选修2-2反证法教案

2.2.2反证法
一、 教学目标
（1）了解反证法的基本原理；
（2）掌握运用反证法的一般步骤；
（3）学会用反证法证明一些典型问题.
二、教学重点和难点
教学重点和难点：用反证法证明一些典型问题.
三、教学过程：
例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；
证明：因为||a b ,
所以经过直线a , b 确定一个平面β。

因为a α⊄，而a β⊂，
所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α⊂，且b β⊂，
所以b αβ=.
下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α. 点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利
变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
例2、求证：2不是有理数 解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n （,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n ，
使得2m n
=，从而有2m n =, 因此，222m n =，
所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有
2242k n =，即
222n k =
所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！
由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．
点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

变式训练2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）
例3、设二次函数q px x x f ++=2)(， 求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2
1. 解析：直接证明)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于
21.比较困难，我们应采用反证法
证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于2
1，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
2)39()24(2)1()
3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。

变式训练3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于4
1
反思总结：
1.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
2.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。

3.应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；
（4结论为 “唯一”类命题；
课堂练习
1. 357，，
2．设233=+b a ，求证.2≤+b a
四、课堂小结
五、课后练习与提高
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)
++=≠有有理根，
ax bx c a
那么a b c
，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）
Ａ．假设a b c
，，都是偶数
Ｂ．假设a b c
，，都不是偶数
Ｃ．假设a b c
，，至多有一个是偶数
Ｄ．假设a b c
，，至多有两个是偶数
2．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60 的反面为_______．3．已知实数a b c d
，，，中至少有，，，满足1
a b c d
+=+=，1
+>，求证a b c d
ac bd
一个是负数．。