第九章 薄板弯曲问题
第九章弹性薄板弯曲问题
§ 9-4
边界条件 扭矩的等效剪力
(u , v) z =0 = 0
§ 9-2
弹性曲面的微分方程
1、取w=w(x,y)为基本未知量。 为基本未知量。 2、用w来表示u,v。 来表示u
∂w u=− z ∂x
∂w v=− z ∂y
3、用w来表示主要应变：ε x , ε y , γ xy 来表示主要应变：
∂ w ∂ w ∂ w ε x = − 2 z, ε y = − 2 z, γ xy = −2 z ∂x ∂y ∂x∂y
§ 9-1
概念和假定
小挠度理论 薄板：1 8 ~ 1 5) > δ b ≥ (1 80 ~ 1 100) 薄板： ( 大挠度理论 薄膜： δ b < (1 80 ~ 1 100) 薄膜：
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。 本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
厚板： δ 厚板：பைடு நூலகம்
b ≥ (1 8 ~ 1 5)
由平衡方程 得
Eδ 3 D= 12(1 − µ 2 )
D∇ w = q
4
∂ w ∂ w ∂ w ∇ = 4 + 2 2+ 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
4 4 4 4
§ 9-3
薄板横截面上的内力
梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 板的内力是指单位宽度的横截面( x1)上的内力合力 板的内力是指单位宽度的横截面(δx1)上的内力合力 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 弯曲应力 σ x , σ y ,τ xy = τ yx 沿z方向线性分布，合成 方向线性分布，
第九章薄板弯曲
yx
zdz
2
t
FSy
2 t
xz
dz
2
dy
dx
t
2 My
M yxM xy
Mx
FSx
t
FSy
2
y
yx
xy xz
x
yz
24
将上节给出的应力分量与挠度 w之间关系代入，并积分
得：
Mx
D
2w x 2
2w y 2
My
D
2w y 2
x
dx
M xy
M yx
M
xy
M xy x
dx
y
M
y
M y
y
dy
FSy
M
yx
M yx y
dy
FSx
FSx
FSx x
dx
FSy
FSy y
dy
26
利用应力分量与挠度 w之间的关系、薄板挠曲微分方 程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 w，可以给出各
应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。
x
12M x t3
z,
y
12M t3
y
z
xy
12M t3
xy
z
xz
6FSx t3
t2 4
z2
yz
6FSy t3
t2 4
z2
y
2q
1 2
薄板弯曲
k e e {B}T D{B}dxdy
S
(3)节点荷载 当单元上作用有分布载荷 p( x, y ) 单元等效结点力
Q e N pdxdy
e S
T
见书5.17
z, w n (wn,xn,yn) 2b 2a k (wk,xk,yk) y() 3m ) (wm,xm,ym) x（） l (wl,xl, yl)
2 2w z 2 2 x x x 2w 2 y z 2 z w 2 y y xy 2 2w 2 z 2 xy xy
二、几何关系
法线转角和挠度的关系
w w z x y x u z y w v z z w x y w w x w x y
M x x zdz
h 2 h 2
M y
M xy M yx xy zdz
Mx M My M xy
1 Mx h 3 3 h 1 h 2 M y h zσdz D p 2 12 12(1 ) 2 M xy 0
2w 2 x 0 2w 1 0 2 y 1 0 2w 2 2 xy
h3 1 1 M Dp D 12
其中 称为板的弯曲刚度，D为弹性薄板的 弹性系数矩阵。
由于是平面的小变形，称
1 为曲率。
三、物理关系
x y z xy yz zx T
第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法培训资料
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
x y
xy
1 E 1 E
(
( 2 (1
x
y
E
)
y x xy
) )
（9-2）
即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。
， （3）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移
(u)z0 0 (v)z0 0
（9-3）
x
u x
、y
v y
将（a）x 2
2
y
w
2
)
y
Ez
1 2
2w (
y 2
2w x2
)
xy
Ez 1
2w () xy
（9-4）
（3）用w表示应力分量zx、zy 由空间问题的平衡方程（7-1）式的第一式有（令fx=fy=0）： zx x yx ，将（9-4）式代入，有：
z
2(1E2)[d42
(zd)1(z3
23
d3)]4w
8
6(1Ed3 2)(12dz)2(1dz)4w
（9-6）
3. 弹性曲面微分方程
（1）在薄板上边界，(z)zd q，q薄板单位面积内的横向荷载， 2
包括横向面力及体力。
（2）将（9-6）式代入上式，有：
Ed3 4wq 12(12)
（9-7）
其中:
D4w q
D Ed 3 12(1 2 )
（9-8） （9-9）
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
薄板弯曲问题
第五章薄板弯曲问题机场学院2011/11/21CAUCCAUC两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，简称为板。
bhyxzCAUCCAUC垂直于板面——平板弯曲问题byxzCAUCCAUC1、小变形假设：虽然板很薄，但它的挠度远小于板的厚度。
byxz)(0==z u 0)(0==z v 因为：2、板中面各点都没有平行于中面的位移，只发生弯曲变形。
x u x ∂∂=εy v y ∂∂=εyu x v xy ∂∂+∂∂=γ所以：0)(0==z x ε0)(0==z y ε0)(0==z y x γCAUC CAUC3、沿板的厚度方向挤压变形忽略不计。
byxz=∂∂=zw z ε所以：),(y x w w =在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的挠度。
CAUCCAUC保持在挠曲面法线上。
byxz应力分量：zx τzy τzσ远小于其余三个应力分量，其引起的形变忽略不计。
0=zx γ0=zx γ0=∂∂+∂∂xw z u 0=∂∂+∂∂yw z v 即：等价于：这样=∂∂=z w z ε0=zx γ0=zx γ中面法线不伸缩，仍为变形后曲面的法线CAUC CAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=薄板弯曲与平面应力问题有相同的物理方程。
CAUCCAUC1、几何方程byxz0=∂∂+∂∂x w z u 0=∂∂+∂∂y w z v xw z u ∂∂−=∂∂y w z v ∂∂−=∂∂),(2y x f z yw v +∂∂−=),(1y x f z xwu +∂∂−=0)(0==z u 0)(0==z v 因为：),(),(21==y x f y x fCAUCCAUCzxu ∂−=zyv ∂−=zxwx u x 22∂∂−=∂∂=εzyw y v y 22∂∂−=∂∂=εz yx w y u x v xy∂∂∂−=∂∂+∂∂=22γ221xw x ∂∂−=ρ221ywy ∂∂−=ρyx wxy ∂∂∂−=221ρ令：xx zρε=yy z ρε=xyxyz ργ=得：CAUCCAUCw y x y x xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=⎭⎬⎫⎩⎨⎧222221111ρρρρ{}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεε写成列阵形式：应变列阵：CAUCCAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=xyxy x y y y x x EEE γµτµεεµσµεεµσ)1(2)(1)(122+=+−=+−={}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεεyx w Ez x w y w Ez y wx w Ez xy y x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−−=222222222221)(1)(1µτµµσµµσCAUCCAUCyx w Ez xw y w Ez yx xyy x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂+∂−−=2222222221)(1)(1µτµµσµµσ其它几项应力：w yh z E w xh z E zy zx22222222)4()1(2)4()1(2∇∂∂−−=∇∂∂−−=µτµτw hz h z Eh z 4223)1()21()1(6∇+−−−=µσCAUCCAUC在薄板的上表面有：qh z z −==2)(σ得：q w Eh =∇−423)1(12µ令：)1(1223µ−=Eh D qw D =∇42、微分方程CAUCCAUC xyab边界条件：0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(220220220220=∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=========b y b y y y a x a x x x xww x ww x ww x w w qw D =∇4微分方程：四边简支矩形薄板的重三角级数解答——纳维叶解法CAUCCAUC设重三角级数解为：b yn a x m A w m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==代入微分方程：qb yn a x m A b n am D m n mn =+∑∑∞=∞=πππsin sin )(1122224b yn a x m C q m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==将),(y x q q =也展成重三角级数：CAUCCAUC222226)(16bn a m Dmn q A mn +=π（m=1,3,5, m=1,3,5, ………… n=1,3,5, n=1,3,5, …………）∑∑∞=∞=+=...5,3,1,...5,3,12222260)(sin sin 16m n bn a m mn b yn a x m D q w πππ得挠度的表达式：CAUC CAUC荷代替q ，得：dxdyP q =b n a m bn a m abD P dxdy b n a m dxdy P b n a m abD A mn ηπξππηπξππsin sin )(4sin sin )(4222224222224+=+=CAUC CAUC集中载荷作用下的简支矩形板挠度表达式：b y n a x m bn a m b m a m abD P w m n ππηπξππsin sin )(sin sin 411222224∑∑∞=∞=+=M x yxzM y{}[]zDxyyx⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=ρτσσσ1zdzMhhxx∫−=22σ1、弯曲应力zdzMhhyy∫−=22σzdzMhhxyxy∫−=22τCAUC CAUCCAUC CAUC{}zdzM M M M h xy y x ∫−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22}{σ完成积分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ρρ1][1][12}{3D D hM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=21000101)1(12][23µµµµEh DCAUCCAUC2b2ayxzlmn kw θ yθ x（1）节点位移单元任一节点有三个位移分量：{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i i i yi xi i i x w y w w w )()(θθδ{}{}Tyk xk k ynxn n ymxm m yl xl li w w w w θθθθθθθθδ={}{}T T kT nT mTli δδδδδ=CAUCCAUC31231131029283726524321xya y x a y a xy a y x a xa y a xy a x a y a x a a w +++++++++++=写成矩阵形式：{}a xy yx yxyyx xy xy xy xw ]1[33322322=或：{}a y x M w )],([=CAUCCAUC{}a xy yx yxy yx xy xy xy xw ]1[33322322={}a xy xyxy xy x yw x ]332020100[2322=∂∂=θ{}a y y x y xy xy x xw y ]302302010[3222−=∂∂−=θCAUC CAUC⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨654310000110000001a a a a y x y x y x y x v u v u n nn n m m m m n n m m {}[]{}a A e=δ[]{}[][]{}a A A A e 11−−=δ{}[]{}eA a δ1−=[]{}[][]{}{}eey x N A y x M a y x M w δδ)],([),(),(1===−A[][]k nm lN N N N y x N =),(形函数CAUCCAUC⎥⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=111,111,21181][2222222222222222a x x b y y a x x x b y y b y y a x x y b y a x b y y a x x b y y a x x N i i i i i i i i ii i i i （i ＝l ，m ，n ，k ）单元刚度阵：ee xy y x B N y x y x w y x y x }]{[}]{[2211112222222222δδρρρρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧CAUCCAUC][][k n m l B B B B B =单元内力：eB D M }]{][[}{δ=[][][][]dxdy B D B k Ts ee∫=单元刚度阵：[]{}{}Q K =δ整体方程：。
薄板弯曲问题有限元法
T
wl xl yl
Fzl M zl M yl T
j
xj
yj
wj
7
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薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v 等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y) 的选取。注意单元有12个自由度，则
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
1 2
(w,
Ljj
w, Ljm
),
a5
1 2
(w,Lii
w, Lim
),
6
1 2
(w,Lii
w, Lij
w, Lji
w,Ljj
),
7
wj
wm
1 2 (w,Ljj
w, Ljm
)
8
wi
wm
1 2
(w,Lii
w, Lim
)
w,Lij 表示w对Li的 偏导数在j点的值。
9
wi
wj
1 2
(w,Lii
角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点
，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一
个扰度和分别绕x，y轴的转角。 1.设位移函数
l
xl
yl wl
m
xm ym wm
节点位移分量和节点力分量
i
xi
yi
wi
q e wi xi yi F e Fzi M xi M yi
w(x, y) c1 c2 x c3x2 c4 x3
四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定 ；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。
第九章--板壳结构有限元
应用举例 承受均布荷载q的方板，四边简支。4×4网格，挠度=？
h/L 0.01 0.1 0.2 0.3 0.4
有限元 0.04438 0.04628 0.05202 0.06160 0.07500
厚板 0.04439 0.04632 0.05217 0.06192 0.07557
薄板 0.04437 0.04437 0.04437 0.04437 0.04437
将三个结点的位移代入进去，则可以反推出
单元位移=形函数×结点位移的三个表达式（u,v,w）。
根据位移函数的表达形式，不难看出其就是平面应力单元和薄 板弯曲单元的结合。后续分析过程较复杂，因此在这里只做文 字性叙述注意事项。
单元位移表达式（u,v,w）建立后，下面的工作就是进行应变
计算。但是注意up,vp并不是u,v
壳结构基础理论知识
任何单曲或双曲薄壳，在单元较小时均可用薄板单元组成的单 向或双向折板体系来近似，也就是采用平面壳单元进行分析。 平面壳单元可以视为平面应力单元与板弯曲单元的组合体。
平面应力单元（亦称膜单元）仅仅能够承受作用于平面内的 载荷 ，不能够承受其它载荷 。假设z方向上的位移w=0，每 一结点仅存在沿x轴和y轴的位移
确定，因此离散时，网格划分有局限性。
Adini方案
舍去了二次项xy，致使常扭率无法保证，单元过刚、位移偏小，因此分析
结果只有一阶精度。
Bell方案
增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自 由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
薄板三角形单元
Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。 面积坐标 采用面积坐标表达的位移模式为：
弹性力学(西北工业大学)第9章弹性薄板弯曲问题
西北工业大学 力学与土木建筑学院 卫丰
高等教育出版社
HIGHER EDUCATION PRESS
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第九章 弹性薄板弯曲问题
薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程应用广泛 特殊形式——小挠度薄板
目录 §9.1 薄板的基本概念和基本假设 §9.2 小挠度弯曲问题基本方程 §9.3 薄板边界条件 §9.4 矩形薄板的经典解法
D22w q
边界条件——级数解
经典解法——
矩形、圆形，规则约束条件和载荷作用
广
M
y
D(
2w y 2
2w x 2
)
M
xy
(1
)D
2w xy
义 力
广
x
2w x2
义 应
y
2w y 2
变
xy
2w xy
曲率 扭率
§ 9.2 基本方程3
薄板平衡方程
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
D22w q
§9.3 薄板边界条件
满足基本方程和给定的边界条件 基本方程 D22w q 为四阶偏微分方程 矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条 件。
§ 9.3 边界条件2
薄板弯曲问题的典型边界条件 1． 几何边界条件
在边界上给定边界挠度w和边界切线 方向转角 w 。
t
固定边界
2．混合边界条件
边界同时给出广义 力和广义位移
简支边界
§ 9.3 边界条件2
3． 面力边界条件
在边界给定横向剪力 和弯矩
自由边界
§9.4 矩形薄板经典解法
薄板小挠度弯曲问题基本方程
第九章薄板弯曲
zx 0, zy 0 .
此，略去 z , xz和 zy。
(a)
并在空间问题的物理方程中，略去 σ z引起的形变项。因
7
薄板弯曲问题的物理方程为
说明：
1 x (σ x σ y ), E
1 y (σ y σ x ), E
xy
2(1 ) xy E
中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。
类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上 述三个计算假定，并应用这三个计算假定,简化空间问 题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。 实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论 就可以应用，并具有足够的精度。
9
思考题
• 1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了 这三个计算假定？ • 2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。 在薄板中有否采用此假设？
(b)
(1) 在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变; 但在平 衡条件中，仍考虑它们的作用。 ⑵ 薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程 相同。但沿板厚方向，对于 x , y , xy , 平面应力问题的应力 为均匀分布，合成轴力 FN x , FNy , FNxy 。而薄板弯曲问题的应 力为线性分布，在中面为0，合成弯矩 M x ,M y和扭矩 M xy 。 ⑶ 从计算假定1、2，得出εz=γzx=γzx=0。 故中面法线在 薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。
6
弯应力 σ x ,σ y（合成弯矩 M x ,M y ） 及扭应力 xy（合成扭矩 M xy）
b 2 ~ q ( ) ,
横向切应力 zx , zy （合成横向剪力 Fsy ,Fsx ）~ q ( ), 挤压应力 z ~ q.
Chapt9薄板弯曲
( M y ) y b 0, (F )
t sy y b
(d)
) y b 0.
( Fsy
M yx x
用挠度表示为
2w 2w ( 2 2 ) y 0 0, y x
3w 3w [ 3 (2 ) 2 ] y b 0. (e) y x y
w ( ) x 0 f 2 ( y ), x
第九章 薄板弯曲问题
简支边
2.简支边 -- 若 y 0 为广义简支边，则
( w) y 0 f 3 ( x),
3
( My ) y 0 f 4 ( x),
其中f ，f 分别为给定的约束位移和弯矩。
4
若 f 3 f 4 0 ，则一般的简支边条件为
( w) y 0 0,
( My ) y 0 0.
第九章 薄板弯曲问题
简支边
因 故
( w) y 0 0,
w 2 w ( , 2 ) y 0 0, x x
第二个条件可以
简化。简支边的条件为
( w) y 0 0, 2w ( 2 ) y 0 0. y
(b)
板边为小边界，可以应用圣维南原理 来简化边界条件,将板边的边界条件归结 为中面的位移边界条件或中面的内力边界 条件。
第九章 薄板弯曲问题
固定边
薄板板边的边界条件分为三类： 1.固定边 --若 x 0 为广义固定边，则
( w) x 0 f1 ( y ),
其中 f1 , f 2 为给定 的约束位移。 若完全固定，1 f 2 0, f 则 w ( w) x 0 0, ( ) x 0 0. (a) x
以上两个假设说明：中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，且成为 弹性曲面(薄板中面弯曲后成为一个曲面）的法线，即直法线假设
薄板的小挠度弯曲问题
薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。
二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。
首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。
对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。
弹性力学第九章 薄板弯曲问题
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－3 薄板横截面上的内力
（1）应力分量 x
由公式（9－4）知， x 合成的主矢量为零；
对中面合成的弯矩
2
M x 2 z xdz
把（9－4）代入上式
M x
1
E
2
2w x2
2w y2
2 z2dz
§9－1 有关概念及计算假定
计算假定：
薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。
（1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即
z 0
由几何方程可得
y
w 0, w w x, y
z
0
x
b
/2 /2
z 图9－1
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都 具有相同的位移，其值等于挠度。
M yx
2 2
z yxdz
E 3
121
2w xy
M xy
Fsy
2
2
yz
dz
12
E 3 1 2
2w y
（d） （e） （f）
弹性力学简明教程
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§9－3 薄板横截面上的内力
zx 0, yz 0
这里与梁的弯曲相同之处，也有 不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截 面，板的弯曲有两个方向，要考虑两 个横截面上的应力。
弹性力学简明教程
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§9－1 有关概念及计算假定
结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成 为弹性曲面的法线。
薄板弯曲问题
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
扭矩
M
' yx
yx zdzdx
- h/2
h/2
内力与应力的关系
Mx 3 Eh M My 2 12 1 M xy 1 0
2
x y z xy
弯扭变形列阵
几何方程
2w 2 2 4 6 7 x 2 8 y 611xy x 2 w 2 2 6 2 9 x 610 y 612 xy x 2 w 2 x 2 y 3 x 2 3 y 2 5 8 9 11 12 xy
N x1 i 1 0
b2 c2 d 2 0 N x1 1 N x1 0 (2) y b i 2 a2 e2 N x1 最后利用本点1，确 0 (3) , (4) x i 4,1 定a2=b/8，代回
(1)
弹性薄板矩形（R12）单元
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的形函数可以用 广义坐标法，也可以用试 凑法得到。由于单元自由 度为12，因此可有12个广 义坐标，位移模式可设为 如下不完全四次多项式
Q1 1 Mx1 4
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 2 2 3 3 3 a8 x y a9 xy a10 y a11 x y a12 xy
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
弹性力学第9章—薄板的弯曲
O
a
x
z
y
边界条件
( w) x =0,a ( w) y =0,b ⎛∂ w⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0,a
2
因为任意的荷载函数q总能展 开成双重三角级数，因此纳维解的 基本形式为
∞
⎛ ∂2w ⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂y ⎠ y =0,b
mπ x nπ y sin w = ∑ ∑ Amn sin m =1 n =1 a b
9.3 薄板的边界条件
薄板的边界条件可以分为以下三类， （1）位移边界条件，即在边界上给定挠度和转角； （2）静力边界条件：给定边界横向剪力、弯矩； （3）混合边界条件：在边界上同时给定广义力和广义位移。
9.3.1 固定边界
x
y
x
侧视图
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
9.3 薄板的边界条件
9.3.2 简支边界
x
y
x
侧视图
⎫ ( w ) x =0 = 0 ⎪ ( M x ) x =0 = 0 ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
将上式中的弯矩用挠度函数来表示，则有
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂2w ⎞ ⎜∂ 2⎟ ⎝ x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ = 0⎪ ⎭
9.3 薄板的边界条件
9.3.3 给定广义力的方案
x
x=a
侧视图 俯视图 以广义力为零的自由边界为例，x=a处的边界条件为
⎪ ⎪ M 0 = ( xy ) x=a ⎬ ⎪ (Qx ) x =a = 0 ⎪ ⎭
( M x ) x =a = 0 ⎫
其中第1式分布弯矩可以根据 M x = D (κ x + vκ y ) 用挠度函数表示
第九章 薄板弯曲问题
w 0 x x0
即：
2w 0 xy xa, y b
例题：假定矩形扳支承与承受荷载如图7.10，试写出挠度表示的各边边界条件
O b
M0 C x
A
y q
a
B z
解：1) 固定边OA的边界条件是：
(w) x 0 0
w ( ) x 0 0 x
3w 3w Vx D 3 ( 2 v ) xy 2 x 3w 3w V y D 3 (2 v) 2 x y y
2w RB 2 D(1 v)( ) xy
O
C
x
b
a A y B
（1）自由边 弯矩和合成剪力为零，因此， 在x=a上， Mx=0，Vx＝0， 在y=b上，My=0，Vy＝0，
第九章
§9－1 §9－2 §9－3 §9－4 §9－5 §9－6
薄板弯曲问题
有关概念及计算假定 弹性曲面的微分方程 薄板横截面上的内力 边界条件 四边简支矩形薄板的重三角形积数解 矩形薄板的但三角形级数解
§9－7
§9－8
矩形薄板的差分解
圆形薄板的弯曲
§9－9
圆形薄板的轴对称弯曲
§9－1 有关概念及计算假定
2
(w) y=0=0 (w) y=b=0
2w ( 2 ) y 0 0 y
4）将次要应力分量
xz , yz 用
w 。
（9－5）
2 2 2 E zx z w, 2 4 x 2 1 2 2 2 E zy z w。 2 4 y 2 1
从而有
u w v w , z x z y
第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法汇总
§9-2 弹性曲面微分方程
按位移求解，基本未知量 w w( x, y) 。 1. 用w表示形变分量 将假定（1），即式（9-1）对z积分：
v w z f 1 ( x, y ) y
，
u
w z f 2 ( x, y ) x
f 2 ( x, y) 0 ，即 f1 ( x, y) 0 ， 应用假定（3），即式（9-3），有：
b代9将式b代入弹性曲面微分方程98得qbmbamamd??????4224241624c因为m是常数所以q也必须是常数可见薄板所受的荷载必须是均布荷载即也必须是常数可见薄板所受的荷载必须是均布荷载即qq0由c式求出m再代入式b得???????????????422422222032381bbaadbyaxqw再按照式910求内力由式d得到弯矩?????????????2222ywxwdmxd?????????????????????????????????2222422222424224013133232bbaxbyabayaxbbaaq????????????????????????????????????????????22224222224242240222213133232abayaxbbaxbybbaaqxwywdmyef对于o点及a点图96得到????????????????442222200032321bababaaqmyxx?????????4422200323babaaqmyaxxob图9得对于o点及b点图96得到????????????????442222200032321abababbqmyxyg?????????4422200323ababbqmbyxyh假定agt
2）扭矩由xy合成：
M xy 2d z xy dz
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注意： 由于在板的侧面，很难使应力分量精确地满足应力边界条件，但板的 侧面是板的次要边界，可应用圣维南原理，用内力的边界条件来代替 应力的边界条件
从薄板内取出一个平行六面体， 它的三边长度分别为dx, dy和板的厚度
图（9－2）
在x为常量的横截面上，作用着 x , y , xz
在该截面的每单位宽度上，应力分量 x 对中面合成为弯矩 M 2 z dz x a x
（a ）
3）将主要应力分量
x , y , xy 用
w
（9－4）
Ez 2 w 2w x 2 , 2 2 1 x y 2 2 Ez w w y 2 , 2 2 1 y x 2 Ez w xy 。 1 xy
w 0 x x0
即：
2w 0 xy xa, y b
例题：假定矩形扳支承与承受荷载如图7.10，试写出挠度表示的各边边界条件
O b
M0 C x
A
y q
a
B z
解：1) 固定边OA的边界条件是：
(w) x 0 0
w ( ) x 0 0 x
薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解，取挠 度 w w x, y 作为基本未知函数。
1)将纵向位移
纵向位移表示为
u, v 用挠度 w 表示。
u
w w z, v z。 x y
x , y , xy 2）将主要应变分量
用 w
表示
u 2w v 2w x 2 z, y 2 z, x x y y 2 v u w xy 2 x y xy
1 z z 2q 2
2
z,
z 1 。
• 由内力表示的平衡微分方程
Qx Q y q 0 x y M x M yx Qx 0 x y M xy M y Qy 0 x y
2 M xy 2 M y 2M x 2 q 0 2 2 xy x y
6）导出微分方程
根据薄板的上板面的边界条件
z z
q,
2
将
z
的表达式代入上式，得到薄板的弹性曲面微分方程
E 3 4 wq 2 12 1
E 3 其中 D 12 1 2
或
D4 w q,
称为薄板的弯曲刚度
§9－3薄板横截面上的内力
薄板内力： 指薄板横截面的每单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩
薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即
u z 0
由几何方程知
0, v z 0 0 。
x z0 0, y z 0, xy z0 0
可知，中间的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy面上的 投影形状却保持不变
§9-2 弹性曲面的微分方程
（9－10）
薄板内力正负方向的规定，是从应力的正负的方向的规定来得出的：
正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正； 反之为负 所有内力的正方向，如图（9－3）所示
My
M yx
dx
Mx
Mx
x
M xy
M dx x
M xy
M xy x
dx
dy
My M dy y
M yx
M பைடு நூலகம்x y
dy
y
FSy
FSx
FSy y
FSx
FSx dx x
FSy
dy
图（9－3）
各应力分量与内力的关系
x
12M x
3
z , y
3
12M y
3
z,
（9－11）
xy yx
12M xy
2 6 F 6 FSx 2 Sy 2 2 zx 3 z , yz 3 z , 4 4
所以，简支边的边界条件可写成
(w) y=0=0
2w y 2 0 y 0
（3）固定边 在x＝0的固定边上，挠度和转角为零，故边界条件可写成 (w) x=0=0 （4）角点条件 板边的分布扭矩代换为分布剪力后，在角点将出现一个集中力，这个集中 力就是支座对板角点的集中反力。在求得挠度后，这个集中力可由式求得 对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则要求 RB =2(Myx)x=a, y=b = 0，
4）两自由边的交点B (w)x=a,y=b=0 (2Mxy) x=a,y=b=RB是B点支座的被动反力。
§9－5 ：受均匀分布荷载四边简支板的Navier解 解：设挠度为三角级数形式 ny mx w Amn sin sin a b 它能满足所有的边界条件，即
(w) x=0=0
(
w ) 0 2 x 0 x
2w 2 w 2 2 0 y x a x
自由边AB：
(My)y=b=0
2w 2 w 2 2 0 x x b y
(Vy)y=b = q
3w 3w D 3 ( 2 ) 2 q x y y b y
2 a
将式（9－4）中的第一式代入并对z进行积分，得
3 2 2 E 2 w 2 w a E w w 2 2 Mx 2 a z dz 2 2 2 2 2 1 x y 2 12(1 ) x y
（2）简支边 在y=0的简支边界上，挠度和弯矩应为零，即
2 2 w w (w) y=0=0， (My) y=0＝ y 2 x 2 0 y 0
2 w w 由于(w) y=0=0表示沿x轴，w无变化，必然有 0 ， x 2 0 x y 0 y 0
从而有
u w v w , z x z y
可见：中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线
薄板的物理方程
1 x x y , E 1 y y x , E 2 1 xy xy。 E
M yx Vy Qy x
此外，还有两端未抵消的集中剪力
RA＝(Myx)A， RB＝(Myx)B
Vx Qx
M xy y
及两端的集中力
RB＝(Mxy)B，RC＝(Mxy)C
O RB A y RA z B RC C x
最终角点B出现未抵消的的集中力应是
RB＝(Myx)B＋(Mxy)B＝2(Myx)B
3 2 E 2w a E w 2 2 z dz 同理： M xy a 1 xy 2 12(1 ) xy
（a）
(b）
E 3 2 FSx w 2 12(1 ) X
(c）
同样，在y为常数的横截面上，
3 2 2 E w w M y 2 z y dz , 2 2 2 12(1 ) y x 2
（d）
M yx
3 2 E w 2 z yx dz M xy , 12(1 ) xy 2
（e）
E 3 2 FSy w。 2 12(1 ) y
将式（9－9）代入式（a）至（f），薄板的内力可简写成
（f）
2w 2w 2w 2w M x D 2 2 , M y D 2 2 , y x x y 2w M xy M yx D 1 , xy FSx D 2 w, FSy D 2 w。 x y
§9－4 扭矩的等效剪力 边界条件
• 侧边边界条件由圣维南原理满足 • 将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力
x
C z A y B
Myx
M yx
M yx dx x
(Myx )B
B
A
(Myx )A
dx
dx
• 可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替
M yx dx ，方向相反，相距dx的垂直力代替 • 可用2个大小相等为 M yx x
其中
2 2 2 2 x y 2
5）将更次要应力分量
z
用
w
表示。
z
2 E 1 3 3 4 w z z 2 2 3 8 2 1 4
2
E 3 z z 4 1 1 。 w 2 6 1 2
第九章
§ 9－ 1 § 9－ 2 § 9－ 3 § 9－ 4 § 9－ 5 § 9－ 6
薄板弯曲问题
有关概念及计算假定 弹性曲面的微分方程 薄板横截面上的内力 边界条件 四边简支矩形薄板的重三角形积数解 矩形薄板的但三角形级数解
§ 9－7
§ 9－ 8
矩形薄板的差分解
圆形薄板的弯曲
§ 9－9
圆形薄板的轴对称弯曲
3w 3w Vx D 3 ( 2 v ) xy 2 x 3w 3w V y D 3 (2 v) 2 x y y
2w RB 2 D(1 v)( ) xy
O
C
x
b
A y
a
B
（1）自由边 弯矩和合成剪力为零，因此， 在x=a上， Mx=0，Vx＝0， 在y=b上，My=0，Vy＝0，
取
z zx yz
可以不计。
z 0
由几何方程的第三式得
w 0 w w x, y z
结论：中面的任一根法线上的各点都有相同的横向位移，也就等于挠度