劳斯判据特殊情况1

n n 1 n n2 n 3 2 n4 n 5 3
n
n2 n 3
n
n4 n 5
n2 n 3
n 1 1
n 1
n 1
1
2
n 1
n 1
1
2
3
n 1 1
n 3 2
n 1 1
n 5 3
1
0
1
2
1
1
三、劳斯判据
系统稳定的充分必要条件: 特征方程的全部系数都是正数, 且劳斯表第一列元素都是正数
三、劳斯判据
1、赫尔维茨判据 设线性系统的特征方程为 则使线性系统稳定的必要条件是：上式各项系数为正。 证明： D( s) a0 s n a1s n1 ... an1s an K (s p1 )( s p2 )...( s pn ) 若所有的特征根均在s平面左边，则有 p j 0 或者说 p j 0 ，那么他们的多项式相乘后，系数一定也大于零。

设闭环传递函数为
拉氏反变换后得
q j 1
c(t ) A j e Bk e k k t cos(k 1 k2 )t
s jt k 1
r

k 1
r
Ck Bk k k
k 1 k2
Bk e kk t sin( k 1 k2 )t
注意：该判据为稳定的必要条件，故通常用来判断系 统不稳定的情况，而不能判断系统稳定。
D( s) a0 s a1s
n
n 1
... an1s an 0
三、劳斯判据
2、劳斯判据（1977年由Routh提出的代数判据） ①系统的特征方程 D(s) a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 各项系数均为正； ②按特征方程的系数列些劳斯表 s | a a a a a a a s | a a a a a a a b s | b b b b a a s | c c c a a a | a b b b b s | c c b b s |
Routh表第一列元素符号改变2次, 有2个正实部的根, 系统不稳定
[例] 解:
s 3 s 3 s 3s 2 0
s 3 s 2 s 1 s 0 s
4
4
3
2
判稳
| 1 3 2 | 3 3 | 2 2 | | 2
Hale Waihona Puke Baidu
用ε代表0, 此时有一虚根存在,系统是不稳定的. 根为: +j, -j, -1, -2
0 0
三阶系统稳定的充要条件是:
ai 0且 a1 a 2 a3 a 0 0
[例] 解:
3 2 2 3 s s s 4s 5 0
4
判稳
5 0
s | 3 s |

4
1 2 1 3
3 4 1 5 2 0 5 2 0
s s s
2
|
1
|
0
|
2 4 1 2 2 4 1 5 6 1 1 5 6 0 5 6
时域分析法
稳定性分析
稳定性的概念 线性系统稳定的充分必要条件 劳斯判据
特殊情况1
特殊情况2
系统稳定性的概念
一、系统的稳定性定义

系统的稳定性定义：系统在受到外作用力作 用后，偏离了最初的工作点；而当外作用力 消失以后，系统又能返回到原来的工作点， 则称系统是稳定的。
在线性系统中，定义为：若线性系统在初始 扰动作用下，其动态过程随时间的推移逐渐 衰减并趋向于零（原来的平衡工作点），则 称系统稳定；反之，若在初始扰动作用下， 系统的动态过程随时间的推移而发散，则称 系统是不稳定的。
t
三、劳斯判据


根据稳定的充要条件来判别系统的稳定性， 需要求出系统的全部特征根。对于高阶系 统，求跟的工作量很大，因此，希望使用 一种间接判断系统特征根是否全部位于s左 半平面的代替方法。 劳斯和赫尔维茨分别于1877年和1895年独立 提出了判断系统稳定的代数判据，称为劳 斯-赫尔维茨稳定判据。


二、系统稳定的充要条件

M ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s) D( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an 由于 (t ) 的拉氏变换为1，设 si (i 1,2....n)为特征根 n Ai M ( s ) 所以输出的拉氏变换为 C (s) 1 G(s) D( s) i 1 s si
三、劳斯判据——特殊情况1
③劳斯判据使用中的特殊情况
a 劳斯表中某行的第一项为零，其余都不为零或 不全为零。 此时计算时，会使下一行第一个元素无穷大。 改进：用（s+a）乘以原特征方程。
二、系统稳定的充要条件
分析上式得，当且仅当系统的特征根全部具有负 实部时，才能满足 lim c(t ) 0 的条件。 t 若特征根中有一个或以上的正实部根，则 lim c(t ) 表明系统不稳定。

t


若特征根有一个或以上的零实部根，而且其余的 特征根均具有负实部，则脉冲响应下 lim c(t ) 趋于常 数，或趋于等幅振荡，按照稳定的定义，系统是 不稳定的，称为临界稳定。 总结 线性系统稳定的充要条件：闭环系统特征 方程所以根，均有负实部；或闭环传递函数的极 点均严格位于s的左半平面。
在劳斯表中,同一个正整数去除或乘某一行,不会改变劳 斯判据的结论
位于右半S平面根的个数=劳斯表第一列元素符号改变的 次数
三、劳斯判据

例： 特征方程为a s3 a s2 a s a 0 3 2 1 0
判稳
s 2 s s s
1 0
3
a3 a1 a2 a0 a1 a 2 a 3 a 0 0 a2 a0

二、系统稳定的充要条件

线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特 性，而与外界条件无关。
故设线性系统在初始条件为零时，作用一个 理想单位脉冲信号 (t ) ，这时系统的输出 量为脉冲响应 c(t ) 。这相当于系统在扰动 信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的 问题。 c(t ) 0 ，则系 若 t 时，脉冲响应为lim t 统是稳定的。