(北师大版)数学必修四：2.7《平面向量复习》ppt课件
北师大版数学必修四课件：2.4平面向量的坐标
r r r 【例1】在直角坐标系xOy中，向， c 4，分别计算出它们的坐标.
r
r
r
【审题指导】已知三向量的模以及与坐标轴的夹角,要求向 量的坐标,先将向量正交分解,把它们分解成横、纵坐标的
形式.
r r r 【规范解答】设 a a1 ,a 2 ,b b1 ,b 2 ,c c1 ,c 2 , r 则 a1 a cos45 2 2 2. 2 r 2 a 2 a sin45 2 2, 2 r 1 3 b1 b cos120 3 （ ） ， 2 2 r 3 3 3 b 2 b sin120 3 , 2 2 r 3 c1 c cos 30 4 2 3， 2 r 1 c 2 c sin 30 4 （ ） 2. 2 r r r 3 3 3 因此 a 2，2 ， b （ ， ）， c 2 3， 2 . 2 2
r
r
得6(x+1)-3(4x-2)=0，解得x=2.
r r r r 方法二：因为 a 与 4b 2a 平行，则存在常数λ，使 b
r r r r r r 即 2 1 a 4 1 b， 根据向量共线的条 a b 4b 2a ， r r 件知，向量 a 与 b 共线，故x=2.
坐
标.
uuu r uuu r 【审题指导】A、B、 C 点的坐标已知，求解本题可先利用向 CA， CB CM 3CA， uuu r uur
种形式，求解时注意向量运算的平行四边形法则及三角形
法则在解题中的灵活应用.
【例2】已知 a 2,1 , b 3, 4 ，求 a b,a b,3a 4b
r
r
r
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量小结与复习
几何意义： 数量积 a · 等于 a 的长度 |a|与 b 在 b
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b
B
b
O θ
a
B1 A B1
θ
O a
θ
A O (B1)
a
16
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b ) ⑶分配律： ( a b ) c a c b c
= (λ x , λ y)
14
1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角：
a θ b
共同的起点
[00 ，1800] •（2）向量夹角的范围：
• （3）向量垂直：
B B A A O B A O A O B
15
B A
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a · = |a| |b| cosθ b
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
4
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注:
AB a , AD b
(1) a
b , 则四边形是什么图形
? ?
( 2) a b
a b , 则四边形是什么图形
5
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从位移的合成到平面向量的加法
所以| DB|= 20 n mile | AD|= 20 3 n mile ，
在Rt△ADC , ∠ADC = 90°,| DC |= 60 n mile 中 ， 所以| AC |= | AD|2 + | DC |2 = (20 3)2 + 602 = 40 3 n mile ∵ AC |= 2 | AD| | ∴∠CAD= 60°。
(a+b)+c=a+(b+c)
的加法是否也满足交换律与结合律？ 的加法是否也满足交换律与结合律？
a, b
r r r r ∴ a + b = b + a,
r r r r r ur u ∴(a + b) + c = a + (b + c)
能否将它推广至多个向量的求和？ 探究4：能否将它推广至多个向量的求和？
b
a
b
类比前面的 上海至台湾 的飞机位移 的合成
B a a+ b
b
C
A.
作法：[1]在平面内任取一点A [2]作AB= a , BC= b [3]则向量AC叫 作向量a 与 b 的 作向量a 和，记作a ＋ b。 a
→ →
这种作法叫做三角形法则 这种作法叫做三角形法则
讨论：作图关键点在哪？ 讨论：作图关键点在哪？
首尾顺次 首尾顺次相连 顺次相连
r r r r a, a+ 问：当向量 b是共线向量时, b又如何 作 来 出 ?
(1)同向
a
(2)反向
a
高一数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念课件
问题2：两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同
的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等
种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是
一种宝贵品质。
——加里宁
结语
谢谢大家！
我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量 进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研 究的——向量.
向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物
理学中常称为矢量）. 而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长
度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量. 注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重 性，不能比较大小.
解：（1）DE、BF、FB、FA、
A
AF、ED、MC
F
E
M
（2）FB、AF、MC
B
D
C
4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那 么它们的终点的集合组成什么图形？
P
向量的概念: 向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量的定义： 相等向量的定义： 共线向量与平行向量关系：
无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240km .
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a b c
北师大版数学必修四课件：2.3.2平面向量基本定理
uu u r
【审题指导】(1)由题意可知A是BC的中点，利用平行四边形 法则求 OC， 利用三角形法则求 DC；
uuu r
uuu r
然后结合向量的平行四边形法则求解.
【规范解答】作法：先在平面内任取一点O，作 OA 2e , 1
uuu r ur OB 3e 2 , 然后以OA,OB
uuu r
uHale Waihona Puke rOACB，则向量OC 即为
uuu r
所求，如图所示.
用基底表示向量
1.应用基底表示向量时应注意的问题
用基底表示平面向量，要充分利用向量加、减法的三角形
又点M平分两条对角线AC、BD，
uuu r uuu r 1 r r uuu r 1 r r AM MC a b , MA (a b) 2 2 uuu r 1 uuu r 1 r r MD BD (b a) 2 2 uuu r uuu r 1 r r MB MD b a . 2
r r r 5r 即 2 a b m(2a b) 3 r 5 r r 即 2m 2 a （ 1 m） b 0 …………………………………9分 3 rr ∵ a， b 不共线且为非零向量
(2)利用C、D、E三点共线，结合共线向量定理求解.
【规范解答】(1)∵A为BC中点
uuu r 1 uuu r uuu r uuu r r r OA OB OC ,OC 2a b ……………………2分 2r uuu uuu r uuu r uuu r 2 uuu r DC OC OD OC OB 3 r r 2r r 5r ……………………………4分 2a b b 2a b 3 3 uur uur uuu r uuu r uuu r uur uuu r (2)设 OE OA, 则 CE OE OC OA OC r r r r r ……………………6分 a 2a b＝ 2 a b uuu r uur ∵ CE 与 CD 共线, uur uuu r ∴存在实数m，使得 CE mCD
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从力做的功到平面向量的数量积
a b 4
2
2
1 2
2 1 当且仅当a b 2时, S有最大值, 此时 cos a b 2 2 2
0 180 60 注意两个向量夹角的取值范围
a b 1 4 16 4 2 2
2
进行向量数量积 计算时,既要考 2 虑向量的模,又 或 AB CD AB 16 要根据两个向量 3. AB与AD的夹角是60 , AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。 1 AB DA AB DA cos120 4 3 6 2
特别地, a a a 或 a a a
2
设非零向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则a b x1 x2 y1 y2 0
内积为零是判定两向量垂直的充要条件
用于计算向量的模 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1 , y1 , x2 , y2 , 那么
PM PN
1点P的轨迹是什么曲线? 2若点P坐标为x0 , y0 , 记为PM与PN的夹角, 求 tan .
1 x0 2 y02 1 x0 2 y02
1
2 4 x0
0
0
2 2 2 2 2 2 x0 y0 2 x0 1 x0 y0 2 x0 1 16 4 x0 2 4 x0
cos
PM PN PM PN
2
0
tan sin cos 1 1 2 4 x0
2 3 x0 y 0
1 sin 1 cos 1 2 4 x0
1 2 4 x0
北师大版数学必修四课件：第2章§3 3.2 平面向量基本定理
一、平面向量基本定理
存在唯一
作
aλ 特别的：λ 1=0，λ 2≠0时，
2
e 2 , a与e 2
1
共线.
λ 1≠0，λ 2=0时， a λ
λ 1=λ 2=0时，a 0.
e1 , a与e1
共线.
e1
e2
(2)作平行四边形OACB
A
C
B O
例2
a, b
如右图所示，平行四边形ABCD的
AB a, AD b, MA、 MB 、 MC和MD.
因为 | AG |=10（kg）×10（m/s2）=100（N） F
A G E
所以,| AM || AF | 50N,| AN || AE | 50 3(N)
答：物体所受滑动摩擦力大小为50N，方向与斜面平行向 上；所受斜面支持力大小为
50 3N,方向与斜面垂直向上. AFBE
C
1、下列说法中，正确的有（(2)、(3)）
DC、MN对应的向量中确定一组基底，将其他向量用这组
基底表示出来.
D
M
C
A
N
B
解：取 AB e1 , AD e 2为基底,则有 DC BC BA AD DC e1 e 2
1 e1 ; 2
1 1 e1 e1 e 2 , 2 2 1 1 1 MN MD DA AN e1 e 2 e1 e1 e 2 . 4 2 4
1、平面向量基本定理 平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共线向量 的线性组合,根据向量的加法和减法法则及其几何特点即 可解题. 2、基底 （1）零向量不能作基底； （2）两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底； （3）平面中的任意不共线向量都可以作为基底，一旦选定 一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.
高中数学第2章平面向量7向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例课件北师大版必修
知识点一 向量在物理中的应用
1．人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度 为( )
A．v1－v2 C．v1＋v2
B．v2－v1 D．|v1|－|v2|
答案：C
2．若向量O→F1＝(1,1)，O→F2＝(－3，－2)分别表示两个力→F1，
→F2，则|→F1＋→F2|为(
)
A．(5,0)
【方法总结】 用向量的方法解决相关的物理问题，要将 相关物理量用几何图形表示出来；再根据它的物理意义建立数 学模型，将物理问题转化为数学问题求解；最后将数学问题还 原为物理问题．
如图所示，用两根分别长 5 2 米和 10 米的绳子，将 100 N 的物体吊在水平屋顶 AB 上，平衡后，G 点 距屋顶距离恰好为 5 米，求 A 处所受力的大小(绳子的质量忽略 不计)．
解：设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b. 而|B→D|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－ 2a·b＝4，所以 2a·b＝1. 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋ |b|2＝5＋2a·b＝6， 所以|A→C|＝ 6， 即 AC＝ 6.
第二章 平面向量
§7 向量应用举例 7.1 点到直线的距离公式
7.2 向量的应用举例
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问 题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题． 2．能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等 问题.
B．(－5,0)
C． 5
D．－ 5
答案：C
知识点二 向量在解析几何中的应用
3．已知直线 l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与 l 平行，则
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从力、速度、位移到向量
A（起点） A（起点）
有向线段的三个要素：起点、方向、 有向线段的三个要素：起点、方向、长度
1、向量的几何表示：用有向线段表示。 、向量的几何表示：用有向线段表示。 向量AB的大小，也就是向量 的 向量 的大小，也就是向量AB的长度 的大小 或称模），记作 记作|AB|。 （或称模），记作 。 长度为0的向量叫做零向量，记作0。 长度为0的向量叫做零向量，记作0。 的向量叫做零向量 长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。 长度等于 个单位的向量，叫做单位向量。 个单位的向量 单位向量
规定：0与任一向量平行。 与任一向量平行。 规定： 与任一向量平行 C OA = a A B l
. o
OB = b
OC = c
的向量的起点平移到直线l上的 问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线 上的 把一组平行于直线 的向量的起点平移到直线 一点O 这时它们是不是平行向量？ 一点 ，这时它们是不是平行向量？ 各向量的终点与直线l之间有什么关系 之间有什么关系？ 各向量的终点与直线 之间有什么关系？
D C
) D. 3
C D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c ，
A B B
时成立。 当b ≠ 0时成立。 时成立
A
3.某人从 点出发向东走了 米到达 点，然后改变方向 某人从A点出发向东走了 米到达B点 某人从 点出发向东走了5米到达 米到达C点 到达C点后 点后又 按东北方向走了10 2米到达 点，到达 点后又改变方 向西走了10米到达 米到达D点 向向西走了 米到达 点（1）作出向量 ）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模 的模
1.判断下列命题是否正确，若不正确， 1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 判断下列命题是否正确 简述理由. 简述理由. v uuuv uuu 是共线向量， ①向量 AB 与 CD是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上； 四点必在一直线上； (×) × ②单位向量都相等； 单位向量都相等；
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的坐标运算
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 ),
x1 x2 , y1 y2 . 消去 得： x1 y2 x2 y1 0,
a // b x1 y2 x2 y1 0.(b 0)
例2
已知 a (2,1), b (3, 4),
a 1e1 2e2
我们把不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向 量的 一组基底。
二、新课探析
1、平面向量的坐标表示 Y
4
j
-5
2
a
0
-2
i
5
X
（2） a ( x, y) 其中x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标
北 第师 二大 章版 《高 平中 面数 向学 量必 》修 4
平面向量的坐标运算
X
一、教学目标： 1.知识与技能：（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用 坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（3）理解用坐标表示的平面向量 共线的条件. 2.过程与方法：教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平 面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题， 巩固知识结论，培养学生应用能力. 3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有 序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向 量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想； 培养学生勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练 习来检验知识的应用情况。找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程
北师大版--2.7平面向量应用举例
2.7平面向量应用举例（2课时）一.教学背景：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等工具，使学生的运算能力和解决实际问题的能力得到进一步发展。
二.教材分析：本节内容包括两部分，第一部分是向量在平面几何问题方面的应用，第二部分是向量在物理方面的应用。
向量在几何中的典型应用，前面有所提及，这里选择两个重要内容，一是距离公式的求法，二是三线共点的常见问题，通过这两个例子，突显出计算长度、夹角度数时的向量优势。
教材列举了两个向量在物理中应用的例子：运动学问题和力学问题。
其中力学问题是一个原汁原味的物理表述和物理解法表述，从而可以清楚地看出向量的直接作用。
教学目标：三.1.知识与技能（1）用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观四、通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生知识迁移的能力、运算能力和解决实际问题的能力.教学重、难点用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.学法与教学用具五、学法：(1)自主性学习法、探究式学习法（2）教学用具:电脑、投影仪.四.教学设想【探究新知】[展示投影]同学们阅读教材P99---102的相关内容思考：1.直线的向量方程是怎么来的？2.什么是直线的法向量？【巩固深化，发展思维】教材P100练习1、2、3题一、向量方法在平面几何中的运用[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）例1．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
高中数学第2章平面向量3.2平面向量基本定理课件北师大版必修4
利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加法、减法以及数乘向量进行 线性运算，解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识的向量 共线定理及平面向量基本定理解决．
第十六页，共35页。
[再练一题] 2．如图2－3－9，在▱ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知 A→M ＝c， A→N＝d，试用c，d表示A→B和A→D.
第十九页，共35页。
如图2－3－10，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交 于E，求证：E为线段BD的三等分点．
图2－3－10
【精彩点拨】 要证E为线段BD的三等分点，只需证B→E ＝23B→D ，可设B→E ＝ μB→D .选取A→B，A→D 作为基底，通过A→B ＋B→E ＝A→E ，建立相应的方程组，并进行
【解】 如图，M→N＝C→N－C→M ＝－13A→C－23C→B ＝－13A→C－23(A→B－A→C) ＝13A→C－23A→B＝13b－23a.
第三十三页，共35页。
N→P＝A→P－A→N ＝13A→B－23A→C＝13a－23b. P→M＝－M→P＝－(M→N＋N→P)＝13a＋13b.
第三十四页，共35页。
【答案】 B
第二十八页，共35页。
2．已知向量e1与e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，
则x－y等于( )
A．3
B．－3
C．0
D．2
【解析】 因为(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，
所以(3x－4y－6)e1＋(2x－3y－3)e2＝0，
2．平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个 不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：一是直接利 用三角形法则、平行四边形法则及平面向量基本定理；二是利用待定系数法，即 利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量的应用举例
如图， 例2 如图， ABCD中，点E、F分别 中 、 分别 边的中点， 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 边的中点 分别 交于R 两点， 与AC交于 、 T两点，你能发现 交于 两点 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ 之间的关系吗？ 之间的关系吗
D F T B C
猜想： 猜想： AR=RT=TC
平面几何中的向量方法
向量概念和运算， 向量概念和运算，都有明确的物理背 景和几何背景。 景和几何背景。当向量与平面坐标系结合 以后，向量的运算就可以完全转化为“ 以后，向量的运算就可以完全转化为“代 的计算， 数”的计算，这就为我们解决物理问题和 几何研究带来极大的方便。 几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质， 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质， 如平移、全等、相似、长度、夹角都可以 如平移、全等、相似、长度、 由向量的线性运算及数量积表示出来， 由向量的线性运算及数量积表示出来，因 此，利用向量方法可以解决平面几何中的 一些问题。 一些问题。
A
E
R
u u ur r uuur r uuur r r uuur r AC = a + b A 设= a , A D = b , A R = r , B 解： 则 uuur uuur r r r 共线， 由于 A R 与AC 共线，故设r = n(a + b ), n ∈ R
u u ur u u ur 又因为 E R 与 E B
北师大版高中数学必修 4第二章《平面向量》 第二章《 第二章 平面向量》
教学目标： 一.教学目标： 教学目标 1.知识与技能：（ ）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、 知识与技能：（ 知识与技能：（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、 力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物 理问题等的工具.（ ）揭示知识背景，创设问题情景， 理问题等的工具 （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意 发展运算能力和解决实际问题的能力. 识；发展运算能力和解决实际问题的能力 2.过程与方法：通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面 过程与方法： 过程与方法 通过本节课的学习， 几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具； 几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学 一起总结方法，巩固强化. 一起总结方法，巩固强化 3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及 情感态度价值观： 情感态度价值观 通过本节的学习， 其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、 其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解 决实际问题的能力. 决实际问题的能力 教学重、 二.教学重、难点 教学重 重点: 体现向量的工具作用）， ），用向量的方法解决某些简单的平面几何 重点 （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用 难点: 体现向量的工具作用）， ），用向量的方法解决某些简单的平面几何 难点 （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用 三.学法与教法 学法与教法 (1)自主性学习法 探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的 自主性学习法+探究式学习法 反馈练习法： 自主性学习法 探究式学习法； 反馈练习法 应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 四.教学设想 教学设想
北师大版高中数学必修四课件§4平面向量的坐标
-1 -2
例2在平面内以O的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴的 正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别求 下列位移向量的坐标.
解：设并OP设Pa（, OQx1，b,yO1R），c,Q（x2， y2），R（x3，y3）. （1）由已知可知，∠POP′=45°，||O=P2.所以
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
§4平面向量的坐标
（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示； （2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理:
存在唯一
2、什么叫平面的一组基底? 作
（1）平面的基底有多少组? （2）基底的要求是什么？
探究七平面向量的坐标运算：
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐 标的和与差.
结论3：实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标.
回顾:
结论1:一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点
的相应坐标.
从向量运算的角度
A(x1,y1) y O
B(x2,y2) x
得（0,2）-（1,0）=（-1,-2）-（x,y）
A(x1,y1) A1
1
x
结论: (1)任一平面向量都有唯一的坐标. (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点 在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
探究六全体有序实数对于坐标平面内的所有向量是否一 一对应？
因此,在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的 直观形象.
y
即（-1，2）=（-1-x，-2-y），
B
即点D的坐标为（0，-4）.
高中数学 第二章 平面向量 2.7 第27课时 点到直线的距离公式、向量在几何中的应用作业课件 北
＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12 ＝5(y－2)2－8.
∴当 y＝2，x＝4 时，P→A·P→B取得最小值－8.
此时P→A＝(Βιβλιοθήκη 3,5)，P→B＝(1，－1)．∴|P→A|＝ 34，|P→B|＝ 2，P→A·P→B＝－8，
∴
P→A，P→B
＝
－8 34×
＝－4 2
11．已知 P 为△ABC 所在平面内一点，1且满足A→P＝15A→C＋25A→B， 则△APB 的面积与△APC 的面积之比为 2 .
解析：由题意得 5A→P＝A→C＋2A→B， 2A→P－2A→B＝A→C－A→P－2A→P， －2(P→A＋P→B)＝P→C. 如图所示，P→C＝2E→P＝4O→P，
——基础巩固——
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1．点(1，－1)到直线 x－y＋1＝0 的距离是( D )
1
3
A.2
B.2
2 C. 2
32 D. 2
解析：由点到直线的距离公式，得
d＝|1－12＋－1－＋112|＝3
2
2 .
2．已知过点 A(－2，m)和 B(m,4)的直线与直线 2x＋y－1＝0
4．在△ABC 中，若满足A→B2＝A→B·A→C＋B→A·B→C＋C→A·C→B，则△ ABC 是( D )
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
解析：因为A→B2＝A→B·A→C＋B→A·B→C＋C→A·C→B，所以A→B2＝A→B·(A→C－ B→C)＋C→A·C→B＝A→B2＋C→A·C→B，即C→A·C→B＝0，所以∠ACB＝π2，故△ ABC 为直角三角形．故选 D.
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 9．若直线 l 过点 M(1,3)且与向量 n＝(－1,2)垂直，则直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 .
北师大版必修4高中数学第2章平面向量11.1位移速度和力1.2向量的概念
1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方 向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是 向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、 向量长度为半径的圆．
2.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30°方向行驶 2 千米到 D 地，然后 从 D 地沿北偏东 60°方向行驶 6 千米到达 C 地， 从 C 地又向南偏西 30°方向行驶了 2 千米才到达 B 地．
→ OA.
1．向量共线有三种情形： ①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量． 2．向量的平行与直线平行的关系 两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示 向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线 m，n，l， m∥n，n∥l，则 m∥l；若向量 a，b，c，a∥b，b∥c，而 a，c 不一定 平行．
向量的表示 【例 2】 一艘军舰从基地 A 出发向东航行了 200 海里到达基地 B，然后改变航线向东偏北 60°航行了 400 海里到达 C 岛，最后又改 变航线向西航行了 200 海里到达 D 岛． (1)试作出向量A→B，B→C，C→D；
(2)求|A→D |.
[思路探究] 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定 向量的方向，然后结合向量的大小确定向量的终点．
(1)在如图所示的坐标系中画出A→D，D→C，C→B，A→B； (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量．
[解] (1)向量A→D，D→C，C→B，A→B如图所示．
(2)由题意知A→D＝B→C，∴AD 綊 BC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→B＝D→C， ∴B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60°，6 千米”．
高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例例题与探究(含解析)北师大版必修4-北师大版高一必修
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2.证法一：如图2-7-1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a.图2-7-1∴|AC|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2，|BD|2=（b-a）2=a2-2a·b＋b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二：如图2-7-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a，b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2-7-2=OB＋OD=（c,0）+(a，b)=(a+c,b)，BD=AD-AB=OD-OB=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).∴|AC|2=（c+a）2+b2，|BD|2=（a-c）2+b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2c2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2c2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.绿色通道：1.向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译）.2.平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.变式训练如图2-7-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明：EF∥BC.图2-7-3 思路分析：证明EF ∥BC，转化为证明EF ∥BC，选择向量基底或建立坐标系均可解决. 证法一（基向量法）：设AB =a ，AD =b ，则有BD =AD -AB =b -a . ∵AD ∥BC ，∴存在实数λ＞1使BC =λAD =λb . ∵E 为BD 的中点，∴BE =21BD =21 (b -a ）. ∵F 为AC 的中点， ∴BF =BC +CF =BC +21CA =BC +21(BA -BC ）=21(BA +BC ）=21(BC -AB ）=21 (λb -a ）.∴EF =BF -BE =21 (λb -a ）-21 (b -a ）=（21λ-21）b . ∴EF =［（21λ-21）·λ1］BC . ∴EF ∥BC .EF ∥BC.证法二(坐标法)：如图2-7-4所示，以BC 为x 轴，以B 为原点建立平面直角坐标系.则B(0,0)，设A （a,b ）,D(c,b),C(d,0).图2-7-4∴E(2,2b c )，F(2,2b b a +). ∴EF =(2,2b b a +)-(2,2b c )=(0,2c d a -+)，BC =(d,0).∵2c d a -+×0-d×0=0. ∴EF ∥BC .∴EF ∥BC.例2如图2-7-5，一艘船从A 点出发以32km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-7-5 思路分析：船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可. 解：如图2-7-5所示，设AD =a 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB =b 表示水流的速度，以AD 、AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行速度,即AC =a +b ， ∵|a |=32，|b |=2,a ·b =0，∴|AC |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=16，即|AC |=4. ∵AC ·AB =（a +b ）·b =a ·b +b 2=4， ∴cos〈AC ,AB 〉21424||||=⨯=AB AC . 又∵0°≤〈AC ,AB 〉≤180°，∴〈AC ,AB 〉=60°,即船的实际航行速度的大小为4 km/h ，方向与水的流速间的夹角为60°.绿色通道： 用向量法解决物理问题的步骤：（类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤） ①把物理问题中的量用向量来表示；②将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；③把结果还原为物理问题.变式训练如图2-7-6所示，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠AC W=150°，∠BC W=120°,求A 和B 处所受力的大小.（忽略绳子的质量）思路分析：由于力和重量都是向量，求A 和B 处所受力的大小转化为求向量的模|CE |和|CF |.A 和B 处所受力的合力是10 N ，即物体W 的重量，用平行四边形法则解决.图2-7-6解：由题意，得四边形CEWF 是矩形， 则有CF +CE =CW ,CF ⊥CE |，CW |=10,∠FCW=60°.∴CF ·CE =0， ∴|CW |2=（CF +CE ）2=|CF |2+2CF ·CE +|CE |2. ∴|CF |2+|CE |2=100.① 又∵CF ·CE =0，〈CF ，CW 〉=60°，∴CF ·CW =CF ·（CF +CE ）=2CF +CF ·CE =2CF . ∴cos〈CF ，CW 〉||||CW CF 21||=CW . ∴|CF |=21|CW |=5,| CE |=35, 即A 和B 处所受力分别是35N 和5 N.例3（2006某某高三百校第二次考试卷，文9）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC ),λ∈［0，+∞),则P 的轨迹一定通过△A BC 的（ ） A.外心 B.垂心C.内心D.重心思路解析：OP =OA +λ(AB +AC )可以化为AP =λ(AB +AC ).所以AP ∥（AB +AC ）.又AB +AC 所在直线平分BC .所以AP 所在直线也平分BC .所以P 的轨迹一定通过△ABC答案：D绿色通道：判断图形的特点，主要从已知出发，利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系，从而对图形的特殊性作出判断.要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合.另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心（内心、外心、重心、垂心）的定义和性质，四边相等的四边形是菱形，对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.变式训练1在四边形ABCD中,AB·BC=0,且AB=DC,则四边形ABCD是（）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析：由AB·BC=0，得AB⊥BC,又AB=DC,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C变式训练2（2005全国高考卷Ⅰ，文12）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是△ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点思路解析：由OA·OB=OB·OC，得OA·OB-OB·OC=0.∴OB·（OA-OC）=0，即OB·CA=0,∴OB⊥CA.同理可证OA⊥CB,OC⊥AB.∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB.答案：D问题探究问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳臂受伤，试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决，针对小孩的两条胳膊画出受力图形，然后通过胳膊受力分析，建立数学|F 1|=2cos 2||θG ,θ∈［0,π］来确定何种情景时，小孩的胳膊容易受伤.图2-7-7探究：设小孩的体重为G ，两胳膊受力分别为F 1，F 2，且F 1=F 2，两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-7-7（不计其他因素产生的力），不难建立向量模型：|F 1|=2cos 2||θG ，θ∈［0,π］，当θ=0时|F 1|=2||G ；当θ=3π2时，|F 1|=|G |；又2θ∈(0,2π)时，|F 1|单调递增，故当θ∈(0, 3π2)时，F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈（3π2，π）时，|F 1|＞|G |.此时，悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.。
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b =a + c
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
练习3
已知点A（2，－1）、B（－1，3）、C（－2，－5）
（1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标； （3） AB－AC的坐标.
求
答案： （1） AB=（－3，4）， AC =（－4， －4 ）
（2）AB+AC=（ －7，0 ） （3） AB－AC= （1，8）
设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该 平面内的任何一个向量 a ，有且只有一对实数λ 1、λ 2 使
a =λ 1 e1 +λ
2
e2
不共线的向量 e1和 e2 叫做表示这一平面 内所有 向量 的一组基底
向量相等的充要条件 λ1 e1 +μ1 e2 =λ2 e1 +μ2 e2 λ1= λ2 μ 1=μ2
x y
2
2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB
x1 x2 y1 y2
2
2
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
练习1
已知向量a=（5，m）的长度是13，求m. 答案： m = ± 12
知识结构
知识要点
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)=(10, －4)
(ka+b)∥(a－3b) －4(k－3)－10(2k+2)=0
1 10 4 , =－ 3 3 3
K=－
例2
1 3
∵ ka+b=
(a－3b)
∴它们反向 思考: 此题还有没有其它解法?
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
例1
= 0－BA = AB
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
练习2 如图，正六边形ABCDEF中，AB=a、BC=b、 AF=c，用a、b、c表示向量AD、BE、BF、FC. 答案： AD=2 b BE=2 c BF= c－a FC=2 a 思考： a、b、c 有何关系？ B b a 0 C D E A c F
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
例2 已知 a=(1, 2), b=(－3, 2), 当k为何值时, ka+b与a－3b平行? 平行时它们是同向还是反向?
分析 先求出向量ka+b 和a－3b的坐标，再根据向量 平行充要条件的坐标表示, 得到关于k方程, 解出k, 最后它们的判断方向. 解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
练习5
已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0）
求λ和μ，使 c =λa +μb. 答案： λ=－1， μ= 0
平面向量复习
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
知识结构
知识要点
表示
例题解析
巩固练习
课外作业
向量的三种表示
三 角 形 法 则
平 面 向 量
运算
向量加法与减法
平行四边形法则
向量平行的充要条件
实数与向量的积
平面向量的基本定理
向量的数量积
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
向量定义：
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
实数λ与向量 a 的积
定义： λa是一个
向量.
与a方向相同；
它的长度 |λa| = |λ| |a|； 它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！
坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
例题解析
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课外作业
1.向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC
A
C
平行四边形法则
B
C
OA+OB= OC
B O A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) 则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
知识结构
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例题解析
巩固练习
B
课外作业
2.向量的减法运算
1）减法法则： OA－OB = BA 2）坐标运算: 若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= O
A
(x1 － x2 , y1 － y2)
a+b=b+a （a+b)+c=a+(b+c)
3.加法减法运算率 1）交换律：
2）结合律：
知识结构
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例题解析
巩固练习
课外作业
向 量 几何表示 : 有向线段 的 字母表示 : a 、 AB 等 表 坐标表示 : (x，y) 示
若 A(x1,y1),
则 AB =
B(x2,y2)
(x2 － x1 , y2 － y1)
知识结构
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例题解析
巩固练习
课外作业
向量的模（长度） 1. 设 a = ( x , y ), 则 a
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
例1 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM 分析
（2） AB + DA + BD －BC－CA 利用加法减法运算法则，借助结论 AB=APቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0
进行变形.
解： （1）原式= AB +（BO + OM + MB） = AB + 0 = AB （2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA）
既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念： （1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.
（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注意：1）零向量是一个特殊的向量； 2）零向量与非零向量的区别。
= (λ x , λ y)
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例题解析
巩固练习
课外作业
非零向量平行（共线）的充要条件 向量表示： a∥b
a=λb （λ∈R,b≠0）
坐标表示： 设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则
a∥ b
x1y2－x2y1=0
知识结构
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例题解析
巩固练习
课外作业
平面向量的基本定理
练习4
n为何值时, 向量a=（n，1）与b=(4,n) 共线且方向相同?
答案： n= 2 ?
思考: 何时 n=±2
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例题解析
巩固练习
课外作业
例3 分析
设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ