劳斯判据特殊情况1
第三章劳斯判据1
该系统不稳定
有两个正实部根
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
1、劳斯稳定判据（首项为０） 设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
3 4 2 -8 -8 2 ε +8 7 ε -8(2 +8)-7 ε ε ε 7
1 2 1 ε 0
2
劳斯阵列
设系统的特征方程为 D( s) a0 s n a1s n 1 a2 s n 2 ... an 1s an 0 第一列符号改变的次数等于特征方程正实部根的个数
sn s n 1 s
n 2
a0 a1
a2 a3
a4 a5
s n 3
s0
a 1a 2 a 0 a 3 a 1a 4 a 0 a 5 a 1a 6 a 0 a 7 c 13 c 23 c 33 a1 a1 a1 c 13a 3 a 1c 23 c 13a 5 a 1c 33 c 13a 7 a 1c 43 c 14 c 24 c 34 c 13 c 13 c 13
3-6 线性系统的误差分析
26
一、 稳态误差的定义
（1）求系统稳定K1的取值范围； （2）要求闭环极点全部位于s= -1垂线之左，求K1的取值范围。 （2）将s=z-1代入原式，新特征方程 解：（1）系统闭环传递函数为 6500 +6443z+(6500K1-6471)=0 ( D(z)=z3+27z2s K 1) ( s ) 3 劳斯表 s 30s 2 6500s 6500K1 闭环特征方程 D(s)= s 3+30 s 2+6500 s +6500K1=0 z3 1 6443 劳斯表 3 s27 1 6500 z2 6500K1-6471 s2 30 6500K 30 6500 6500K 1 z1 s 1 6443 6500K 130 27 6471 s0 27 6500K1 K1取值范围是０＞ K1 ＞３０ K1取值范围是 1 K1 27.76 z0 6500K1-6471
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
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例题4：s6 s5 6s4 5s3 9s2 4s 4 0
S6 1
6
S5 1
5
9
4
辅助方程
4
0
S4 1
5
4
S3
0 4
0 10
0 0
S2 2.5
4
0
0 s4 5s2 4 0
0 0 4s3 10s 0 0
S1 3.6
0
0
0
S0 4
0
0
0
某一行全为零，说明存在对称于原点的根，系统不稳定
No.15
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图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
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图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
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例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
系统稳定性分析之 ——劳斯判据
一、系统稳定的重要性
图1“舞动的格蒂”—首座塔科马大桥
No.2
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二、系统稳定性的基本概念和条件
1、定义：如果线性控制系统在初始扰动的作 用下，使被控量产生偏差，当扰动消失后，该 偏差随着时间的推移逐渐减小并趋于零，即系 统趋于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳 定。反之，如果在初始扰动的作用下，系统的 偏差随着时间的推移而发散，系统无法趋于原 来的工作状态，则称系统不稳定。
传递函数K4/S
劳 斯 判 据
图4-1 系统的结构图
1
K
系统的闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
1
s
(s 1
1)(s K
2)
s3
K 3s2
2s
K
s (s 1)(s 2)
系统的闭环特征方程为
s3 3s2 2s K 0
劳斯判据
1.4 劳斯判据在系统分析中的应用
列出劳斯表为
s3
1
2
s2
3
K
s1 6 K 3
s0
D(s)
n
(s pj )
n1
n2
(s pl ) (s2 2k s k2 )
j 1
l 1
k 1
n1
将式（4-2）展成部分分式形式 C(s)
Al
n2
Bk
l1 s pl k 1 s2 2k s k2
（4-2） （4-3）
式中 Al —— C(s) 在闭环实极点 pl 处的留数；
Bk —— C(s) 在闭环复数极点 s k jk 1 2 处的留数。
方法一：用一个接近于零的很小的正数来代替这个零，并据其计算出劳斯表中的其 余各项。
方法二：用代入原方程，重新列出劳斯表，再用劳斯判据判断系统的稳定性。
劳斯判据
1.3 劳斯判据的特殊情况
【例 4-3】 已知系统的闭环特征方程为
s4 2s3 s2 2s 1 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
在劳斯表第1列系数中，ε是接近
在零初始条件下，若闭环系统的输入信号 r(t) 在[0，) 上满足 r(t) N ，而在此输入信
号作用下的输出响应 c(t)
g( )r(t
)d
满足
三稳定性时域判据—Routh判据
2
⒉列出劳斯表，劳斯表将有n+1行；此例有7行。
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
a6 a5 b1 c1 d1 e1 a0
a4 a3 b2 c2 a0 0
a2 a1 a0 0
a0 0
5.2 Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
sn a a n 1 n 1 a s 1 s 0 ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) an an an
例1 系统的特征方程 D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0 Routh 表：
s s3 s2 s1 s0
4
1 1 1 ( 19 ) 1 11 30 1 ( 30 ) 11 1 30 12 30 30
19 11 30 0 0
30 0 0 （改变符号一次） 0 （改变符号一次） 0
系统不稳定,系统包含一个具有正实部的特征根!
举例1 Consider the stability of a system having the characteristic equation of
s 41.5s 517 s 2.3 10 0
3 2 4
The complete Routh array is 3 1 517 s 4 2 41 . 5 2 . 3 10 s 1 38 . 5 0 s 4 0 0 s 2 . 3 10
自动控制理论知识点总结
1.自控系统的基本要求：稳定性、快速性、准确性（P13）稳定性是由系统结构和参数决定的，与外界因素无关，这是因为控制系统一般含有储能元件或者惯性元件，其储能元件的能量不能突变。
因此系统收到扰动或者输入量时，控制过程不会立即完成，有一定的延缓，这就使被控量恢复期望值或有输入量有一个时间过程，称为过渡过程。
快速性对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般称为动态性能。
准确性过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一致。
但由于系统结构，外作用形式及摩擦，间隙等非线性因素的影响，被控量的稳态值与期望值之间会有误差的存在，称为稳态误差。
+2.选作典型外作用的函数应具备的条件：1）这种函数在现场或试验室中容易得到2）控制系统在这种函数作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能。
3）这种函数的数学表达式简单，便于理论计算。
常用典型函数：阶跃函数，幅值为1的阶跃称为单位阶跃函数斜坡函数脉冲函数，其强度通常用其面积表示，面积为1的称为单位脉冲函数或δ函数正弦函数，f(t)=Asin(ωt-φ)，A角频率，ω角频率，φ初相角3.控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。
（P21）静态数学模型：在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程建立数学模型的方法：分析法根据系统运动机理、物理规律列写运动方程实验法人为给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用合适的数学模型去逼近，也称为系统辨识。
时域中的数学模型有：微分方程、差分方程、状态方程复域中的数学模型有：传递函数、结构图频域中的数学模型有：频率特性4.非线性微分方程的线性化：切线法或称为小偏差法（P27）小偏差法其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。
连续变化的非线性函数y=f（x），取平衡状态A为工作点，在A点处用泰勒级数展开，当增量很小时略去高次幂可得函数y=f（x）在A点附近的增量线性化方程y=Kx，其中K是函数f（x）在A 点的切线斜率。
三稳定性时域判据—Routh判据
3
3s
2 0
举 例 4
Determine the number of right half-plane poles in the closed-loop transfer function, if its characteristic equation is
s 2s 8s 12s 20 16s 16 0s
3
2s
2
s K 0
Routh's array
s 1 2 2 s 1 1 0 .5 K s 0 K s
3
1 0 0
K
So that the value of K is as
0 K 2
举例3
s
If ε is chosen Form the Routh array, positive, the system is unstable and has two replace the zero by an poles in the right halfepsilon, ε , and plane. If ε is chosen complete the array. negative , the result is 3 exactly the same as 3 1 s 0 ( ) 2 that for a positive 2 s 3 2 choice for ε. 1 0 s 0 Thus, the system is s 2 0 unstable .
2. 系统稳定的充要条件
n n 1 特征方程： D( s ) an s an1 s a1 s a0 0
Routh 表：
sn an an 2 an 3 A2 B2 D2 an 4 an 5 A3 B3 an 6 an 7 A4 B4 s n 1 a n 1 s n 2 A1 s n 3 B1 s s1 s
第三章——续3.3节(劳斯判据的特殊情况、应用)
用P（S）= 0可求出不稳定根
p( s) 10s 2 40 10( s 2 4) 0
一对共轭虚根 s1,2 j 2 系统临界稳定（工程上属不稳定）
5
练习：判稳，如果不稳定求不稳定根的值。
s 6 2s 5 8s 4 12 s 3 20 s 2 16 s 16 0
3.3 稳定性
三 劳斯判据的几种特殊情况
1 劳斯表中第一列出现零元素
处理方法： 用一个小的正数 代替零元素， 继续计算劳斯表。 判断：令 0 ，判断变号次数 不变号临界稳定 变号不稳定
1
例3-5 s 2s s 2s 1 0
4 3 2
s4 3 s 2 s 1 s s0
s 2 s 1 s s0
3
1 6
5
2K1
30 2 K1 6
2K1
0
2 K1 0 0 K1 15 30 2 K1 0
10
练 习 例，已知单位负反馈系统开环传函如下， 确定系统稳定时K值的范围
解：
D( s) s 15 s 50 s 50 K 0
R (s )
解：开环
s 1 s
10 s ( s 1)
C (s)
10 ( zs 1) G (s) H (s) 2 s ( s 1)
10(s 1) 10(s 1) W ( s) 2 3 2 s ( s 1) 10(s 1) s s 10s 10
s3, 4 2
稳定性由系统结构参数决定——本身固有特征， (t ) 无关 r 稳定性与根的分布有对应关系——充要条件——虚轴为分界线
劳斯判据特殊情况的研究
ａ ｐ ｐ ｅ ａ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｅ ｖ ｅ ｎ ｐ ｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ａ ｒ ｅ ｖ ｅ ｒ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ，ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｅ ｖ ｅ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ ｉ ｎ ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ａ ｎ ｃ ｅ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｒ ｅ ｑ ｕ ｉ ｒ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｓ ．Ｉ ｔ ｓ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｂ ｙ ｃ ｏ ｎ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：Ｈ ｕ ｒ ｗｉ ｔ ｚ ｐ ｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ ；Ｒｏ ｕ ｔ ｈ ｃ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ｉ ｏ ｎ；ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
０ 引言
劳 斯判 据是 自动控 制 理论 中使 用 的三种代 数判 据 中重要 的稳 定性 判据 ，能够 根据 劳斯 表 中第 一列 元 素判 断系 统是 否稳定 ，并 且 能够判 断 出现 不稳定 根 的数量 ，但 劳斯 判据 在使用 时也 会 出现一些 特殊 情 况 ，如劳 斯表 中 出现全 零行 ，应 用赫 尔维 茨多项 式及 其连 分性 质 和代 数 多项式 分解 理论 ，可分 析 出
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｗ ｉ ｔ ｈ ａ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｃ ａｓ ｅ ｏｆ ａｌ ｌ ｚ ｅ ｒ ｏ ｌ ｉ ｎｅ ｏｃ ｃ ｕｒ ｒ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈｅ ａ ｐｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏｆ Ｒｏｕｔ ｈ ｃ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ｉ ｏ ｎ， ｔ ｈｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｈ ｉ ｐ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ａ ｕｘｉ ｌ ｉ ａ ｒ ｙ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏｎ ａｎ ｄ ｃ ｈａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｅ ｑｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ａ ｎａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ ａ ｎｄ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈｅ ｄ ．Ｔｈ ｒ ｏ ｕｇ ｈ ｔ ｈｅ Ｈｕ ｒ ｗｉ ｔ ｚ ｐｏ ｌ — ｙ ｎｏｍ ｉ ａ ｌ ａ ｎｄ ｃ ｏ ｎｔ ｉ ｎｕ ｏｕｓ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｐｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏｒ ｐ ｏｌ ｙｎ ｏｍ ｉ ａ ｌ ， ｗｉ ｔ ｈ Ｒ ｏ ｕｔ ｈ ｃ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ｉ ｏ ｎ， ｔ ｈｅ ｃ ｏｎ ｄｉ ｔ ｉ ｏｎ ｓ ｆ ｏｒ ｔ ｈ ｅ
自动控制原理劳斯判据
自动控制原理劳斯判据
自动控制原理中的劳斯判据，又称为代数稳定判据，是一种用于判断系统稳定性的方法。
它根据系统特征方程来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性。
使用劳斯判据时，我们首先需要列出系统的特征方程。
然后，我们可以利用劳斯判据来确定该方程的正实部根的个数。
如果根的个数与劳斯判定表第一列元素的正负符号的变化次数相同，那么系统是稳定的。
如果根的个数多于或少于正负符号的变化次数，则系统是不稳定的。
此外，劳斯判据还有一些特殊情况的处理方式。
如果特征方程的第一列中出现零元素，则可以将这些零元素用某个小量ε代替，或者用因子(s+a)乘以原特征方程。
如果出现全零行，则说明特征根关于零点对称。
此时，我们可以构造一个辅助方程F(s)=0，并对该方程求导，使用所得导数方程的系数。
这样做可以增加开环零点，使系统的稳定性变得更好。
劳斯判据1
第一种特殊情况：劳斯阵列中某行的第一列元素
为零，其他列元素不为零或不全为零。
例：系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0 试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为 s3 1 3 2
s2
s1
ε 0
b1 2 3
(1)用一很小的正数来代替 为零的项
2 s0 ∴系统有两个正根，不稳定。
自动控制原理
授课期班：生物医学工程
授课教师：欧仁侠
一、劳斯判据的内容
二、劳斯判据中的两种特殊情况 三、小结
设线性系统的闭环特征多项式为
D(s) a0 s n a1s n1 a2 s n2 an1s an 0
根据闭环特征方程各项的系数构造劳斯表。 sn sn-1 sn-2 sn-3 a0 a1
(2)用因子（s+a）乘以原特征方程式，a可以是任
意正数，然后对新的特征方程列写劳斯阵列。
（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0
s4
s3 s2 s1 s0
1 3 2/3 20
3 7 6
6
6
第二种特殊情况：劳斯阵列中某行的元素全部为零。
用全零行上面一行各项的系数构造辅助多项式
F(s)，求F(s)的一阶导数，用所得导数多项式的系
数代替全零行的元素，再继续列写。从而可以确定
系统的正根个数。
设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0 试用劳斯判据判断系统稳定性。 解: 该系统的劳斯表如下
劳斯判据
三、劳斯判据
根据稳定的充要条件来判别系统的稳定性， 需要求出系统的全部特征根。对于高阶系 统，求跟的工作量很大，因此，希望使用 一种间接判断系统特征根是否全部位于s左 半平面的代替方法。 劳斯和赫尔维茨分别于1877年和1895年独立 提出了判断系统稳定的代数判据，称为劳 斯-赫尔维茨稳定判据。
注意：该判据为稳定的必要条件，故通常用来判断系 统不稳定的情况，而不能判断系统稳定。
D( s) a0 s a1s
n
n 1
... an1s an 0
三、劳斯判据
2、劳斯判据（1977年由Routh提出的代数判据） ①系统的特征方程 D(s) a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 各项系数均为正； ②按特征方程的系数列些劳斯表 s | a a a a a a a s | a a a a a a a b s | b b b b a a s | c c c a a a | a b b b b s | c c b b s |
三、劳斯判据
1、赫尔维茨判据 设线性系统的特征方程为 则使线性系统稳定的必要条件是：上式各项系数为正。 证明： D( s) a0 s n a1s n1 ... an1s an K (s p1 )( s p2 )...( s pn ) 若所有的特征根均在s平面左边，则有 p j 0 或者说 p j 0 ，那么他们的多项式相乘后，系数一定也大于零。
二、系统稳定的充要பைடு நூலகம்件
M ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s) D( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an 由于 (t ) 的拉氏变换为1，设 si (i 1,2....n)为特征根 n Ai M ( s ) 所以输出的拉氏变换为 C (s) 1 G(s) D( s) i 1 s si
劳斯判据特殊情况1
判稳
解: S 5 | 1 3 2
4 S | 1 3 2 3 S | 0 0 0 全零行，若要了解根的分布
则作辅助方程 Q(s) s 4 3 s 2 2 0 求导
s 4 s 3 s 2 s s s
1 0 5
4 s 3 6s 0
1 1 4 3 2 2 3 2 3 3 6 2 2 2
二、系统稳定的充要条件
线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特 性，而与外界条件无关。
故设线性系统在初始条件为零时，作用一个 理想单位脉冲信号 (t ) ，这时系统的输出 量为脉冲响应 c(t ) 。这相当于系统在扰动 信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的 问题。 c(t ) 0 ，则系 若 t 时，脉冲响应为lim t 统是稳定的。
解:
( s) G , G (s) 1 G ( s)
K B K
1 G K ( s )闭环特征方程
s (0.1s 1)( 0.25s 1) K 0
s
3
14 s 40 s 40 K 0 0 K 14
2
K 0 14 40 1 40 K 0
在劳斯表中,同一个正整数去除或乘某一行,不会改变劳 斯判据的结论
位于右半S平面根的个数=劳斯表第一列元素符号改变的 次数
三、劳斯判据
例： 特征方程为a s3 a s2 a s a 0 3 2 1 0
判稳
s 2 s s s
1 0
3
a3 a1 a2 a0 a1 a 2 a 3 a 0 0 a2 a0
R( s ) +
-
K s(0.1s 1)(0.25s 1)
5.2 Routh(劳斯)稳定判据
一、系统稳定的必要条件
• 设系统特征方程为：
(5.2.1)
• 将式<5. 2. 1)中各项同除以Qn并分解因式，得
(5.2.4)
• 从式(5.2.4)可知，要使全部特征根均具有负实部，就必须 满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件。 – (1)特征方程的各项系数都不等于零。 • 因为若有一系数为零，则必出现实部为零的特征根或 实部有正有负的特征根，才能满足式（5.2-4)中各式， 此时系统为临界稳定或不稳定。 – (2）特征方程的各项系数的符号都相同 – 按习惯，一般取ai为正值，因此，上述两个条件可归结 为系统稳定的一个必要条件，即 an>0，an-1>0，…，a1>0，a0>0 (5.2.5)
• 例3设某系统的特征方程
• 试确定待定参数λ 及μ ，以便使系统稳定。 • 解根据特征方程的各项系数，列出Routh表：
• 根据Routh表，由系统稳定的充要条件，有
• 所以，使系统稳定的叔产的取值范围为 λ ＞0及μ ＞1
三、Routh判据的特殊情况
• (1)如果在Routh表中任意一行的第一个元为 零，而其后各元均不为零或部分地不为零， 则在计算下一行第一个元时，该元必将趋 于无穷大。于是，Routh表的计算将无法进 行。 • 为了克服这一困难，可以用一个很小的正 数。来代替第一列等于零的元，然后计算 Routh表的其余各元。
1. Routh表
sn s n1
s s
n 2
an an 1
A1 B1 an 1an 2 an an 3 an 1 A1an 3 an 1 A2 A1
A2
an2
an4
… … … … … 0
an 3
劳斯判据的证明及应用
劳斯判据的证明及应用劳斯判据（Rayleigh's criterion）是描述两个正交振动的符合条件的充分必要条件。
它由英国物理学家勒克·埃尔斯利·劳斯（Lord Rayleigh）于1879年提出，并被广泛应用于光学、声学、信号处理等领域。
首先，我们来推导劳斯判据的证明。
假设有两列正交的振动，分别用x(t)和y(t)表示，其中t表示时间。
为了方便计算，我们可以将振动表示为复指数形式：x(t) = Re [ Xexp(iωt) ]和y(t) = Re [ Y exp(iωt) ]，其中X和Y是复振幅，ω是角频率。
我们定义振动的互强度（cross-intensity）为Ix,y(t) =x(t)y*(t)，其中y*表示y的复共轭。
根据定义，我们有：Ix,y(t) = Re [ X exp(iωt) Y* exp(-iωt) ] = Re [ XY* ]为了计算Ix,y(t)的平均值，我们需要对振动周期T进行时间平均：<Ix,y> = (1/T) ∫[0,T] Ix,y(t) dt将Ix,y(t)代入上式，并利用Euler公式（exp(iθ) = cosθ + isinθ）展开，可以得到：<Ix,y> = (1/T) ∫[0,T] Re [ XY* ] dt= (1/T) Re [ X∫[0,T] Y* dt ]= (1/T) Re [ X∫[0,T] Re [ Y* ] dt ]根据劳斯判据的定义，<Ix,y>=0，因此我们有：Re [ X∫[0,T] Re [ Y* ] dt ] = 0由于X是任意复振幅，我们可以独立地选取它的实部和虚部分别为1和0。
这样，上式可以简化为：Re [ ∫[0,T] Re [ Y* ] dt ] = 0我们知道，对于任意实函数f(t)，其实部的积分与f(t)的本征函数cos(ωt)正交。
∫[0,T] Re [ Y* ] dt = 0这就是劳斯判据的证明，根据这个证明，我们可以得到劳斯判据的应用。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据是流体力学中的一个重要概念，用于判断流体在流动过程中是否是层流或湍流状态。
该判据由德国物理学家约翰·瓦塞姆·劳斯在1851年提出，被广泛应用于流体力学的研究中。
劳斯判据的表达式为：Re = ρvl/μ其中Re表示劳斯数，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，l表示流体流动的特征长度，μ表示流体的黏度。
劳斯判据的计算结果可以代表流体流动的状态。
当劳斯数小于一定的阈值时，流体处于层流状态；当劳斯数大于一定的阈值时，流体处于湍流状态。
劳斯数越大，流体的湍流程度越高。
1. 与流体的性质有关：劳斯数的分子包括流体的密度、流速、特征长度等参数，分母为流体的黏度。
由于这些参数直接反映了流体的性质，因此劳斯判据与流体性质密切相关。
2. 对流动稳定性判断：劳斯判据可以用来判断流体流动的稳定性。
当劳斯数小于一定的阈值时，流体呈现出层流状态，流动较为稳定；当劳斯数大于一定阈值时，流体呈现出湍流状态，流动较为不稳定。
这对于一些工程应用非常重要，如管道输送流体、飞机机翼表面流动等。
3. 与流动问题的解析和计算有关：劳斯判据的使用可以简化流体力学问题的解析和计算。
通过计算劳斯数，可以快速判断流体流动的状态，从而决定采用哪种计算或解析方法。
对于层流问题，可以采用一些简化的假设和解析计算方法；而对于湍流问题，需要考虑湍流的复杂性，采用更加复杂的数值模拟和实验方法。
4. 与流体管道流动有关：劳斯判据在研究管道中的流体流动时得到广泛应用。
在工程中，管道输送流体是一种常见的情况，判断流体流动状态对于设计和优化管道系统至关重要。
劳斯判据的使用可以帮助工程师确定流体是否会出现湍流现象，从而选择合适的管道尺寸和流量控制方式。
5. 劳斯判据的局限性：劳斯判据是基于一些假设和近似推导得到的，因此其适用范围是有限的。
特别是在一些复杂的流动情况下，如多相流、非牛顿流体等，劳斯判据可能不能准确判断流动的状态。
劳斯判据的证明及应用
劳斯判据的证明及应用一．劳斯判据的证明设线性系统特征方程为23101231()n n n n P s p p s p s p s p s p s --=++++++(1.1)，建立一个与特征方程系数有关的矩阵R （P ）（劳斯表与教材所列有所不同，将在本文证明部分最劳斯判据：R(P)的第一列各值都为正时由特征方程（1.1）表征的线性系统稳定。
证明：设23+0246()P s p p s p s p s =++++ ，23-1357()P s p p s p s p s =++++，则22()()()P s P s sP s +-=+(1.2)。
令0+=P P ，1-=P P ，并令121001()((0)()(0)())Ps s P P s P P s -=- ，容易求得 1001(0)()(0)()P P s P P s -的常数项为0，则2()P s 为多项式。
类似地，归纳可得：11221()((0)()(0)())k k k k k P s s P P s P P s -----=- (3)k ≥ 。
下面我们通过两个引理来证明劳斯判据。
引理1.R P （）第1列的第k+1行元素等于()k P s 的常数项。
劳斯判据等同于01(0),(0),,(0)n P P P 都为正。
证明：由定义可得00(0)P p = ，11(0)P p = ，21203(0)P p p p p =- 。
则引理1在k=0,1,2时得证。
假设3k ≥ 时引理1依然成立，则R （P ）第k 行和第k+1行的元素可分别表示为下列多项式的系数：11,01,1()k k k P s p p s ---=++，,0,1()k k k P s p p s =++，由1k P + 的定义可得1,01,110,1(0)k k k k k P p p p p +--=-， ，而这恰好是R(P)第一列第k+2行的元素。
引理1得证。
定义2223121120331405()R(s)()()()()Q s P s sP s p p p p p s p s p p p p s ∈=+=+-++-+由()P s 的定义易知Q 的最高阶最大为n-1.我们姑且假设1n p ≠ ，下面给出引理2： 引理2.下述表达等效：（1） 特征方程P(s)表示的线性系统稳定且0n p > 。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据是一种用于解决材料失效问题的原则与方法。
它最早由英国工程师Peter E. L. Hugoniot在发表于1918年的一篇关于冲击波理论的论文中提出，之后被法国工程师主义者Henri Ludovic Chiendaux在1927年提出了数学表达形式以及严谨的证明。
劳斯判据的核心思想是材料在受到外部载荷作用时，应力和应变之间的关系可以用来评估材料的破坏状态，通过评估材料的破坏状态来确定材料的力学性能。
劳斯判据被广泛应用于材料力学、工程设计以及结构设计等领域，它为工程师提供了一种有效的方法来评估材料的强度和耐久性。
劳斯判据主要是通过应力和应变之间的关系来评估材料的破坏状态，具体来说，劳斯判据是通过比较材料的应力与其应变的比值与一定的临界值来判断材料是否会发生破坏。
如果材料在受到外部载荷作用时，应力与应变之间的比值超过了临界值，那么就表示材料会发生破坏。
劳斯判据的临界值是根据材料的性质和使用条件来确定的，通常来说，材料的强度越高，临界值就会相对越大。
劳斯判据对于材料的破坏状态进行评估的方法简单直观，因此被广泛应用于材料力学和工程设计的领域。
在工程设计中，工程师可以通过劳斯判据来评估材料在受到外部载荷作用时是否会发生破坏，从而选择合适的材料来设计结构。
在材料力学的研究中，劳斯判据也被用来评估材料的强度和耐久性，从而为材料的性能优化提供依据。
劳斯判据也存在一些局限性。
劳斯判据忽略了材料的微观结构对其破坏状态的影响，它只是通过应力和应变之间的关系来评估材料的破坏状态，而没有考虑材料内部的微观结构。
劳斯判据在某些特殊情况下可能会出现失效，例如在材料的非线性变形、非均匀应力分布和多轴应力状态等情况下，劳斯判据可能无法准确地评估材料的破坏状态。
在工程实践中，工程师需要在使用劳斯判据时考虑到这些局限性，综合考虑材料的实际工作条件和使用情况，以确保评估结果的准确性。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析
劳斯判据是一种用于评估线性时间不变系统稳定性的方法，在控制工程和信号处理领域得到广泛应用。
它由英国数学家劳斯（Routh）于19世纪末提出，是一种基于特征根的方法。
劳斯判据的基本思想是，通过构造一个特定的矩阵来判断系统是否稳定，矩阵的特征值与系统的特征根有关。
具体来说，如果矩阵的所有主元都大于零，那么系统是稳定的；反之，如果存在主元小于或等于零，那么系统是不稳定的。
劳斯判据的优点是简单易用，不需要对系统做复杂的计算或仿真。
它适用于所有线性时间不变系统，包括多输入多输出系统和时变系统。
此外，劳斯判据可以直接得到系统的稳定边界，而不需要对系统进行分析或求解。
然而，劳斯判据也存在一些缺点。
首先，它只能判断系统是否稳定，而不能给出系统的具体稳定状态。
其次，劳斯判据有时可能会给出假稳定的结果，即判定一个不稳定系统为稳定系统。
这种情况通常发生在系统的特征根位于实轴上的情况下，因为此时劳斯判据无法准确判断主元符号。
最后，当系统阶数较高时，劳斯判据需要进行复杂的计算，这可能会导致计算量很大，甚至无法进行。
总的来说，劳斯判据是一种简单易用、适用范围广泛的线性系统稳定性判断方法，但也存在一些局限性。
在工程应用中，需要综合考虑其优缺点，并结合实际情况进行判断。
劳斯判据-特殊情况
在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况。
·劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。
解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。
如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
例已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。
·劳斯表中出现全零行
则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。
完成劳斯表的排列。
这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。
例如，一个控制系统的特征方程为
列劳斯表
由于这一行全为0，用上一行组成辅助多项式
由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。
令
F(s)=0，
求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。
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三、劳斯判据
根据稳定的充要条件来判别系统的稳定性， 需要求出系统的全部特征根。对于高阶系 统，求跟的工作量很大，因此，希望使用 一种间接判断系统特征根是否全部位于s左 半平面的代替方法。 劳斯和赫尔维茨分别于1877年和1895年独立 提出了判断系统稳定的代数判据，称为劳 斯-赫尔维茨稳定判据。
n n 1 n n2 n 3 2 n4 n 5 3
n
n2 n 3
n
n4 n 5
n2 n 3
n 1 1
n 1
n 1
1
2
n 1
n 1
1
2
3
n 1 1
n 3 2
n 1 1n 5 3 Nhomakorabea1
0
1
2
1
1
三、劳斯判据
系统稳定的充分必要条件: 特征方程的全部系数都是正数, 且劳斯表第一列元素都是正数
在劳斯表中,同一个正整数去除或乘某一行,不会改变劳 斯判据的结论
位于右半S平面根的个数=劳斯表第一列元素符号改变的 次数
三、劳斯判据
例： 特征方程为a s3 a s2 a s a 0 3 2 1 0
判稳
s 2 s s s
1 0
3
a3 a1 a2 a0 a1 a 2 a 3 a 0 0 a2 a0
设闭环传递函数为
拉氏反变换后得
q j 1
c(t ) A j e Bk e k k t cos(k 1 k2 )t
s jt k 1
r
k 1
r
Ck Bk k k
k 1 k2
Bk e kk t sin( k 1 k2 )t
时域分析法
稳定性分析
稳定性的概念 线性系统稳定的充分必要条件 劳斯判据
特殊情况1
特殊情况2
系统稳定性的概念
一、系统的稳定性定义
系统的稳定性定义：系统在受到外作用力作 用后，偏离了最初的工作点；而当外作用力 消失以后，系统又能返回到原来的工作点， 则称系统是稳定的。
在线性系统中，定义为：若线性系统在初始 扰动作用下，其动态过程随时间的推移逐渐 衰减并趋向于零（原来的平衡工作点），则 称系统稳定；反之，若在初始扰动作用下， 系统的动态过程随时间的推移而发散，则称 系统是不稳定的。
二、系统稳定的充要条件
M ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s) D( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an 由于 (t ) 的拉氏变换为1，设 si (i 1,2....n)为特征根 n Ai M ( s ) 所以输出的拉氏变换为 C (s) 1 G(s) D( s) i 1 s si
三、劳斯判据
1、赫尔维茨判据 设线性系统的特征方程为 则使线性系统稳定的必要条件是：上式各项系数为正。 证明： D( s) a0 s n a1s n1 ... an1s an K (s p1 )( s p2 )...( s pn ) 若所有的特征根均在s平面左边，则有 p j 0 或者说 p j 0 ，那么他们的多项式相乘后，系数一定也大于零。
二、系统稳定的充要条件
分析上式得，当且仅当系统的特征根全部具有负 实部时，才能满足 lim c(t ) 0 的条件。 t 若特征根中有一个或以上的正实部根，则 lim c(t ) 表明系统不稳定。
t
若特征根有一个或以上的零实部根，而且其余的 特征根均具有负实部，则脉冲响应下 lim c(t ) 趋于常 数，或趋于等幅振荡，按照稳定的定义，系统是 不稳定的，称为临界稳定。 总结 线性系统稳定的充要条件：闭环系统特征 方程所以根，均有负实部；或闭环传递函数的极 点均严格位于s的左半平面。
注意：该判据为稳定的必要条件，故通常用来判断系 统不稳定的情况，而不能判断系统稳定。
D( s) a0 s a1s
n
n 1
... an1s an 0
三、劳斯判据
2、劳斯判据（1977年由Routh提出的代数判据） ①系统的特征方程 D(s) a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 各项系数均为正； ②按特征方程的系数列些劳斯表 s | a a a a a a a s | a a a a a a a b s | b b b b a a s | c c c a a a | a b b b b s | c c b b s |
三、劳斯判据——特殊情况1
③劳斯判据使用中的特殊情况
a 劳斯表中某行的第一项为零，其余都不为零或 不全为零。 此时计算时，会使下一行第一个元素无穷大。 改进：用（s+a）乘以原特征方程。
0 0
三阶系统稳定的充要条件是:
ai 0且 a1 a 2 a3 a 0 0
[例] 解:
3 2 2 3 s s s 4s 5 0
4
判稳
5 0
s | 3 s |
4
1 2 1 3
3 4 1 5 2 0 5 2 0
s s s
2
|
1
|
0
|
2 4 1 2 2 4 1 5 6 1 1 5 6 0 5 6
二、系统稳定的充要条件
线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特 性，而与外界条件无关。
故设线性系统在初始条件为零时，作用一个 理想单位脉冲信号 (t ) ，这时系统的输出 量为脉冲响应 c(t ) 。这相当于系统在扰动 信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的 问题。 c(t ) 0 ，则系 若 t 时，脉冲响应为lim t 统是稳定的。
Routh表第一列元素符号改变2次, 有2个正实部的根, 系统不稳定
[例] 解:
s 3 s 3 s 3s 2 0
s 3 s 2 s 1 s 0 s
4
4
3
2
判稳
| 1 3 2 | 3 3 | 2 2 | | 2
用ε代表0, 此时有一虚根存在,系统是不稳定的. 根为: +j, -j, -1, -2