人教版八年级下册勾股定理的逆定理学案

勾股定理逆定理及应用

一、基础知识点

知识点1 逆命题与逆定理

1）命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题

2）互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。

若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题

3）逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理

例1.指出下列命题的题设和结论，写出其逆命题，并判断逆命题是否为真命题。

（1）两直线平行，同位角相等；（2）等边对等角；

（3）如果ab=0，那么a=0且b=0；（4）如果a2=b2，那么a=b；

（5）轴对称图形是等腰三角形。

知识点2 勾股定理的逆定理

1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。

注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形

例1.已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，则△ABC是() A. 直角三角形 B. 等腰三角形

C. 等腰三角形或直角三角形

D. 等腰直角三角形知识点3 勾股数

1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数

2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；

注：这两组勾股数的倍数也是勾股数，在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2。

二、典型题型

题型1 勾股定理逆定理的实际应用

例1.某住在小区有一块草坪如图，已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，且AB⊥BC，求这块草坪的面积。

题型2 利用勾股定理逆定理证垂直

例1.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4√5，CD=8.

（1）求∠ADC的度数；

（2）求四边形ABCD的面积。

题型3 运用勾股定理的逆定理判定三角形的形状

例1. 判断三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形。

题型4 网络作图

例1.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D

中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4 三、难点题型勾股定理的综合

例1.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求△ABC的面积。

四、课堂练习

1、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）

A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD

2. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：

①能组成一个三角形 ②能组成三角形

③能组成直角三角形 ④能组成直角三角形

其中正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．如图所示，在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，N 为AD 上的一点，且AN=AD ，试猜测△CMN 是什么三角形，请证明你的结论．

勾股定理逆定理及应用作业

一、选择题

1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A ．4，5，6

B ．2，3，4

C

，4 D ．1

2．三角形的三边长a ，b ，c 满足关系式（a+2b ﹣60）2+|b ﹣

，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．等腰三角形

D ．直角三角形

3．下列是勾股数的有

( )

c b a ,,c h 222,,c b a c b a ,,h b a h c ,,++h

b a 1

,1,

1

① 3、4、5；② 5、12 、13；③ 9、40 、41；

④ 13、14、15；71017

、、⑥ 11 、60 、61

A．6组B．5组C．4组D．3组

4．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C

恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）

A．

10

B

．

10

C．

10

D．5

5．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm, BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，

则四边形ABCD的面积为（）

A．6cm2B．30cm2C．24cm2D．72cm2

二、填空题

6．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．

7．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、

BC边上均速移动，它们的速度分别为V

p

=2cm/s，V

Q

=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两

点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___s时，△PBQ为直角三角形．

8．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发

沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，

（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：

（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

（本题可根据需要，自己画图并解答）