高等代数环的定义与性质

一、 环的定义与基本性质

（一） 环的定义:

1、 定义1:交换群称为加群(Aβελ群),其运算叫

做加法,记为“+”。

2、 定义2:代数系统),;A (⋅+称为环,若

1)(A,+)就是加群;

2)代数系统);A (⋅适合结合律;

3)乘法);A (⋅对加法+的分配律成立。

3、 例子

(1)),;Z (⋅+、),;Q (⋅+、),;R (⋅+、),;C (⋅+都就是环,均称为数环。

(2)Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z,ι2=－1 },则),];i [Z (⋅+也就是数环,称之为高斯整环。

(3)设Φ就是任一数环,则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。

(4)Z ν={所有模ν剩余类},则),;Z (n ⋅+就是模ν剩余类环,这里[α]＋[β] = [α+β],]b []a [⋅ = [αβ].

(5)设(A,＋)就是加群,规定乘法如下:,A b ,a ∈∀αβ=0,则),;A (⋅+作成一个环,称之为零环。

(二)环的基本性质:

(1)0x a a x =⇒=+。

(2)a x x a -=⇒=+0。

(3)c b c a b a =⇒+=+。

(4)nb na )b a (n +=+。(ν为整数)

(5)na ma a )n m (+=+。(μ、ν为整数)

(6))na (m a )mn (=。(μ、ν为整数)

(7),A a ∈∀ 000=⋅=⋅a a 。

(8)ab )b (a b )a (-=-=-。

(9)ab )b )(a (=--。

(10)ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。

(11)j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11

11 。 (12))ab (n )nb (a b )na (==。 (ν为整数)。

(13)若环中元a 、b 满足ba ab =,则

()k n k n

k k n n b a C b a -=∑=+0 (14)mn n m n m n m a )a (,a a a ==⋅+。(μ、ν为整数)

(三)交换律与单位元:

1、定义3:环R 叫做交换环,若,R b ,a ∈∀有

ba ab =

定义4:环R 的元e 称为单位元,若,R a ∈∀有

a ea ae ==

约定:环R 若有单位元,则记其单位元为1,并称R 为有1的环。

性质:设R 就是有1环,则

(1)若{}001==R ,则;

(2)若P 不仅含一个元,则1≠0.

2、 定义5:R 为有1环,a 、,ba ab ,R b 1==∈则称b 为a 的逆元,记为1

-a 。 性质:有1环的所有可逆元关于乘法构成群。

二、 整环、除环、域

(一)整环

1、 定义:设R 为环,a 、

R b ∈,若,b ,a 00≠≠ 但0=ab ,则称α为P 的一个左零因子,β为P 的一个右零因子。

定理1:在一个无左零因子的环里,两个消去律都成立;反之,若一个环里有一个消去律成立,则该环无零因子。

推论:环中,若有一消去律成立,则另一消去律也成立。

2、定义:无零因子的有1交换环称为整环。

3、例子

(1)A=⎪⎭⎫ ⎝⎛0101、B=⎪⎭

⎫ ⎝⎛1100分别就是全阵环M 2(P)的左右零因子。

(2)整数环Z 就是整环;

(3)实数域P 上的多项式环P[ξ]就是整环;

(4)证明左逆元不就是零因子。

(二)除环与域

1、定义:一个至少包含一个非零元的有1环R 中,若R 的任一非零元都有逆元,则称R 为除环(或体)。

交换除环称为域。

2、 基本性质:

1)除环无零因子。

2)R 为除环⇔R 有1,且R a ∈≠∀0都可逆。

3)R 为除环,则{}0\R R *=关于乘法作成一 个

群,反之也然。

4） R 为除环,则0≠∈∀a ,R b ,a ,方程αξ=β, ψα=β在P 中各有唯一解。

5)R 为域,α、β0≠∈a ,R ,则方程αξ=β,ψα=β在P

中各有唯一解,且解相同,记为商的形式a

b 。 在域中,商有如下性质: (1)b

c a

d d

c b a ,

d ,b =⇔=≠≠则00; (2))d ,b (bd

bc ad d c b a 00≠≠+=+; (3))d ,b (bd

ac d c b a 00≠≠=⋅。 3、 环、整环、除环、域的隶属关系:

环P的特征记为Xηαρ(P)

定理2:无零因子环的特征或为无限大,或为素数。 推论:整环、除环、域的特征或无限大,或就是素数。

四、子环、环的同态

(一)子环

1、子环的概念与例子

定义1:设∑就是环P的一个非空子集,若∑对于P的两个运算也作成环,则称∑为P的子环,而P为∑的扩环。

特别,可相仿得到子体、子域的概念。

2、子环的判别定理

定理1:∑为环P的非空子集,以下四条等价: （1）∑为P的子环;

（2）S

⇒

+

-

0;

∈且

∀

∈

ab,b

S∈

a

c,

c,b,a

S

(3) S

+

⇒

∀;

b,a∈

∈

-

S

,a

ab

a

,b

(4) S

⇒

∈

∀。

-

,b

ab

a

S

b,a∈