数学转化思想

转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。 例题分析 例1 解方程组x x x y x x y ()()++=++=⎧⎨

⎩1351444524

2

分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为

()()()()x x x y x x x y 22

35144

3524++=+++=⎧⎨⎪⎩

⎪，再利用换元法，问题就迎刃而解了。 解：设x x u x y v 2

35+=+=，

原方程组可化为u v u v ⋅=+=⎧⎨

⎩

144

24

解之，得u v ==⎧⎨⎩1212即x x x y 212

3512

+=+=⎧⎨⎩

解之，得x y 11448=-=⎧⎨

⎩.x y 223

06

==⎧⎨

⎩. 例2若m 、n 、p 同时满足下面二式：23572

35111

1m

n

p

m n p ++=++=-+，，求

23511m n p +-++的取值范围。

分析：直接利用已知条件中的两个等式得到2

351

1m n p +-++的取值范围不好下手，如果换

个角度考虑235

111

1

m n

p -+++=可变形为22

35511m

n p ++⋅=，令2m a =，3n b =，5p c =，则已知条件可转化为方程组a b c a

b c ++=++=⎧⎨⎪

⎩

⎪72511，进而找到a 、b 与c 的关系，可以确定所求式子的取值范围。 解：设2

35m

n p a b c ===，，，则

a b c a

b c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪712

5112()()

由(1)、(2)可得

a c =-+88 (3)

b

c =-159 (4)

此时，2

3525365

11

1m n p a b c c +-++=++

=- (5) a >0，由(3)得c >1

b >0，由(4)得

c <53

∴<<

153c ∴由(5)得31

5

2351111<++<+-m n p

例3 如图，∆ABC 中，

BC ＝4，AC ACB =∠=︒2360，，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。连结AP ，问点P 在BC 上何处时，∆APD 面积最大？

A

分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得出函数解读式。 解：设BP ＝x ，∆APD 的面积为y 作AH BC ⊥于H

则AH AC C =⋅∠=⋅

=sin 233

2

3 ∴=⋅=⨯⨯=∴=⋅=S BC AH S BP AH x ABC ABP

∆∆121

2

4361232

PD AB

PCD BCA

//~∴∆∆

∴

=∴=⋅=-S S CP CB

S CP S x PCD BCA PCD ABC ∆∆∆∆()()()2

22

43

84

S S S S y x x APD ABC ABP PCD ∆∆∆∆=--∴=---6323

8

42

()

化简得y x x =-

+383

22 配方得y x =--+38232

2

()

∴=x 2即P 为BC 中点时，∆APD 的面积最大

这时∆APD 的面积最大值为3

2

例4已知二次函数y ax bx c =++2

过点O(0，0)，A(13，)，B(－，243)和C(-1，m )

四点。

(1)确定这个函数的解读式及m 的值； (2)判断∆OAC 的形状；

(3)若有一动圆⊙M ，点M 在x 轴上，与AC 相切于T 点，⊙M 和OA 、OC 分别交于点R 、S ，求证RTS ⌒

弧长为定值。

分析：(1)由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解读式，进而求出m 的值。

(2)分别计算出OA 、OC 、AC 的长即可判定∆OAC 的形状。

(3)这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。

解：(1) y ax bx c a =++≠2

0()的图象过点O(0，0)、A(13，)、B(－，243)

⎪

⎩⎪

⎨⎧+-==++=∴c

b a

c c b a 24340

3解得a b c ===300，， ∴二次函数解读式为y x =32

y x =32的图象过点C m ()-1， ∴=--=m 3132()

(2) OA OC ==

±+=()()13222

AC =++-=()()1133222

∴∆AOC 是等边三角形

(3)设点M 的坐标为(P ，0)

⊙M 与AC 相切于T 点 ∴⊙M 的半径为3

若⊙M 与OA 、OC 分别交于R x y S x y ()()1122，、，则

||()()||()()MR x P y MS x P y 21212

222223132=-+==-+=⎧⎨⎪⎩

⎪

y x y x 1122

3334==-⎧⎨⎪⎩⎪()()

由(1)、(2)知，x x 12、是方程()x P x -+=22

33的两个根 即423022x Px P -+-=的两根为x x 12、

∴+=⋅=

-===-+-x x P x x P MR MS RS x x y y 121222122122

234

3，||||||()() =-++=++()()()

x x x x x x x x 1221221

2

2

21234

3

)

434(4])[(42221221=--=-+=P P x x x x

∴=||RS 3

∴∆MRS 是等边三角形，∠=︒RMS 60

∴RTS ⌒

的弧长为

603602333

()ππ=（定值） 说明：本例是一个综合问题，尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合，需将几何中的点用坐标表示出来，再通过代数方法列出方程通过距离公式确定∆MRS 的形状，从而确定