第2讲三重积分及其计算

五. 三重积分的简单应用
一、三重积分的概念及性质
1. 非均匀分布立体的质量
设有空间立体, 当的质量是均匀分布 时, 则的质量M= 的体密度× 的体积. 若的质量不是均匀分布的, 则不能上述 方式算质量M . 设空间立体. 其质量非均匀分布, 体密 度 (x , y , z)连续, 求的质量 M.
1 2
性质 3
若 f ( x, y, z ) 0 ( x, y, z ) ，则
f ( x, y, z ) d x d y d z 0 。
性质 4
| f ( x, y, z ) d x d y d z | | f ( x, y, z ) | d x d y d z 。

m | | f ( x, y, z ) d x d y d z M | | 。

性质 6
(中值定理 )
设 R 3 为有界闭区域， f ( x, y, z ) C ( )，则至少存在
一点 ( , , ) ，使得
f ( x, y, z ) d x d y d z f ( , , ) | | 。
u (x, y) 的全微分。
是某个函数
四、小 结
与路径无关的四个等价命题 条 件 等
续的一阶偏导数, 则以下四个命题成立.
价
命 题
计算
圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 它与L 所围
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 区域为D , 则
原式
D
设质点在力场 由
作用下沿曲线 L :
[
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y , z ) d z ] d x d y
三重积分可以归结为一 个定积分与一个二重积 分来计算 。
方法1. 投影法 (“先一后二” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M 到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为
锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 考研 )
解: 由图知 故所求功为
D
作业
P197 5 7 奇数小题
一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结
一、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
L Pdx Qdy
1
y
L1
L2 Pdx Qdy
则称曲线积分 L Pdx Qdy
(i) 将分成 n 个小立体 1, 2,…, n ,
记 Vi 表示的i 的体积, i = 1, 2, …, n.
由于 (x , y , z)连续, 从而当i很小时, 在 i 上 (x , y , z) 的变化不大.可近似 看作不变.
(ii) 取 ( i , i , i) Di , 以 ( i , i , i )作为 i

该式也是直角坐标系下 计算物体质量的一般公 式。
二. 直角坐标系下三重积分的计算
z
z z2 ( x, y)
设有界闭区域 是由曲面
z z1 ( x, y) 和 z z2 ( x, y) ，以

及母线平行于z 轴的柱面围成。
在 xy 平面上的投影为平面
O
y 区域 D 。 z z1 ( x, y) z1 ( x, y)，z2 ( x, y) C( D) 且
的体密度. 从而, i的质量
mi ( i , i , i) V i (iii) 因此, 的质量 M (i ,i , i )Vi
i 1 n
(iv) 若记 max { 的直径 }, 则 i
M lim (i ,i , i )Vi .
Di
( xi , yi )

z z1 ( xi , yi )
( xi , yi ) Di，利用平行截面面积为 已知的几何体体积的计
算方法来计算 i 的质量 mi : 如图所示，任作截平面 z zk，得到
微分元素 d m ( f ( xi , yi , z ) Δ i ) d z，从而，小柱体 i 的质量为
mi
z 2 ( xi , yi ) z1 ( xi , yi )
( f ( xi , yi , z ) Δ i ) d z
将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z
z z2 ( x, y)
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
O
i

y z z1 ( x, y)
对应于每一个小区域Di，在 中 有一个相应的小柱体 i 。
小柱体 i 的质量为 mi
x
Di
D
在 xy 平面上的投影
z 2 ( xi , yi ) z1 ( xi , yi )
( f ( xi , yi , z ) Δ i ) d z
从而，整个柱体的质量 为
o
1
三、二元函数的全微分求积
定理3
证略
y
G
D( x0 , y )
A( x0 , y0 )
B( x, y )
C ( x , y0 )
o
x
例3 验证：在 xoy 面内，
是某个函数
u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。 解 这里
且
即，
在整个 xoy 面内恒成立。
因此，在 xoy 面内，

性质 5
d xd yd z | |,
| | 为区域 对应的体积。
（这就是 f ( x, y, z ) 1 , ( x, y, z ) 的情形 。 ）
性质 5
(估值定理)
设 M max f ( x, y, z )，m min f ( x, y, z )，则
三重积分记为：
f ( x, y, z ) d v lim f ( , , ) Δ v ,
0 i 1 i i i i n
式中： f ( x, y, z ) — — 被积函数；

— — 三重积分号；
—— 积分区域；
d v — — 积分元素 ( 或几何体体积元素 ) ;
对应于每一个小区域Di，在 中 有一个相应的小柱体 i 。
x
Di
D
在 xy 平面上的投影

将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z z 2 ( xi , yi )
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
z zk
对应于每一个小区域Di，在 中 有一个相应的小柱体 i 。
lim f ( i ,i , i ) Δ vi
0
i 1
n
存在，则称该极限值为 函数 f ( x, y, z ) 在区域 上的三重积分，
其中， max d( i ), d( i ) 为 i 的直径。
1i n
此时称函数 f ( x, y, z ) 在区域 上可积，记为 f ( x, y, z ) R( )。
移动到
求力场所作的功W
解:
令
则有
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧
y
A L
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思考: 积分路径是否可以取 无关 ! 为什么？
B x
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
设
提示:
设 C 为沿
到点 的半圆, 计算
从点
依逆时针
解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 .
原式 =

g ( x, y, z ) d x d y d z。
性质 2
若 1 2 (1与 2除边界点外无公共部分 )，则
f ( x, y, z ) d x d y d z
f ( x, y, z ) d x d y d z f ( x, y, z ) d x d y d z 。
C
D

M0
G
即
不妨设 由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内 应用格林公式，有
因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
C
应用格林公式，有
D

M0
G
于是， 因此，在 G 内恒有
矛盾。
定理 2
有关定理的说明：
两条件缺一不可
例
设有一质量非均匀分布 的物体，其质量体密度为
( x, y, z )，求该物体的质量 m 。
采用分划—代替—求和— 取极限的方法，可知
m lim ( i ,i , i ) Δ vi ,
0
i 1 n
解
即
m ( x, y, z ) d x d y d z 。
第三章 多元函数积分学
第二节 三重积分
本节教学要求： 正确理解三重积分的概念。 熟悉直角坐标系下三重积分的计算方法。 熟悉三重积分的换元法。


熟悉柱面坐标系和球面坐标系下三重积分的计算。
能运用三重积分求解简单的应用问题。
第三节 三重积分
一. 三重积分的定义
二. 三重积分的性质 三. 三重积分的计算（直角坐标系） 四. 三重积分的换元法
0
i 1
1i n n
2. 三重积分的定义
设 f ( x, y, z ) 是定义在有界闭区域 R 3 的有界函数。
将 任意分割为 n 个无公共内点的小区域 i ( i 1, 2,, n ) ，
n
则 ＝ i ，并记 i 的体积为Δ vi。
i 1
若 ( i ,i , i ) i，极限
o
B
L2
G
A
x
否则与路径有关.
二、曲线积分与路径无关的条件
定理 2
G C
D
证
充分性 在 G 内任取一条闭曲线 C 。 C 所围的闭区域为 D。 G 是单连通的，因此， 于是，在 D 内 应用格林公式，有
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。
必要性 用反证法 假设在 G 内存在使 的点 M0，
上可积。
(5) 三重积分是一个数，它 取决于被积函数和积分 区域，
而与积分变量的记号（ 字母）无关：
f ( x, y, z ) d x d y d z f (u, v, w) d u d v d w
3. 三重积分的性质
假设以下出现的 三重积分均存在
性质 1
[ f ( x, y, z ) g ( x, y, z )] d x d y d z f ( x, y, z ) d x d y d z
与路径无关
L
解 则 P，Q 在全平面上有 连续的一阶偏导数，且
全平面是单连通域。 因此，积分与路径无关。
y
2
全平面是单连通域。 因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
1
解 则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且
全平面是单连通域。
因此，积分与路径无关。
取一简单路径：L1 + L2.
x
D
在 xy 平面上的投影
z1 ( x, y) z2 ( x, y) ( x, y) D 。
将区域 D 任意分成n 个小区域
D1 ， ，Dn，
z
z z2 ( x, y)
小区域 Di 的面积记为
Δ i (i 1, 2, , n) 。
O
i

y z z1 ( x, y)
上是否可积。
（ 2 ）在直角坐标系中，通常 用平行于坐标轴的网格 线划分区域
，故直角坐标系下积分 元素 (几何体体积元素 )
d v d x d y d z。 相应地，直角坐标系下 ，三重积分写为
f ( x, y, z ) d x d y d z 。
(3) 有界闭区域上的连续函 数可积。 (4) 若函数 f ( x, y, z ) 在区域 上有界，且仅在 内有限条 曲线或有限张曲面 (体积为零 ) 上不连续 , 则 f ( x, y, z ) 在
x，y，z — — 积分变量；
f ( , , ) Δ v
i 1 i i i
n
i
— — 积分和 ( 黎曼和 ) 。
(1) 极限 lim f ( i ,i , i ) Δ vi 存在与否 , 与对区域 的分割方式
0
i 1
n
以及点(i ,i , i ) 的选择无关。此极限存 在与否取决于函数在