专题二：平行四边形常用辅助线的作法 含答案解析

专题讲义 平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：四边形ABCD 是平行四边形 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（4、平行四边形判定方法的选择5、和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，四边形OCDE 是平行四边形. 求证: OE 与AD 互相平分.A B CD 1234ABCDABD O C 性质判定 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.（2）利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证: ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问（3）利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例4、如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例5、如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ，10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）A 、111<<mB 、222<<mC 、1210<<mD 、65<<m（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例6、已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+图2图1OOECC AB DAB DEF图2OECAB D 321图图3PEDCFEDABCB（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例7、已知：如右上图4，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点，求证：AB AP =二、课堂练习：1、如图，E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，AC 与DE 相交于点F ，若平行四边形ABCD的面积为S ，则图中面积为S 21的三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 ___________四边形．3、如图，AD ，BC 垂直相交于点O ，AB ∥CD ，BC=8，AD=6， 则AB+CD 的长=___________。

4、已知等边三角形ABC 的边长为a ， P 是△ABC 内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，点D 、E 、F 分别在 BC 、AC 、AB 上，猜想：PD ＋PE+PF=______，并证明你的猜想．321图4KPF EDCBA5、平行四边形ABCD中，HFGE,,,分别是四条边上的点，且DHBCCFAE==,, 试说明：EF与GH相互平分．6、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O 任作一直线分别交AB、CD于G、H．试说明：GF∥EH．7、如图，已知ACAB=，B是AD的中点，E是AB的中点．试说明：CECD2=8、如图，E是梯形ABCD腰DC的中点．BDE试说明：ABCD ABE S S 梯形21=∆9、已知六边形ABCDEF 的6个内角均为120°，CD ＝2cm ，BC ＝8cm ，AB ＝8cm ，AF=5cm ，试求此六边形的周长．10、已知ABC ∆是等腰三角形，AB=AC ，D 是BC 边上的任一点，且,AB DE ⊥ AB CH AC DF ⊥⊥,，垂足分别为E 、F 、H ， 求 证：CH DF DE =+11、已知：在ABC Rt ∆中，BC AB =；在ADE Rt ∆中，DE AD =；连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，求证：DM BM =且DM BM ⊥；（2）如果将图8-①中的ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．MD BACE图①图-②MDBA CE答案：例4、⑴ 连结BF ⑵DE BF =⑶ 证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==,∵FC AE = ∴FC OC AE AO −=− 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =例5、解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<−m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A 例6、证明：过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ，BC DF ⊥的延长线于点F∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅−+=−+−=+=2)(22222222 CF BC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ⋅++=++−=+=2)()(22222222 则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅−⋅++++=+22222222 ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD = ∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB ∴DCF ABE ∆≅∆ ∴CF BE = ∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+ 例7、证明：延长CF 交BA 的延长线于点K∵四边形ABCD 为正方形∴AB ∥CD 且CD AB =,AD CD =,090=∠=∠=∠D BCD BAD∴K ∠=∠1 又∵090=∠=∠DAK D ,AF DF = ∴CDF ∆≌KAF ∆ ∴AB CD AK == ∵AD DF CD CE 21,21==∴DF CE = ∵090=∠=∠D BCD ∴BCE ∆≌CDF ∆ ∴21∠=∠ ∵09031=∠+∠ ∴09032=∠+∠ ∴090=∠CPB ,则090=∠KPB∴AB AP =二、课堂练习1、 C2、平行3、104、a5、分析：观察图形，EF 与HG 为四边形HEGF 的对角线，若能说明四边形HEGF 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF 与GH 相互平分。

6、分析：观察图形，GF 与EH 为四边形GEHF 的对边，若能说明四边形EHFG 是平行四边形，平行四边形具有对边平行的性质可得GF ∥EH ．7、分析：延长CE 至F ，使EF ＝CE ，连结AF 、BF ，得四边形AFBC 是平行四边形，利用平行四边形的性质证明△DBC ≌△FBC 即可。

8、分析：过点E 作MN ∥AB ，交BC 于N ，交AD 的延长线于M ，则四边形ABNM 是平行四边形，△ABE 与四边形ABNM 等底等高，所以S △ABE ＝21S 平行四边形ABNM ，接下来说明 S 梯形ABCD ＝S 平行四边形ABNM 即可。

9、10、证明：过D点作DG⊥CH于G又DE⊥AB于E，CH⊥AB于H∴四边形DGHE为矩形∴DE＝GH EH∥DG∴∠B＝∠GDC又AB＝AC ∴∠B＝∠ACB∴∠GDC＝∠ACB又∠DGC＝∠DFC＝90°CD＝DC（公共边）∴△CDG≌△DCF（AAS）∴DF＝CG又CH＝CG＋GH∴CH＝DF＋DG（等量代换）11、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO −=− 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =图2图1OOECCABDABDEF第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ）A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<−m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。