运筹学135层次分析法
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运筹学教程
1982年11月，我国召开的能源、资源、环境学术会议上，美 国Moorhead大学能源研究所所长Nezhed教授首次向我国学者 介绍了AHP方法。其后，天津大学许树柏等发表了我国第一篇 介绍AHP的论文。随后，AHP的理论研究和实际应用在我国迅 速开展。1988年9月，在天津召开了国际AHP学术讨论会， Saaty教授等国外学者和国内许多学者一起讨论了AHP的理论 和应用问题。目前，AHP应用在能源政策分析、产业结构研 究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价、以及发展 目标分析的许多都取得了令人满意的成果。
a11 a12 a1n
A
0 0
0 0
0 0
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所以 ran(A) 1.
运筹学教程
在一般情况下，可以证明判断矩阵的最大特征值为单根，且
max n 当判断矩阵具有满意的一致性时，max稍大于矩阵阶数 n ，
其余特征根接近于零。这时AHP得出的结论才基本合理。但 由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，要求所有的 判断都有完全的一致性是不可能的，但我们要求一定程度上 的判断一致，因此对构造的判断矩阵需要进行一致性检验。
A
0 an1
0 an2
a1n (an1) 0 ann
a11
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an1
0 a11an1
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a1n
0
ann
a1nan1
a11an1 an1a11 an1; a1nan1 an1a1n ann
a12an1 an1a12 an2 ;
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AHP是一种将定性分析与定量分析相结合的系统分析方 法。在进行系统分析时，经常会碰到这样的一类问题：有 些问题难以甚至根本不可能建立数学模型进行定量分析； 也可能由于时间紧，对有些问题还来不及进行过细的定量 分析，只需作出初步的选择和大致的判定就行了。例如选 择一个新厂的厂址，购买一台重要的设备，确定到哪里去 旅游等等。这时，我们若应用AHP进行分析，就可以简便 而且地解决问题。 AHP是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具。它 具有思路清晰、方法简单、适用面广、系统性强等特点， 便于普及推广，可成为人们工作中思考问题、解决问题的
1 2
1
1
/
1
1 / 2
A
2 2 n n
/ 1
/ 1
2 / 2
n / 2
பைடு நூலகம்
n
1
/
n
2 n
/ n
/ n
(aij
)
nn
显然矩阵A满足
aii 1,
aij
1 a ji
（1）
称满足（1）式的矩阵为互反矩阵。且满足
运筹学教程
aij a jk aik (i, j, k 1,2, , n) （2）
二。AHP的步骤 用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤： ⑴ 建立层次结构模型； ⑵ 构造判断矩阵； ⑶ 层次单排序； ⑷ 层次总排序； ⑸ 一致性检验。 其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
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⑴ 建立层次结构模型
人们在日常生活中经常会碰到许多决策问题：买一件衬衫， 你要在棉的、丝的、涤纶的、…及花边的、白的、方格 的、…之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴还是去 饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，失去风光绮 丽的杭州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂 林。如果你以为这些日常生活小事不必作为决策问题认真对 待的话，那么，当你面临报考学校、选择专业，或者抉择工 作岗位的时候，就要慎重考虑、反复考虑，尽可能地做出满 意的抉择了。
aij a jk aik (i, j, k 1,2, , n)
若上式完全成立时，称判断矩阵具有完全一致性。 可以证明，n阶完全一致性矩阵具有以下的性质： 1。A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。 2。A的任一列（行）向量都是对应于特征根n的特征向量。 证明：设
a11
a12
A
a21 an1
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一种方法。将AHP引入决策，是决策科学化的一大进步。它 最适宜于解决难以完全用定量方法进行分析的决策问题。因 此，它是复杂的社会经济系统实现科学决策的有力工具。
一.AHP的基本原理 为了说明AHP的基本原理，首先让我们分析下面的简单事实。 假定我们已知n个西瓜的总重量为1，每个西瓜的重量为 W1, W2, ,Wn. 问每个西瓜相对于其他西瓜的相对重量是多重？ 可通过两两比较（相除），得到比较矩阵（以后称之为判断 矩阵）：
a22 a12a21 an2
a1n
a2n a1na21
ann
注意到： aij a jk aik (i, j, k 1,2, , n)
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有 a11a21 a21a11 a21 a1na21 a21a1n a2n
a12a21 a21a12 a22
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设
1
有
W
2 n
1 / 1 1 / 2 1 / n 1 n1
AW
2
n
/ 1
/ 1
2 / 2
n / 2
2 n
/ n
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2 n
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nn
nW
1
即n是A的一个特征根， 的一个特征向量。
W
2
n
是A的对应与特征根n
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现在提出相反的问题：如果事先不知道每个西瓜的重量，也 没有衡器去称量，如何判定每个西瓜的相对重量呢？即如何 判定那个最重，那个次之，…哪个最轻呢？
我们可以通过两两比较的方法，得出判断矩阵A,然后求出A的 最大特征值 max ，进而通过
AW maxW
求出A的特征向量
1
W
2 n
然后通过
i
i
n
i
i 1
i 1,2, , n
将 W 规范化：
1
W
2
n
则 W 即为n个西瓜的相对重量。
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使用AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。所谓判断矩 阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系：
a22 an2
a1n
a2n ann
(aij
)nn
是n阶完全一致性矩阵，则
aij a jk aik (i, j, k 1,2, , n)
a11 a12
A
a21 an1
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(a21)
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a11
a12
a21
a11a21 an1
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从事各种职业的人也经常面临决策：一个厂长要决定购买哪 种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要 为疑难病例选择治疗方案；经理要从若干应试者中选择秘 书；各地区、各部门的官员要对人口、交通、经济、环境等 领域的发展规划作出决策。 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判 断过程大体上类似。不妨用前面提到过的假期旅游为例，假如
1982年11月，我国召开的能源、资源、环境学术会议上，美 国Moorhead大学能源研究所所长Nezhed教授首次向我国学者 介绍了AHP方法。其后，天津大学许树柏等发表了我国第一篇 介绍AHP的论文。随后，AHP的理论研究和实际应用在我国迅 速开展。1988年9月，在天津召开了国际AHP学术讨论会， Saaty教授等国外学者和国内许多学者一起讨论了AHP的理论 和应用问题。目前，AHP应用在能源政策分析、产业结构研 究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价、以及发展 目标分析的许多都取得了令人满意的成果。
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A
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所以 ran(A) 1.
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在一般情况下，可以证明判断矩阵的最大特征值为单根，且
max n 当判断矩阵具有满意的一致性时，max稍大于矩阵阶数 n ，
其余特征根接近于零。这时AHP得出的结论才基本合理。但 由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，要求所有的 判断都有完全的一致性是不可能的，但我们要求一定程度上 的判断一致，因此对构造的判断矩阵需要进行一致性检验。
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AHP是一种将定性分析与定量分析相结合的系统分析方 法。在进行系统分析时，经常会碰到这样的一类问题：有 些问题难以甚至根本不可能建立数学模型进行定量分析； 也可能由于时间紧，对有些问题还来不及进行过细的定量 分析，只需作出初步的选择和大致的判定就行了。例如选 择一个新厂的厂址，购买一台重要的设备，确定到哪里去 旅游等等。这时，我们若应用AHP进行分析，就可以简便 而且地解决问题。 AHP是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具。它 具有思路清晰、方法简单、适用面广、系统性强等特点， 便于普及推广，可成为人们工作中思考问题、解决问题的
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显然矩阵A满足
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称满足（1）式的矩阵为互反矩阵。且满足
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aij a jk aik (i, j, k 1,2, , n) （2）
二。AHP的步骤 用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤： ⑴ 建立层次结构模型； ⑵ 构造判断矩阵； ⑶ 层次单排序； ⑷ 层次总排序； ⑸ 一致性检验。 其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
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运筹学教程
⑴ 建立层次结构模型
人们在日常生活中经常会碰到许多决策问题：买一件衬衫， 你要在棉的、丝的、涤纶的、…及花边的、白的、方格 的、…之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴还是去 饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，失去风光绮 丽的杭州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂 林。如果你以为这些日常生活小事不必作为决策问题认真对 待的话，那么，当你面临报考学校、选择专业，或者抉择工 作岗位的时候，就要慎重考虑、反复考虑，尽可能地做出满 意的抉择了。
aij a jk aik (i, j, k 1,2, , n)
若上式完全成立时，称判断矩阵具有完全一致性。 可以证明，n阶完全一致性矩阵具有以下的性质： 1。A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。 2。A的任一列（行）向量都是对应于特征根n的特征向量。 证明：设
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A
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一种方法。将AHP引入决策，是决策科学化的一大进步。它 最适宜于解决难以完全用定量方法进行分析的决策问题。因 此，它是复杂的社会经济系统实现科学决策的有力工具。
一.AHP的基本原理 为了说明AHP的基本原理，首先让我们分析下面的简单事实。 假定我们已知n个西瓜的总重量为1，每个西瓜的重量为 W1, W2, ,Wn. 问每个西瓜相对于其他西瓜的相对重量是多重？ 可通过两两比较（相除），得到比较矩阵（以后称之为判断 矩阵）：
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注意到： aij a jk aik (i, j, k 1,2, , n)
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即n是A的一个特征根， 的一个特征向量。
W
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n
是A的对应与特征根n
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现在提出相反的问题：如果事先不知道每个西瓜的重量，也 没有衡器去称量，如何判定每个西瓜的相对重量呢？即如何 判定那个最重，那个次之，…哪个最轻呢？
我们可以通过两两比较的方法，得出判断矩阵A,然后求出A的 最大特征值 max ，进而通过
AW maxW
求出A的特征向量
1
W
2 n
然后通过
i
i
n
i
i 1
i 1,2, , n
将 W 规范化：
1
W
2
n
则 W 即为n个西瓜的相对重量。
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使用AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。所谓判断矩 阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系：
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是n阶完全一致性矩阵，则
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a11a21 an1
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从事各种职业的人也经常面临决策：一个厂长要决定购买哪 种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要 为疑难病例选择治疗方案；经理要从若干应试者中选择秘 书；各地区、各部门的官员要对人口、交通、经济、环境等 领域的发展规划作出决策。 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判 断过程大体上类似。不妨用前面提到过的假期旅游为例，假如