四年级秋季班第五讲-简单抽屉原理、最不利原则教学内容

四年级秋季班第五讲-简单抽屉原理、最不

利原则

第五讲简单抽屉原理、最不利原则

知识框架

一、对抽屉原理两个版本的认识

原理要点：

（1）物品数比抽屉数多1。只有物品数比抽屉数多时抽屉原理才会成立。（2）物品是“任意放”到抽屉中。

（3）其中“物品不少于2件”的抽屉是一定存在的，但是不确定是哪一个。（4）原理的结论是：“至少有一个抽屉中的物品数不少于2件”，也可以这么说，“至少有2件物品在同一个抽屉中”。

原理讲解：

抽屉原理1：将n+1个物品任意放到n个抽屉中，那么至少

有一个抽屉中的物品不少于2件。

只要有一个抽屉中的物品数不少于2件，抽屉原理1 就是成立的。当我们可以往抽屉中任意放物品时，最不利的情形就是“平均分”，这样所有抽屉中的物品数都不会太多。n+1个物品平均地放入n个抽屉，每个抽屉放一个，由于物品数比抽屉数多，就会余出一个物品。最后，余出的这个物品放入某个抽屉，这个抽屉中就有了2个物品。此外，其它情形，只要有一个抽屉是空的，那么就一定会有另外的抽屉中有2个或2个以上的物品。

例子：4只鸽子飞回三个鸟笼，有几种方法？

每种方法中，都会有一个鸟笼中的鸽子数不少于2。在有些地方抽屉原理又叫做“鸽笼原理”。

原理要点：

（1）物品数比抽屉数多，抽屉原理1的情形包含于这个原理中；（2）解决的是抽屉的存在性；

（3）在解题时，遇到“有一个抽屉中的物品数不少于A件”，其中A>2时，应使用抽屉原理2。

（4）原理的结论也可以理解为：“总有不少于m÷n件（或[m÷n]+1件）物品在同一个抽屉中。”相同的即为“抽屉”。

原理讲解：

最不利的情形就是“平均分”，这样每个抽屉中的物品数都不太多都是[m÷n]个。若m÷n有余数，那么多出来的余数个物品也按照最不利的情形来分配，这样就能保证抽屉中的物品尽量地少。也就是说这余数个物品也平均地往抽屉中放，这样有的抽屉会再放入一个物品，而有的就分不到，那么至少会有一个抽屉中的物品数不少于[m÷n]+1个。这也解释了物品数是不少于[m÷n]+1，而不是“不少于[m÷n]+余数”。

二、如何构造抽屉

1．袋中取球问题

练习1在一个口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其它六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中任意取出2个球，那么不管怎么挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样。

分析：（方法1）从问题出发。“总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样”，相同的是“取出的两个球的颜色搭配”，这就是“抽屉”。取出的两个球的颜色，可能的情况有如下六种：红红、黄黄、蓝蓝，红蓝、红黄、蓝黄。也就是说有6个抽屉。小聪明和其它6个小朋友一起做游戏，共7人，也就是有7个物品。物品数比抽屉数多1，根据抽屉原理1，总有2个小朋友取出的两个球的颜色完全一样。

（方法2）从条件出发。每人从口袋中任意取出2个球，取出的颜色搭配可能有6种情形，取球的共有7个小朋友。小朋友数比颜色搭配数多1，那么7小朋友是“物品”，6种颜色搭配是“抽屉”。根据抽屉原理1，总有两个小朋友取出的两个球的颜色搭配相同。

拓展 口袋中放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31人轮流从袋子中取球，每人各取3个。证明：至少有4人取出球的颜色一样。

分析：类似练习1，取出球的颜色搭配是抽屉。搭配可能有：

红红白、红红蓝、蓝蓝红、蓝蓝白、白白红、白白蓝、红白蓝，红红红、白白白、蓝蓝蓝，共10种。也就是说有10个抽屉。

31个人看成是物品。131031 ，那么4131]1031[ 。根据抽屉原理2，至少有4人取出球的颜色是一样的。

2． 数的整除性与抽屉原理

余数的性质：

（1） 余数相同，差无余数。也就是说，两个数除以同一个数得到的余数相

同，那么这两个数的差再去除以这同一个数时没有余数。

例：512 和532 的余数都是2，那么5)1232( 没有余数。

（2） 余数的和等于和的余数。也就是说，几个数除以同一个数得到的余数相

加所得的和再除以同一个数得到的余数，等于原本几个数的和除以同一

个数所得的余数。

例：512 的余数是2，514 的余数是4，642 ，56 的余数是1；5)1412( 的余数也是1。

练习2 在任意的4个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？ 分析：一个自然数除以3，其余数只能是0,1,2三种情形。将余数的这三种情形看做3个抽屉，一个自然数除以3的余数是几，就将自然数放入那个“抽屉”中。那么任意的4个自然数放入这3个抽屉中，根据抽屉原理，至少有一个抽屉中有不少于2个自然数。那么这个抽屉中的两个自然数的差就能被3整除。

拓展 在任意的5个自然数中，是否必有其中三个数的和是3的倍数？

分析：构造抽屉的方法如练习2。那么可能出现两种情形：（1）每个抽屉中都至少有一个数。这样，每个抽屉中取出一个数，这三个数的余数分别是0,1,2.，那么余数的和为3210 ，除以3没有余数，那么取出的这三个数的和除以3也没有余数。（2）有一个抽屉中有不少于3个数。从这样的抽屉中取出3个数，这三个数的余数相同，那么余数的和是3×余数，除以3没有余数，那么取出的这三个数的和除以3也没有余数。

三、 抽屉原理的应用

1、 求抽屉中物品至多数

练习3 17名同学参加一次考试，考试题是三道判断题（答案只有对错之分），每名同学都在答题纸上依次写下三道题的答案。请问至少有几名同学的答案是一样的？

分析：从问题出发找抽屉，相同的是答案，这就是抽屉。求抽屉数时可用乘法原理：每一道题都有2种答案，所以三道题的答案有8222 种，即有8个抽屉。物品为17名同学。12817 ，由抽屉原理2，至少有312 名同学的答案是一样的。

练习4 （09年希望杯）人的头发平均有12万根。假设最多不超过20万根。13亿人中至少有多少人的头发根数相同？

分析：从问题出发，抽屉就是头发根数。头发根数最多不超20万，那么抽屉数为20万。物品为13亿人。65002000001300000000 ，由抽屉原理2，至少有6500人的头发根数相同。

2、 抽屉原理的逆应用

练习5（2003年希望杯）新年晚会上，老师让每个同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸两个球，这些球给人的手感相同。只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有两个人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人？

分析：取两个球，颜色搭配有15种可能。15个抽屉，本题中物品即为取球的人。物品数至少为16115 个。