量子力学第三章讲解
量子力学对称与守恒定律讲义
“为什么对称是重要的?“ --- 毛主席1974年5月向李政道请教的
第一个问题
对称与不对称(破缺)
在艺术(对联,画),数学(海螺,浪花), 自然(山峰,窗))均有精彩表现 完全对称的东西极少见!
不是静态的概念(适用一切自然现象） 物理学中对称性:现象或系统在某变换下不变 宏观->直观; 微观世界-> 不直观,但极重要
SU(2)是u,d夸克对称，破坏2--3% SU(3)SU(4)SU(5)SU(6) 同位旋破坏主要来自多重态不同分量质 量差印起的运动学效应
奇异数(Strangeness)和重 子数
1947年宇宙线实验(after pion)，1954年
加速器实验发现一批奇异粒子(photos)
特性一：协同产生，独立衰变
即 H 0, H H
厄米算符p
i
与H对易，
是守恒量
2
分立变换下：
U 1HU H i.e.,UH HU ,all _ states
U与H对易，U是守恒量 时空对称性：场与粒子时空性质变换 内部对称性：与时空无关
Some symmtries and the associated conservation laws
群论与对称性
对称性变换必须满足群的性质 （Closure,Identity,Inverse,Associativity) 如空间转动群，SO(3)，3 axis, 3 生成元 （与守恒荷一一对应） 重要的李群/李代数， O(N),SO(N),U(N),SU(N) 复合对称性 --》 复合守恒量， e.g., CP parity,G parity etc.
Translation in time Energy Translation in space Momentum
量子力学 第三章知识点
−V0 , 0 < x < a; 0, x < 0, x > a.
作者：张宏标（任课教师）
5
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
C ∆1 = = A ∆
2
2i β k ( k − β ) sinh β a + 2iβ k cosh β a
2 2
(k
2
− β 2 ) sinh β a + 2i) sinh β a
R =
B = A
2
(k
2
+ β 2 ) sinh 2 β a + 4k 2 β 2
> 2 d 2 − = V0 ψ ( x) Eψ ( x) − 2 2m dx 2 2 > d −= ψ ( x) Eψ ( x) 2m dx 2
取k =
(0 < x < a) ( x < 0, x > a ) ( x < 0, x > a ) (0 < x < a)
其中 v 是粒子的经典速度。所以在上面的边界条件下， 入射几率流密度是 j = A 2 v I I 反射几率流密度是 j = B 2 v R R 透射几率流密度是 j = C 2 v T T
作者：张宏标（任课教师） 1
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
量子力学讲义第三章讲义详解
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= 是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
量子力学-第三章3.8力学量期望值随时间的变化--守恒定律
商可表述为： dF dt
Fˆ dx
t
Fˆ dx t
Fˆ
t
dx
而薛定谔方程及其复数共轭方程为：
t
1 i
Hˆ
；
且 Hˆ 为厄米算符：
t
1 i
(Hˆ
)
于是： dF dt
1 i
(Hˆ )Fˆ dx
Fˆ dx t
1 i
Fˆ Hˆ dx
Fˆ t
dx
1 i
(Fˆ Hˆ
Hˆ Fˆ )dx
①
则 Pˆ 2(x, t) CPˆ (x, t) C2(x, t)
而 Pˆ (x, t) (x, t)
②
Pˆ 2(x, t) Pˆ (x, t) (x, t)
于是： C2 1，即C 1
所以 Pˆ 的本征值 C 1。
即： Pˆ 1 (x, t) 1 (x, t) ； Pˆ 2 (x, t) 2 (x, t) 称 Pˆ 的本征函数中本征值为 1的 1 为有偶宇称态，本征值为 1 的 2 为有奇宇称态。
1. dF 和 dF dt dt 在经典力学中，任一力学量 F 在任何时刻都有确定值，因而
F对时间的微商： dF lim F(t t) F(t) 有确定的意义。在量
dt t0
t
子力学中则不然，除了在 Fˆ 的本征态中 F 有确定值（这时无需考
虑 F随 t 的变化）外，在一般态中， F 并没有确定值，它可以以
即： dF dt
Fˆ t
1 i
[Fˆ ,
Hˆ ]
(1)
此即为海森伯运动方程。其中右边第一项是由于 Fˆ 显含时间而引 起的，即使 不随 t 变化这一项也存在；第二项是由于 随 t 变 化而引起的，即使 F不随 t 变化这一项也存在。
量子力学 第三章3.6算符与力学量的关系
定 已归一）
ˆ F C d Fdx
2
ˆ 证明： F dx
C d
ˆ [( C ' ' d' )F （ C d )]dx
' ˆ = C ' C [ ' F dx ] dd
n
C 其中： n n dx ； C dx ；
C
n
2
2
2 n
C d 1 ；
2
C n 为在 ( x ) 态中测 F 得 n 的几率；
C d 为在 ( x ) 态中测 F 得 d 在范围内的
几率；
平均值公式： F
代表的力学量的 F 关系如何？这需引进新的假设，适 合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。
ˆ (1)F的 n 平方可积 ˆ 若 F 是满足一定条件 (2)F的 级数收敛 的厄米算符， ˆ n 且它的正交归一的本征函数系 1 (x)、 2 ( x) … n ( x ) …
即：C ( x ) ( x )dx
(同理可得二、三维的结果)
可见： 力学量在一般的状态中没有确定值， 而有许多可能值， 这些可能值就是表示这个力学量算符的本征值的集合， 且每 个可能值都以确定的几率出现。
三、平均值公式 在 ( x ) 所描写的状态中，F 在 ( x )态的统计平均 值（由几率求平均值）为
ˆ F n C n ( x )F ( x )dx
2 n
dx 1 ) (假定
ˆ ( x )dx 代入完全性 证明： ( x )F
量子力学第三章
3.1求一维无限深势阱中的粒子处于第一激发态时概率密度最大值 的位置。
解 一维无限深势阱中粒子的波函数是 对第一激发态，，故 令 得五个极值可疑点：
和4 又因为 将代入上式得，故概率密度最大值位于和处。
3.2若粒子的波函数形式为，求粒子的概率分布，问粒子所处的状 态是否定态？
解 （1）
（2）
3.5在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态
波函数具有确定的宇称。
解 一维运动的薛定谔方程为
（1）
式中
（2）
依题意，在坐标反射变换时
再注意到当时是不变量，因此 （3）
即在坐标反射变换下，哈密顿算符具有不变性。 设坐标反射变换而得的态用表示，这时薛定谔方程为 （4）
有一个交点，故只有一个束缚态。 当 ，即
时两曲线有两交交点和，故有两个束缚态。
（5）式中常数由归一化条件求得：
最后得到波函数为
3.9设粒子处于半壁无限高的势场中 中运动，设粒子能量，求束缚态能量所满足的方程及至少存在一个束缚 态的条件。
解（1） 一维定态薛定谔方程为 将所给势能代入上式得 即 令 它们皆为实数，于是得到
它们的解分别为 但，否则时，不满足波函数有限性的要求，于是
因此在势阱中粒子满足如下薛定谔方程
或
即
（1）
其中
（2）
假设粒子处于态，与无关，因而
，
于是（1式变成
它的解为
代入（3）式得
（4）
为满足有限性要求，，否则处无限大，于是
（5）
又在处，这是因为边界是理想反射壁，粒子不能透出势阱外，于是
即
即 注意到（2）式，便得到球形势阱中粒子的能级 可见能级是量子化的，与一维无限深势阱的结果相似。
第三章 量子力学中的力学量
1 2πh
eipx/ h
hk E= ≥0 2m
ˆ H p H Lz与 ˆ，ˆ与 ˆ
2 2
k可 续 值 故 是 续 。 连 取 ， E 连 的
能 二 简 。 级 度 并
为啥具有相同的本征态？
（5）坐标算符的本征值和本征函数 ）
ˆ xϕ x′ ( x) = x′ϕ x′ ( x) x′取一切实数 ϕ x′ ( x) = δ ( x − x′)
,
n = 1,2,3L l = 0,1, L n - 1 m = 0,±1 L ± l ，
二、量子力学的基本原理四
在 意 ψ中 ψ = ∑anϕn 任 态 ，
n
测量力学量A，可得到各种可能取值，可能取 值必为某一本征值。
ˆ在 征 谱 取 的 率 | a |2 。 A 本 值 中 A 几 为 n n
2 2 ˆ2 ˆ = Lz = − h ∂ H 2I 2I ∂ϕ2
z
h2 ∂2 − ψ = Eψ 2 2I ∂ϕ
1 imϕ ψm(ϕ) = e 2π m2h2 Em = ≥0 2I
m = 0 ±1 ± 2 L ，， ，
要求： 要求：会求解
(3)求 量 分 px的 征 。 动 x 量ˆ 本 态
∂ −ih ψ = px'ψ ∂x
ˆz = x py − y px = −ih(x ∂ − y ∂ ) ˆ ˆ L ∂y ∂x
1 ∂ ∂2 ∂ 1 ˆ2 L = − h2 sin θ + 2 2 ∂θ sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ
从而有
ˆ = ihsin ϕ ∂ +cotθ cosϕ ∂ Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ihcosϕ ∂ −cotθ sin ϕ ∂ Ly ∂θ ∂ϕ ˆz = −ih ∂ L ∂ϕ
量子力学 第三章 表象理论
第三章表象理论本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。
首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。
之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。
接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。
最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。
1.表象：完备基的选择不唯一。
因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。
除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。
因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。
若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数③本征函数与本征矢的关系：设本征方程ψ=ψλQˆ又可写作()()G Q G Q ψψ=ˆ 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G QG ˆˆˆψψ 因此：本征函数()ψ=G G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ下的“坐标”（波函数） 如果离散谱：()ψ=i i G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ的iG 方向上的“坐标” ④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基）*注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象）2.投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号（1）投影算符：令()()连续谱离散谱dG G Gi i Pi⎰∑==ˆ，称为投影算符（2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量（3）本征方程：ψ=ψ=ψI Pˆˆ，表明投影算符就是单位算符 （4）单位算符代换公式：()()连续谱离散谱dQ G G i i I i⎰∑==ˆ3.不同表象下的态矢量展开和波函数：①离散谱：∑=ii iF Fψψ，ψψi i F =为Fˆ表象下的波函数 {}i ψ可表示为一列矩阵，第i 行元素就是ψψi i F =观测值恰为i Q 的概率：用Qˆ表象展开∑=ii i Q Q ψψ，22Pr ψψi i Q ob ==概率归一等价于波函数归一∑==ii 12ψψψ算符Qˆ的观测平均值：ψψψQ Q Q ii i ˆˆ2==∑②连续谱：⎰==dG G GIψψψˆ，ψψG =称为Gˆ表象下的波函数观测值落在dQ Q Q +~范围内的概率：用Qˆ表象展开⎰=dQ Q Qψψ，dQ Q dQ ob 22Pr ψψ==，满足概率归一⎰=12dQ ψ算符Qˆ的观测平均值：()()ψψψQ dQ Q Q Q ˆ,ˆ2==⎰③本征函数和态矢量的内积统一：设f f =，g Q g =，有()g f gdQ f dQ g Q f Q dQ g Q f g I f g f ,ˆ**=====⎰⎰⎰结论：量子态g f 在同一表象Q 下投影得波函数g f ,，则()g f g f ,=算符对本征函数作用：()()ϕψϕψϕψϕψϕψQ Q QQ Qˆˆˆ,ˆˆ,==== 示例：()ϕψϕψϕψϕψϕψϕψp dx pdx x p dx p x x p I pˆ,ˆˆˆˆˆˆ**=====⎰⎰⎰④位置表象与动量表象：4.力学量的测量值问题：①当待测系统处于算符本征态：此时ψ=ψQ Qˆ，对系统中所有粒子的测量结果都是本征态ψ对应的本征值i Q ，显然i Q 的统计平均值还是i Q ，iQ Q =ˆ。
量子力学 第三章3.3电子在库仑场中的运动
<4> 能级：
由于 2Zes Zes ( )1 / 2 、 n n r 1 ，考虑 2
2 2
2E
到 E 0 ，则有：
Z e s En 2n 2 2
2
4
， n 1,2,3,
(21)
即束缚态的能量是量子化的，它来源于粒子的波 动性及波函数的有限性。
ˆ 而角向方程 L2 Y L2 Y 的解与辏力场的具体形式无关，即：
L2 ( 1) 2 ，Y Ym (, )
o 所以径向 Schrdinger 方程可以表述为：
1 2 2 ˆ Tr [ 2 (r )] 2 r r r
( 1) 2 ˆ [Tr U(r) E]R 0 2 2r 2 2 ( 1) 2 (r ) U(r ) ]R (r ) ER (r ) 即：[ 2 2 r 2r r 2r
ˆ ˆ 即：[Tr T U(r )] E
球坐标系下的拉 普拉斯算符形式
ˆ 2 pr 1 ˆ T 其中： r [ 2 (r 2 )] 2 r r r 2 ˆ ˆ 1 r r ˆ ˆ ˆ pr ( p p ) 2 r r
2
为径向动能算符
有限性相矛盾，应否定它（不能是无穷级数）。
b.若 f () 级数是有限项，即 f () b s 为多项式，
nr
其最高次幂项为
bnr ，
n r s
0
nr 2 s 1 0。 于是 R e f () e 2 b 0 s b 由 b 1 (s )(s 1) ( 1)
量子力学讲义第3章
量子力学讲义第3章第三章量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值∞∞-∞∞-∞∞-==>=<="" d="" p="" r="" t="" w="">3),(ψψψ分量：?∞∞->=<="" p="" r="" t="" x="">3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值∞∞-∞∞-∞∞-==>=3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p< p="">（注意r d t r p p 32),(?>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：?∞∞->=3*),(),(将 r d e t r t p C r p i∞∞-?-=323),()2(1),(ψπ 代入，有∞∞-?-∞∞-?>=<p< p="">d r de t r p r d e t r p r p i x r p i x 3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ -?=])2(1)[,(),(3)(3 //3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i -??-=??-=?∞∞--?δπ 于是??∞∞-∞∞--??->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ?∞∞-??-=。
量子力学讲义 第三章 3.5、3.6、3.7、3.8
ˆ |2 d | F
0
可把常数记为Fn，把状态 记为ψn，于是得：
（2）力学量的本征方程
若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的，即：
(F) 0
2
则称这种 状态为力 学量 F 的 本征态。
ˆ F ) (F 0 或 ˆ 常 数 F
ˆ n Fn n F
m m m
m
ˆm )*nd Fm m *nd (F
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
若Fm≠Fn， 则必有：
ˆm )*nd m * F (F ˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
Ylm ( ,) Nlm Pl (cos ) eim
m
构成正交归 一函数系
0
2
0
* Ylm ( ,)Ylm ( ,)sindd ll
ˆ 的本征函数 （4）氢原子能量算符H
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm (,) 组成正交归一函数系
i 1
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
Fn A jini
i 1
nj
* nj ji A j i ni * ni d jj
构成正交归一系
m(x) n(x)dx mn
ˆ z 的本征函数 （2）角动量分量算符 L
1 i m m() e (m 0, 1, 2, ) 2
第三章 量子力学中的力学量
以上归一化方法称为箱归一化。 动量本征函数：
再乘上时间因子：
参见：
P23:2.2-4 式。
自由粒子的波函数，其动量有确定值 。
2、角动量算符
3、角动量平方算符
为讨论方便我们要导出上述算符在球坐标下的表示式。 同理可得：
同理可得：
同理可得：
把上述表达式分别代入
4、相应的本征方程和本征值 （1）角动量的 分量
c、分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子 在束缚态下的能谱。
重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，
分立谱记为
。对应的本征函数分别记
为
及。
（2）、力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对 应，而出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值， 称这种情况为 度简并。 §3-2 动量算符和角动量算符 1 动量算符
第三章 量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方 式描述。
量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微 观粒子的运动状态。
但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入 了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中 的力学量。
算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相 承、贯穿始终。
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大 家学习的重点。重点掌握以下内容：
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线 性厄米算符的本征态表示；
•三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；
四个本征态及本征值：坐标 或 、动量 或 、 角动量 及 、能量（哈密顿量 ）。
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符３.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为:ˆFuv =(3.1-1）ˆF 称为算符。
ｕ与v 中的变量可能相同,也可能不同。
例如，11du v dx =,22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞,(,)x i p x hx edx C p t -=,则ddx dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1.算符的一般运算(1)算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。
(2）算符的相加：对于任意函数u,若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3)算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2.几种特殊算符 （１）单位算符对于任意涵数u,若ˆIｕ=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与１是等价的。
(2)线性算符对于任意函数ｕ与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。
(3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆGF -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fu x af x =，其中ˆF为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当ａ＝０时,υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==,从而由ˆFvaf =得:1ˆF af υ-=。
量子力学第三章
2
a ( n
1 2
( n )
2
2 a
所以
E
n
2
2
于是波 函数：
1 2 ( n ) 2 2 a
( 2 n1)
2 2
2
8 a
2
I III 0 n II n 1 2n 1 2 n A sin(x ) A cos x A cos x A cos x 2 a 2a
d dx d dx d dx
2 2 2 2 2 2
2
I
0 0 0
V(x)
II
2
II
I -a
II 0 a
III
III
2
III
V(x)
1。单值，成立； 2。有限：当x - ∞ ，
I
II
III
-a
类似 I 中关于 n = m 的讨论可知：
( n 0,1, 2, )
综合 I 、II
结果，最后得：
Em
m
2
2
2
2
8a
I
对应 m = 2 n
III
m
0 m 2a x m 0 的偶数
I II
0
C 1e
x
a
C 2e
x
ψ 有限条件要求 C2=0。
x
I
d dx d dx d dx
高等量子力学 第三章 本征矢量和本征值
征子空间，它们只能相差常数倍：
B i bi i
即 i 也同时是 B 的本征矢量，常数 bi 就是 B 的本征值。如果 A 的所
有本征值都没有简并，那么{ i } 就是 A 和 B 的共同本征矢量完全集。
（2）问题在于 A 的那些有简并的本征值。在 A 的二维以上的 本征子空间中随便取一个矢量，未必就是 B 的本征矢量。设 A 的
定理： 若A和B 两算符相似，即对于有逆算符R 有
B RAR1
则A和B有相同的本征值谱，而且每一本征值都有相同的简并度。 证明： 设已知A的全部本征值和相应本征矢量；
Ai ai i ,
i 1, 2, 3,
利用 R1R 1的性质，并用 R 从左作用上式两边，得
RAR1R i ai R i ,
为 aiaj ij 等等。这样会给行文带来方便。而这样一来，对于一部
分连续而另一部分离散的那种本征值谱，随便写成一种形式（取 和或积分）就可以了。
上述矢量成为B的本征矢量的条件是
B j b j
B j c b j c
B j c b j c
用 j 同上式作内积，利用 j j 得
m
j B j c bc
1
( 1,2,m)
这是一个{c }的线性齐次方程组，设其系数 j B j B ，
这一方程组有解的条件是系数行列式为零：
B11 b B12
示各本征值序号的集合，而用{ ai } 表示它们的共同本征矢量，
简单的写成
A ai ai ai
共同本征矢量的完全性关系简写成
ai ai 1
i
§3-4 无穷维空间的情况
量子力学 曾谨言 第五版 第三章知识点
所以，当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。 做空间反射变换：
x → −x
ψ ( x) → ψ (− x)
ˆ 代表空间反射变换： P ˆψ ( x= ) ，用算符 P
ψ (− x)
宇称本征方程：
ˆψ ( x) = λψ ( x) P
可证 λ 为实数。只有当 λ 为实数时，该方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对
1
作者：张宏标（任课教师）
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
称为它的简并度。 (ii)、当 V ( x) 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。 [证] 分能级无简并和有简并两种情况来证明 (1)、能级无简并情况：对应能级 E ，只有一个独立的本征波函数。 设ψ ( x) 为能量值为 E 的本征波函数，能量本征方程：
作者：张宏标（任课教师） 2
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿 Lectures on Quantum Mechanics for undergraduates of physical major
应，而测量值总是实数。
ˆ 的本征值 λ 。 宇称（Parity） ：空间反射变换算符 P
宇称的可能取值：
因此，在 x = x0 点，ψ ′( x) 不连续， 连接条件为：
ψ ′( x0 + ε ) −ψ ′( x0 − ε ) = −
2mV0 ψ ( x0 ) 。 2
′ −ψ 2ψ 1′ = (v)、若ψ 1 ( x) 和ψ 2 ( x) 都是能级本征值 E 所对应的本征波函数，则有ψ 1ψ 2 常数 。 ′ = ψ 2ψ 1′ 。 而对于束缚态（即 lim ψ ( x) → 0 ） ，则为ψ 1ψ 2
第三章 一维势场中的粒子 new 2(1) 量子力学教学课件
Fang Jun 第16页
3.2.1 一维无限深方势阱
V→∞ V(x) V→∞
E
V=0
0 ax
在阱内（0<x<a），能量本征方程为
m为粒子质量，E为能量。 在阱外，势场为无限大，因此粒子出现的几率为0，ψ=0.
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第17页
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第1页
§ 3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
当粒子在势场 V(x,y,z)中运动时，其薛定谔方程为：
Hˆ [ 2 2 V ( x, y, z)] ( x, y, z) E ( x, y, z) 2
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：
2 d 2
[ 2 dz 2 V3 ( z )]Z ( z ) Ez Z ( z )
其中
E Ex Ey Ez
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第3页
设质量为m的粒子，沿x方向运动，势能为V(x)，则 Schrödinger方程为，
对于定态(能量E)，波函数表为
定理 5 对于阶梯性方位势
V2-V1 有限，则能量本征函数ψ(x)及其导数ψ’(x)必定是连 续的。 证明： 根据方程
在V(x)连续的区域， ψ(x)及ψ’(x)必然连续。在V(x)发生阶 梯跃变处，V(x) ψ(x)发生跃变，但变化是有限的。上式对 x~a积分，有
第3章 一维势场中的粒子@ Quantum Mechanics
这里已分别略去了ψⅠ 和ψⅢ中正指数和 负指数项，因为它们在x→±∞ 发散。
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第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
ˆˆ0ˆˆ0y y z z xp p x xp p x -=⎧⎨-=⎩，ˆˆ0ˆˆ0x x z z yp p y yp p y -=⎧⎨-=⎩，ˆˆ0ˆˆ0x x y y zpp z zp p z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ˆˆˆˆ0x y y x pp p p -=，ˆˆˆˆ0y z z y p p p p -=，ˆˆˆˆ0z x x z p p p p -= ˆˆˆˆ0xyyx -=，ˆˆˆˆ0y z z y p p p p -=，ˆˆˆˆ0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)：ˆˆx pp x i αββααβδ-= (1) ˆˆˆˆ0xx x x αββα-= ˆˆˆˆ0pp p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。
注意：当Â与ˆB对易，ˆB 与Ĉ对易，不能推知Â与Ĉ对易与否。
6、对易括号(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：ˆ[,]x pi αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式：1) ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- 2) ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+ 3) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABC B A C A B C =+ ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A = 4) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0AB C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。
角动量的对易式：(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系角动量算符ˆˆˆˆˆx x y y z zl r p i r l e l e l e =⨯=-⨯∇=++ ˆl 在直角坐标中的三个分量可表示为ˆˆˆ()xz y l yp zp i y z z y∂∂=-=--∂∂ ˆˆˆ()y x z l zp xp i z x x z ∂∂=-=--∂∂ ˆˆˆ()zy x l xp yp i x y y x∂∂=-=--∂∂ ˆˆˆ[,]x y z l l i l =，ˆˆˆ[,]y z x l l i l =，ˆˆˆ[,]z x y l l i l = （要求会证明）⇒ˆˆˆl l i l ⨯=ˆˆˆl l i l ⨯= 是角动量算符的定义式。
ˆˆˆ[,]l l i l αβαβγγε=式中εαβγ称淡Levi-Civita 符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：1231αβγβαγαγβεεεε=-=-⎧⎨=⎩其中,,,x y z αβ=或1,2,3证明：ˆ[,]x l i x αβαβγγε=或 ˆ[,]l x i x αβαβγγε= ,,,x y z αβ=ˆˆˆ[,]pl i p αβαβγγε= 或 ˆˆˆ[,]l pi p αβαβγγε= 2ˆˆ[,]0l l α=(2)在球坐标系中角动量算符的对易关系ˆ(sin cos )xl i ctg ϕθϕθϕ∂∂=+∂∂ ˆ(cos sin )yl i ctg ϕθϕθϕ∂∂=--∂∂ ˆzl i ϕ∂=-∂ 22211ˆ[(sin )]sin sin l θθθθθϕ∂∂∂=-+∂∂∂2ˆˆˆˆ,,x y z l l l l 和只与θ,ϕ 有关，与r 无关，而且ˆz l 只与ϕ 有关。
2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 2222222sin 1)(sin sin 1)(1ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=r r r r r r 或 222222ˆˆr pl r ∇=--22222ˆˆr p l r=--其中),1(ˆr r i pr +∂∂= )(1ˆ2222r r rr p r ∂∂∂∂-= ，r pˆ可称为径向动量算符。
(3)角动量升降阶算符 (I) 定义ˆˆˆx y l l il +=+，ˆˆˆx y l l il -=-显然有如下性质ˆl ++ˆl -=， ˆˆl l +-+=这两个算符不是厄密算符。
(II) 对易关系ˆˆ[,]z l l ±ˆl ±=±， 2ˆˆ[,]0l l ±=，22ˆˆˆˆˆz z l l l l l +-=-+，22ˆˆˆˆˆz z l l l l l -+=--7、逆算符(1). 定义: 设Âψ=φ, 能够唯一的解出ψ， 则可定义算符Â之逆Â-1为: 1ˆAφψ-= (2).性质I: 若算符Â之逆Â-1存在，则11ˆˆˆˆAA A A I --==, 1ˆˆ[,]0AA -= (3).性质II: 若Â,ˆB均存在逆算符, 则 111ˆˆˆˆ()ABB A ---= 8、算符函数设给定一函数F (x )，其各阶导数均存在，其幂级数展开收敛()0(0)()!n nn F F x x n ∞==∑则可定义算符Â的函数F (Â)为:()(0)ˆˆ()!n nn F F A A n ∞==∑ 补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态) ψ与ϕ的“标积” *(,)d ψϕτψϕ=⎰d τ⎰是指对体系的全部空间坐标进行积分，d τ是坐标空间体积元。
例如对于一维粒子：d dx τ∞-∞=⎰⎰对于三维粒子：d dxdydz τ+∞-∞=⎰⎰⎰⎰可以证明*11221122**11221122(,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)c c c c c c c c ψψψϕϕψψϕϕψϕψϕψψϕψϕψϕ≥⎧⎪=⎪⎨+=+⎪⎪+=+⎩9、转置算符算符Â的转置算符ˆA定义为 **ˆˆd A d A τψϕτϕψ=⎰⎰即 **ˆˆ(,)(,)AA ψϕϕψ= 式中ψ和ϕ是两个任意波函数。
例如：x x∂∂=-∂∂（证明） ˆˆx x pp =- 可以证明：ˆˆˆˆ()ABBA = 10、复共轭算符算符Â的复共轭算符Â*就是把Â表达式中的所有量换成其复共轭。
但应注意，算符Â的表达式与表象有关。
11、厄米共轭算符算符Â之厄米共轭算符Â+定义为：**ˆˆ()d Ad A τψϕτψϕ+=⎰⎰或 ˆˆ(,)(,)A A ψϕψϕ+= 厄密共轭算符亦可写成：*ˆˆAA += 可以证明: ˆˆˆˆ()AB B A +++= ˆˆˆˆˆˆ()ABCCB A ++++=12、厄米算符 (自共轭算符)(1). 定义： 满足下列关系的算符称为厄米算符.**ˆˆ()d A d Aτψϕτψϕ=⎰⎰ˆˆ(,)(,)A A ψϕψϕ= 或 ˆˆAA += (2). 性质性质 I ：两个厄密算符之和仍是厄密算符。
性质 II ：两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。
三、算符的本征方程如果算符Â作用于函数ψ的结果，等于某一常数λ乘以ψ，即ˆAψλψ= (2) 那么称λ为算符Â的本征值，ψ为算符Â的属于本征值λ的本征函数。
方程(2)称为算符Â的本征方程。
§3.2 动量算符和角动量算符一、动量算符∇-=i pˆ 1、动量算符的厄密性（证明）2、动量算符本征方程)()(ˆr p r p pp ψψ=，即()()p p i r p r ψψ-∇= 采用分离变量法，令：()()()()p r x y z ψψψψ=代入动量本征方程()()p p i r p r ψψ-∇= ⇒()()()()p r x y z ψψψψ=()()()x y z p p p x y z ψψψ=123x y z iiip xp yp zc ec ec e=ip rce⋅= (1)p 可取任意实数值，即动量算符的本征值p 组成连续谱，相应的本征函数为(1)式所表示的)(r pψ，这正是自由粒子的de Broglie 波的空间部分波函数。
(2).归一化系数的确定 ①、归一化为 δ 函数 取2/3)2(-= πc ，则)(r pψ归一化为δ函数，*()()()p p r r d p p ψψτδ∞'-∞'=-⎰(2) r p ipe r⋅=2/3)2(1)(πψ （3） 一维情况：x p i p x x erπψ21)(=②、箱归一化——P70-72（略去不讲）箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为δ函数方法对任何连续谱都适用。