是=x ,且是第二类间断点。

4．设12)(-=x e x f ，则()=)0(2008f 120082-e 。

5．设方程0arctan =+-y y x 确定的函数)(x y y =,求=dxdy221y y +。

三、（6分）叙述∞=→)(lim 0x f x 的定义,并用定义证明定义∞=+→xx x 12lim0。

XX大学2016—2017学年度第二学期考试试卷A卷高数1-2(A)

XX 大学2016—2017学年度第二学期考试试卷A 卷高等数学1—2注意事项:1. 请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。

2 .请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。

3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。

4. 满分100分，考试时间120分钟专业学号姓名_________________一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________. 4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________. 5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分）求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7．（8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段. 8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.高等数学1--2 参考答案与评分标准一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yz x e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解：令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分）解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分）解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分）解：10(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n n x n 6分1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=⎰5分()13202xx x dx =-+6分=7分6.（8分）解（1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分）解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分）解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-= 3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。

2016-2017第一学期《高等数学A(一)》安徽大学期中考试试卷参考答案

2
n n2 1
2
由夹逼准则知
lim
n

1 n2
1

n2
2
2

n2
n
n

1 2
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分
12． lim esin x 1 3 cos x lim sin3 x cos x lim x3 cos x 2 lim cos x 2
t t3
2
1t2 2 1t2
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分
17．解：
x

0,
f
(x)

arctan
1 x2

x 1
1
1 x4
(
1 x4
)

2
x

arctan
1 x2

2x2 1 x4
x

0
，
f
'(0)

lim
x arctan
1 x2
0

x0
x
2
lim f '(x) lim[arctan 1 2x2 ] f '(0)
1
e 2
x0
x0
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8 分
14．解： lim x 0
cos x sin x

x sin x x sin x

lim
x0
x
sin x3
x

1 cos x
lim
x0
3x2

lim
x0

《高等数学(I)》期末考试试卷A1

北京化工大学2016——2017学年第一学期《高等数学（I ）》期终考试试卷A1一、填空题（3分×6=18分）1．011lim(sin sin )x x x x x→+= ； 2.0x =为函数 1()(1||)xf x x =+的型间断点； 3．设(1,2,1),(0,1,1)a b = ，则向量a b × 的方向余弦为； 4．函数1()(2,(0)x f x dt x =−>∫的单调增加的区间为； 5．直线241x y z x y z ++= −+=的方向向量为； 6．设 arctan ()x y f e = ，()f x 可导，则二、计算下列各题(6分×7=42分)1. 计算 tan 24lim(tan )x x x π→ 2. 求函数233()2f x x x =−的极值 3. 计算曲线弧,(01)2x xe e yx −+≤≤的长 4.计算不定积分5.设函数()sin f x x x =，求()f x 的带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式6.设(cos sin ),(sin cos )x a t t t a y a t t t =+ =− 为常数，求22d y dx 7. 设210()0x x x f x e x − −≤< = ≥ ，求函数1()()xF x f t dt −=∫的表达式。

三、解答下列各题（7分×5=35分）1. 求过直线10x y z x y z −+=+−= 与点(1,1,1)−的平面方程。

2. 求位于圆3sin ρθ=内部且在心形线1sin ρθ=+以外的部分的面积。

3. 计算定积分1||1(||)x x x e dx −+∫。

4.求由曲线arcsin y x =及直线1,0x y ==围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

5. 将边长为a 的正方形铁片的四个角各剪去相同边长的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的盒子，求当小正方形的边长为何值时，盒子的容积最大。

2016级高等数学I(1)试卷(A)评分标准

令
S
(t
)

0
得驻点
t

4
.
⑦
S(0) 1,
S
4

2 1,
S
2

2
1,
⑨ O
由于 2 1 1 1, 2
故当
t

0
时
S
最大,
当
t

4
时
S
最小.
⑩
y sin x
t
/2 x
本题得分
七、(本题满分 6 分)设常数 a 0, 函数 f (x) 在闭区间[a, a] 上可微且 | f (x)| 1, 又
江南大学考试卷专用纸
2016 级高等数学 I(1)考试卷(A)
使用专业、班级
题号
一
二
得分阅卷人
学号
三
四
姓名
五
六
七
l
总分
(2)
设

x y

ln cost, sin t t
cos
t,
求 dy dx
x 3
和 d2 y dx2
x . 3
dy dx

cos t
cost sin t
t
sin t

t
cos t,
cos t
③
dy dx
x 3

6
;
④
d2 y cost t sin t cost cot t t cost,
dx2
sin t
cos t
⑦
d2 y dx2
x 3

高考理科数学2016及2017全国卷Ⅰ试题及答案

2016年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北河南安徽山西海南）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题（1）复数ii 2123--=（A ）i（B ）i -（C ）i -22（D ）i +-22（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（）（C ）123I I I C S C S C S ⋂⋂=Φ（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（4）已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（A ）），（2222- （B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181- （5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32 （B ）33（C ）34 （D ）23（6）已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（A ）23（B ）23（C ）26 （D ）332 （7）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）34（8）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图像为下列之一则a 的值为（A ）1（B ）1-（C ）251-- （D ）251+- （9）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a（10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2（B ）23 （C ）223 （D ）2（11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③ （12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（A ）18对（B ）24对（C ）30对（D ）36对第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = )3010.02≈（14）9)12(xx -的展开式中，常数项为（用数字作答）（15）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小（19）（本大题满分12分）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和,2,1( 0 =>n S n （Ⅰ）求q 的取值范围；（Ⅱ）设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种; 若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望（精确到01.0）（21）（本大题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值（22）（本大题满分12分）（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log2016年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北河南安徽山西海南）参考答案一、选择题：1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D二、填空题： 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）证明：∵ 33|||(sin(2))||2cos(2)|244y x x ππ''=-=-≤所以曲线)(x f y =的切线斜率的取值范围为[-2,2]，而直线025=+-c y x 的斜率为522>，所以直线025=+-c y x 于函数3()sin(2)4y f x x π==-的图像不相切 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90°在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ，在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC 所以故由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN 0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,.5AN BN AN BN ==⋅=- 2cos(,).3||||AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅2arccos().3-故所求的二面角为19．（Ⅰ）).,0()0,1(+∞⋃-（Ⅱ）0,100,n S q q >-<<>又因为且或1,12,0,;2n n n n q q T S T S -<<->->>所以当或时即120,0,;2n n n n q q T S T S -<<≠-<<当且时即1,2,0,.2n n n n q q T S T S =-=-==当或时即ξ的数学期望为:75.3002.030041.020287.010670.00=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 22．本小题考查数学归纳法及导数应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力满分12分（Ⅰ）解：对函数()f x 求导数：22()(log )[(1)log (1)]f x x x x x '''=+--2211log log (1)ln 2ln 2x x =--+-22log log (1)x x =-- 于是1()02f '=，当12x <时，22()log log (1)0f x x x '=--<，()f x 在区间1(0,)2是减函数，当12x >时，22()log log (1)0f x x x '=-->，()f x 在区间1(,1)2是增函数，所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ，（II ）用数学归纳法证明(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立 (ⅱ)假设当n=k 时命题成立即若正数1232,,,,k p p p p 满足12321k p p p p ++++=，则121222323222log log log log k k p p p p p p p p k ++++≥-当n=k+1时，若正数11232,,,,k p p p p +满足112321k p p p p +++++=，令1232k x p p p p =++++11p q x =，22pq x=，……，22k k p q x =则1232,,,,k q q q q 为正数，且12321k q q q q ++++=，由归纳假定知121222323222log log log log k k q q q q q q q q k ++++≥-121222323222log log log log k kp p p p p p p p ++++1212223232222(log log log log log )k k x q q q q q q q q x =+++++2()l o g x k x x ≥-+ ①同理，由1212221k k k p p p x ++++++=-，可得112222*********log log log k k k k k k p p p p p p +++++++++2(1)()(1)log (1)x k x x ≥--+-- ②综合①、②两式11121222323222log log log log k k p p p p p p p p ++++++22()log (1)()(1)log (1)x k x x x k x x ≥-++--+-- 22()log (1)log (1)k x x x x =-++--1(1)k k≥--=-+ 即当n=k+1时命题也成立根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n 命题成立2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页。

2017级第一学期《高等数学》期末考试试卷(A类)

2017级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (A 类)一、单项选择题（本题共15分，每小题3分）1. 下列曲线中必有渐近线的是（）（A ）cos =+y x x ；（B ）2cos =+y x x ；（C ）1cos =+y x x ；（D ）21cos =+y x x。

2. 平面221x y z +-=与直线212122x y z ---==-的夹角是（）（A ）8arcsin 9；（B ）8arccos 9；（C ）4arcsin 9；（D ）4arccos 9。

3. 若21()|1|2()d f x x f x x -=-+⎰，则()f x 等于（）（A ）1()|1|2f x x =-+；（B ）()|1|1f x x =--；（C ）3()|1|5f x x =-+；（D ）3()|1|5f x x =--。

4. 下列选项中，肯定不是某个二阶常系数线性微分方程的一组解的是（）（A ）e x x +，22e x x --，2e x x -+；（B ）e e x x x -+，2+e x x xe x -，e e x x x x -+；（C ）e 1x x -+，2x -，e x x -；（D ）(e 1)x x +，e 2e x x x --，+2+2e x x xe x -。

5. 对于命题：① 设函数f 在R 上可积，则f 在R 上连续的充要条件是变上限积分 0()()d xx f t t Φ=⎰在R 上可导； ② 若R 上的单调函数f 有原函数，则对于任意取定的常数a 和b ，必存在 ξ∈R ，使得()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰，下述选项正确的是（）（A ）①错误，②正确；（B ）①正确，②错误；（C ）①和②均正确；（D ）①和②均错误。

二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设可导函数()=y f x 由方程cos()ln 1+-=xy y x 确定，则2lim [()1]n n f n→∞-=___________。

2016-2017第一学期《高等数学A(一)》安徽大学期中考试试卷

（
）
B． f (x) 是 x 的低阶无穷小
D． f (x) 与 x 是同阶但非等价无穷小
8．设函数 f (x)
1 ，则下列说法正确的是 x
（
）
1 e1x
A． x 0 是可去间断点
B． x 0 是跳跃间断点
C． x 1 是可去间断点
D． x 1 是跳跃间断点
9．下列函数在区间 (0, ) 内有界的是 A． x sin x C． sin x
19．设函数 f (x) 在[0,1] 上连续,在 (0,1) 内可导，且 f (0) f (1) 0 ， f (0) f (1) 0 2
证明：至少存在一点 (0,1) ，使得 f '( ) f ( ) 0 ．
第4页共4页
B．对 0 ，存在 N 0 ，当 n N 时，有无穷多项 an ，使得| an a |
C．对 0 ，存在 N 0 ，当 n N 时，有| an a | c ，其中 c 是正常数
D．对任意给定
m
N
，存在
m
N
，当
n
N
时，有 |
an
a
|
1 m
第1页共4页
院/系
7．设 f (x) 2x 3x 2 ，则当 x 0 时 A． f (x) 是 x 的高阶无穷小 C． f (x) 与 x 是等价无穷小
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

16-17高数考试A卷

2016-2017
学年
第
1
学期
┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊
高等数学 II A(一)
共2页
课程
此第1 页
A卷
成绩
考试题
二、填空题（本大题共 15 分，共计 5 小题，每小题 3 分） 6. 曲线 y x3 在点 (2,8) 处的切线方程为_____________.
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊ 系别_____________班级______________姓名_______________学号_______________
四、证明题（本大题共 2 小题，共计 10 分，每小题 5 分） 16. 证明：函数 y 4 x 5x x 2 在 0,1 上满足拉格朗日中值定理，并求出
3 2
满足定理的 .
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
1 2 x sin , x 0 17. 证明：函数 f ( x) 在 x 0 处连续. x 0, x0
5
C. [ f ( xБайду номын сангаасdx] f ( x) C
D. [ f ( x)dx] f ( x) ）
三、计算题（本题共 5 小题，每小题分数见题后，共 48 分） 11. 求极限：（共 2 小题，每题 6 分，共 12 分）
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
3. 当 x 0 时，无穷小量 x 2 与 1 1 2 x 2 的关系是（ A. 与是等价无穷小 C. 是比高阶的无穷小
一、单项选择题（本大题共 15 分，共计 5 小题，每小题 3 分） 1. 已知 lim
3 tan mx 2 ，则 m （ x 0 2x 3
）

2016~2017学年《高等数学A》_上_试题解析

e2x (xe2x 1 e2x C) x 1 Ce2x
2
2
由题意知， f (0) 0 ， C 1 ，所求函数为 y f (x) x 1 1 e2x
2
22
七、（本题满分 12 分）求由 y x2 2x , x 3 与 x 轴在 0 x 3 所围成的平面图形的面积，并求该图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积.
故在 (, 1] [0 , 1]上 f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (, 1] [0 , 1]上单调减少，
在[1 , 0] [1 , +) 上 f (x) 0 ，所以 f (x) 在[1 , 0] [1 , +) 上单调增加. 所以， x 1, x 1为 f (x) 的极小值点，极小值为 f (1) 0 ；
(B) 单调减少，曲线是凸的 (D) 单调增加，曲线是凸的
【答案】(D) 【解析】由 f (x) 0 ，当 x (a, b) ，则函数 f (x) 在区间 (a, b) 内单调增加，及 f (x) 0 ，
当 x (a, b) ，则曲线 y f (x) 的图像在区间 (a, b) 内是凸的. 故选(D).
且 lim n
f
( yn )
lim 2n
n
2
sin 2n
0
，所以 lim x0
f
(x)
．故选(D).
2. 若在 (a,b) 内函数 f (x) 的一阶导数 f (x) 0 ，二阶导数 f (x) 0 ，则函数 f (x) 在
此区间内( ).
(A) 单调减少，曲线是凹的 (C) 单调增加，曲线是凹的
x 0 为 f (x) 的极大值点，极大值为 f (0) 1 (1 e1) . 2
五、（本题满分 10 分）已知 sin x 是 f (x) 的一个原函数，求 x3 f (x)dx .

16级高数B(上)(A)试题解答

3．
首先，转化为求自然对数的极限
lim
x
ln
e
1
x3
1
1
x3
2
x3
1 2
。
所以，原极限
1
e2
。
4． ln y 1 1 ln x 1 ln cos x ， 2x 4 8
y y
1 2x2
1 4x
1 8 cos
x
( sin
x)
，
1
y
y
1 2x2
1 4x
1 8
tan
x
。
5.
原式
sin2 x cos2 x dx
A=
A* 2
1
3 1 1
2 1 0
1 1 。 1
若| A|=2，
3 2 1
A
1
1
1
。
1 0 1
六．
1．
0 x ， 0 tan x 1，所以
4 x tan xdx
4
xdx
2
。
4
0
0
32
2．
4
(x tan
x
tan
x)dx
8
(
x) tan xdx
0
8
08
0
n!
(2n 1)！ n
0
1 ! 1! n!
n！ n! 。
(2n 1)！
(依次消去对角线下方元素)
0!
n
D k! k 0
0
1 ! 1!
n！
n!
n
(k !)2 。
k 0
n！
2． xi ， 0 i k 1，
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南昌交通学院《高等数学》2016-2017学年第一学期期末试题

南昌交通学院2016－2017学年第一学期高等数学期末考试试卷（A 卷）（闭卷120分钟）姓名学号专业年级 ____重修标记 □ 考场一、选择题（本题满分 40分，每小题 4 分，答案必须填在下面表格中对应的题号下）1．若,lim ,lim n n n n n n x y x a y b →∞→∞>==，则,a b 的关系是（）（A ）a b > （B ） a b < （C ）a b = （D ）无法确定 2．设常数0>k 函数()ln =-+xf x x k e在(0,)+∞内零点个数为（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3．不定积分ln(tan )d cos sin x x x x ⎰= （）（A ）21(ln tan )2x +C （B ）21(ln tan )4x C + （C ）1ln tan 2x C +（D ）1ln tan 4x C + 4．函数sin x x 在0x =点泰勒展开的第三项为（）（A ）35!x （B ）45!x （C ） 55!x（D ） 65!x5．2,(0)()(1),(0)axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩ 处处可导，则（）（A ）1a b == （B ）2,1a b =-=- （C ）1,0a b == （D ）0,1a b ==6．设函数(),(0)()(0),(0)f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中()f x 在0x =点处可导，(0)0f '≠，(0)0f =，则0x =是函数()F x 的（）( A) 连续点 (B) 第一类间断点 (C) 第二类间断点 (D) 无法确定 7．二阶齐次常微分方程250y y y '''-+=的通解是（）（A ）12cos sin C x C x + （B ）12cos2sin 2C x C x +（C ）12(cos2sin 2)x C x C x e + （D ） 212(cos sin )xC x C x e +8．()ln(sin )f x x =，则罗尔定理成立的区间是（）（A ）[,]63ππ（B ）[,]62ππ （C ） 2[,]63ππ （D ） 5[,]66ππ9． 2()()lim 1()x a f x f a x a →-=--，则()f x 在点x a =处（）（A ）取得极大值（B ）取得极小值点（C ）是驻点，不是极值点（D ）不是驻点 10．反常积分221d ln x x x+∞⎰=（）（A ）ln 2 （B ）ln4 （C ）1ln 2（D ）发散二、简单计算题（本题满分 40分，每小题 8分）1. ln(tan )cos 2sin t x ty t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求22d d ,d d y y x x2 计算230lim(cos2)x x x →. 3 计算定积分1arctan d x x x ⎰.4隐函数()y y x =由方程220d cos d 0y t xe t t t -+=⎰⎰确定，求d d y x5. 求星形线33cos (0t 2,0)sin x a ta y a tπ⎧=⎪≤≤>⎨=⎪⎩的长度.三、计算题（本题满分 10）求微分方程2331y y y x '''--=+的通解.四、计算题（本题满分 10）曲线2,y x y ==围成的平面区域为D ，（1）求D 的面积S ；（2）求D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积V 。

2016-2017学年第一学期高等数学A试卷A卷-修改

2016 — 2017学年第一学期《高等数学A 》期末试题（A ）答案一、单选题(每小题3分，共15分) (要求把答案填在答题纸上)1．当0→x 时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin nx x 高阶的无穷小,而sin n x x 是比(21x e -)高阶的无穷小,则正整数n 等于（ B ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 设1()arctan f x e x=+，则0=x 是)(x f 的（ A ）A. 跳跃间断点B. 可去间断点C. 振荡间断点D. 无穷间断点3. 若函数32y ax bx cx d =+++满足230b ac -<，则此函数 ( B ). A. 有极值 B. 无极值 C. 不单调 D. 无法判断4. 设()f x 为函数2sin x x +的原函数，则下列为()f x 的原函数是（ D ）A. 2cos 1x x -+ B. 2cos 3x x +C.2cos x x + D.3sin 3x x x -- 5．下列反常积分收敛的是( C )A.21dx x +∞⎰B. 1+∞⎰C. 10⎰D. 201(1)dx x +∞-⎰. 二、填空(每小题3分，共15分) (要求把答案填在答题纸上)1．2ln ln 23limsin()22x x x x →---= ____11sin 22_______.2.设()(),1,02≠>=a a a x f x 则()()=x f n ____()x na a 2ln 2_____.3．ln(21)y x =+的铅直渐近线是12x =-.4．设()f x 的一个原函数为sin xx，那么()xf x dx '=⎰2sin cos x x C x -+.5．曲线32213y x =+上相应于01x ≤≤的一段弧的长度为21)3.三、计算题(每题8分，共48分)1. 求极限21cos 2limsin ln(1)t xx xe dtx x -→+⎰解: 原式=2211cos cos 23limlimsin ln(1)t t x xx x x e dtx e dtx x x--→→=+⎰⎰21cos 2limt xx e dtx -→=⎰22cos cos 00(sin )sin lim lim 22x xx x e x x e xx --→→--==2cos01lim22xx e e-→==2. 设21arctan (tan )x x e x y x π+-=，求y '.解：2222211111arctan 2arctan ()'2arctan 111()'x x x x x x x x x x x=+⋅=-++()2ln tan ln tan ln tan sec tan ()ln tan ln tan 2cs t n )2a (c ()xx x x x x x x x e e x x e x x x x '⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭()'0e π=()2ln tan 212arctan +ln tan 2csc 21'x xx x e x y x x x x-+=+所以.3. 求椭圆322=+-y xy x 上纵坐标最大和最小的点. 解：两边同时对x 求导，得()022''=++-yy xy y x ，则xy xy y --=22' 当0'=y 时，x y 2=，代入椭圆方程得点()2,1和()2,1-- 当'y 不存在时，y x 2=，代入椭圆方程得点()1,2和()1,2-- 综述，椭圆上纵坐标最大的点是()2,1，最小的点()2,1--.4. 计算不定积分解：令sin [,]cos 22x t t dx tdt ππ=∈-⇒=，，则 222cos =cot sin tdt tdt t=⎰⎰原式 2(csc 1)t dt =-⎰=cot arcsin t t C x C --+=--+ 5. 计算不定积分22cos x e xdx ⎰2221cos 211cos 2222xx x x e dx e dx e xdx +==+⎰⎰⎰解：原式 221cos 242x xe e xdx =+⎰又222111cos 2cos 22(sin 2cos 2)248x x xe xdx e xd x e x x c ==++⎰⎰ 综上22221cos (sin 2cos 2)48x xxe e xdx e x x c =+++⎰ 6．求211.-⎰11-=0-⎰[1,1]上是连续的奇函数，则22111==2-⎰⎰原式11=221=⎰⎰=22π-四、应用题（10分）记抛物线22(0)y px p =>及其在点(,)2pp 处的法线所围成的平面图形为D .(1) 求D 的面积S ； (2) 记D 位于y 轴和2px =部分为D ，求D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积 V . 解过点(,)2p p 的法线方程为302x y p +-=，该直线与抛物线的交点为(,)2p p 和9(,3)2pp -(1) 233()22pp p y S y dy p-=--⎰ 2163p =(2) 220p V dx π=⎰ 34p π=五、（6分）证明不等式：当1x <时，1x x e --≤.证明：要证明原不等式等价于证明：当1x <时，10x x e ---≤令()1x f x x e -=--()1x f x e -'=-+ ，令()0f x '=，得0x =.当0x <时，()0f x '>；当01x <<时，()0f x '<.()f x 在(,1)-∞上有最大值(0)0f =，从而当1x <时，()(0)f x f ≤ 即1x x e --≤.六、（6分）设()f x 在[0,1] 上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1)1f f ==，证明：（1）存在ξ∈(0,1)使得()1f ξξ=-，（2）存在η∈(0,1)使得()1f η'=.证明：(1)令=+-()()1F x f x x ，则()F x 在[0,1]上连续，且=-=-<(0)(0)110F f ，==>(1)(1)10F f ，由零点定理知存在ξ∈(0,1)使得ξ=()0F ，即ξξ=-()1f .（2）令=-()()G x f x x ，则()G x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且==(0)(1)0G G ，根据微分中值定理存在(0,1)η∈使得η'=()0G .即有η'=()1f。

中国矿业大学(北京)《高等数学》试卷 2016-2017年第一学期期末A卷-

中国矿业大学(北京)《高等数学A1》试卷（A 卷）得分：一、填空题（每空3分，共30分）1．极限=-++--→213lim21x x x x x ___62-________ 2、若⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,sin 12x x x x y 则=)0('y 13、设x x y 44cos sin -=，则=)()(x y n __)22cos(2πk x n +-_ _________ 4、,1)('x e f x += 则)(x f C x x +ln5、函数2(3)4(1)x y x -=-的斜渐近线是454-=x y6、设)(x y y =由sin()51xy x y +-=所确定，则=')0(y 47、2cos 1)sin 1ln(limxdt t t t xx -+⎰→=218、=⎪⎭⎫⎝⎛++⎰-22||cos 1sin ππdx x x x 42π9、设Γ—函数=Γ)(s ⎰∞+--01dx x e s x 在 0>s 时收敛。

10、θρ2=相应于θ从0到π2的弧与极轴所围成图形面积为 3163π二、计算（每小题6分，共12分）1、计算 42cos 2lim n n n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→解：因为.212lim 1cos 1lim 1)cos 2ln(lim)cos2ln(lim 2442424224x n n x n n xn n x nx n ==-=-=-（4分）所以，原式=.2)cos2ln(lim 224x nx n e e=- （2分）2、设()y y x =是由方程33cos sin x a t y a t⎧=⎨=⎩确定的函数，求22,dy d ydx dx 解：t t t a tt a dt dx dt dy dx dy tan )sin (cos 3cos sin 3//22-=-== （3分）)(sin cos 31)sin (cos 3sec //42222t t a t t a x dt dx dt dx dy d dx y d =--=⎪⎭⎫ ⎝⎛= （3分）三、（6分）用对数求导法求解：设123152(3)(5),(5)(2)(4)x x y x x x +-=>++，求'y解：).4ln(21)2ln(5)5ln(31)3ln(2ln +-+--++=x x x x y （2分）.)4(2125)5(3132'+-+--++=x x x x y y （3分）所以，='y 123152(3)(5)215133(5)22(4)(2)(4)x x x x x x x x ⎛⎫+-+-- ⎪+-++⎝⎭++（1分）四、计算题（共14分） 1. （7分）计算 ⎰xdx arccos解：分部积分，.1arccos 1)1(21arccos 1arccos arccos 2222C x x x xx d x x x xdxx x xdx +--=---=-+=⎰⎰⎰ （每行评分标准：3分、2分、2分）2. （7分）设2()t f x dt -=，求dx xx f ⎰2)( 解：.2)('xex f x-=且.0)2(=f （2分）[][].11)210(2)(')(2)(2)(2202020202020-==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--⎰⎰⎰⎰ee dx e dx xf x x x f xd x f dx xx f x x （5分）五、(8分) 已知bx ax x x f ++=23)(在1-=x 处有极值2，试确定系数并求出函数的极值，拐点，单调区间和凹凸区间。