题型3命题否命题与命题的否定
命题的否定和否命题 举例
命题的否定和否命题举例命题的否定和否命题命题是指能够明确判断真假的陈述句，例如“今天是星期一”。
而命题的否定是指对原命题的反向陈述，例如“今天不是星期一”。
而否命题则是指对原命题的完全相反的陈述，例如“今天不是星期二”。
一、命题的否定1.1 否定的定义否定是指对原命题进行反向陈述，即将其真假性质颠倒。
如果原来的命题为真，那么它的否定就为假；如果原来的命题为假，那么它的否定就为真。
1.2 否定的表示方法在逻辑中，常用符号“¬”表示否定。
例如，“¬p”表示对p进行了否定。
1.3 否定与肯定之间的关系在逻辑中，肯定和否定之间存在着互补关系。
即一个命题与其否定只有一个为真，另一个必须为假。
二、否命题2.1 否命题的定义否命题是指对原来的命题进行完全相反的陈述。
如果原来的命题为真，则其否命题为假；如果原来的命题为假，则其否命题为真。
2.2 否命题与否定之间的区别否命题与否定之间的区别在于，否命题是对原来的命题进行了完全相反的陈述，而否定只是对原来的命题进行了反向陈述。
2.3 否命题的表示方法在逻辑中，常用符号“∼”或“~”表示否命题。
例如，“∼p”或“~p”表示对p进行了否命题。
三、举例说明3.1 命题的否定举例原命题：“今天是星期一。
”否定：“今天不是星期一。
”解释：如果原来的命题为真，则其否定为假，即如果今天是星期一，则今天不可能不是星期一。
3.2 否命题举例原命题：“今天是星期一。
”否命题：“今天不是星期二。
”解释：如果原来的命题为真，则其否命题为假，即如果今天是星期一，则今天肯定不可能不是星期二。
结语：通过以上内容可以得知，在逻辑学中，除了肯定和否定之外还有一个重要概念——否命题。
而这些概念在日常生活中也经常被运用到。
因此，掌握这些概念能够帮助我们更好地理解和分析各种事物。
否命题与命题的否定
否命题与命题的否定一、识别否命题与命题的否定1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，命题“若p 则q ”，则其否命题是“若非p ，则非q ”。
2．“非m ”叫做命题m 的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即命题是“若 p，则q ”，那么命题“非m ”是：若p ，则非q 。
由此可知命题的否定与原命题的条件相同，结论相反；命题的否定与原命题的的真假相反；。
二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。
命题的否定为“非”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。
2．“非”是否定的意思，一个命题m经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非m ”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。
“非”的含义有四条：①“非m ”只否定的结论；②m与“非m ”的真假必须相反；③“非m ”必须包含原结论的所有对立面；④“非m ”必须使用否定词语。
三、实例帮您理解否命题与命题的否定对于这两个问题，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。
若 m是一个命题，则非m 是m 的否定，它是对整个命题进行否定。
命题“若p 则q ”的否命题是“若非p 则非q ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如：①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。
②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。
四、“或”、“且”连结的命题的否定形式“p 或q ”的否定是“非p且非 q”；“p且q”的否定形式是“非p 或非q ”。
它类似于集合中的“并、交”，如“实数a与b 均为零”的否定是“实数a 与 b中至少有一个不为零”，而不是“实数 a与b 都不为零”；“实数 a与 b中至少有一个为零”的否定是“实数a 与b 均为零”。
专题03 命题形式变化及真假判定(解析版)
专题03 命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则 （1）否命题：“若，则” （2）逆命题：“若，则” （3）逆否命题：“若，则”2、，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为 （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多个→至少个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：或→且 且→或（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题： 存在性命题： 规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定 ② 一不变：所属的原集合的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联.1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同.而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联p q p ⌝q ⌝q p q ⌝p ⌝p q ∨p q ∧p q ∨p q ∧p ⌝n 1n +,p q ,p q ⌝⌝p q p ⌝q ⌝p q p ⌝q ⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝∀⇔∃()p x ()p x ⇒⌝x M2、，，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、：与命题真假相反. 4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在举出一个使命题成立的元素即可 假：要证明中所有的元素均不能使命题成立【经典例题】例1、【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论． 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，p q ∨p q ∧p ⌝p M M M同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．例2．【四川省宜宾市2020届高三三模】下列命题是假命题的是（ ）A ．000sin cos x R x x ∃∈-，B ．00cos 1x R x ∃∈≥，C ．()01ln x x x ∀∈+∞-≥，，D ．(0)tan 2x x x π∀∈>，，【答案】A【解析】因为sin cos )4x x x π-=-，其值域为[，所以A 项错误；因为cos [1,1]x ∈-，所以B 项正确；令()1ln =--f x x x ，11'()1x f x x x-=-=， 当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，所以函数()1ln =--f x x x 在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增， 所以()1ln =--f x x x 在1x =处取得最小值，且(1)0f =， 所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，所以C 项正确；借助于三角函数线，可知(0)tan 2x x x π∀∈>，，，所以D 项正确；故选：A.【专家解读】该题考查的是有关命题真假的判断，涉及到的知识点有三角函数的值域，导数的应用，属于简单题目.例3．【2020届陕西省西安中学高三四模】已知命题p ：x R ∃∈，20x ->；命题q ：0x ∀≥x <，则下列说法中正确的是 A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ∨⌝是假命题【答案】C【解析】命题p ，003,20x x ∃=->，即命题p 为真，对命题q ，去111424x x ==>= ，所以命题q 为假，p ⌝为真 所以()p q ∧⌝是真命题，故选：C.【专家解读】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.例4．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三三模】已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥. 故选：C.【专家解读】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题. 例5．【河北省鸡泽县第一中学2020年高三三模】下列命题是真命题的为( ) A ．若＝，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则＝D ．若x <y ，则x 2<y 2【答案】A 【解析】由得x=y ，而由x 2=1得x=±1，由x=y ，不一定有意义，而x ＜y 得不到x 2＜y 2，故选A ．例6．【河南省名校联盟2020年高三三模】下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=，则0a =或0b =；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；④函数()x xe ef x x--=是偶函数.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①中，当x =22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=，可以有a b ⊥，不一定要0a =或0b =，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确.综上，真命题的个数是2.故选：B.【专家解读】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力.例7．【安徽省六安市第一中学2020届高三三模】下列命题错误的是( )A ．命题“若0xy =，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若0xy ≠，则x ，y 都不为零”B ．对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 【答案】A【解析】A 选项中命题的否定是：若0xy =，则x ，y 都不为零，故A 不正确；B 选项是一个特称命题的否定，变化正确；C 选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C 正确；D 选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出1x =，故D 正确， 故选：A.【专家解读】本题考查了命题的否定，逆否命题，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.【精选精练】1．【2020届湖南长沙市第一中学高三三模】已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】0x =可知: 命题p ：x R ∀∈，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．2．【河南省开封市2020届高三二模】已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题， 故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ． 【专家解读】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．3．【黑龙江省大庆实验中学2020届高三三模】下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”【答案】C【解析】对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题； 对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”， 即原命题为真命题；故选C.【专家解读】本题考查了命题的逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.4．【吉林省长春市2020届高考数学二模】命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A【解析】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A【专家解读】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟】已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不重合的直线，命题p ：“若m α⊥，m n ⊥，则//n α”；命题q ：“若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥”，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】C【解析】命题p 中，若m α⊥，m n ⊥，则n 与α可能平行，也可能n ⊂α，故命题p 为假命题； 命题q 中，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，m 与β的位置关系可能是m β⊂，//m β，也可能m 与β相交，故命题q 为假命题.因此p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧都是假命题，()p q ∨⌝为真命题.故选：C.【专家解读】本题主要考查判断复合命题的真假，涉及线面位置关系，属于基础题型. 6．【辽宁省沈阳二中2020届高三五模试题】已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 【专家解读】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.7．【2020届重庆市南开中学高三三模】已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由于220x y +=，则0x y ==，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠”，如220,1,0x y x y ==+≠，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为2.故选：B【专家解读】本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题. 8．【黑龙江省哈尔滨三中2020届四模试题】下列命题错误的是（ ） A ．若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题 B ．命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件 【答案】B【解析】若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题，故A 正确；若“p q ∧为真，则p 真，q 真，此时“p q ∨为真成立，若“p q ∨为真，则有可能,p q 一真一假，此时“p q ∧为假，所以命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故B 错误；由特称命题的否定为全称命题可得若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤，故C 正确；若“1x =”，则“1x ≥”成立，反之不成立，所以“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故D 正确； 故选：B.【专家解读】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.9．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三三模】下列关于命题的说法错误的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 C ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真 D ．命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤ 【答案】C【解析】对于A ，由逆否命题的概念可得命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”，故A 正确；对于B ，若2a =，则函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数；若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则只需满足1a >；所以“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=” 的逆命题为“若()00f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，对函数()3f x x =，()00f '=，但0x =不是函数()f x 的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C 错误；对于D ，由全称命题的否定可知命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤，故D 正确. 故选：C.【专家解读】本题考查了逆否命题、逆命题的改写、全称命题的否定，考查了充分条件、必要条件的判断及对数函数性质、极值点的概念，属于基础题.10．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月模拟】已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】D【解析】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形， 如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒，矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题. 故p q ⌝∧⌝为真命题.故选：D.【专家解读】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．11．【广东省肇庆市2020届高中毕业班第三次统一检测】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆ ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β． 则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ，则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-，1(1,1,)2CP =-，∵1D M CP ⊥， ∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=，解得21a b -=， ∴1CH a =-，21MG b a ==-，MH ==，∴11122BCM S BC MH ∆=⨯⨯=⋅112210=≥=，当35a =时，min ()BCM S ∆=，①正确； 对于11//D C DC ，DC平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错； ③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为sin 6023a =÷︒=，所以投影的面积为2266a ==⎝⎭．④对．故选C ． 【专家解读】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力．12．【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三三模】已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______.【答案】()12,0-【解析】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题即230x ax a -->恒成立，则∆<0，即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<，故实数a 的取值范围为()12,0-故答案为：()12,0-【专家解读】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.13．【2020届湖南省永州市祁阳县高三二模】已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=， （1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题， 则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有20440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-， 由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-， 所以实数m 的取值范围为2m <-.【专家解读】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.。
否命题与否定命题的区别
文档素材否命题与否认命题的区别“否命题〞与“命题的否认〞这两个概念，如果原命题是“假设p则q〞，那么这个命题的否命题是“假设非p，则非q〞，而这个命题的否认是“假设p则非q〞。
可见，否命题既否认条件又否认结论，而命题的否认只否认结论。
一个命题与它的否认形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
例1原命题：全部自然数的平方都是正数原命题的标准形式：任意x，〔假设x是自然数，则x²是正数〕“任意〞是限定词，“x是自然数〞是条件，“x²是正数〞是结论。
否认一个命题，需要同时否认它的限定词和结论。
限定词“任意〞和“存在〞互为否认。
否认形式：不是〔任意x，〔假设x是自然数，则x²是正数〕〕＝存在x，〔假设x是自然数，则x²不是正数〕换一个说法就是：至少有一个自然数的平方不是正数而一个命题的否命题用得较少。
命题是否成立，与它的否命题是否成立，两者没有关系。
得到一个问题的否命题很简单，把限定词，条件，结论全部否认就可以了。
原命题：全部自然数的平方都是正数原命题的标准形式：任意x，〔假设x是自然数，则x²是正数〕否命题：存在x，〔假设x不是自然数，则x²不是正数〕换一个说法就是：存在某个非自然数，其平方不是正数此外，对于逆命题，是否认限定词，然后交换条件和结论题目中的命题的逆命题就是：存在x，〔假设x²是正数，则x是自然数〕逆否命题，就是逆命题的否命题，或者否命题的逆命题，就是限定词不变，否认条件和结论并交换。
题目中的命题的逆否命题就是：任意x，〔假设x²不是正数，则x不是自然数〕例2例如:原命题:等边三角形的三个角都是60度否命题:如果一个三角形不是等边三角形,那么它的三个角不都是60度命题的否认:等边三角形的三个角不都是60度例3〞全部的正棱柱都是直棱柱〞那么它的否认应该是：〞有些正棱柱不是直棱柱〞，它的否命题是：不是全部的正棱柱都不是直棱柱例4假设一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；命题的否认：假设一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。
“命题的否定”与“否命题”辨析
命题的“否定”与“否命题”的辨析（邮编331800）江西省东乡县实验中学数学组黄树华数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑关系和推理论证，现行教材新课标高中数学(北师大版)选修1-1、2-1的第一章均新增“常用逻辑用语”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断能力和推理能力，提高数学思维能力。
由于新增内容，对于高中新生来说是较为抽象，在理解上尚一定难度，加之资料书上对这方面谈得少，且我们有些一线教师知识上也存在一定缺陷。
鉴于此，本人根据自己已从事一轮新课标教学的实践，就此问题加以诠释，供同仁探讨。
一、命题的“否命题”关于“否命题”，教材中讲得很明确，仅针对命题“若P则q”提出来的。
写出一个命题的否命题，简单地说就是将原命题改写成否定条件并且否定结论的形式。
即“若p则q”的否命题为“若非p则非q”。
命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反。
如“若两个三角形全等则面积相等”（真命题）的否命题为“若两个三角形不全等则面积不相等”（假命题）。
又如“若x≠2，则x2≠4”（假命题）的否命题为“若x=2，则x2=4”（真命题）。
写出一个命题的否命题，关键是弄清楚命题的条件和结论，如命题“正方形是菱形”的条件是“四边形是正方形”，结论是“这个四边形是菱形”，其否命题为“若四边形不是正方形则这个四边形不是菱形”。
二、命题的“否定”“非p”叫做命题p的非命题，即命题p的否定。
一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓p”）称为命题的否定。
“非p”形式的复合命题的真值与原命题p的真值正好相反，构成一对矛盾命题。
但值得注意的是“非p”绝不是“是”与“不是”的简单演译，而是要对判断对象做出正确的否定。
以下分别举例说明：（一）简单命题的否定。
简单命题是不含逻辑联结词的命题。
常见的有：1．形如“A是B”的命题，这类命题的否定为：“A不是B”。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别
（1）从定义的角度：
<1>否命题：设原命题是“若p则q”形式，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；
<2>命题的否定：设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定。
（2）从真值的角度：
<1>否命题：
是对原命题的条件和结论都进行否定，“若p则qà若非p则非q”，对于不具有“若p则q”形式的命题，我们应该先改写成“若p则q”形式，再写否命题。
注意：否命题与原命题真值可同真同假。
举例：原命题是“若同位角相等，则两直线平行”。
<2>命题的否定：
如果考虑原命题的条件和结论，则只对命题的结论进行否定，即“若
非p则非q”；
如果不考虑原命题的条件和结论，则对整个命题作否定，也就是在原命题前面加上“并非”即可。
由此看出：命题的否定与原命题必然真值相反。
另外，如果原命题涉及一些关键词，在否定时也要相应地做出改变：
都à不都（而不是都不）；
全是à不全是（而不是都不是）；
且à或，或à且；
任意à存在，存在à任意；
至少有一个à一个也没有；
至多有一个à至少有两个等等。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别
命题的否定，就是推翻整个命题，是对这个命题从根子上否定，推翻。
否命题，是一个命题的相反方向，相反结论。
下面我们举例子说明一下。
例一：
原命题——对顶角相等
否命题——不是对顶角就不相等。
原命题的否定——对顶角不相等。
如果我们证明了原命题“对顶角相等”是真命题，那么原命题的否
定“对顶角不相等”就一定是假命题；但是，原命题的否命题，可
能是真命题，可能是假命题。
如“不是对顶角就不相等”，就是假
命题。
例二：
原命题——如果两个角的和等于90度，那么这两个角互为余角。
否命题——如果两个角的和不等于90度，那么这两个角不是互为
余角。
原命题的否定——如果两个角的和等于90度，那么这两个角不是
互为余角。
显然，原命题——“如果两个角的和等于90度，那么这两个角互
为余角。
”是真命题；否命题——“如果两个角的和不等于90度，那么这两个角不是互为余角。
”也是真命题；原命题的否定——
“如果两个角的和等于90度，那么这两个角不是互为余角。
”就是假命题。
2020.10.20。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别原命题：等腰三角形的底角相等命题的否定：如果一个三角形是等腰三角形,那么它的底角不相等；否命题：如果一个三角形不是等腰三角形,那么它的底角不相等.结论：命题的否定是在原命题题设不变的情况下对结论进行否定.而否命题是既要否定原命题题设,又要否定原命题的结论命题的否定,主要针对简单命题（普通命题）、含有量词的命题,此时原命题的否定命题规则是：否定结论,并将量词“置换”,即将原命题中的全称量词（存在量词）换成存在量词（全称量词）.这种命题一般只有命题的否定,而没有否命题.原命题的否命题：此时的原命题特指形如“如果p,则（那么）q”的命题,它的否命题是“如果非p,则（那么）非q”.这样的原命题的否定,同样是只否定结论,即原命题的否定为：“如果p,则（那么）非q”.注意：命题的否定与命题的否命题,是针对不同类型的原命题而言的,它们是两个不同的概念.1、在高中阶段（国内），命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0, 使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学（尤其是国外的大学）阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True Table），在A为假命题的情况下，非(A => B) 与A => 非B 并不是逻辑相等的。
参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A 且非B”。
2、一个命题与它的否定形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。
而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
“否命题”与“命题的否定”
例 ３ 分 别写 出由下列各 组命 题 构 成 的
否 定 和 否命 题 ．
“非 声”形 式的 复合命 题 ：
解 析 ① 原命 题 的 否 定 ：有 一 个 三 角
（１）ｐ：菱形 的对 角线互相 垂 直 ；
形 为 锐 角 三 角 形 ，它 的 三 个 内 角 不 都 为
（２） ：正 方形 的 四条 边相 等 ；
Ｐ；Ｐ是 ｑ的必 要 不 充 分 条 件 可 以 表 述 为 “ｑ 和 结论 间的 正确关 系．
”不 能理 解为 “是 ”与 “不 是 ”的简 单 转 换 ，而 “特称 命 题 的否 定 是 全 称 命 题 ，全 称 命 题 的
是 要对 判 断对象 做 出正 确 的 否 定 ．以下 分 别 否定 是特称 命 题”，该 命 题 的 否 定 是 “存 在 一
角形 不是 全 等三 角形 ．
（２）非 ｐ：存 在正 方形 ，它 的 四条 边 不全
原命 题 的否 命 题 ：面 积 不 相 等 的三 角 形 相 等 ；
（ ＞０）组成集 合 的真子 集 ，
件”等 价 于 “ｑ的 （一 个 ）充 分 不 必 要 条 件 ”
ｆｍ＞０，
— — “是 ”— — “Ｐ”．碰 到 类 似 的 问 题 时 ，可 以
则 １一ｍ≤ 一２，（等 号 不 同 时 成 立 ），解
【ｌｑ－ ≥１０
先 转 化 成 自 己 熟 悉 的 形 式 再 判 断 ．
解析 由ｌ １一兰 ｌ≤２解得一２≤ｚ 的一个 必要 不充 分条 件 是 Ｐ”；Ｐ是 ｑ的既不
１
ｏ １
充分 又不 必 要 条 件 可 以 表 述 为 “ｑ的 一 个 既
≤ １０，
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别【否命题和命题的否定的含义】1.什么是命题的否定命题的否定就是对这个命题的真值进行取反。
命题的否定与原命题真假性相反。
设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定．“非p”记作“-p”。
2.否命题的概念否命题是数学中的一个概念。
一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题。
命题是否成立，与它的否命题是否成立没有关系。
得到一个问题的否命题很容易，把条件，结论全部否定就可以了。
如果把其中一个称为原命题，那么另一个就叫做它的否命题。
设“若p则q”为原命题，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题。
【命题的否定和否命题的区别】1.命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
比如:“若a>0.则a+b>0”这个命题的否定是“存在a>0,使得a+b<=0”,否命题是“存在a<=0,使得a+b<=0”；在大学（尤其是国外的大学）阶段，“只否定命题结论”的说法不一定正确，根据真值表（True Table），在A为假命题的情况下，非(A=>B)与A=>非B并不是逻辑相等的。
参考：滑铁卢大学数学教材对于“若A则B”式命题的否定为“A 且非B”。
2.一个命题与它的否定形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。
而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同真同假，也可一真一假。
而命题的否定是：a.在不考虑命题的条件与结论的情况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可;b.如果考虑命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定。
任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假（常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确）。
否命题、逆否命题、命题的否定与反证法
否命题、逆否命题、命题的否定与反证法熊明军读了秋屏在新华网撰写的文章《数学中的致命错误——反证法》，意识到不在数学体系框架内研究的数学都是伪数学。
也意识到有很多学生甚至教师对基本逻辑中的否命题、逆否命题、命题的否定与反证法的基本概念、形式及应用都存在极其模糊地认识。
下面，从概念、区别与联系、应用三个方面来简要叙述一下，以期达到清醒认识的目的。
一、概念讨论原命题的否命题、逆否命题、否定必须是在命题为“若p ，则q ”的形式（或可以改写为“若p ，则q ”的形式）的前提下进行的。
不具备“若p ，则q ”形式的命题，讨论其否命题、逆否命题、否定是毫无意义的。
原命题：若p ，则q ；命题的否定：若p ，则q ⌝； 否命题：若p ⌝，则q ⌝； 逆否命题：若q ⌝，则p ⌝；反证法：（Reductio ad absurdum ，又称归谬法、背理法）是一种论证方式，拉丁语的意思为“转化到不可能”，阿基米德经常使用它。
反证法是由证明q p ⇒，转向证明t q ⇒⌝，进而得t 与已知矛盾或与相关定理、结论矛盾，然后判定q ⌝为假，从而推出q 为真的证明方法。
它首先假设某命题不成立（即做出原命题的否定），然后把假设作为已知条件的一部分，和原来的已知条件合并在一起，推理出明显矛盾的结果，最后得出原结论正确。
二、区别与联系①区别：否命题是对原命题若p ，则q 既否定其条件，又否定其结论； 命题的否定是对原命题若p ，则q 不否定其条件，只否定其结论；逆否命题是对否命题若p ⌝，则q ⌝条件与结论地位的互换； 逆否命题是对原命题若p ，则q 条件与结论都否定后地位的互换。
②联系：逆否命题与原命题的真假性相同，与否命题的真假性没有关系； 命题的否定与原命题的真假性相反，命题的否定就是q ⌝，与反证法的假设是一个意思。
③辨析：逆否命题与原命题进行的是等价转化；而反证法与原命题不是等价转化，是先对原命题否定，再把否定后的结论作为条件的一部分，引出矛盾的新结论。
否命题与命题的否定
否命题与命题的否定卢敏摘 要：否命题与命题的否定是两个比较容易混淆的概念，也是高中逻辑学的重要部分，本文将对否命题与命题的否定进行一下辨析。
关键词：否命题 命题的否定 辨析如何正确地表达一个“命题的否定”及“否命题”是“简易逻辑”中的难点之一。
有些同学在写原命题的否命题时，仅写了对结论的否定；还有一些同学用反证法证明问题时，却假设条件和结论都不成立。
说明他们混淆了“否命题”与“命题的否定”这两个概念。
事实上“否命题”与“命题的否定”是两个根本不同的概念，如果原命题是“”q p 则若那么这个命题的否命题是“”,而这个命题的否定是“”。
可见，q p 则非若非q p 则非若否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。
本文将通过以下几个方面对命题的否定与否命题进行分析。
一、识别否命题与命题的否定1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，即若表示命题p p p p “若则”，则其否命题是“若非，则非”。
A B A B 2．“非”叫做命题的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，p p p 即如果命题是“若，则”，那么命题“非”是：若，则非。
由此可知命题p A B p A B 与的条件相同，结论相反；命题与的真假相反；。
p ⌝p p ⌝p ()p p ⌝⌝=定义原命题：若，则p q 命题的否定指对结论的否定若则，非p q 否命题指对命题的条件结论同时否定若非，则非p q二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。
命题的否定为“非p ”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若则”既否定它p p ⌝p p q 的条件，又否它的结论。
2．“非”是否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命p 题“非”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。
“非”的含义有四条：p p U U C P ①“非”只否定的结论；p p ②与“非”的真假必须相反；p p ③“非”必须包含的所有对立面；p p ④“非”必须使用否定词语。
否定命题与命题的否定
否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即.如：命题: 若，则．命题的否命题：若，则．命题的否定即:若，则．全称命题与特称命题的否定（1）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题：，的否定：，；（2）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题：，的否定：，；（3）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定；“p且q”的否定3．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假.（1）：在整数范围内，、都是偶数，则是偶数（2）：若且，则．解析：(1) ：在整数范围内，、都是偶数，则不是偶数（假命题）；的否命题是：在整数范围内，若、不都是偶数，则不是偶数（假命题）；(2) ：若且，则（假命题）；的否命题是：若或，则（假命题）.5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假。
（1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）；（5）。
解析：（1）是全称命题且为真命题。
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题。
（2）是全称命题且为假命题。
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题。
（3）是特称命题且为真命题。
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题。
（4）是全称命题且为真命题。
由于都有，故，为真命题；：，为假命题（5）是特称命题且为假命题。
因为不存在一个实数，使成立，为假命题；6．已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
解析：q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0又∵m＞0∴不等式的解为1-m≤x≤1+m∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m＞0)的解集的子集。
(完整版)“命题的否定”与“否命题”
“命题的否定”与“否命题”“命题的否定（非p 或p ⌝）”与“否命题”是高中数学的难点，准确无误地理解和写出一个命题的否定形式和否命题是解决许多问题的关键.一、 命题“若A ，则B ”的否命题与命题的否定形式设命题 “若A ，则B ”为原命题，那么，“若非A ，则非B ”就叫做原命题的否命题，否命题只是“若……则……”命题的四种形式中的一种，如果一个命题不能化为“若……则……”形式，那么该命题就没有讨论否命题的可能；对于命题p ，非p 叫做命题p 的否定（记作p ⌝），任何一个命题都有否定形式，命题“若A ，则B ”的否定形式为“若A ，则非B ”.显然，“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定，“命题的否定”只是否定命题的结论，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反.例1.命题“若122->>b a b a ，则”的否命题为 .分析：本题考查的是由原命题写出其否命题，既要否定命题的条件又要否定其结论. 解：由题意原命题的否命题为“若122-≤≤b a b a ，则”.评注：该命题的否定形式为“若122-≤>ba b a ，则”，只是否定原命题的结论. 例2.写出下列命题的否定形式及其否命题:(1)若3=x 且2=y ，则5=+y x ； (2)若0||||=+y x ，则x ，y 全为0. 解：(1) 命题的否定为：若3=x 且2=y ，则5≠+y x ；否命题为：若3≠x 或2≠y ，则5≠+y x ；(2) 命题的否定为：若0||||=+y x ，则x ，y 不全为0；否命题为：若0||||≠+y x ，则x ，y 不全为0.如果一个命题不是“若……则……”的形式，可以将其改写成“若……则……”形式的命题，使原命题的条件和结论更加明确，便于写出命题的否定形式及其否命题.这种“改写”的形式有时不是惟一的，因此，同一命题的否定形式也可能不一样.例3.将下列命题改写成“若A ，则B ”的形式，并写出它们的否命题与否定形式:(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)0>a 时，函数b ax y +=的值随x 值的增加而增加.解：(1)原命题可改写为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形，否命题为：若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形；否定形式（p ⌝）为：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它不是菱形；(2)原命题可改写为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值也随着增加，否命题为：0>a 时，若x 不增加，则函数b ax y +=的值也不增加；否定形式（p ⌝）为：0>a 时，若x 增加，则函数b ax y +=的值不增加；原命题也可改写为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值也增加，否命题为：当x 增加时，若0≤a ，则函数b ax y +=的值不增加.否定形式（p ⌝）为：当x 增加时，若0>a ，则函数b ax y +=的值不增加.评注：(1)有些命题由三部分组成：大前提、条件和结论，正确地分析命题的结构是解决此类问题的关键；（2）准确把握和正确写出一个命题的否定形式与否命题的关键是能否将命题中的关键词语写成它的否定词语.二、不能转化成“若，则”形式的命题的否定形式除了可以转化为“若A ，则B ”形式的命题外，其它不能转化成“若A ，则B ”形式的命题都有其相应的否定形式，根据命题本身形式的不同，可以分为以下几类：1.简单命题的否定不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题，它应被看作是一个不可再分割的整体，其最简单的命题形式是p ：“A 是B ”，它的否定形式是“A 不是B ”或“并非A 是B ”，其中A 是一个特定对象.例4.写出下列命题的否定(即非p )：(1)2是方程042=-x 的根； (2) 四条边都相等的四边形不是正方形；(3)正数的绝对值是它本身； (4)方程0232=+-x x 有两个相等的实根；(5)a ，b 都是1.解:(1) 命题的否定形式为：2不是方程042=-x 的根；(2) 命题的否定形式为：四条边都相等的四边形不都是正方形；(3) 命题的否定形式为：正数的绝对值不是它本身；(4) 命题的否定形式为：方程0232=+-x x 没有两个相等的实根(5)命题的否定形式为：“a ，b 不都是1”或者“1≠a 或1≠b ”.评注：“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定．2.复合命题的否定由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题．“p 或q ”、 “p 且q ”、“非p ”形式的命题中，p ，q 都是命题，命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”；命题“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”；命题“非p ”的否定为“)(p ⌝⌝”就是命题p ，所以，命题“非p ”与命题“p ”互为否定形式.例5.写出下列命题的否定：(1)58≥； (2)5>a 且1>b ；(3)2是6的约数且是8的约数； (4)3是偶数或奇数.解：（1）命题的否定形式为：8不大于5且8不等于5即58<.(原命题属于“p 或q ”型)（2）命题的否定形式为：5≤a 且1≤b .（原命题属于“p 且q ”型）（3）命题的否定形式为：2不是6的约数或2不是8的约数. （原命题属于“p 且q ”型）（4）命题的否定形式为：3不是偶数且3不是奇数. (原命题属于“p 或q ”型)评注：(1)需要说明的是，常用的“或”有两种意义：可兼的和不可兼的。
题型3-命题(否命题与命题的否定)
写出下列命题的否命题及命题的否定：
(1)菱形的对角线互相垂直； (2)面积相等的三角形是全等三角形.
2024/6/4
王山喜文档
1
题型探究
这个问题是很多学生在学习简易逻辑时感到头疼的 一个问题.否命题与命题的否定不是一回事:
否命题是对原命题的条件和结论的全盘否定;否命题 的真假与原命题的真假无关;
Ｃ
Ｄ．对任意的 x R, x3 -x2 +1 0
2024/6/4
王山喜文档
12
为真命题的是
D
A.p q B.p q
C.p q D.p q
2024/6/4
王山喜文档
8
题型训练 1、全集U=R, A U ,
命题p： 3 A B,
则命题“非”p是 D
A. 3 A
B. 3 U B
C. 3 A B D. 3 U A U B
2024/6/4
王山喜文档
9
题型训练
于于
是的 的
参照
小大 于于
都 不任 不是 不 意的 所有 是
否定 不等 不 不 不 不 不 某个 某些
于 大小能 是 都
于于
是
2024/6/4
王山喜文档
5
引例的拓展
正面
至多有 至少有 至多有 P或q P且q 一个 一个 n个
否定
至少有 一个也 至少有 非p且 非p或
两个 没有 n+1个 非q
非q
2024/6/4
命题的否定又称非命题,它只否定原命题的结论,不否 定原命题的条件;命题的否定与原命题的真假相反.
写出否命题及命题的否定应先弄清原命题的条件与 结论.
2024/6/4
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B.x R,sin x 1 C.x R,sin x 1
D.x R,sin x 1
2020/7/6
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12
题型训练
4、命题“对任意的x R, x3 -x2 +1 0 ”的否定是
A．不存在 x R, x3 -x2 +1 0
Ｂ．存在 x R, x3 -x2 +1 0 Ｃ．存在 x R, x3 -x2 +1 0
题型3
命题---否命题与命题的否定
2020/7/6
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引例
写出下列命题的否命题及命题的否定：
(1)菱形的对角线互相垂直； (2)面积相等的三角形是全等三角形.
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题型探究
这个问题是很多学生在学习简易逻辑时感到头疼的 一个问题.否命题与命题的否定不是一回事:
否命题是对原命题的条件和结论的全盘否定;否命题 的真假与原命题的真假无关;
命题的否定又称非命题,它只否定原命题的结论,不否 定原命题的条件;命题的否定与原命题的真假相反.
写出否命题及命题的否定应先弄清原命题的条件与 结论.
2020/7/6
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引例的解答
(1)否命题:不是菱形的四边形,其对角线不互 相垂直. 命题的否定:菱形的对角线不互相垂直. (或:存在一个菱形,其对角线不互相垂直) (2)否命题：面积不相等的三角形不是全等三 角形. 命题的否定:面积相等的三角形不是全等三 角形.
为真命题的是
D
A.p q B.p q
C.p q D.p q
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题型训练 1、全集U=R, A U ,
命题p： 3 A B,
则命题“非”p是 D
A. 3 A
B. 3 U B
C. 3 A B D. 3 U A U B
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题型训练
2020/7/6王山喜文档4Fra bibliotek引例的拓展
原命题:若p则q 否命题：若非p则非q 命题的否定：若p则非q
原命题 真命题 假命题
否命题 命题的否定
真假与原命 真假与原命题 题真假无关 真假无关
假命题
真命题
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引例的拓展
在写非p、非q时，掌握否定词语很必要：
正面 等于 大 小 能 是 都 任意 所有
Ｃ
Ｄ．对任意的 x R, x3 -x2 +1 0
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题型训练
5、写出下列命题的否定和否命题： 自然数的平方是正数.
命题的否定: 自然数的平方不是正数 否命题: 某些自然数的平方不是正数
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模仿训练
1、写出下列命题的“非”命题和否命题， 并判断真假.
(1)在△ABC中，角A=B=45度，则三角形是 等腰直角三角形；
(2)可以被5整除的整数，末位数字是0； (3)四条边相等的四边形是正方形．
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模仿训练
2、已知命题p：所有有理数都是实数；
命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中
于于
是的 的
参照
小大 于于
都 不任 不是 不 意的 所有 是
否定 不等 不 不 不 不 不 某个 某些
于 大小能 是 都
于于
是
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引例的拓展
正面
至多有 至少有 至多有 P或q P且q 一个 一个 n个
否定
至少有 一个也 至少有 非p且 非p或
两个 没有 n+1个 非q
非q
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2、命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是
A.A B A A B B
A
B.A B B A B A C.A B B A B A
D.A B A A B B
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题型训练
3、已知命题p：x R,sin x 1, 则非p是
A.x R,sin x 1