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2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)

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江苏省南通市海安县海安高级中学2020届高三模拟考试数学试卷 Word版含答案

江苏省南通市海安县海安高级中学2020届高三模拟考试数学试卷 Word版含答案

（第6题）数学参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差211()ni i s x x n ==-∑11nii x x n ==∑；柱体的体积公式：V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上． 1．已知全集{}21012U =--，，，，，集合{}2 1 1A =--，，，则UA = ▲ ．2．已知复数()()z 1i i a =-⋅+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3．数据1，3，5，7，9的标准差为 ▲ ． 4．函数()12xf x -的定义域是 ▲ ．5．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出23m 的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是 ▲ ． 6．右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b -=>经过点()34，，则该双曲线的准线方程为 ▲ ．8. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396S S S ，，成等差数列，则258a a a +的值为 ▲ ． 9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 ▲ ．（写出所有正确命题的序号）①因为当π3x =时，()2πsin sin 3x x+≠，所以2π3不是函数sin y x =的周期；②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数；③“M N >”是“22log log M N >”成立的充分必要条件；④若实数a 满足24a <，则2a ≤．（第15题）10. 如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 ▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中，若函数()ln f x x ax =-在1=x 处的切线与圆C ：01222=-++-a y x x 存在公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12. 已知函数()32f x ax bx cx =++，若关于x 的不等式()0f x <的解集是()()102-∞-，，，则b ca+的值为 ▲ ． 13.在边长为4的菱形ABCD 中，A =60°，点P 在菱形ABCD 所在的平面内．若3PA =，PC =则PB PD ⋅= ▲ ．14.设函数()()21722040k x x f x x x ⎧+-+⎪=⎨⎪>⎩，，，，≤，()()43g x k x =-，其中0k >．若存在唯一的整数x ，使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，M 为棱PD 的中点，MA =MC ． 求证：（1）PB //平面AMC ；（2）平面PBD ⊥平面AMC ．16.（本小题满分14分）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知tan A ，tan B ，tan C 成等差数列，cos Acos B 成等比数列． （1）求A 的值；（2）若△ABC 的面积为1，求c 的值.17．(本小题满分14分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB 为直径的圆，且300AB =米，景观湖边界CD 与AB平行且它们间的距离为米．开发商计划从A 点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ ．设2AOP θ∠=． （1）用θ表示线段PQ ，并确定sin 2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ 的长度设计到最长，求PQ 的最大值．18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，右顶点A (2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设P (－4，0)，连接PM 交椭圆C 于另一点E ．求证：直线NE 过定点B ，并求出点B 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B 的直线交椭圆C 于S ，T 两点，求OS OT ⋅的取值范围． 19．(本小题满分16分)已知函数()212ax f x bx +=，其中0a >，0b >． （1）①求函数()f x 的单调区间； ②若x 1，x 2满足)12i x i >=，，且120x x +>，20x >．求证：()()122f x f x +>．（2）函数()21ln 2g x ax x =-．若对任意(120x x ∈，，12x x ≠，都有|f (x 1)－f (x 2)|＞|g (x 1)－g (x 2)|，求b a -的最大值．20．(本小题满分16分)已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足*1122n n n n a b a b a b c S n +++=∈N ，，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为()0d d ≠的等差数列．（1）若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式； （2）若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；（3）若11a c d k === （k 为常数，*k ∈N ），()*2n n kb c n n +=∈N ≥，． 求证：对任意的*2n n ∈N ≥，，11n n n n b b a a ++>恒成立．数学II （附加题）21. 【选做题】 在A ，B ，C 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32．求矩阵A ．B. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝22．点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．C. 选修4-5：不等式选讲若正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10分）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，底面正方形的对角线AC ，BD 交于点O 且OP ＝12AB ．（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角B －PD －C 的大小．23. （本小题满分10分）（第22题）定义：若数列{}n a 满足所有的项均由11-，构成且其中1-有m 个，1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为“()m p -，数列”．（1）()i j k a a a i j k <<，，为“()34-，数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a =的取法有多少种?（2）()i j k a a a i j k <<，，为“()m p -，数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数对()m p ，使得1100m p ≤≤≤，且1i j k a a a =的概率为12?数学答案参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差s =11nii x x n ==∑；柱体的体积公式：V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式：13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 二、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上 1． 答案：{}02，2．答案：1- 3．答案：4．答案：(]0-∞，5．答案：14π6． 答案：5 7.答案：x =8.答案：2（必修五P.62第10题改编） 9．答案：①②④ 10.11.答案：(][)012+∞，，12. 答案：3- 13. 答案：-1 14.答案：1763⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 三、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)证明：（1）连结OM ，因为O 为菱形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以O 为BD 的中点． …… 2分 又M 为棱PD 的中点，所以//OM PB ， …… 4分 又OM ⊂平面AMC ，PB ⊄平面AMC ，所以PB //平面AMC ； …… 6分（2）在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，且O 为AC 的中点，又MA =MC ，故AC ⊥OM ， …… 8分 而OMBD O =，OM ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ， …… 11分 又AC ⊂平面AMC ，所以平面PBD ⊥平面AMC ． …… 14分16. （本小题满分14分）解：（1）由题意知：tan tan 2tan cos cos cos A C B A B C +=⎧⎨⋅=⎩，，因为πA B C ++=，所以()cos cos cos cos sin sin cos cos C A B A B A B A B =-+=-+= 又因为△ABC 为锐角三角形，所以sin sin tan tan 2cos cos A BA B A B==①， …… 2分所以()tan tan tan tan tan tan tan tan 1A BC A B A B A B +=-+==+-，所以tan 2tan B A =，与①式联立，解得tan 1A =（负舍）， …… 4分又()0,πA ∈，所以π4A =． …… 6分 （2）由（1）知，tan 1A =，tan 2tan 2B A ==，且tan 3C =，又22sin tan 2cos sin cos 1B B B B B ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，结合()0πB ∈，解出sin B =， …… 8分同理解出sin C =…… 10分 在△ABC 中，由正弦定理知：sin sin b cB C=，因此sin 53sin 3B b c C =⋅==， …… 12分 又1sin 12bc A =，由此解出c =． …… 14分17．(本小题满分14分)解：（1）过点Q 作QH AB ⊥于点H，则QH =在三角形AOP 中，因为300AB =，2AOP θ∠=，所以π2OAP θ∠=-，300sin AP θ=，所以AQ =，故300sin PQ AP AQ θ=-=． …… 4分因为300sin 0cos PQ θθ=->，即sin 23θ>，且()20πθ∈，． …… 6分（2）因为(300sin 506sin PQ AP AQ θθ=-==-，令()6sin f θθ=，sin 2θ>，且()20πθ∈，． …… 8分所以()()36cos tan tan f θθθθθ'==⋅-，令()0f θ'=，即3tan tan 0θθ+-=，所以()2tan tan 30θθθ+=， …… 10分记0tan θ=()0π02θ∈，，所以当00θθ<<时，()0f θ'>，()f θ单调递增；所以当0π2θθ<<时，()0f θ'<，()f θ单调递减，又因为0sin 2θ=，所以当tan θ()f θ取最大值．此时sin cos 33θθ==，所以PQ 的最大值为答：湖上桥面PQ 长度的最大值为 …… 14分 18．解：（1）设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，由题意得a ＝2，e ＝12， …… 2分即12c a =，所以c ＝1，2223b a c =-=． 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． …… 4分（2）证明：根据对称性，直线NE 过的定点B 一定在x 轴上．由题意可知直线PM 的斜率存在，设直线PM 的方程为y ＝k (x ＋4)．由()224143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 (4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0．设点M (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3， …… 6分又因为N (x 1，－y 1)，所以直线NE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)．令y ＝0，得x ＝x 2－y 2x 2－x 1y 2＋y 1．将y 1＝k (x 1＋4)，y 2＝k (x 2＋4)代入上式并整理， 得()121212248x x x x x x x ++=++．整理得()()2222128241281322432k k x k k --==--++．所以，直线NE 过x 轴上的定点B (－1，0)． …… 10分 （3）当过点M 的直线ST 的斜率不存在时，直线ST 的方程为x ＝－1，S (－1，32)，T (－1，－32)，此时OS →·OT →＝－54．…… 12分当过点B 的直线ST 的斜率存在时，设直线ST 的方程为y ＝m (x ＋1)，且S (x S ，y S )，T (x T ，y T )在椭圆C 上， 由()221143y m x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得(4m 2＋3)x 2＋8m 2x ＋4m 2－12＝0，则Δ＝(8m 2)2－4(4m 2＋3)(4m 2－12)＝144(m 2＋1)>0．故有x S ＋x T ＝－8m 24m 2＋3，x S x T ＝4m 2－124m 2＋3， …… 14分从而y S y T ＝m 2(x S ＋1)(x T ＋1)＝m 2[(x S ＋x T )＋x S x T ＋1]＝－9m 24m 2＋3．所以OS →·OT →＝x S x T ＋y S y T ＝－5m 2＋124m 2＋3＝－54－334(4m 2＋3)．由20m ≥，得)544OS OT ⎡⋅∈--⎢⎣，． 综上，OS →·OT →的取值范围是544⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，． …… 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）①因为f ′ (x )＝ax 2－12bx 2，0x ．令f ′ (x )＞0，得x ＜－1a 或x ＞1a， 所以f (x )的单调增区间为(－∞，－1a )和(1a，＋∞)． ……2分 令f ′ (x )<0，得－1a ＜x ＜0或0＜x ＜1a， 所以f (x )的单调减区间为(－1a ，0)和(0，1a)． ……4分 ②因为x 1＋x 2＞0，x 2＞0，所以x 1＞0，或x 1＜0． 若x 1＞0，因为|x i |＞1a (i ＝1，2)，所以x 1＞1a ，x 2＞1a， 由①，知f (x )在(1a，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)＋2f (x 2)＞f (1a )＋2f (1a)＝3a b ＞a b ． ……5分若x 1＜0，由|x 1|＞1a ，得x 1＜－1a， 因为x 1＋x 2＞0，x 2＞0，所以x 2＞－x 1＞1a， 由①，知f (x )在(1a，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)＋2f (x 2)＞f (x 1)＋2f (－x 1)＝f (－x 1)>a b ．综上，f (x 1)＋2f (x 2)＞ab． ……8分 （2）g′ (x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x ∈(0，1a)，所以g ′ (x )＜0，所以函数g (x )在(0，1a)上是减函数． 不妨假设x 1＜x 2． 由（1），知f (x ) 在(0，1a)上是减函数， 所以不等式|f (x 1)－f (x 2)|＞|g (x 1)－g (x 2)|等价于f (x 1)－f (x 2)＞g (x 1)－g (x 2)， ……10分 即[f (x 1)－g (x 1)]－[f (x 2)－g (x 2)]＞0． 令M (x )＝f (x )－g (x )，x ∈(0，1a)，则M (x )为减函数． 因为M ′ (x )＝f ′ (x )－g′ (x )＝ax 2－12bx 2－ax ＋1x ＝(ax 2－1)(1－2bx )2bx 2，所以(ax 2－1)(1－2bx )2bx 2≤0在区间(0，1a )上恒成立，即1－2bx ≥0在区间(0，1a)上恒成立，所以1－2b a≥0，即b ≤a2． ……14分所以b －a ≤a 2－a ＝－(a －14)2＋116≤116． 所以b －a 的最大值为116． ……16分20．(本小题满分16分)解：（1）因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1．因为数列{a n }是各项不为零的常数列，所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1，则由S n c n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ， 当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1， 两式相减得b n ＝4n －3．当n ＝1时，b 1＝1，也满足b n ＝4n －3，故b n ＝4n －3(n ∈N *)． ……4分 （2）因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝S n c n ，当n ≥2时，S n －1c n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1， 两式相减得S n c n －S n －1c n －1＝a n b n ，即(S n －1＋a n ) c n －S n －1c n －1＝a n b n ，S n －1 (c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＋λnc n ＝λnb n ． ……7分 又S n －1＝λn (n －1)2，所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ，即n －12d ＋c n ＝b n ，所以当n ≥3时，n －22d ＋c n －1＝b n －1，两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)，所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 等差数列．又当n ＝1时，由S 1c 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1，当n ＝2时，由b 2＝2－12d ＋c 2＝12d ＋c 1＋d ＝b 1＋32d ，得b 2－b 1＝32d ．故数列{b n }是公差为32d 等差数列． ……10分（3）由（2）得当n ≥2时，S n －1 (c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )， 因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ，即b n －c n ＝kd ，所以S n －1d ＝a n ·kd ，即S n －1＝ka n ． 所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n ． 当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1＝ka n ，即a n ＝k ＋1k a n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列．所以当n ≥2时，a n ＝a 2(k ＋1k )n －2． ……12分b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )．另外由已知条件得，(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2，又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )， 所以a 2＝1，因而a n ＝(k ＋1k)n －2．令d n ＝b n a n ，则d n ＋1d n －1＝b n ＋1a n a n ＋1b n －1＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1)－1＝－n(n ＋k )(k ＋1)＜0，对任意的*2n n ∈N ≥，，11n n n n b b a a ++>恒成立． ……16分数学II （附加题）21. 【选做题】 在A ，B ，C 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-2：矩阵与变换解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1. ……5分 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1. 因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321． ……10分B. 选修4-4：坐标系与参数方程解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4， 则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4. ……4分 设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sin (α＋φ)－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25. ……8分当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102． ……10分 C. 选修4-5：不等式选讲解：因为正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2， ……5分即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1， 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1． ……10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10分）解：（1）在正四棱锥P －ABCD 中，底面正方形的对角线AC ，BD 交于点O ，所以OP ⊥平面ABCD ，取AB 的中点E ，BC 的中点F ， 所以OP ，OE ，OF 两两垂直，故以点O 为坐标原点， 以OE ，OF ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.设底面正方形边长为2，因为OP ＝12AB ，所以OP ＝1，所以B (1，1，0)，C (－1，1，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，1)，所以BP →＝(－1，－1，1)， ……2分 设平面PCD 的法向量是→n ＝(x ，y ，z )， 因为CD →＝(0，－2，0)，CP →＝(1，－1，1)， 所以CD →·→n ＝－2y ＝0，CP →·→n ＝x －y ＋z ＝0， 取x ＝1，则y ＝0，z ＝－1，所以→n ＝(1，0，－1)， 所以cos<BP →，→n >＝BP →·→n |BP →|·|→n |＝－63，所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为63. ……5分 （2）设平面BPD 的法向量是→m ＝(x ，y ，z )，因为BP →＝(－1，－1，1)，BD →＝(－2，－2，0)， 所以BP →·→m ＝－x －y ＋z ＝0，BD →·→m ＝－2x －2y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝0，所以→m ＝(1，－1，0)， ……7分 由（1）知平面PCD 的法向量是→n ＝(1，0，－1)， 所以cos<→m ，→n >＝→m ·→n|→m |·|→n |＝12，所以<→m ，→n >＝60°，所以锐二面角B －PD －C 的大小为60°． ……10分23. （本小题满分10分）解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1--”“1,1,1” ，“1,1,1--”：共有2134C C =12⋅种；“1,1,1”：共有34C =4种.利用分类计数原理，1i j k a a a =共有12416+=种取法. ……2分 （2）与（1）基本同理，“1,1,1--”共有21C C m p ⋅种；“1,1,1”：共有3C p 种.而在“(),m p -数列”中任取三项共有3C m p +种，所以根据古典概型有：2133C C C 12C m p pm p++=， ……4分 再根据组合数的计算公式能得到：()()2232320p m p p mp m m ---+--=，① p m =时，应满足11003m p m p p m ⎧⎪+⎨⎪=⎩≥≤≤≤，所以()(){},,,2,3,4,,100m p k k k =∈⋅⋅⋅，共有99个． ……6分② 2232320p p mp m m --+--= 时，应满足221100332320m p m p p p mp m m ⎧⎪+⎨⎪--+--=⎩≥≤≤≤，视m 为常数，可解得()232m p +±=.因为1m ≥5，根据p m ≥可知，()232m p ++=（否则1p m -≤）下设k =p 为正整数知k 必为正整数， 又因为1100m ≤≤，所以549k ≤≤.化简上述关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-==， 所以1,1k k -+均为偶数，所以设()*21k t t =+∈N ，则224t ≤≤，所以()211246t t k m +-==，由于,1t t +中必存在偶数， 故只需,1t t +中存在数为3的倍数即可，所以2,3,5,6,8,9,11,,23,24t =⋅⋅⋅， 所以5,11,13,,47,49k =⋅⋅⋅, ……8分检验：()()()2311485010022424m k k p ++-+⨯===≤符合题意，所以共有16个.综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意． ……10分。

江苏省南通市2020届高三第二次模拟考试(5月)数学

江苏省南通市2020届高三第二次模拟考试(5月)数学

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝圆柱的体积公式：V圆柱＝Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S 圆柱侧＝cl ，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．球的体积公式：V 球＝43πR 3，球的表面积公式：S 球＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合M ＝{－2，－1，0，1}，N ＝{x|x 2＋x ≤0}，则M ∩N ＝________．2. 已知复数a ＋i2＋i为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．3. 某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是________． Read xIf x ＜0 Then m ←2x ＋1 Elsem ←2－3x End If Print m(第4题)4. 根据如图所示的伪代码，当输入的x 为－1时，最后输出m 的值是________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为5，则该双曲线的渐近线的方程是____________．6. 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答．若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是________．7. 将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(x)为奇函数，则φ的最小正值是________．8. 已知非零向量b 与a 的夹角为120°，且|a|＝2，|2a ＋b|＝4，则|b|＝________．9. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且8a 1，a 3，6a 2成等差数列，则a 7＋2a 8a 5＋2a 6的值是________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(－10，0)的圆M 与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆M 的半径是________．11. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为143πR 2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V 1，下部分(半球)的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．12. 已知函数f(x)＝log a x(a>1)的图象与直线y ＝k(x －1)(k ∈R )相交．若其中一个交点的纵坐标为1，则k ＋a 的最小值是________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4x ＋1，x ≥0，（x ＋2）2，x<0.若关于x 的不等式f(x)－mx －m －1<0(m ∈R )的解集是(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)，x 1<x 2<x 3，则m 的取值范围是________．14. 如图，在△ABC 中，AC ＝32BC ，点M ，N 分别在AC ，BC 上，且AM ＝13AC ，BN ＝12BC.若BM 与AN 相交于点P ，则CPAB的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1) 若2acos C ＝b ，且sin 2C ＝sin Asin B ，求B 的值； (2) 若cos(2A ＋B)＋3cos B ＝0，求tan Atan C 的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，侧面BCC 1B 1是矩形，点E ，F 分别为BC ，A 1B 1的中点．求证：(1) BC ⊥AC 1；(2) EF ∥平面ACC 1A 1.17.(本小题满分14分)如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道(假设河道足够长)，现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸的距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC.为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥．为了使桥的总长度l(即△ABC的周长)最短，工程师设计了以下两种方案：方案1：设∠ABD＝α，求出l关于α的函数解析式f(α)，并求出f(α)的最小值．方案2：设EC＝x米，求出l关于x的函数解析式g(x)，并求出g(x)的最小值．请从以上两种方案中自选一种解答．(注：如果选用了两种方案解答，则按第一种解答计分)18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为833.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线l ：y ＝kx ＋m(k>0，m ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2.已知k 2＝k 1·k 2.①求k 的值；②当△OPQ 的面积最大时，求直线PQ 的方程．19. (本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，λa n ＋1＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1，n ∈N *，λ∈R . (1) 若λ＝－3，a 2＝－1，求a 3的值；(2) 若数列{a n }的前k 项成公差不为0的等差数列，求k 的最大值；(3) 若a 2>0，是否存在λ∈R ，使{a n }为等比数列？若存在，求出所有符合题意的λ的值；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)对于定义在D 上的函数f(x)，若存在k ∈R ，使f(x)<kx 恒成立，则称f(x)为“m(k)型函数”；若存在k ∈R ，使f(x)≥kx 恒成立，则称f(x)为“M(k)型函数”．已知函数f(x)＝(1－2ax)ln x(a ∈R )．(1) 设函数h 1(x)＝f(x)＋1(x ≥1)．若a ＝0，且h 1(x)为“m(k)型函数”，求k 的取值范围；(2) 设函数h 2(x)＝f(x)＋1x .求证：当a ＝－12时，h 2(x)为“M(1)型函数”；(3) 若a ∈Z ，求证：存在唯一整数a ，使得f(x)为“m(14)型函数”．2020届高三模拟考试试卷(十四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221.(1) 求矩阵A ；(2) 若向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，计算A 2α.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos (θ＋π3)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过点M(4p ，0)的直线l 交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点．当AB 垂直于x 轴时，△OAB 的面积为2 2.(1) 求抛物线的方程；(2) 设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T. ①求证：y 1y 2为定值；②若OA ∥TB ，求直线l 的斜率．23. 设n ∈N *，k ∈N ，n ≥k.(1) 化简：C k n ＋1·C k ＋1n ＋1C k n ·C k ＋1n ＋2；(2) 已知(1－x)2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，记F(n)＝(n ＋1)ka k.求证：F(n)能被2n ＋1整除．2020届高三模拟考试试卷(南通)数学参考答案及评分标准1. {－1，0}2. －123. 854. 325. y ＝±2x6. 12 7. π6 8. 4 9. 16 10. 52 11. 2 12. 313. (0，2)∪(2，3) 14. (15，2)15. 解： (1) 在△ABC 中，由余弦定理得2a·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ，化简得a 2＝c 2，即a ＝c.(2分)因为sin 2C ＝sin Asin B ，且a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R(R 为△ABC 外接圆半径)，所以c 2＝ab ，(4分)所以c ＝a ＝b ，所以△ABC 为正三角形， 所以B ＝π3.(6分)(2) 因为cos(2A ＋B)＋3cos B ＝0，且B ＝π－(A ＋C)， 所以cos[π＋(A －C)]＋3cos[π－(A ＋C)]＝0，(8分) 所以cos(A －C)＝－3cos(A ＋C)，(10分)即cos Acos C ＋sin Asin C ＝－3cos Acos C ＋3sin Asin C ， 所以2cos Acos C ＝sin Asin C ．(12分)在斜三角形ABC 中，因为A ≠π2，C ≠π2，所以cos A ≠0，cos C ≠0，所以tan Atan C ＝2.(14分)16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥CC 1.因为平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(4分) 因为AC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以BC ⊥AC 1.(6分)(2) 取A 1C 1的中点G ，连结FG ，CG.在△A 1B 1C 1中，点F ，G 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 所以FG ∥B 1C 1，且FG ＝12B 1C 1.(8分)在矩形BCC 1B 1中，点E 是BC 的中点， 所以EC ∥B 1C 1，且EC ＝12B 1C 1，所以EC ∥FG ，且EC ＝FG.(10分) 所以四边形EFGC 为平行四边形， 所以EF ∥GC.(12分)因为EF ⊄平面ACC 1A 1，GC ⊂平面ACC 1A 1， 所以EF ∥平面ACC 1A 1.(14分) 17. 解：方案1：因为AB ⊥AC ， 所以∠EAC ＋∠BAD ＝90°.在Rt △ABD 中，∠ABD ＋∠BAD ＝90°， 所以∠EAC ＝∠ABD ＝α，α∈(0，π2)．(2分)因为AD ＝AE ＝50，在Rt △ADB 和Rt △AEC 中，AB ＝50sin α，AC ＝50cos α，(4分) 所以BC ＝（50sin α）2＋（50cos α）2＝501sin 2α＋1cos 2α＝50sin αcos α， 所以f(α)＝50(1sin α＋1cos α＋1sin αcos α)＝50(sin α＋cos α＋1sin αcos α)，其中α∈(0，π2)．(7分)(解法1)设t ＝sin α＋cos α，则t ＝sin α＋cos α＝2sin (α＋π4)．因为α∈(0，π2)，所以t ∈(1，2]．(9分)因为t 2＝1＋2sin αcos α，所以sin αcos α＝t 2－12，所以y ＝50（t ＋1）t 2－12＝100t －1，(12分)所以当t ＝2时，f (α)min ＝1002－1＝100＋100 2. 答：景观桥总长度的最小值为(100＋1002)米．(14分)(解法2)f′(α)＝50（cos α－sin α）（－1－sin αcos α－sin α－cos α）（sin αcos α）2.(10分)因为α∈(0，π2)，所以－1－sin αcos α－sin α－cos α<0，(sin αcos α)2>0.当α∈(0，π4)时，cos α－sin α>0，f ′(α)<0，f (α)单调递减；当α∈(π4，π2)时，cos α－sin α<0，f ′(α)>0，f (α)单调递增．(12分)所以当α＝π4时，f (α)取得最小值，最小值为(100＋1002)米．答：景观桥总长度的最小值为(100＋1002)米．(14分) 方案2：因为AB ⊥AC ，所以∠EAC ＋∠BAD ＝90°. 在Rt △ABD 中，∠ABD ＋∠BAD ＝90°， 所以∠EAC ＝∠ABD ， 所以Rt △CAE ∽Rt △ABD, 所以AC AB ＝ECAD.(2分)因为EC ＝x ，AC ＝AE 2＋EC 2＝ 2 500＋x 2，AD ＝50， 所以AB ＝50 2 500＋x 2x .(4分)BC ＝AB 2＋AC 2＝5 000＋x 2＋2 5002x 2＝x ＋2 500x， 所以g(x)＝ 2 500＋x 2＋50 2 500＋x 2x ＋(x ＋2 500x)，x>0.(7分)因为x>0， 所以g(x)≥2 2 500＋x 2·50 2 500＋x 2x＋2x·2 500x(10分)＝250（2 500x＋x ）＋100≥250×22 500x·x ＋100＝1002＋100.(12分) 当且仅当 2 500＋x 2＝50 2 500＋x 2x ，且2 500x ＝x ，即x ＝50时取“＝”．所以g(x)min ＝100＋1002，答：景观桥总长度的最小值为(100＋1002)米．(14分) 18. 解：(1) 设椭圆的焦距为2c ，则c 2＝a 2－b 2.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以c ＝3b. 又两准线间的距离为833，则2a 2c ＝833，所以a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(3分)(2) ① 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1， 所以x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又OP 的斜率k 1＝y 1x 1，OQ 的斜率k 2＝y 2x 2，所以k 2＝k1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2x 1x 2，(6分) 化简得km(x 1＋x 2)＋m 2＝0， 所以km·－8km4k 2＋1＋m 2＝0.因为m ≠0，即4k 2＝1，又k>0，所以k ＝12.(8分)②由①得k ＝12，直线PQ 的方程为y ＝12x ＋m ，且x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，m 2<2.又m ≠0，所以0<||m < 2.所以PQ ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝52|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5·2－m 2，(10分)点O 到直线PQ 的距离d ＝|m|12＋（12）2＝25|m|，(12分) 所以S △OPQ ＝12PQ ·d ＝12×5·2－m 2·25|m|＝m 2（2－m 2）≤m 2＋（2－m 2）2＝1，当且仅当m 2＝2－m 2，即m ＝±1时，△OPQ 的面积最大， 所以直线PQ 的方程为y ＝12x ±1.(16分)19. 解：记λa n ＋1＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1为(*)式．(1) 当λ＝－3时，(*)式为－3a n ＋1＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1， 令n ＝1得－3a 2＋S 1·S 3＝S 22，即－3a 2＋a 1·(a 1＋a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)2. 由已知a 1＝1，a 2＝－1，解得a 3＝－3.(2分)(2) 因为前k 项成等差数列，设公差为d ，则a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d. 若k ＝3，则S 2＝2＋d ，S 3＝3＋3d.在(*)式中，令n ＝1得λa 2＋S 1·S 3＝S 22，所以λ(1＋d)＋3＋3d ＝(2＋d)2，化简得d 2＋d ＋1＝λ(1＋d) ①.(4分) 若k ＝4，则S 4＝4＋6d.在(*)式中，令n ＝2得λa 3＋S 2·S 4＝S 23，所以λ(1＋2d)＋(2＋d)(4＋6d)＝(3＋3d)2， 化简得3d 2＋2d ＋1＝λ(1＋2d) ②.②－①，得2d 2＋d ＝λd ，因为公差不为0，所以d ≠0，所以2d ＋1＝λ，代入①得d 2＋2d ＝0，所以d ＝－2，λ＝－3. 所以k ＝4符合题意．(6分)若k ＝5，则a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝－3，a 4＝－5，a 5＝－7，S 3＝－3，S 4＝－8，S 5＝－15.在(*)式中，令n ＝3得－3a 4＋S 3S 5＝－3×(－5)＋(－3)×(－15)＝60，S 24＝(－8)2＝64， 所以－3a 4＋S 3S 5≠S 24，所以k 的最大值为4.(8分) (3) 假设存在λ∈R ，使{a n }为等比数列．设前3项分别为1，q ，q 2，则S 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2， (*)式中，令n ＝1得λq ＋(1＋q ＋q 2)＝(1＋q)2，化简得q(λ－1)＝0. 因为q ＝a 2>0，所以λ＝1.(10分) 此时(*)式为(S n ＋1－S n )＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1，即S n ＋1(S n ＋1－1)＝S n (S n ＋2－1) (**)． 由S 1＝1，S 2＝1＋a 2>1，得S 3>1; 由S 2，S 3>1得S 4>1，…依次类推，S n ≥1>0，所以(**)等价于S n ＋2－1S n ＋1＝S n ＋1－1S n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1－1S n 为常数列， 所以S n ＋1－1S n ＝S 2－1S 1＝a 2.(14分)于是n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1－1＝a 2S n ，S n －1＝a 2S n －1，两式相减得a n ＋1＝a 2·a n .因为a 2＝a 2·a 1，所以a n ＋1＝a 2·a n (n ∈N *)．又a 1，a 2≠0，所以a n ＋1a n ＝a 2(非零常数)，所以存在λ＝1，使{a n }为等比数列．(16分)20. (1)解：a ＝0时，h 1(x)＝ln x ＋1.因为h 1(x)为“m(k)型函数”，所以h 1(x)<kx 恒成立，即k>ln x ＋1x 恒成立．设g(x)＝ln x ＋1x (x ≥1)，则g′(x)＝－ln xx 2≤0恒成立，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝1，所以k 的取值范围是(1，＋∞)．(3分)(2) 证明：当a ＝－12时，要证h 2(x)为“M(1)型函数”，即证(1＋x)ln x ＋1x ≥x ，即证(1＋x)ln x ＋1x －x ≥0.(证法1)令R(x)＝(1＋x)ln x ＋1x－x ，则R′(x)＝ln x ＋(1＋x)·1x －1x 2－1＝ln x ＋1x －1x 2＝ln x ＋x －1x 2.当x>1时，ln x>0，x －1x 2>0，则R′(x)>0；当0<x<1时，ln x<0，x －1x2<0，则R′(x)<0；所以R(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，(6分) 则R(x)≥R(1)，又R(1)＝0，所以R(x)≥0， 所以h 2(x)为“M(1)型函数”．(8分)(证法2)令F(x)＝ln x ＋1x －1x 2，则F′(x)＝1x －1x 2＋2x 3＝x 2－x ＋2x 3>0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增，又F(1)＝0，所以当0<x<1时，R ′(x)<0，当x>1时，R ′(x)>0，所以R(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，(6分) 以下同证法1.(3) 证明：函数f(x)为“m(14)型函数”等价于p(x)＝(1－2ax)ln x －14x<0恒成立，当a ≤0时，p(e)＝(1－2ae)－e 4≥1－e4>0，不合题意；当a ≥2时，p(1e )＝2a e －1－14e ≥1e (4－e －14)>0，不合题意；(10分)当a ＝1时，(证法1)p(x)＝(1－2x)ln x －14x ，①当x ≥1或0<x ≤12时，p(x)≤0－14x<0.(12分)②当12<x<1时，1－2x<0，由(2)知ln x>x －1x ，所以p(x)<（1－2x ）（x －1）x －14x ＝－14x(3x －2)2≤0.综上，存在唯一整数a ＝1，使得f(x)为“m(14)型函数”．(16分)(证法2)p(x)＝(1－2x)ln x －14x ，p ′(x)＝－2ln x ＋1－2x x －14＝－2ln x ＋1x －94.记φ(x)＝－2ln x ＋1x －94，则φ′(x)＝－2x －1x 2<0，所以φ(x)＝p′(x)在(0，＋∞)上单调递减．易得ln x ≤x －1， 所以p′(22)＝2ln 2＋2－94≤2(2－1)＋2－94＝32－174＝288－174<0. 因为p′(12)＝2ln 2＋2－94>1＋2－94>0，所以存在唯一零点x 0∈(12，22)，使得p′(x 0)＝－2ln x 0＋1x 0－94＝0，且x 0为p(x)的最大值点，(12分)所以p(x 0)＝(1－2x 0)ln x 0－14x 0＝（1－2x 0）（1x 0－94）2－14x 0＝2x 0＋12x 0－178.注意到y ＝2x ＋12x －178在(12，22)上单调递增，所以p(x 0)<p(22)＝2＋12－178＝12(32－174)<0， 所以p(x)<0.综上，存在唯一整数a ＝1，使得f(x)为“m(14)型函数”．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南通) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则A －1A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2c 3b ＋2d 2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2c ＝1，2a ＋c ＝0，3b ＋2d ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，d ＝－3，则矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3.(5分) (2) 由矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－8－8 13，(8分)所以A 2α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－8－8 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3.(10分)B. 解：由ρ＝4cos (θ＋π3)得ρ2＝4ρcos (θ＋π3)＝2ρcos θ－23ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋23y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋3)2＝4，圆心(1，－3)，半径r ＝2.(3分)由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)得x ＝1＋3y ，所以直线l 的普通方程为x －3y －1＝0.(6分) 所以圆心(1，－3)到直线l 的距离d ＝32，(8分)所以点P 到直线l 的距离的最大值为32＋2＝72.(10分)C. 解：由柯西不等式，得(x ＋2y ＋3z)2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，(5分) 即x ＋2y ＋3z ≤12＋22＋32·x 2＋y 2＋z 2. 因为x ＋2y ＋3z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥114，当且仅当x 1＝y 2＝z 3，即x ＝114，y ＝17，z ＝314时取等号．综上，x 2＋y 2＋z 2的最小值为114.(10分) 22. (1) 解：当AB 垂直于x 轴时，A(4p ，22p)，B(4p ，－22p)，所以△OAB 的面积为12·AB ·OM ＝12·42p ·4p ＝82p 2＝2 2.因为p>0，所以p ＝12，所以抛物线的方程为y 2＝x.(3分)(2) ①证明：由题意可知直线l 与x 轴不垂直．由(1)知M(2，0)，设A(y 21，y 1)，B(y 22，y 2)，则k AB ＝y 1－y 2y 21－y 22＝1y 1＋y 2. 由A ，M ，B 三点共线，得y 1y 21－2＝y 2y 22－2. 因为y 1≠y 2，化简得y 1y 2＝－2.(5分) ②解：因为y 1y 2＝－2，所以B(4y 21，－2y 1)．因为线段AB 垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－(y 1＋y 2)(x －y 21＋y 222)，令y ＝0，得x T ＝y 21＋y 22＋12＝12(y 21＋4y 21＋1)．(7分) 因为OA ∥TB ，所以k OA ＝k TB ，即1y 1＝2y 112（y 21＋4y 21＋1）－4y 21，整理得(y 21＋1)(y 21－4)＝0，解得y 1＝±2，故A(4，±2)． 所以k AM ＝±1，即直线l 的斜率为±1.(10分)23. (1) 解：C k n ＋1·C k ＋1n ＋1C k n ·C k ＋1n ＋2＝（n ＋1）！k ！（n ＋1－k ）！·（n ＋1）！（k ＋1）！（n －k ）！n ！k ！（n －k ）！·（n ＋2）！（k ＋1）！（n ＋1－k ）！ ＝（n ＋1）·n ！·（n ＋1）！n ！（n ＋2）·（n ＋1）！＝n ＋1n ＋2.(3分) (2) 证明：由(1)得1C k n ＝n ＋1n ＋2·C k ＋1n ＋2C k n ＋1·C k ＋1n ＋1＝n ＋1n ＋2·C k n ＋1＋C k ＋1n ＋1C k n ＋1·C k ＋1n ＋1＝n ＋1n ＋2·(1C k n ＋1＋1C k ＋1n ＋1)．(6分) 因为k a k ＝（－1）k k C k 2n ＝2n ＋12n ＋2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－1）k k C k 2n ＋1＋（－1）k k C k ＋12n ＋1， 所以F(n)＝(n ＋1)k a k ＝2n ＋12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－1）k k C k 2n ＋1＋（－1）k k C k ＋12n ＋1. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－1）k k C k 2n ＋1＋（－1）k k C k ＋12n ＋1＝(－1C12n＋1＋2C22n＋1＋…＋－2n＋1C2n－12n＋1＋2nC2n2n＋1)＋(－1C22n＋1＋2C32n＋1＋…＋－2n＋1C2n2n＋1＋2nC2n＋12n＋1)＝－1C12n＋1＋(2C22n＋1＋－1C22n＋1)＋…＋(2nC2n2n＋1＋－2n＋1C2n2n＋1)＋2nC2n＋12n＋1＝(－1C12n＋1＋1C22n＋1＋…＋－1C2n－12n＋1＋1C2n2n＋1)＋2nC2n＋12n＋1＝2n，所以F(n)＝(n＋1)ka k＝2n＋12·2n＝n(2n＋1)能被2n＋1整除．(10分)。

江苏省南通市海安高级中学2019_2020学年高一数学下学期5月月考试题含解析

江苏省南通市海安高级中学2019_2020学年高一数学下学期5月月考试题含解析

江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高一数学下学期5月月考试题（含解析）一、选择题.（每小题4分，共52分，其中1-10为单选题，11-13为多选题）1.设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A. {}1,3-B. {}2,3-C. {}1,2,3--D. {}3【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B .【详解】依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-.【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题. 2.某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的高中生近视人数分别为（ ）A. 100，50B. 100，1250C. 200，50D. 200，1250【答案】D 【解析】 【分析】由分层抽样的概念可得样本容量为8020040%=，计算出该地区高中生的人数后，乘以高中生近视率即可得该地区近视的高中生人数，即可得解.【详解】由分层抽样的概念可得样本容量为8020040%=， 则该地区中高中生有20025%25002%⨯=人，该地区近视的高中生人数为250050%1250⨯=人. 故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，属于基础题. 3.已知θ是第四象限角,且3sin()45πθ+=,则tan()4πθ-=( ) A.34B. 34-C.43D. 43-【答案】D 【解析】因为θ是第四象限角，所以22444k k ππππθπ-+<+<+，由于3sin()45πθ+=所以可得4cos 45πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ，4sin sin cos 44245ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3cos cos sin 44245ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，sin 44tan 43cos 4πθπθπθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，故选D.4.设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直 【答案】C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B-=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．5.如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =，若DE AB BC λμ=+，则λμ+=（ ）A. 56-B. 16-C.16D.56【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算将DE 用,AB AC 表示，由此即可得到,λμ的值，从而可求λμ+的值. 【详解】因为1123DE DA AE BA AC =+=+()111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+， 所以16λ=-，13μ=.故16λμ+=. 故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.6.设a ，b ，c 均为正数，且11232112log ,()log ,()log 22ab c b c a ===，则（ ） A. b c a >>B. c b a >>C. b a c >>D.a cb >>【答案】B 【解析】 【分析】画出2113212,,log ,log ,log 2xx y y y x y x y x ⎛⎫===== ⎪⎝⎭的图像，由此判断出,,a b c 的大小关系.【详解】画出2113212,,log ,log ,log 2xxy y y x y x y x ⎛⎫===== ⎪⎝⎭的图像如下图所示，由图可知c b a >>. 故选：B【点睛】本小题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质，属于基础题.7.直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 中点为M(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.32B.23C. 32-D. 23-【答案】D 【解析】 【分析】设出直线l 的斜率为k ，又直线l 过M 点，写出直线l 的方程，然后分别联立直线l 与已知的两方程，分别表示出A 和B 的坐标，根据中点坐标公式表示出M 的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值即为直线的斜率．【详解】设直线l 的斜率为k ，又直线l 过M （1，﹣1），则直线l 的方程为y+1=k （x ﹣1）， 联立直线l 与y=1，得到11y kx k y +=-⎧⎨=⎩，解得x=2k k +，所以A （2k k +，1）；联立直线l 与x ﹣y ﹣7=0，得到170y kx k x y +=-⎧⎨--=⎩，解得x=61k k --，y=611k k --，所以B （61kk --，611k k--）， 又线段AB 的中点M （1，﹣1），所以2k k ++61k k --=2，解得k=﹣23． 故选D ．【点睛】此题考查学生根据两直线方程求两直线的交点坐标，灵活运用中点坐标公式化简求值，考查学生计算能力及逻辑推理能力，属于中档题．8.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( )A. 25B. 33C. 6D. 210【答案】D 【解析】 【分析】设点P 关于y 轴的对称点P'，点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点"P ，由对称点可求P'和"P 的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为'"P P .【详解】点P 关于y 轴的对称点P'坐标是()2,0-， 设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点()",P a b ，由()0112204022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P =--+=，故选D.【点睛】解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，(),P x y 关于直线l 的对称点()',P m n ，利用1l y n k x m -⨯=--，且 点,22x m y n ++⎛⎫⎪⎝⎭ 在对称轴l 上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.9.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A.32B.155C.105D.33【答案】C 【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A BC D -，则所求角为21111,2,21221cos 603,5BC D BC BD C D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===，故选C ．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．10.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b A =，则cos sin A C +的取值范围是（ ）A. 2B. 3(,)22C. (2-D. 3(2【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得sin B 进而求得B 的大小.根据三角恒等变换化简cos sin A C +，由此求得取值范围.【详解】依题意2sin a b A =，由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由于三角形ABC 是锐角三角形，所以6B π=.由23202A B A A ππππ⎧+>⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩. 所以5cos sin cos sin 6A C A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭13cos cos cos 22A A A A A =++=3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于25336A πππ<+<，所以1sin 32A π⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，3322A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数值域的求法，属于基础题. 11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A B >，则sin sin A B >B. 若sin 2sin 2A B =，则ABC 可能为等腰三角形或直角三角形C. 若cos cosA a B b c -=，则ABC 定为直角三角形D. 若,23B a π==且该三角形有两解，则b 的取值范围是 【答案】ABCD 【解析】 【分析】结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，故A 选项正确. 对于B 选项，由于()sin 2sin 2sin 2A B B π==-，由于,A B 是三角形的内角，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，所以ABC 可能为等腰三角形或直角三角形，故B 选项正确.对于C 选项，由cos cos a B b A c -=以及正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=， 即()sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A A B A B A B -=+=+， 所以2sin cos 0B A =，由于sin 0B >，所以cos 0A =，所以2A π=，故ABC 定为直角三角形.故C 选项正确. 对于D 选项，,23B a π==，且该三角形有两解，所以sin a B b a <<，即2sin 23b π<<，2b <<，故D 选项正确. 故选：ABCD【点睛】本小题主要考查正弦定理边角互化，考查诱导公式以及三角恒等变换，属于中档题. 12.在长方体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则（ ）A. 异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为25B. 异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为35C. 1A B ⋂平面11B D C =∅D. 点1B 到平面11BD A 的距离为125【答案】ACD 【解析】 【分析】判断出异面直线1A B 与11B D 所成角，解三角形求得线线角的余弦值，由此判断AB 选项的正确性.判断出1//A B 平面11B D C ，由此判断C 选项的正确性.利用等体积法求得点1B 到平面11BD A 的距离，由此判断D 选项的正确性.【详解】依题意11115,42CB CD B D ===由于11//A B CD ，所以异面直线1A B 与11B D 所成角即11B D C ∠或其补角.在三角形11CBD 中，22211542522cos 52542B DC +-∠==⨯⨯所以异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为225.故A 选项正确，B 选项错误.由于111//,A B CD A B ⊂平面11B D C ，1CD ⊂平面11B D C ，所以1//A B 平面11B D C ，故C 选项正确.设点1B 到平面11BD A 的距离为h ，由111111B A BD B A B D V V --=， 所以1111454433232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得125h =，故D 选项正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的判断，考查点面距的求法，属于中档题.13.平面中两条直线l 和n 相交于O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 和n 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”.则下列说法正确的（ ） A. 若p =q =0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有一个B. 若pq =0，且p +q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个C. 若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个D. 若p =q ，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据“距离坐标”的定义对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】首先点到直线的距离是唯一确定的.对于A 选项，由于0p q ==，所以()0,0表示O 点，有且仅有一个，故A 选项正确. 对于B 选项，由于0pq =，且0p q +≠，当00p q =⎧⎨≠⎩或0p q ≠⎧⎨=⎩时，分别表示点()0,q 或(),0p ，有且仅有两个，故B 选项正确.对于C 选项，由于l 和n 相交与O ，所以直线l 和直线n 确定一个平面α，根据对称性可知，在平面α的上方和下方，各有两个“距离坐标”为(),p q 的点.故“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，所以C 选项正确.对于D 选项，设l 和n 相交与O ，直线l 和直线n 相交所形成的两组对角的角平分线上的点，都满足p q =，所以点M 的轨迹不只是一条过O 点的直线，所以D 选项错误. 由于p q =， 故选：ABC【点睛】本小题主要考查空间点与直线的位置关系，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.二、填空题(每小题4分，共16分)14.从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________. 【答案】12【解析】 【分析】基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率.【详解】解：从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张， 基本事件总数4416n =⨯=，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,2，()2,4，()3,3，()4,4.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为81162P ==. 故答案为12. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题. 15.若πcos α2cos α4⎛⎫=+⎪⎝⎭，则πtan α8⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【解析】 【分析】πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出． 【详解】πcos α2cos α4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππππcos α2cos α8888⎛⎫⎛⎫∴+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππππcos αcos sin αsin 2cos αcos 2sin αsin 88888888⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为：ππππcos αcos 3sin αsin 8888⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ππ3tan αtan 188⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，2π2tanπ8tan 1π41tan 8==-，解得πtan18=．πtan α8⎛⎫∴+==⎪⎝⎭， 故答案为13【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16.已知函数()223f x x x a =-+，()21g x x =-．若对任意[]10,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的值为____． 【答案】13- 【解析】 【分析】将问题转化为()()max max f x g x ≤，根据二次函数和分式的单调性可求得()f x 在[]0,3上的最小值和最大值及()g x 在[]2,3上的最大值；分别讨论()f x 最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到()f x 每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.【详解】不等式()()12f x g x ≤恒成立可转化为：()()max max f x g x ≤ 当[]0,3x ∈时，()()min 113f x f a ==-+，()()max 333f x f a ==+ 当[]2,3x ∈时，()()max 22g x g ==①若330a +≤，即1a ≤-时，()max 1313f x a a =-+=-132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）②若13033a a -+≤<+，即113a -<≤时，()()(){}max max 1,3f x f f =- 又()113f a -=-，()333f a =+ 当1333a a ->+，即113a -<<-时，()max 13f x a =- 132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）当1333a a -≤+，即1133a -≤≤时，()max 33f x a =+332a ∴+≤，解得：13a ≤- 13a ∴=-③若130a -+>，即13a >时，()max 3333f x a a =+=+332a ∴+≤，解得：13a ≤-（舍）综上所述：13a =-本题正确结果：13-【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.17.若封闭的直三棱柱111ABC A B C -所有的顶点都在一个球面上，且满足AB BC ⊥，6,AB =18,3BC AA ==，则该球的表面积为________；若该封闭的三棱柱内有一个体积为V的球，则V 的最大值为__________， 【答案】 (1). 109π (2). 92π【解析】 【分析】找到直三棱柱外接球的球心，计算出半径，由此计算出外接球的表面积.计算出三棱柱内最大球的半径，由此求得V 的最大值.【详解】由于三棱柱是直三棱柱，且AB BC ⊥，所以球心O 位于11,AC AC 的中点的连线12O O的中点O 处，故直三棱柱外接球的半径为22221310952224AA AC OA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以该球的表面积为24109OA ππ⨯=. 设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，则()1168106822ABC S r ∆=⋅++⋅=⨯⨯，解得2r ，由于13AA =，所以该封闭的三棱柱内最大球的半径为32，其体积为3439322ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：（1）109π；（2）92π【点睛】本小题主要考查几何体外接球，内切球有关计算，属于中档题. 三、解答题.(共82分)18.平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份123 4 5违章驾驶员人数 120105100 9085（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+； （Ⅱ）预测该路段7月份不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．参考公式：()()()1122211nni iii i i nnii i ix ynxyxx y yb xx xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-．【答案】（Ⅰ）8.5 125.5y x =-+；（Ⅱ）66人. 【解析】 【分析】（Ⅰ）计算出x 和y ，然后根据公式，求出ˆa 和ˆb ，得到回归直线方程；（Ⅱ）根据回归直线方程，代入7x =【详解】解：（Ⅰ）由表中数据，计算；1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051009085)1005y =⨯++++=，12211120210531004908555310!141515008.51491625595545ni ii n i i x ynxyb x nx==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-====-++++-⨯--∑∑，1008.53125.5a y bx =-=+⨯=所以y 与x 之间的回归直线方程为8.5 125.5y x =-+； （Ⅱ）7x =时，8.5 125.566y x =-+=，预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为66人．【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程，根据回归方程进行预测，属于简单题. 19.新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上买菜”受追捧.某电商平台在A 地区随机抽取了100位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上买菜”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率分布直方图.（1）求m 的值；（2）从“线上买菜”消费总金额不低于500元的被调研居民中，随机抽取2位给予奖品，求这2位“线上买菜”消费总金额均低于600元的概率；（3）若A 地区有100万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不到平均水平一半的居民投放每人10元的电子补贴.假设每组中的数据用该组区间的中点值代替，试根据上述频率分布直方图，估计该平台在A 地区拟投放的电子补贴总金额. 【答案】（1）0.003m =（2）35（3）1820000元 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算m 的值；（2）由频率分布图计算可知消费总金额在[500,600)元的有4人，消费总金额在[]600,700的有1人，采用编号列举的方法，计算这2位“线上买菜”消费总金额均低于600元的概率； （3）首先计算估计A 地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数，并且计算小于平均水平一半的频率，并计算总金额.【详解】（1）由(0.00110.00240.0020.0010.00040.0001)1001m ++++++⨯=， 得0.003m =.（2）设事件A 为“这2位‘线上买菜’消费总金额均低于600元”被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在[500,600)元的有000041001004⨯⨯=人，分别记为1a ，2a ，3a ，4a被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在[]600,700的有0.00011001001⨯⨯=人，记为b ， 从被抽取的居民“线上买菜”消费总金额不低于500元的居民中随机抽取2人进一步调研， 共包含10个基本事件，分别为12a a ，13a a ，14a a ，1a b ，23a a ，24a a ，2a b ，34a a ，3a b ，4a b ， 事件包含6个基本事件，分别为12a a ，13a a ，14a a ，23a a ，24a a ，34a a ， 则这2位线上买菜消费总金额均低于600元的概率63()105P A ==. （3）由题意，可得估计A 地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数为500.00111001500.00241002500.0031003500.0021004500.001⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯1005500.00041006500.0001100260⨯+⨯⨯+⨯⨯=估计低于平均水平一半的频率为2601000.00240.110.1822⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭， 所以估计投放电子补贴总金额为10000000.182101820000⨯⨯=元.【点睛】本题考査频率分布直方图、古典概型、用样本估计总体等知识点.考察了学生对统计图表的识读与计算能力，考察了学生的数学建模、数据分析、数学抽象、数学运算等核心素养.20.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足πsin sin 3c A a C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC 的面积为1a b -=，求c 和()cos 2A C -的值.【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）c =()6os 22c 1A C -=. 【解析】 【分析】（Ⅰ）运用正弦定理和二角和的正弦公式，化简πsin sin 3c A a C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求出角C 的大小；（Ⅱ）通过面积公式和 1a b -=，可以求出,a b ，这样用余弦定理可以求出c ，用余弦定理求出cos A ，根据同角的三角函数关系，可以求出sin A ，这样可以求出sin 2,cos 2A A ,最后利用二角差的余弦公式求出()cos 2A C -的值.【详解】（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin a c A C =,已知πsin sin 3c A a C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin sin sin (sin coscos sin )33C A A C C ππ⋅=⋅⋅+⋅，(0,)sin 0A A π∈∴≠,所以有sin tan 3C C C C π=⇒=⇒=.（Ⅱ）41sin 12,132a S ab C ab a b b =⎧=⋅==-=⇒⎨=⎩，由余弦定理可知：2222cos 13c a b ab C c =+-⋅=⇒=222cos sin 21313b c a A A bc +-==⇒==,211sin 22sin cos 22cos 113A A A A A =⋅==-=-,()cos 2cos 2cos sin 2s 1111132i 6n 2A C A C A C -⨯=+⋅=-⋅=. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系，考查了运算能力. 21.已知一条动直线3(m +1)x +(m -1)y -6m -2=0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标；（2）若直线与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.（3）若直线与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当32PA PB +取最小值时，求直线的方程.【答案】（1）证明见解析；4(,2)3P （2）存在；直线方程为3x ＋4y －12＝0（3）3x ＋3y －10＝0 【解析】 【分析】（1）将题目所给直线方程重新整理，由此证得直线恒过定点，并求得定点坐标. （2）设出直线方程截距式，根据题目所给条件，求出直线方程. （3）设出直线的倾斜角，求得32PA PB +的表达式并结合三角函数的知识求得最小值，以及此时的直线方程.【详解】（1）依题意直线方程为()()311620m x m y m ++---=， 即33620mx x my y m ++---=， 即()36320x y m x y +-+--=，所以由360320x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故直线过定点4,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）依题意设直线方程为()10,0x y a b a b +=>>，将4,23P ⎛⎫⎪⎝⎭代入得4213a b +=①. 则,0,0,A a B b，则12162a b ab ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩.其中34a b =⎧⎨=⎩不满足①，43a b =⎧⎨=⎩满足①.所以存在直线143x y+=，即34120x y +-=满足条件. （3）由（1）知直线过定点4,23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而若直线与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，所以直线的倾斜角,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以24,sin 3cos PA PB αα==-， 所以323422cos sin 22sin 23cos sin cos sin cos PA PB αααααααα-+=-⨯=-=⨯②，令cos sin 2cos 4t πααα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，由于,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以2cos 1,42πα⎡⎫⎛⎫+∈--⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭， 所以)2cos 2,14t πα⎛⎫⎡=+∈-- ⎪⎣⎝⎭.则②可化为23421122t PA PB t t t +=⨯=--，由于1y t t =-在)2,1⎡--⎣上为减函数，所以41t t-在)2,1⎡--⎣上为增函数，故当2t =-，即34πα=时，32PA PB +取得最小值为442122=+-.此时直线方程为342tan43y x π⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即103y x =-+，也即33100x y +-=.【点睛】本小题主要考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 22.如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45，沿倾斜角为α（其中1tan 2α=）的斜坡前进5km 后到达D 处，休息后继续行驶5km 到达山顶B ．（1）求山的高度BE ； （2）现山顶处有一塔38CB km =．从A 到D 的登山途中，队员在点P 处测得塔的视角为()CPB θθ∠=．若点P 处高度PF 为xkm ，则x 为何值时，视角θ最大？【答案】（1）3km ；（2）当34x km =时，视角θ最大. 【解析】【分析】（1）解法一：计算出cos BAD ∠的值，然后在ABD ∆中，过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，利用锐角三角函数的定义求出AB ，然后在ABE ∆中利用锐角三角函数可求出BE ； 解法二：过D 作DG AE ⊥于点G ，过D 作DH BE ⊥于点H ，计算出DG 、AG ，设BE h =，可得出1BH h =-，2DH h =-，由勾股定理222BD BH DH =+可解出h 的值，即可得出山高；（2）过P 作PM BE ⊥于M ，计算出tan CPM ∠和tan BPM ∠，利用两角差的正切公式()tan tan CPM BPM θ=∠-∠可得出tan θ关于x 的表达式，通过化简后利用基本不等式可求出tan θ的最大值，利用等号成立求出x 的值，即可得出该问题的解答.【详解】（1）法一：因为1tan 2α=，α是锐角，所以1sin 5α=，2cos 5α=， 所以1211cos cos cos cos sin sin 4442525BAD πππααα⎛⎫∠=-=+=⨯+⨯ ⎪⎝⎭31010=， 在ABD ∆中，过D 作DM AB ⊥，垂足为M .因为5AD BD ==31022cos 2532AB AM AD BAD ==∠==在ABE ∆中，cos 453BE AB ==，所以山的高度为3km ；法二：过D 作DG AE ⊥于点G ，过D 作DH BE ⊥于点H ，在ADG ∆中，DAG α∠=，1tan 2α=，所以1sin 5α=，2cos 5α=， 所以1sin 515DG AD α==⨯=，2cos 525AG AD α==⨯=. 设BE h =，在直角BDH ∆中，1BH h =-，2DH h =-，由于222BD BH DH =+，所以()()()222512h h =-+-因为0h >，所以3h =，所以山的高度为3km ；（2）过P 作PM BE ⊥于M ，因PF x =，所以2AF x =，因为P 在AD 上，1DG =，所以[]0,1x ∈，所以3tan 32BM x BPM PM x -∠==-，327388tan 3232x x CM CPM PM x x+--∠===--. 所以()tan tan tan tan 1tan tan CPM BPMCPM BPM CPM BPMθ∠-∠=∠-∠=+∠∠()()273383232827273388132323232x x x x x x x x x x x x-----==⎛⎫--- ⎪-⎝⎭+⋅-+---，[]0,1x ∈. 令[]321,3t x =-∈，所以322t x -=，则3628tan 15392954278222t t t t t tθ==≤=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+. 当且仅当94t t=，即[]31,32t =∈时，即34x =时tan θ取得最大值229. 所以，当34x km =时，视角θ最大. 【点睛】本题考查解三角形中测量高度问题，同时也考查了利用基本不等式来求角的最值，解题的关键在于建立关系式，并对代数式进行化简变形，考查运算求解能力，属于中等题.23.若函数()2f x x x m m =-+，m R ∈ （1）若函数()f x 为奇函数，求m 的值；（2）若函数()f x 在[]1,2x ∈上是增函数，求实数m 的取值范围；（3）若函数()f x 在[]1,2x ∈上的最小值为7，求实数m 的值．【答案】（1）0m =（2）(][),14,-∞+∞（3）2m =-或1【解析】【分析】（1）由奇函数得到(0)0f =，代入计算得到答案.（2）讨论1m ，2m ≥，12m <<三种情况，分别计算得到答案.（3）根据（2）的讨论，分别计算函数的最小值，对比范围得到答案.【详解】（1）()f x 是奇函数，定义域为R()()f x f x ∴-=，令0x =，得(0)0f =，0m ∴=经检验：0m =时()()f x f x -=，0m ∴=．（2）①1m 时，()22f x x mx m =-+开口向上，对称轴为122mx =≤，()f x ∴在[]1,2上单调递增②2m ≥时，()22f x x mx m =-++开口向下，对称轴为2mx =，()f x ∴在,2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x []1,2上单调递增，22m∴≥，4m ∴≥．③12m <<时，()2222,,x mx m x mf x x mx m x m ⎧-++≤=⎨-+>⎩函数()f x 在,2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),m +∞上单调递增，则,2mm ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在[]1,2上不单调，不满足题意.综上所述：m 的取值范围是(][),14,-∞+∞．（3）由（2）可知①1m 时，()22f x x mx m =-+，()f x 在[]1,2上单调递增，()()2min 117f x f m m ∴==-+=解得2m =-或3m =1m ≤2m ∴=-②2m ≥时，22()f x x mx m =-++，()f x 在,2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 当322m ≥即3m ≥时，2min ()(1)17f x f m m ==-++=解得：m =当322m <即23m ≤<时，2min ()(2)427f x f m m ==-++=解得：1m =-±23m ≤<，1m ∴=③12m <<时，()2222,,x mx m x m f x x mx m x m⎧-++≤=⎨-+>⎩ 函数()f x 在,2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(),m +∞上单调递增，则,2m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴当12m <<时，2min ()()7f x f m m ===解得：m =（舍）1m =-±综上所述：2m =-或1．【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，最值，意在考查学生的分类讨论的能力和计算能力.。

2020届江苏省南通市高三下学期5月阶段性练习数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市高三下学期5月阶段性练习数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市高三下学期5月阶段性练习数学试题一、填空题1．已知集合{}2,1,0,1M =--，{}20N x x x =+≤，则MN =_______.【答案】{}1,0-【解析】求出集合N ，利用交集的定义可得集合M N ⋂. 【详解】{}{}2010N x x x x x =+≤=-≤≤，{}2,1,0,1M =--，因此，{}1,0M N ⋂=-.故答案为：{}1,0-. 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2．已知复数2a ii++为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是__. 【答案】12-. 【解析】先把复数2a ii++化成复数的一般形式，再由纯虚数的定义可求a . 【详解】 解：因为复数()(2)2122(2)(2)55a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-， 由于它为纯虚数，所以2105a +=，且205a-≠，则12a =-， 故答案是：12-. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.3．某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是__. 【答案】85. 【解析】先求出平均数，再由方差计算公式求出这5次得分的方差. 【详解】某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117， 平均数为1(114116114114117)1155x =++++=， 则这5次得分的方差为：22222218[(114115)(116115)(114115)(114115)(117115)]55S =-+-+-+-+-=.故答案为：85. 【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4．根据如图所示的伪代码，当输入的x 为1-时，最后输出的m 的值是__.【答案】32. 【解析】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出210230x x m x x ⎧+<=⎨-⎩的值，由题意即可计算得解. 【详解】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出210230x x m x x ⎧+<=⎨-⎩的值，当输入的x 为1-时，可得13212m -=+=. 故答案为：32. 【点睛】本题主要考查了伪代码的应用，属于基础题.5．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>5双曲线的渐近线的方程是__. 【答案】2y x =±.【解析】由双曲线的离心率结合隐含条件求得ba的值，则答案可求. 【详解】解：由题意，c e a ==222225c a b a a+==， 解得：2ba=， ∴该双曲线的渐近线的方程是2y x =±.故答案为：2y x =±. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，注意隐含条件的运用，是基础题.6．某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是__. 【答案】12. 【解析】基本事件总数246n C ==，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数233m C ==，由此能求出抽到的2道题他都会的概率.【详解】解：某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.基本事件总数246n C ==，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数233m C ==，∴抽到的2道题他都会的概率是3162m p n ===. 故答案为：12. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则ϕ的最小正值是______．【答案】π6【解析】先由平移求出()g x 的解析式()πsin 223g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由()g x 为奇函数，可得()π2π3k k ϕ-+=∈Z ，从而可求出ϕ的最小正值. 【详解】将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位得到，()πsin 223g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，由于函数()g x 为奇函数，所以()π2π3k k ϕ-+=∈Z ， 整理得：()ππ26k k ϕ=-+∈Z ， 当0k =时，ϕ的最小正值是π6．故答案为：π6【点睛】此题考查三角函数的平移变换，正弦函数的性质，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且18a ，3a ，26a 成等差数列，则785622a a a a ++的值是__. 【答案】16.【解析】设等比数列的公比为q ，0q >，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，化简可得所求值. 【详解】解：等比数列{}n a 的各项均为正数，设公比为q ，0q >， 由18a ，3a ，26a 成等差数列，可得312286a a a =+，即有2111286a q a a q =+，即2340q q --=，解得4(1q =-舍去），则22785656562(2)1622a a q a a q a a a a ++===++. 故答案为：16. 【点睛】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(10,0)-的圆M 与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆M 的半径是__. 【答案】52.【解析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再由所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，知两圆圆心的连线在直线y x =上，设所求圆的圆心为(,)a a ，由半径相等列式求得a 值，则答案可求. 【详解】解：圆22660x y x y +--=化为22(3)(3)18x y -+-=， 圆心坐标为(3,3)，半径为32. 如图，所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，∴两圆圆心的连线在直线y x =上，可设所求圆的圆心为(,)a a ，则2222(10)a a a a ++=+，解得5a =-，∴所求圆M 的半径为52.故答案为：52.【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查数学转化思想方法与数形结合的，属于中档题. 10．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为2143Rπ.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V，下部分（半球）的体积为2V，则12VV的值是__.【答案】2.【解析】设圆柱的高为h，表示出表面积可得43h R=，再分别表示出1V，2V即可. 【详解】解：设酒杯上部分高为h，则酒杯内壁表面积221144223S R Rh Rπππ=⨯+=，则43h R=，所以23143V R h Rππ==，321423V Rπ=⨯，故122VV=，故答案为：2.【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.11．已知函数()log(1)af x x a=>的图象与直线(1)()y k x k R=-∈相交.若其中一个交点的纵坐标为1，则k a+的最小值是__.【答案】3.【解析】由题知两函数其中一个交点(1,0)，另一个交点的纵坐标为1，得0k>，利用交点满足两函数解析式可求出(1)1k a-=，由均值不等式求最小值即可.【详解】解：函数()log(1)af x x a=>与直线(1)()y k x k R=-∈过(1,0)，∴由函数()log(1)af x x a=>的图象与直线(1)()y k x k R=-∈相交.其中一个交点的纵坐标为1得0k >，设交点(,1)m ，代入()log a f x x =，1log a m =，m a ∴=，再把点(,1)a 代入直线方程：211(1)()2k a k a +-=-，即3k a +，当且仅当1k a =-时，等号成立，k a +取最小值3. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查对数函数与直线的位置关系，均值不等式的应用，属于中档题.12．已知函数224,0()1(2),0x x f x x x x +⎧⎪=+⎨⎪+<⎩若关于x 的不等式()10()f x mx m m R ---<∈的解集是1(x ，23)(x x ⋃，)+∞，123x x x <<，则m 的取值范围是__. 【答案】(0,2)(2,3)⋃.【解析】作出函数()y f x =与直线1y mx m =++的图象，找到两个极限情况，结合图象即可得解. 【详解】由不等式()10f x mx m ---<得()1f x mx m <++，作出函数()y f x =与直线1y mx m =++的图象如图所示，注意到直线1y mx m =++恒过点(1,1)-，且点(1,1)-也在函数()y f x =上，当直线1y mx m =++与函数2()(2)f x x =+相切时，可得2(4)30x m x m +-+-=，则△2440m m =-+=，解得2m =，当直线1y mx m =++过点(0,4)C 时，则14m +=，解得3m =，由图可知，满足条件的实数m的取值范围为(0,2)(2,3)⋃.故答案为：(0,2)(2,3)⋃.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，二次函数的性质应用，其它不等式的解法，考查数形结合思想，属于中档题.13．如图，在ABC∆中，32AC BC=，点M，N分别在AC ，BC上，且13AM AC=，12BN BC=.若BM与AN相交于点P，则CPAB的取值范围是__.【答案】1(,2)5.【解析】设2BC=，3AC=，由三点共线的向量表示可设(1)(1)CP CA CN C Cx y yB Mx=-+=-+，结合已知条件进一步得到1124CP CA CB=+，由此可得21133()881312cos,CPAB CA CB=-+⋅-，结合余弦函数的有界性即可得出答案.【详解】解：不妨设2BC=，3AC=，由于A，P，N 三点共线，M，P，B三点共线，故由平面向量基本定理可设，(1)(1)CP CA CN C Cx y yB Mx=-+=-+，11,32AM AC BN BC==，∴2(1)(1)23Cx yx y CB AP CA CCB=-+=-+，∴21312x yxy⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1234xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1124CP CA CB=+，222()CP CP AB CB CA ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭221124()CA CB CB CA ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 2222111||||cos 41642||||cos CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB ++⋅⋅〈⋅〉=+-⋅⋅〈⋅〉91132cos 44449232cos CA CB CA CB++⨯⨯⨯⋅=+-⨯⨯⨯⋅ 106cos 141312cos CA CB CA CB +⋅=⨯-⋅ 12cos 1333181312cos CA CB CA CB ⋅-+=⨯-⋅ 1133881312cos CA CB =-+⨯-⋅,又1cos ,1CA CB -<<，∴211331()(,4)88251312cos ,CP AB CA CB =-+⋅∈-， ∴1(,2)5CP AB ∈. 故答案为：1(,2)5.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及了平面向量基本定理的运用，数量积的运算等基础知识点，考查运算求解能力，属于中档题.二、解答题14．已知非零向量b 与a 的夹角为120︒，且||2a =，24a b +=，则||b =__. 【答案】4.【解析】先把24a b +=两边平方，再展开，并结合平面向量的数量积运算进行求解即可. 【详解】解：由题可知，2(2)16a b +=，∴224||4||||cos12160||a a b b +⋅+=，即214442||()|||162b b ⨯+⨯⨯⋅-+=， 解得||4b =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查平面向量的模长、数量积运算，对式子进行平方处理是解决平面向量模长问题的常用手段，考查学生的运算能力，属于基础题.15．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若2cos a C b =，且2sin sin sin C A B =，求B 的值； （2）若cos(2)3cos 0A B B ++=，求tan tan A C 的值. 【答案】（1）3B π=；（2）tan tan 2A C =.【解析】（1）由余弦定理化简已知等式可得a c =，利用正弦定理化简已知等式可得2c ab =，从而可得c a b ==，即可得解.（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos cos sin sin A C A C =，由题意可得cos 0A ≠，cos 0C ≠，利用同角三角函数基本关系式可求tan tan A C 的值. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得2222?2a b c a b ab+-=，化简得22a c =，即a c =， 因为2sin sin sin C A B =，且2(sin sin sin a b cR R A B C===为ABC ∆外接圆半径）， 所以2c ab =， 所以c a b ==， 所以ABC ∆为正三角形， 所以3B π=.（2）因为cos(2)3cos 0A B B ++=，且()B A C π=-+， 所以cos[()]3cos[()]0A C A C ππ+-+-+=，所以cos()3cos()A C A C -=-+，即cos cos sin sin 3cos cos 3sin sin A C A C A C A C +=-+，所以2cos cos sin sin A C A C =， 因为斜三角形ABC 中，2A π≠，2C π≠，所以cos 0A ≠，cos 0C ≠， 所以tan tan 2A C =. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的计算能力和转化思想，属于基础题.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，侧面11BCC B 是矩形，点E ，F 分别为BC ，11A B 的中点.求证：（1）1BC AC ⊥； （2）//EF 平面11ACC A .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）推导出1BC CC ⊥，从而BC ⊥平面11ACC A .由此能证明1BC AC ⊥； （2）取11A C 的中点G ，连结FG ，CG .推导出四边形EFGC 为平行四边形，//EF GC .由此能证明//EF 平面11ACC A . 【详解】（1）因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC CC ⊥， 因为平面11ACC A ⊥平面11BCC B ， 平面11ACC A 平面111BCC B C C =，BC 在平面11BCC B 内，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC 在平面11ACC A 内，所以1BC AC ⊥； （2）取11A C 的中点G ，连结FG ，CG ，在△111A B C 中，F ，G 分别是11A B ，11A C 的中点， 所以11//FG B C ，且1112FG B C =， 在矩形11BCC B 中，E 是BC 的中点， 所以11//EC B C ，且1112EC B C =， 所以//EC FG ，且EC FG =，所以四边形EFGC 为平行四边形，所以//EF GC ， 又因为EF 在平面11ACC A 外，GC 在平面11ACC A 内， 所以//EF 平面11ACC A . 【点睛】本题考查线线平行、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题.17．如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为ABC ∆，A 到河两岸距离AE ，AD 相等，B ，C 分别在两岸上，AB AC ⊥.为方便游客观赏，拟围绕ABC ∆区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度l （即ABC ∆的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：方案1：设ABD α∠=，求出l 关于α的函数解析式()f α，并求出()f α的最小值.方案2：设EC x =米，求出l 关于x 的函数解析式()g x ，并求出()g x 的最小值. 请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）【答案】答案不唯一，具体见解析.【解析】方案1：由AB AC ⊥，得90EAC BAD ∠+∠=︒，可得EAC ABD α∠=∠=，2(0,)απ∈.求解三角形可得50sin AB α=，50cos AC α=，50sin cos BC αα=，即可得到()f α关于α的解析式，其中2(0,)απ∈.设sin cos t αα=+，化为关于t 的函数求解；方案2：由已知证明Rt CAE Rt ABD ∆∆∽，得AC ECAB AD=.由EC x =，得AC ==50AD =，再求得AB ，BC，可得2500()()g x x x=++，0x >.然后利用基本不等式求最值. 【详解】解：方案1:AB AC ⊥，90EAC BAD ∴∠+∠=︒， 在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，EAC ABD α∴∠=∠=，2(0,)απ∈.50AD AE ==，在Rt ADB ∆和Rt AEC ∆中，50sin AB α=，50cos AC α=，∴50sin cos BC αα===， ∴111sin cos 1()50()50()sin cos sin cos sin cos f ααααααααα++=++=，其中2(0,)απ∈.设sin cos t αα=+，则sin cos )4t πααα=+=+，2(0,)απ∈，∴t ∈，212sin cos t αα=+，∴21sin cos 2t αα-=. ∴250(1)100112t y t t +==--，∴当t =时，()100min f α==+.答：景观桥总长的最小值为(100+米； 方案2:AB AC ⊥，90EAC BAD ∴∠+∠=︒，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，EAC ABD ∴∠=∠，则Rt CAE Rt ABD ∆∆∽，∴AC ECAB AD=.EC x =，AC ==50AD =，∴AB =，则2500BC x x===+，∴2500()()g x x x=+，0x >.0x ，()22500100g x ∴=2502100100⨯=.=，且2500x x =， 即50x =时取“=”.∴()100min g x =+答：景观桥总长的最小值为(100+米. 【点睛】本题考查三角形的解法，训练了利用换元法及基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为833.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k .已知212·k k k =. ①求k 的值；②当OPQ △的面积最大时，求直线PQ 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）①12k =；②112y x =±. 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，则222c a b =-.利用短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，求出a ，b ，然后求解椭圆C 的标准方程.（2）①设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩利用韦达定理，通过直线的斜率求解即可；②由①得12k =，直线PQ 的方程为12y x m =+，然后求解弦长，点到直线的距离，求解三角形的面积，然后求解即可. 【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则222c a b =-.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， 所以3=c b .833，则22833a c = 所以2a =，1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）①设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8440k x kmx m +++-=， 2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，所以122841km x x k -+=+，212244·41m x x k -=+， 又OP 的斜率111y k x =，OQ 的斜率222y k x =，所以2221212121212121212()()()·y y kx m kx m k x x km x x m k k k x x x x x x +++++====，化简得212()0km x x m ++=，所以228·041kmkm m k -+=+.又因为0m ≠，即241k =， 又0k >，所以12k =.②由①得12k =，直线PQ 的方程为12y x m =+，且122x x m +=-，212·22x x m =-，22m <. 又0m ≠，所以0m <所以12PQ x ==-==， 点O 到直线PQ的距离d ==，所以221(2)·122OPQm m SPQ d +-====， 当且仅当222m m =-，即1m =±时，OPQ △的面积最大， 所以，直线PQ 的方程为112y x =±. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2121·n n n n a S S S λ++++=，*n N ∈，R λ∈.（1）若3λ=-，21a =-，求3a 的值；（2）若数列{}n a 的前k 项成公差不为0的等差数列，求k 的最大值；（3）若20a >，是否存在R λ∈，使{}n a 为等比数列？若存在，求出所有符合题意的λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）33a =-；（2）4；（3）存在；1λ=.【解析】（1）记2121·n n n n a S S S λ++++=为(*)式.当3λ=-时，(*)式为21213?n n n n a S S S +++-+=，令1n =得，221323?a S S S -+=，转化求解即可. （2）设公差为d ，若3k =，则22S d =+，333S d =+.在(*)式中，令1n =得，22132·a S S S λ+=，推出21d d λ++=，若4k =，推出2321(12d d d λ++=+，求解可得2d =-，3λ=-.所以4k =符合题意.验证5k =，是否成立，推出结果. （3）假设存在R λ∈，使{}n a 为等比数列，推出(1)0q λ-=，结合112(1)(1)n n n n S S S S +++-=-，推出21111n n n n S S S S +++--=，得到数列11n n S S +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为常数列，转化求解证明即可. 【详解】解：记2121·n n n n a S S S λ++++=为(*)式.（1）当3λ=-时，(*)式为21213?n n n n a S S S +++-+=，令1n =得，221323a S S S ⋅-+=，即221123123()()a a a a a a a -+++=+⋅，由已知11a =，21a =-，解得33a =-.（2）因为前k 项成等差数列，设公差为d ，则21a d =+，312a d =+， 若3k =，则22S d =+，333S d =+.在(*)式中，令1n =得，22132·a S S S λ+=，所以2(1)33(2)d d d λ+++=+，化简得21(1)d d d λ++=+，① 若4k =，则446S d =+，在(*)式中，令2n =得，23243·a S S S λ+=，所以2(12)(2)(46)(33)d d d d λ++++=+，化简得2321(12)d d d λ++=+，②②-①得，22d d d λ+=，因为公差不为0，所以0d ≠， 所以21d λ+=，代入①得，220d d +=，所以2d =-，3λ=-. 所以4k =符合题意.若5k =，则11a =，21a =-，33a =-，45a =-，57a =-，33S =-，48S =-，515=-S ，在(*)式中，令3n =得，43533(5)(3)(15)60a S S -+=-⨯-+-⨯-=，224(8)64S =-=，所以243543a S S S -+≠，所以k 的最大值为4.（3）假设存在R λ∈，使{}n a 为等比数列，设前3项分别为1，q ，2q ，则21231,1,1S S q S q q ==+=++，(*)式中，令1n =得，22(1)(1)q q q q λ+++=+，化简得(1)0q λ-=，因为20q a =>，所以1λ=，此时(*)式为2121()?n n n n n S S S S S +++-+=，即112(1)(1)(**)n n n n S S S S +++-=-，由11S =，2211S a =+>，得31S >，由2S ，31S >得41S >，⋯，依此类推，10n S ≥>，所以(**)等价于21111n n n nS S S S +++--=， 所以数列11n n S S +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为常数列，所以122111n n S S a S S +--==， 于是2n 时，12211,1,n n n n S a S S a S +--=⎧⎨-=⎩两式相减得12·n n a a a +=， 因为221·a a a =，所以*12·()n n a a a n N +=∈， 又1a ，20a ≠，所以12n na a a +=（非零常数），所以存在1λ=，使{}n a 为等比数列. 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题. 20．对于定义在D 上的函数()f x ，若存在k ∈R ，使()f x kx <恒成立，则称()f x 为“()m k 型函数”；若存在k ∈R ，使()f x kx 恒成立，则称()f x 为“()M k 型函数”.已知函数()(12)()f x ax lnx a R =-∈.（1）设函数1()()1(1)h x f x x =+.若0a =，且1()h x 为“()m k 型函数”，求k 的取值范围；（2）设函数21()()h x f x x =+.证明：当12a =-，2()h x 为“M （1）型函数”； （3）若a Z ∈，证明存在唯一整数a ，使得()f x 为“1()4m 型函数”. 【答案】（1）(1,)+∞；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）将0a =代入，依题意，即1lnx k x +>恒成立，设1()(1)lnx g x x x+=，求出函数()g x 的最小值即可得解； （2）分析可知，即证1(1)0x lnx x x ++-，令1()(1)R x x lnx x x=++-，21()x R x lnx x-'=+，方法一：由不等式的性质可知()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0R x R =，即得证；方法二：令211()()F x R x lnx x x ='=+-，再对函数()F x 求导，可得当01x <<时，()0R x '<，当1x >时，()0R x '>，进而得到()R x 的单调性，由此得证；（3）问题等价于证明存在唯一整数a ，1()(12)04p x ax lnx x =--<恒成立，易知当0a 及2a 时，不合题意，故只需证明1a =时符合题意即可，方法一：记1()(12)4p x x lnx x =--，分当1x 或102x <以及当112x <<时证明即可； 方法二：记1()(12)4p x x lnx x =--，利用导数求其最大值小于0即可得证.【详解】（1）0a =时，1()1h x lnx =+. 因为1()h x 为“()m k 型函数”，所以1()h x kx <恒成立，即1lnx k x+>恒成立. 设1()(1)lnx g x x x +=，则2()0lnxg x x'-=恒成立， 所以()g x 在[1，)+∞上单调递减， 所以()g x g （1）1=， 所以k 的取值范围是(1,)+∞； （2）证明：当12a =-时，要证2()h x 为“M （1）型函数”， 即证1(1)x lnx x x ++，即证1(1)0x lnx x x++-. 令1()(1)R x x lnx x x =++-，则22211111()(1)1x R x lnx x lnx lnx x x x x x-=++---+'=+=，方法一：当1x >时，0lnx >，210x x ->，则()0R x '>；当01x <<时，0lnx <，210x x-<，则()0R x '<；所以()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则()R x R （1），又R （1）0=，所以()0R x ， 所以2()h x 为“M （1）型函数”.方法二：令211()F x lnx x x =+-，则22331122()0x x F x x x x x-+=+='->， 所以函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，又F （1）0=， 所以当01x <<时，()0R x '<，当1x >时，()0R x '>， 所以()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 以下同方法一.（3）证明：函数()f x 为“1()4m 型函数”等价于1()(12)04p x ax lnx x =--<恒成立， 当0a 时，()(12)1044e ep e ae =--->，不合题意； 当2a 时，12111()1(4)044a p e e e e e =---->，不合题意； 当1a =时，方法一：1()(12)4p x x lnx x =--， ①当1x 或102x <时，1()004p x x -<；②当112x <<时，120x -<，由（2）知1x lnx x->，所以2(12)(1)11()(32)044x x p x x x x x---<-=-， 综上，存在唯一整数1a =，使得()f x 为“1()4m 型函数”.方法二：1()(12)4p x x lnx x =--，12119()2244x p x lnx lnx x x -=-+-=-+-'， 记19()24x lnx x ϕ=-+-，则221()0x x x ϕ'-=-<， 所以()()x p x ϕ'=在(0,)+∞上单调递减. 易得1lnx x -，所以991722(21)0444p =-+=='<； 又因为199()222120244p ln =+->+->'， 所以存在唯一零点01(2x ∈，使得00019()204p x lnx x +-'=-=， 且0x 为()p x 的最大值点，所以00000000019(12)()411117()(12)242428x x p x x lnx x x x x --=--=-=+-， 注意到117228yx x =+-在1(,)22上单调递增， 所以017117()()02824p x p <==<，所以()0p x <. 综上，存在唯一整数1a =，使得()f x 为“1()4m 型函数”. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查构造思想，分类讨论思想，函数与方程等数学思想，考查推理论证能力，运算求解能力等，属于较难题目.21．已知矩阵A 的逆矩阵13221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵A ；（2）若向量21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算2A α.【答案】（1）1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）23⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 【解析】（1）设出矩阵，利用逆矩阵的运算法则化简求解即可. （2）直接利用矩阵乘法的运算法则化简求解即可. 【详解】解：（1）设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则132323*********a b a c b d A A c d a c b d -++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 故321,20,{320,21,a c a c b d b d +=+=+=+=解得1,2,{2,3,a b c d =-===-则矩阵1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由矩阵1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，得21212582323813A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2582281313A α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵与逆矩阵的运算法则的应用，是基本知识的考查，中档题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线1,{(12x t y t =+=为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=+，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 【答案】72. 【解析】首先利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果. 【详解】解：由4cos()3πρθ=+得24cos()2cos sin 3πρρθρθθ=+=-，所以曲线C的直角坐标方程为2220x y x +-+=，即22(1)(4x y -+=，圆心(1,-，半径2r.由直线l的参数方程1,2{12x y t =+=得1x =+，所以直线l的普通方程为10x -=.所以圆心(1,-到直线l 的距离32d =， 所以点P 到直线l 距离的最大值为37222+=. 【点睛】本题主要考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23．若实数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 【答案】114【解析】利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z ++≤++++，进行解答即可.【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z++≤++++,即()222141x y z++≥，故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==,即222x y z ++的最小值为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>，过点(4,0)M p的直线l交抛物线于1(A x，1)y，2(B x，2)y两点.当AB垂直于x轴时，OAB∆的面积为22.（1）求抛物线的方程：（2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点T.①证明：12y y为定值：②若//OA TB，求直线l的斜率.【答案】（1）2y x=；（2）①证明见解析；②±1.【解析】（1）当AB垂直于x轴时，求出AB坐标，利用三角形的面积转化求解抛物线方程即可.（2）①由题意可知直线l与x轴不垂直.设211(,)A y y，222(,)B y y，122212121ABy yky y y y-==-+.通过A，M，B三点共线，得122y y=-.②122y y=-，得到21142(,)By y-.求出线段AB垂直平分线的方程，结合OA TBk k=，转化求解即可.【详解】解：（1）当AB垂直于x轴时，(4,22)A p，(4,22)B p-所以OAB∆的面积为211···42?4822222AB OM p===，因为0p>，所以12p=，所以抛物线的方程为2y x=.（2）①由题意可知直线l 与x 轴不垂直.由（1）知(2,0)M ，设211(,)A y y ，222(,)B y y ，则122212121AB y y k y y y y -==-+. 由A ，M ，B 三点共线，得12221222y y y y =--， 因为12y y ≠，化简得122y y =-. ②因为122y y =-，所以21142(,)B y y -. 因为线段AB 垂直平分线的方程为22121212()()22y y y y y y y x ++-=-+-，令0y =，得22212121114(1)22T y y x y y ++==++. 因为//OA TB ，所以OA TB k k =，即1211221121144(1)2y y y y y =++-，整理得2211(1)(4)0y y +-=， 解得12y =±，故(4,2)A ±.所以1AM k =±，即直线l 的斜率为±1.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题. 25．设*n N ∈，k ∈N ，nk .（1）化简：11112··k k n n k k n n C C C C +++++；（2）已知2220122(1)nnn x a a x a x a x -=+++⋯+.记21()(1)nk kkF n n a ==+∑.证明：()F n 能被21n 整除. 【答案】（1）12n n ++；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用组合排列数的计算公式即可得出.（2）由（1）得，11211111111111111111()222k k k n n n k k k k k k k n n n n n n n C C C n n n C n C C n C C n C C ++++++++++++++++++=⋅=⋅=⋅+++⋅⋅+.由122121(1)21(1)(1)[]22k k k k k k k n n n k k n k k a C n C C +++-+--==⋅++，可得22111212121(1)(1)()(1)[]2k k nn k k k k kn n k n k k F n n a C C +==+++--=+=⋅+∑∑，求和即可得出.【详解】（1）解：11112(1)!(1)!(1)!(1)!1!(1)!(1)!()!!(2)!!(2)(1)!2!()!(1)!(1)!k k n n k k n n n n C C n n n n k n k k n k n n C C n n n n k n k k n k +++++++⋅+⋅⋅+++-+-===++⋅+⋅+⋅-++-⋅.（2）证明：由（1）得，11211111111111111111()222k k k n n n k k k k k k k n n n n n n n C C C n n n C n C C n C C n C C ++++++++++++++++++=⋅=⋅=⋅+++⋅⋅+. 因为122121(1)21(1)(1)·[]22k k k k k k k n n n k k n k ka C n C C +++-+--==++， 所以22111212121(1)(1)()(1)[]2k k nn k k k k k n n k n k kF n n a C C +==+++--=+=⋅+∑∑， 因为21122232112121212121212121(1)(1)122122[]()()k k nk k n n k n n n n n n n n k k n nC C C C C C C C ++=++++++++----+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+∑12222212121212121211212212()()2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C +++++++---+=+++⋅⋅⋅+++= 12322121212111112nn n n n n C C C C ++++--=+++⋅⋅⋅++ 设1232212121211111nn n n n A C C C C ++++--=+++⋅⋅⋅+，则122213222121212121212121211111111120n n n n n n n n n n n n A C C C C C C C C --++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=++++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以0A =. 所以2121()(1)2(21)2nk kk n F n n n n n a =+=+=⋅=+∑能被21n 整除. 【点睛】本题考查了组合排列数的计算公式、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析

江苏省南通市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．96 【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．2．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【解析】【分析】由2x y =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解【详解】由函数2x y =是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>；当10x +<，即1x <-时，11x x +=--，由1x x --≤，得12x =-，无解， 因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.3．已知101 1M dxx=+⎰，2cosN xdxπ=⎰，由程序框图输出的S为（）A．1 B．0 C．2πD．ln2【答案】D【解析】试题分析：111ln(1)|ln21M dx xx==+=+⎰，2cos sin|12N xdx xππ===⎰，所以M N<，所以由程序框图输出的S为ln2.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．4．已知不重合的平面,,αβγ和直线l，则“//αβ”的充分不必要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．lα⊥且lβ⊥C．αγ⊥且γβ⊥D．α内的任何直线都与β平行【答案】B【解析】【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. lα⊥且lβ⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到lα⊥且lβ⊥，满足；C. αγ⊥且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除.故选：B .【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 5．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解.【详解】∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-， 其图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到， ∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称， ∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称. 可排除A 、D 项.当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确. 故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.6．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2] 【答案】A【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ， 若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a，∴b a 22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．7．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4CD ．【答案】B【解析】【分析】根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为故可得(224m +=，解得216m =，不妨取4m =；又焦点()F ，其中一条渐近线为2y x =-，由点到直线的距离公式即可求的4545d ==.故选：B.【点睛】 本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.8．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D【解析】【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断.【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+，代入抛物线C 的方程，有2480y my --=．设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=． 则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知， A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+． 于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++， 所以()()22224224416124a r m m m -=+-++=．所以③正确．故选：D【点睛】 本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.9．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 1C ．2D 1【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】 直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0，∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1， 丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨222p p =+=p ，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ， 2c ＝p ，∴离心率e 221c a ===+-1， 故选：D ．【点睛】 本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D【解析】【分析】 根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】 由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.11．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0- 【答案】A【解析】【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.12．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)- 【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x--=--+--， 又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x-=+----， 所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增. 由(1)(1)f ax f x +<-， 可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立， 则1120ax x a x ⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩， 所以a 的取值范围是(3,1)--.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题(解析版)

2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题一、填空题1．设集合{}1,3A =，{}2230B x x x =--<，则A B =I ____________.【答案】{}1【解析】先解不等式2230x x --<,再求交集的定义求解即可. 【详解】由题,因为2230x x --<,解得13x -<<,即{}|13B x x =-<<, 则{}1A B =I , 故答案为:{}1 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.2．已知i 12i z ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z =________． 【答案】2i - 【解析】【详解】 解：i 12i z ⋅=+Q()212122i ii z i i i++∴===- 故答案为：2i - 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题. 3．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可. 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，，则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤． 【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________． 【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则 一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种； 所以所求的概率是56P =． 【考点】古典概型概率5．“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要【解析】由余弦的二倍角公式可得()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=-+=,即sin cos 0αα-=或sin cos 0αα+=,即可判断命题的关系.【详解】 由()()22cos2cossin cos sin cos sin 0ααααααα=-=-+=,所以sin cos 0αα-=或sin cos 0αα+=,所以“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要 【点睛】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用. 6．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ．【答案】-2 【解析】试题分析：，【考点】等比数列性质及求和公式 7．若幂函数()a f x x =的图象经过点)122，，则其单调递减区间为_______．【答案】(0,)+∞【解析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再求出()f x 的单调递减区间． 【详解】解：幂函数()a f x x =的图象经过点1(2,)2，则1(2)2a=， 解得2a =-；所以2()f x x -=，其中()(),00,x ∈-∞+∞U ；所以()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． 故答案为：(0,)+∞． 【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题． 8．若函数()sin 3f x x x ωω= (x ∈R ，0>ω)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于2π，则ω的值为___________. 【答案】1【解析】利用辅助角公式化简可得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由题可分析||αβ-的最小值等于2π表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π,进而求解即可. 【详解】由题,()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 因为()0fα=,()2f β=,且||αβ-的最小值等于2π,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π, 所以142T π=,即2T π=,所以2212T ππωπ===,故答案为:1 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.9．已知函数()2241020ax x x f x x bx c x ⎧--≥=⎨++<⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB ＝BC ，则实数t 的值为_________． 【答案】52-【解析】由()f x 是偶函数可得0x >时恒有()()f x f x -=，根据该恒等式即可求得a ，b ，c 的值，从而得到()f x ，令()t f x =，可解得A ，B ，C 三点的横坐标，根据AB BC =可列关于t 的方程，解出即可． 【详解】解：因为()f x 是偶函数，所以0x >时恒有()()f x f x -=，即22241x bx c ax x -+=--， 所以2(2)(4)10a x b x c -+---=，所以204010a b c -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得2a =，4b =，1c =-；所以22241,0()241,0x x x f x x x x ⎧--=⎨+-<⎩…； 由2241t x x =+-，即22410x x t +--=，解得1x =-；故1A x =--1B x =- 由2241t x x =--，即22410x x t ---=，解得1x =．故1C x =1D x =． 因为AB BC =，所以B A C B x x x x -=-252t =-， 故答案为：52-． 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．10．设集合{}1 A a =-，，e e 2a B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，（其中e 是自然对数的底数），且A B ⋂≠∅，则满足条件的实数a 的个数为______． 【答案】1【解析】可看出2aa e ≠，这样根据A B ≠∅I即可得出2a =，从而得出满足条件的实数a 的个数为1． 【详解】解：A B ≠∅Q I ， 2a ∴=或2aa e =，在同一平面直角坐标系中画出函数y x =与2xy e =的图象，由图可知y x =与2xy e =无交点， 2aa e ∴=无解，则满足条件的实数a 的个数为1． 故答案为：1． 【点睛】考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程2xx e =无解，属于基础题．11．已知过点O 的直线与函数3xy =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A作y 轴的平行线交函数9xy =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是【答案】3log 2【解析】通过设出A 点坐标，可得C 点坐标，通过BC ∥x 轴，可得B 点坐标，于是再利用OA OB k k =可得答案. 【详解】根据题意，可设点(),3aA a ，则(),9aC a ,由于BC ∥x 轴，故9a CB yy ==，代入3x y =，可得2B x a =，即()2,9aB a ，由于A 在线段OB 上，故OAOB kk =，即392a aa a=，解得3log 2a =.12．设点P 在函数()1e 2xf x =的图象上，点Q 在函数()()ln 2g x x =的图象上，则线段PQ 长度的最小值为_________)1ln 2-【解析】由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于y x =对称,则点P 到y x =的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值. 【详解】 由题,因为()1e 2xf x =与()()ln 2g x x =互为反函数,则图象关于y x =对称, 设点P 为(),x y ,则到直线y x =的距离为d =, 设()12xh x e x =-, 则()112xh x e '=-,令()0g x ¢=,即ln 2x =, 所以当(),ln 2x ∈-∞时,()0h x '<,即()h x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时,()0h x '>,即()h x 单调递增,所以()()min ln 21ln 2h x h ==-,则min d =, 所以PQ的最小值为)min 21ln 2d =-,故答案为)1ln 2- 【点睛】本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.13．设()f x 为偶函数，且当(]2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--．关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤； ③对()1m ∀∈+∞，，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．其中，正确命题的序号是_______． 【答案】①②③【解析】根据偶函数的图象关于y 轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可. 【详解】解：当4a =时()()[)()()[)20,2422,x x x f x x x x ⎧--∈⎪=⎨--∈+∞⎪⎩又因为()f x 为偶函数∴可画出()f x 的图象，如下所示：可知当0m =时()()g x f x m =-有5个不同的零点；故①正确； 若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个， 即[]01m ∀∈，，()y f x =与y m =的交点不超过4个， 2x ∴≥时()0f x ≤恒成立又Q 当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =-- 0a x ∴-≤在[)2x ∈+∞，上恒成立a x ∴≤在[)2x ∈+∞，上恒成立 2a ∴≤由于偶函数()f x 的图象，如下所示：直线l 与图象的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确； 对()1m ∀∈+∞，，偶函数()f x 的图象，如下所示：()4a ∃∈+∞，，使得直线l 与()g x 恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确． 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.14．已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______.【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据三角形三边关系可知()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,将()f x 的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由1k -的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k ,转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式,进而求出k 的取值范围. 【详解】因为对任意正实数123,,x x x ,都存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形, 故()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,()()222111111111k x x kx k f x x x x x x x-++-==+=+++++++,令113t x x =++≥, 则()113k y t t-=+≥, 当10k ->,即1k >时,该函数在[)3,+∞上单调递减,则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； 当1k =,即1k =时,{}1y ∈,当10k -<,即1k <时,该函数在[)3,+∞上单调递增,则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,所以,当1k >时,因为()()122423k f x f x +<+≤,()3213k f x +<≤, 所以223k +≤,解得14k <≤； 当1k =时,()()()1231f x f x f x ===,满足条件；当1k <时,()()122423k f x f x +≤+<,且()3213k f x +≤<, 所以2413k +≥,解得112k -≤<, 综上,142k -≤≤,故答案为:1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.二、解答题15．已知集合{}220A x x x =-->，集合(){}222550B x x k x k =+++<，k ∈R .（1）求集合B ；（2）记M A B =I ，且集合M 中有且仅有一个整数，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）[)(]3,23,4-⋃ 【解析】（1）由不等式22(25)50x k x k +++<可得(25)()0x x k ++<,讨论k -与52-的关系,即可得到结果；（2）先解得不等式220x x -->,由集合M 中有且仅有一个整数,当52k -<-时,则M 中仅有的整数为3-；当52k ->-时,则M 中仅有的整数为2-,进而求解即可. 【详解】解:（1）因为22(25)50x k x k +++<,所以(25)()0x x k ++<,当52k -<-,即52k >时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；当52k -=-,即52k =时,B =∅； 当52k ->-,即52k <时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （2）由220x x -->得()(),12,x ∈-∞-⋃+∞, 当52k -<-,即52k >时,M 中仅有的整数为3-,所以43k -≤-<-,即(]3,4k ∈； 当52k ->-,即52k <时,M 中仅有的整数为2-, 所以23k -<-≤,即[)3,2k ∈-； 综上,满足题意的k 的范围为[)(]3,23,4-⋃ 【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.16．已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=. （1）求sin α的值； （2）求tan +2βα⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】（1）13（2 【解析】（1）先利用同角的三角函数关系解得sin β和()cos αβ+,再由()sin sin ααββ=+-⎡⎤⎣⎦,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得tan α和tan β,利用余弦的二倍角公式求得tan 2β,再由正切的和角公式求解即可. 【详解】 解:（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭,所以sin β 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故3,22ππαβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,所以cos()9αβ+===-, 所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+71193933⎛⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得,1sin3α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos3α===,所以sintancosααα==,因为22222222cos sin1tan222cos cos sin22cos sin1tan222βββββββββ--=-==++且1cos3β=-,即221tan1231tan2ββ-=-+,解得2tan22β=,因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan02β>,所以tan2β=所以tan tan24tan1221tan tan122βαβαβα+⎛⎫+===⎪⎝⎭-⋅-【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.17．设数列{}n a，{}n b的各项都是正数，n S为数列{}n a的前n项和，且对任意n*∈N，都有22n n na S a=-，1b e=，21n nb b+=，lnn n nc a b=⋅（e是自然对数的底数）.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）求数列{}n c的前n项和n T.【答案】（1）n a n=，12nnb e-=（2）(1)21nnT n=-⋅+【解析】（1）当2n≥时,21112n n na S a---=-,与22n n na S a=-作差可得11(2)n na a n--=≥,即可得到数列{}n a是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对21n nb b+=取自然对数,则1ln2lnn nb b+=,即{}lnnb是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解；（2）由（1）可得1ln 2n n n n c a b n -==⋅,再利用错位相减法求解即可.【详解】解:（1）因为0n a >,22n n n a S a =-,①当1n =时,21112a S a =-,解得11a =； 当2n ≥时,有21112n n n a S a ---=-,②由①-②得,()()2211112(2)n n n n n n n n a a S S a a a a n -----=---=+≥,又0n a >,所以11(2)n n a a n --=≥,即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,故n a n =,又因为21n nb b +=,且0n b >,取自然对数得1ln 2ln n n b b +=,所以1ln 2ln n nb b +=, 又因为1ln ln 1b e ==,所以{}ln n b 是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以1ln 2n n b -=,即12n n b e -=（2）由（1）知,1ln 2n n n n c a b n -==⋅,所以1221112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,③123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,④③减去④得:2112222n nn T n --=++++-⨯L()()121221212121n n n n n n n n -=-⨯=--⨯=---,所以(1)21nn T n =-⋅+【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.18．已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB AD ==，将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M ，N 分别在边,AB BC 上.设,MNB MN l θ∠==，EMN ∆的面积为S .（1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围； （2）求l 的最小值及此时sin θ的值；（3）问当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值. 【答案】（1）23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）3sin θ=，l 93.（3）6πθ=时，面积S 取最小值为83【解析】（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,利用三角函数定义分别表示,,,NB MB ME AM ,且6AM MB +=,即可得到l 关于θ的解析式；12BN ≤,6BM ≤,则2312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪<<⎪⎩,即可得到θ的范围； （2）由（1）,若求l 的最小值即求2sin cos θθ的最大值,即可求24sin cos θθ的最大值,设为224()sin cos f θθθ=,令2cos x θ=,则22()(1)f x x θ=-,即可设2()(1)g x x x =-,利用导函数判断函数的单调性,即可求得()g x 的最大值,进而求解；（3）由题,23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭,则2268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,()3(1)t h t t =-,利用导函数求得()h t 的最大值,即可求得S 的最小值.【详解】解:（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,故cos ,sin ,cos 2sin cos 2NB l MB ME l AM ME l θθθθθ=====. 因为6AM MB +=,所以sin cos2sin 6l l θθθ+=，, 所以263sin (cos 21)sin cos l θθθθ==+,又12BN ≤,6BM ≤,则2312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪<<⎪⎩,所以124ππθ≤≤, 所以23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）记()2sin cos ,124fππθθθθ=≤≤,则224()sin cos f θθθ=,设2cos x θ=,12,24x ⎡+∈⎢⎣⎦,则22()(1)f x x θ=-, 记2()(1)g x x x =-,则2()23g x x x ='-,令()0g x '=,则212,324x ⎡=∈⎢⎣⎦, 当12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x ¢>；当22,34x ⎡+∈⎢⎣⎦时,()0g x ¢<, 所以()g x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在23⎡⎢⎣⎦上单调递减,故当22cos3x θ==时l 取最小值,此时sin θ=,l.（3）EMN ∆的面积23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭, 所以2268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,则12t ≤≤, 设3()(1)h t t t =-,则23()34h t t t '=-,令()0h t '=,312,424t ⎡+=∈⎢⎣⎦,所以当13,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0h t '>；当32,44t ⎡∈⎢⎣⎦时,()0h t '<,所以()h t 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在34⎡⎢⎣⎦上单调递减,故当23cos 4t θ==,即6πθ=时,面积S 取最小值为【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.19．已知函数()y f x =.若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.（1）若a ，b R ∈且a ≠0，证明：函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点；（2）若函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()12423xx h x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）514c -≤≤-（3）1m ≤【解析】（1）若函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点,则()()0f x f x -+=,即()()220ax bx a ax bx a +-+--=有解,即可求证；（2）由题可得()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解,则222x x c --=+,设2(11)xt x =-≤≤,利用导函数求得22x x -+的范围,即可求得c 的范围；（3）由题可得()()0h x h x -+=在R 上有解,即()12124234230x x x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=在R 上有解,设22(2)x x t t -+=≥,则可变形为方程222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解,进而求解即可. 【详解】（1）证明:由()2f x ax bx a =+-得()2f x ax bx a -=--,代入()()0f x f x -+=得()()220ax bx a ax bx a +-+--=,则得到关于x 的方程20(0)ax a a -=≠,由于a R ∈且0a ≠,所以1x =±, 所以函数()2(0)f x ax bx a a =+-≠必有局部对称点（2）解:由题,因为函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点所以()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解, 所以222x x c --=+, 设2(11)xt x =-≤≤,则122t ≤≤,所以12c t t -=+令11(),22s t t t t =+≤≤,则221(1)(1)()1t t s t t t-+'=-=, 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0s t '<,故函数()s t 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,当()1,2t ∈时,()0s t '>,故函数()s t 在区间()1,2上单调递增, 所以()()min 12s t s ==, 因为1522s ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()522S =,所以()max 52s t =,所以1522t t ≤+≤, 所以514c -≤≤- （3）解:由题,12()423x x h x m m --+-=-⋅+-, 由于()()0h x h x -+=,所以()12124234230xx x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=,所以()()()244222230x xxx m m --+-++-=（）在R 上有解,令22(2)xxt t -+=≥,则2442x x t -+=-,所以方程（）变为222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解, 需满足条件：()2248402m m ⎧∆=--≥≥,即1m m ⎧-≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩得1m ≤【点睛】本题考查函数的局部对称点的理解,利用导函数研究函数的最值问题,考查转化思想与运算能力.20．已知函数()ln f x x =．（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点；（2）设函数()f x 的图象与函数1a y x x=+-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)x=1 (2)证明见解析 (3) 02k <„【解析】（1）令()1g x lnx x =-+，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；（2）转化思想，要证1a x < 21x x -，即证1x 212121(1)lnx lnx x x x x --<-g 21x x -，即证2112()1x xln x x >-，构造函数进而求证； （3）不等式22(1)()x lnx k x --…对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ，设(1)()1k x h x lnx x -=-+，分类讨论进而求解． 【详解】解：（1）令()1g x lnx x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减； 所以()()10min g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．（2）由题意Q 11122211a lnx x x a lnx x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， 211221(1)lnx lnx a x x x x -∴=--g ， 要证121a x x x <- 21x x -，即证211212121(1)lnx lnx x x x x x x x --<--g，即证2112()1x x ln x x >-，令211x t x =>，则11lnt t>-，由（1）知1lnx x -„，当且仅当1x =时等号成立，所以111ln t t<-， 即11lnt t>-，所以原不等式成立．（3）不等式22(1)()x lnx k x --…对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ， 设(1)()1k x h x lnx x -=-+，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x +-+'=-=++，记2()2(1)1x x k ϕ=+-+，△24(1)44(2)k k k =--=-，①当△0„时，即02k <„时，()0h x '…恒成立，故()h x 单调递增． 于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 又当1x =时，22(1)(1)x ln k x -=-，因此，当02k <„时，22(1)(1)x lnx k x --…， ②当△0>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为3x ，434()x x x <， 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<，故当(1,1)x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在(1,1)k -单调递减；当(1,1)x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是2(1)()0x h x -<， 即22(1)(1)x lnx k x -<- 舍去， 综上，k 的取值范围是02k <„． 【点睛】（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题. 21．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩ 因为k≠0，所以a ＝2． 5分 因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 【考点】特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵． 22．本小题满分14分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1,231x t yt ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段的长度【答案】15)21(2222=-【解析】解：解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=， 即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径圆， ………………………4分 直线方程l 的普通方程为31y x =+， ………8分 圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，……………………………10分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-．……………14分23．如图，在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，点M 、N 分别在线段PA 、BD 上，13BN BD =．（1）若13PM PA =，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M BD A --的大小为4π，求线段MN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC 、BD 交点为O ，则以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明MN AD ⋅u u u u r u u u r ＝0即可证明垂直；（2）设44040a b a -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩＝λ()2010,,013y x y z λλ-=⎧⎪⎨-+-=⎭⎪⎩，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD 的法向量n ，而平面ABD 的法向量为OP uuu r ，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得λ．试题解析: (1)连结AC 、BD 交于点O，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．因为PA ＝AB ，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)． 由BN u u u r ＝13BD u u u r ，得N 10,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由PM u u u u r ＝13PA u u u r ，得M 12,0,33⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1112,,3333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，AD u u u r ＝(－1，－1，0)． 因为MN AD ⋅u u u u r u u u r ＝0，所以MN ⊥AD(2) 解：因为M 在PA 上，可设PM u u u u r ＝λPA u u u r ，得M(λ，0，1－λ)．所以BM u u u u r ＝(λ，－1，1－λ)，BD u u u r ＝(0，－2，0)．设平面MBD 的法向量n r ＝(x ，y ，z)，由00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得()2010y x y z λλ-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n r ＝(λ－1，0，λ)．因为平面ABD 的法向量为OP uuu r ＝(0，0，1)，所以cos 4π＝n OP n OP ⋅r u u ur r u u u r ，即2，解得λ＝12， 从而M 11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 10,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN ＝6． 【考点】用空间向量法证垂直、求二面角．24．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A ”和“B ”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”.（1）当12p q ==时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13p =，23q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，，的概率. 【答案】（1）见解析，0（2）802187 【解析】（1）3S ξ=即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；（2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又0(1,2,3,4)i S i ≥=,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:（1）ξ的取值可能为3-,1-,1,3,又因为12p q ==, 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,311(3)28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 223113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭,223113(1)228P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭, 所以ξ的分布列为：所以1331()(3)(1)308888E ξ=-⨯+-⨯++⨯= （2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知0(1,2,3,4)i S i ≥=,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，此时的概率为()5333658712308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或802187）. 【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期5月第二次检测数学试题解析

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2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期5月第二次检测数学试题一、填空题1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ． 答案：1试题分析：由题意1M ∈，所以1x =． 【考点】集合间的关系．2．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 答案：60采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 解：∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.3．已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为 .答案：15试题分析：()13451341||3425255i i z z z i -+=⇒==⇒==+【考点】复数及模的概念与复数的运算4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为_________.答案：55解：试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知(110)1001210552S +⨯=+++⋅⋅⋅+==,应填55.【考点】伪代码语言的理解和运用．5．现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ． 答案：910试题分析：从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件，其中皆不是乙类试题的包含1中基本事件，因此至少有1道试题是乙类试题的概率为1911010-= 【考点】古典概型概率6．在ABC 中，若1AB =，2BC =，5CA =AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值是______. 答案：5-利用勾股定理可得知AB BC ⊥，结合平面向量数量积的运算性质可求得AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值.解：在ABC 中，1AB =，2BC =，5CA =222AB BC AC +=，AB BC ∴⊥，则0AB BC ⋅=，因此，()25AB BC BC CA CA AB CA AB BC CA AC AC ⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅=-=-. 故答案为：5-. 点评：本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的运算性质，考查计算能力，属于基础题.7．若实数,x y满足约束条件22,{1,1,x yx yx y-≤-≥-+≥则目标函数2z x y=+的最小值为．答案：1解：试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C直线2z x y=+过点(0,1)C时取最小值1【考点】线性规划求最值8．已知()1sin153α︒-=，则()cos302α︒-的值为______.答案：79由题易得3022(15)αα︒︒-=-，然后结合题中条件由余弦的二倍角公式直接计算即可. 解：()()()227cos302cos21512sin15199ααα︒︒︒⎡⎤-=-=--=-=⎣⎦.故答案为：79.点评：本题考查余弦二倍角公式，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.9．已知等比数列的前项和为，若，则的值是．答案：-2试题分析：，【考点】等比数列性质及求和公式10．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则离心率e =______.由双曲线方程写出渐近线方程，由平行求得参数a ，然后离心率． 解：由已知双曲线的渐近线方程为0x y =和0x y +=，显然直线0x y =与直线230x y -+=2=，14a =， 即双曲线方程为22114y x -=，实半轴长为1a '=，虚半轴长为12b '=，半焦距为c ==，所以离心率为c e a =='． 点评：本题考查双曲线的离心率，掌握双曲线的渐近线方程与两直线平行的条件是解题关键． 11．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_________倍.答案：试题分析：因为一个圆柱和一个圆锥同底等高，所以设底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面积是其底面面积的2倍，所以22,2rl r l r ππ==，h =，所以圆柱的侧面积22S rl r π==，其底面积为2r π，所以圆柱的侧面积是底面积的. 【考点】旋转体的侧面积与表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.12．已知函数()()(),01,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()()22f x f x <-的解集为______.答案：()2,1-先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果. 解：,1x y e y x ==+都为单调递增函数，且001e =+()f x ∴在R 上单调递增，()()22f x f x <-， 22x x ∴<-，即()()220210x x x x +-<+-<，∴21x -<< 故答案为：()2,1- 点评：本题考查分段函数单调性、利用函数单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .答案：92试题分析：由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数(0)xy a b b =+>的图象上，所以 a ＋b ＝3．1＜a ＜3，0＜b ＜2．4114114114192()[(1)]()(5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥----当且仅当72,33a b ==时取等号 【考点】指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值14．已知直线30x y -+=与圆222:O x y r +=()0r >相交于,M N 两点，若3OM ON ⋅=，圆的半径r =______.答案：6求出圆心到弦的距离32=d ，利用余弦二倍角公式与向量的数量积公式化简222(21)d OM ON r r⋅=⋅-可得解：圆心(0,0) 到直线30x y -+=的距离2200+332===221+1d -. ()22222cos cos 2cos 1(21)d OM ON OM ON MON r r MON r MOE r r⋅=∠=⋅⋅∠=∠-=⋅-2222292293662d r r r r r ∴-=⋅-=-=⇒=⇒=.6 点评：本题考查直线与圆相交问题．解题关键是掌握垂径定理及向量的数量积公式二、解答题15．设函数()sin cos 464f x x x πππ⎛⎫=--⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调增区间；（2）若()0,4x ∈，求()y f x =的值域. 答案：（1）单调增区间为：()2108,833k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）332⎛- ⎝.（1）由两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的单调性得增区间； （2）求出43x ππ-的范围，把它作为一个整体，利用正弦函数性质可得()f x 值域．解：解：（1）()33sin cos sin cos 3sin 46442443f x x x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵222432k x k ππππππ-+≤-≤+，∴2108833k x k -+≤≤+，k Z ∈ ∴()f x 的单调增区间为：()2108,833k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）∵()0,4x ∈，∴23433x ππππ-<-<∴3sin 143x ππ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的值域为：3,32⎛⎤- ⎥⎝⎦. 点评：本题考查正弦型三角函数的单调性，值域问题，考查两角和与差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键．16．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点.（1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE . 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）证明OGCD ，再利用线面平行判定定理，即可证明；（2）证明AC ⊥平面ODE 内的两条相交直线EO 、DO ； 解：证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC BD O =，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OGCD ，又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线OG ∥平面EFCD . （2）∵BF CF =，点G 为BC 的中点，∴FG BC ⊥. ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ⋂平面ABCD BC =，FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥，∴FG ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG AC ，∵OGAB ，12OG AB=，EF AB ∥，12BF AB =， ∴OG EF ∥，OG EF =， ∴四边形EFGO 为平行四边形， ∴FG EO ∥， ∵FGAC ，FG EO ∥，∴AC EO ⊥，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥，∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EO DO O ⋂=，EO 、DO 在平面ODE 内， ∴AC ⊥平面ODE . 点评：本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意条件书写的完整性.17．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，离心率为12，过原点的直线与椭圆C交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥.（1）若椭圆C 的右准线方程为：4x =，求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 、AB 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k 的值.答案：（1）22143x y +=；（2）1234k k =. （1）根据右准线以及离心率列方程组解得21a c =⎧⎨=⎩，即得23b =，可得椭圆C 的方程； （2）利用点差法得22110AD BD k k a b +⋅=，结合AD AB ⊥转化为1222111()0k a b k +-⋅=再根据离心率可得12k k 的值. 解：（1）2124c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：21a c =⎧⎨=⎩，∴23b =，∴椭圆方程为：22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，∴,A D 在椭圆上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴()()()()1212121222110x x x x y y y y a b +-++-= ∴22110AD BD k k a b +⋅=，∵12c e a ==，∴2234b a =，∴134AD k k =-∵AD AB ⊥，∴21AD k k =-，∴1234314AD ADk k k k -==- 点评：本题考查椭圆标准方程、点差法，考查综合分析求解能力，属中档题.18．如图，某小区有一块矩形地块OABC ，其中2OC =，3OA =，单位：百米.已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N .现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数(220y x x =-+≤≤的图象，若点M 到y 轴距离记为t .（1）当23t =时，求直路所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？答案：（1）42239y x =-+；（2）6t =866. （1）把23t =代入函数22y x =-+，得M 的坐标，再利用导数求切线的斜率，即可得到答案；（2）先求出面积的表达式为31444OND S t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，再利用导数求函数的最大值，即可得到答案； 解：解：（1）把23t =代入函数22y x =-+，得214,39M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2y x '=-，∴43k =-， ∴直线方程为42239y x =-+；（2）由（1）知，直线的方程为222y tx t =-++，令0y =，122x t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令0x =，22y t =+， ∴1222t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，223t +≤. ∴221t ≤≤， ∴()231121424224OND S t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，令()31444g t t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴()()()2222324t t g t t+-'=当t =()0g t '=，当2t ⎛∈- ⎝⎭时，()0g t '<，当3t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，()39g t g ⎛≥= ⎝⎭，所以所求面积的最大值为69-. 点评：本题考查函数模型解决面积问题、导数几何意义的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称x 为函数()y f x =的极值点.已知函数()()3ln 1f x ax x x a R =+-∈. （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.答案：（1）极小值31e --；（2）22,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. (1)求出()()3ln 1f x x '=+，令()0f x '=求出方程的解，从而探究()(),f x f x '随x 的变化情况，即可求出极值.(2)求出()()23ln 1f x ax x '=++，令()2ln 1g x ax x =++，分0a >，0a =，0a <三种情况进行讨论，结合零点存在定理求出实数a 的取值范围. 解：解：（1）当0a =时，()3ln 1f x x x =-的定义域为()0,∞+，()()3ln 33ln 1f x x x '=+=+，令()0f x '=，解得1x =，则()(),f x f x '随x 的变化如下表，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数；故()f x 在1x e=时取得极小值131f e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）函数()33ln 1f x ax x x =+-的定义域为()0,∞+，()()23ln 1f x ax x '=++，令()2ln 1g x ax x =++，则()21212ax g x ax x x+'=+=，当0a >时，()0g x '>在()0,∞+恒成立，故()f x '在()0,∞+上是增函数，而2211113ln 130f a a e e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故当1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增，故()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上没有极值点；当0a =时，由（1）知，()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上没有极值点；当0a <时，令2210ax x+=，解得x =或；故()2ln 1g x ax x =++在⎛ ⎝上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数， ①当()10g e g e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即220a e-<<时， ()g x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭得20a e=，不符合题意；③令()0g e =得22a e =-1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而1ln 0222e e g g ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，又10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()g x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数a 的取值范围是22,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 点评：本题考查了极值的求解，考查了已知极值点的范围求解参数.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对一切正整数n 都有212n n S n a =+. （1）求证：()*142n n a a n n N ++=+∈；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在实数a，使不等式21211111...1n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对一切正整数n 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：（1）证明见解析；（2）()*2n a n n N=∈；（3）存在；a的取值范围是()3,2⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）由题得()2*12n n S n a n N =+∈①，()()211112n n S n a n N ++=++∈②，②－①即得142n n a a n ++=+； （2）由题得24n n a a +-=.()*n N ∈，再对n 分奇数和偶数两种情况讨论，求出数列{}n a 的通项公式；（3）令()1211111...1n f n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*n N ∈，判断函数的单调性，求出其最大值，解不等式322a a<-即得解. 解：（1）证明：∵()2*12n n S n a n N =+∈①， ∴()()211112n n S n a n N ++=++∈② 由②－①得()()22*11111111212222n n n n n n S S n a n a n a a n N +++⎡⎤⎛⎫-=++-+=++-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，∴()*142n n a a n n N++=+∈.（2）∵()*142n n a a n n N++=+∈③∴()2146n n a a n n N +++=+∈，④ ④－③，得24n na a +-=.()*n N ∈从而数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，且首项为12a =，公差为4； 数列{}n a 的偶数项也依次成等差数列，且首项为2a ，公差为4. 在①中令1n =得211112S a =+，又∵11S a =，∴1111122a a a =+⇒=. 在③中令1n =得2242a +=+，∴24a =. ∴当()*21n k k N =-∈时，12n k +=，()21141422nk a a a k k n -==+-=-=；∴当2n k =()*k N∈时，2nk =，()224142n k a a a k k n ==+-==； 综上所述，()*2n a n n N=∈.（3）令()1211111...1n f n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*n N ∈，则()0f n > 且()()1121111n f n n f n a +++⎛⎫=-==< ⎪⎝⎭ ∴()()1f n f n +<， ∴()f n 单调递减， ∴()()max []1f n f ==.∴不等式21211111...1n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对一切正整数n 都成立等价于()32f n a a<-对一切正整数n 都成立， 等价于()max f n a <-⎡⎤⎣⎦32a a <-.0<，即(20a a a->，解之得a >02a -<<. 综上所述，存在实数a 的适合题意，a的取值范围是()3,2⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查数列通项的求法，考查数列的单调性的判定和最值的求法，考查数列不等式的恒成立问题的求解，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期模拟考试数学试题解析版

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2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期模拟考试数学试题一、填空题1．已知全集2,1,0,1,{}2U ＝﹣﹣，集合2,,}1,{1A ＝﹣﹣则UA ＝_____．【答案】{}0,2【解析】根据补集的定义求解即可. 【详解】解：2,1,0,1,2{}{,2,1,1,}U A ＝﹣﹣＝﹣﹣ {}0,2U A ∴＝．故答案为{}0,2． 【点睛】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.2．已知复数()()1z i a i =⋅+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为_____． 【答案】1﹣【解析】利用复数的乘法求解z 再根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】解：复数()()()111z i a i a a i ⋅+++＝﹣＝﹣为纯虚数, 10,10,a a ∴+≠＝﹣解得1a =﹣． 故答案为：1﹣． 【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题. 3．数据1,3,5,7,9的标准差为_____．【答案】【解析】先计算平均数再求解方差与标准差即可. 【详解】解：样本的平均数1357955x ++++==,∴这组数据的方差是()()()()()222222115355575955S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦ 28,S ∴＝标准差22S ＝, 故答案为：22 【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题. 4．函数()12x f x =-的定义域是__________． 【答案】(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.5．在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的32m 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____． 【答案】14π【解析】求解32m 占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可. 【详解】解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率221224ππ==⨯⨯．故答案为：14π． 【点睛】本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.6．如图是一个算法伪代码，则输出的i 的值为_______________.【答案】5【解析】执行循环结构流程图，即得结果. 【详解】执行循环结构流程图得9123410S =----=-<,结束循环，输出415i =+=. 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．【答案】3x ±＝ 【解析】代入()3,4求解得b ,再求准线方程即可. 【详解】解：双曲线()22210y x b b-=>经过点()3,4,221631b∴=﹣,解得22b ＝,即b ．又1,a ∴＝c ==故该双曲线的准线方程为：3x ±＝ ．故答案为：3x ±＝． 【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.8．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，396,,S S S 成等差数列，则258a a a +的值为_____． 【答案】2【解析】设等比数列{}n a 的公比设为,q 再根据396,,S S S 成等差数列利用基本量法求解,q 再根据等比数列各项间的关系求解258a a a +即可. 【详解】解：等比数列{}n a 的公比设为,q396,,S S S 成等差数列,可得9362,S S S +＝若1,q ＝则1111836,a a a +＝ 显然不成立,故1,q ≠则()()()9361111112111a q a q a q qqq---⋅=+---,化为6321,q q +＝解得312q ＝﹣,则43251176811112214a a a q a q qa a q q -+++====故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是______.（写出所有正确命题的序号） ①因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠⎪⎝⎭，所以23π不是函数sin y x =的周期； ②对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③“M N >”是“22log log M N >”成立的充分必要条件； ④若实数a 满足24a <，则2a ≤. 【答案】①②④.【解析】由周期函数的定义判断①；由偶函数的概念判断②；由充分必要条件的判定判断③；求解一元二次不等式判断④. 【详解】 因为当3x π=时，2sin sin 3x x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以由周期函数的定义知23π不是函数sin y x =的周期，故①正确；对于定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，由偶函数的定义知函数()f x 不是偶函数，故②正确；由M N >，不一定有22log log M N >，反之成立，则“M N >”是“22log log M N >”成立的必要不充分条件，故③错误；若实数a 满足24a <，则22a -≤≤，所以2a ≤成立，故④正确. ∴正确命题的序号是①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题. 10．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．【答案】43【解析】画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可. 【详解】解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为2的正方形,上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,∴此四棱锥S ABCD ﹣中,ABCD 是边长为2的正方形,SAD 是边长为2的等边三角形,故CD AD ⊥,又CD SD ⊥,AD SD D ⋂= 故平面SAD ⊥平面ABCD ,∴SAD 的高SE 是四棱锥S ABCD ﹣的高, ∴此四棱锥的体积为:112233ABCD V S SE ⨯=⨯⨯=正方形＝故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意11．在平面直角坐标系xOy 中，若函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线与圆22210C x x y a ++：﹣﹣＝存在公共点，则实数a 的取值范围为_____．【答案】(][)0,12,+∞【解析】利用导数的几何意义可求得函数()f x lnx ax ＝﹣在1x ＝处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可. 【详解】解：由条件得到()1'f x a x=- 又()()1,'11f a f a =-=-所以函数在1x ＝处的切线为()()()1111y a x a a x ＝﹣﹣-＝﹣﹣, 即()110a x y ﹣﹣﹣＝ 圆C 方程整理可得：()221x y a -+= 即有圆心()1,0C 且0a ＞ 所以圆心到直线的距离d ==≤,≤解得2a ≥或01≤＜a , 故答案为：(][)0,12,+∞．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.12．已知函数()32,f x ax bx cx ++＝若关于x 的不等式()0f x ＜的解集是()(),10,2∞⋃﹣﹣，则b ca+的值为_____． 【答案】3-【解析】根据题意可知20ax bx c ++＝的两根为1,2-,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解b ca+即可. 【详解】解：因为函数()()322f x ax bx cx x ax bx c =++=++,关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),10,2-∞-⋃20ax bx c ∴++＝的两根为：1﹣和2；所以有：()12ba +﹣=-且()12c a⨯﹣=； b a ∴＝﹣且2c a ＝﹣；23b c a aa a+--∴==-； 故答案为：3﹣ 【点睛】本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.13．在边长为4的菱形ABCD 中，60,A ︒＝点P 在菱形ABCD 所在的平面内．若3,PA PC ＝PB PD ⋅=_____．【答案】1-【解析】以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设(),P x y ,根据3,PA PC ＝P 的坐标,进而求得PB PD ⋅即可.【详解】解：连接,,AC BD 设,AC BD 交于点,O 以点O 为原点, 分别以直线,OC OD 为,x y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则：()23,23()0202()(),A C B D --，，,，,， 设(),P x y321,PA PC ==,((2222392321x y x y ⎧++=⎪∴⎨⎪-+=⎩①﹣②得,312,x =-解得3x =, 32y ∴=±, 332P ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭或332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,显然得出的PB PD ⋅是定值,∴取332P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则3731,,,2222PB PD ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 37144PB PD ∴⋅=-=-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.14．设函数()21722,04,k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，()43g x k x ⎛⎫⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】17[3,6] 【解析】根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x 使得()()f x g x <数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】解：函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩,且0,k ＞ 画出()f x 的图象如下：因为()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,且存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <, 故()g x 与()f x 在0x <时无交点,174k k +∴≥,得173k ≥； 又()43g x k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()g x ∴过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭又由图像可知,若存在唯一的整数x 使得()()f x g x <时43x >,所以2x ≥ ()()58533939g k f ≥≥=＝,∴存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <所以()()22243g k f =≤=6k ⇒≤ ()()844163g k f ∴≤=＝6k ⇒≤.根据图像可知,当4x ≥时, ()()f x g x >恒成立.综上所述, 存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <,此时1763k ≤≤ 故答案为：17[3,6] 【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭右边的整数点中3x =为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x =时的不等式求k 的范围.属于难题.二、解答题15．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线,AC BD 交于点,O M 为棱PD 的中点，MA MC =．求证：（1）//PB 平面AMC ； （2）平面PBD ⊥平面AMC ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】(1) 连结,OM 根据中位线的性质证明//PB OM 即可. (2) 证明AC BD ⊥,AC PD ⊥再证明AC ⊥平面PBD 即可.【详解】解：()1证明：连结,OMO 是菱形ABCD 对角线AC BD 、的交点,O ∴为BD 的中点, M 是棱PD 的中点, //,OM PB ∴OM ⊂平面,AMC PB ⊄平面,AMC//PB ∴平面,AMC()2解：在菱形ABCD 中,,AC BD ⊥且O 为AC 的中点,,MA MC ＝AC OM ∴⊥, OM BD O ⋂＝, AC ∴⊥平面,PBD AC ⊂平面AMC ,∴平面PBD ⊥平面AMC ．【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.16．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知tan ,tan ,tan A B C 成等差数列，cos cos ,cos A C B 成等比数列． （1）求A 的值；（2）若ABC 的面积为1,求c 的值． 【答案】（1）4A π＝；（2）3c ＝【解析】(1)根据,,tanA tanB tanC 成等差数列与三角形内角和可知()tanC tan A B =-+,再利用两角和的正切公式,代入2,tanB tanA tanC +＝化简可得22tan tan tan 3A B A -=,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得2tanAtanB ＝,联立即可求解求A 的值.(2)由(1)可知2,tan 3tanB C =＝,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得b ,再结合ABC 的面积为1,利用面积公式求解即可. 【详解】解：()1,,tanA tanB tanC 成等差数列, 可得2,tanB tanA tanC +＝ 而()1tanA tanB tanC tan A B tanAtanB +=-+-＝,即tan tan 2tan tan tan tan 1A BB A A B +-=-,展开化简得222tan tan 2tan tan tan tan A B B A B B --=,因为tan 0B ≠,故 22tan tan tan 3A B A -=①又cosA cosB 成等比数列,可得()cosAcosB cosC cos A B sinAsinB cosAcosB +＝＝-＝-, 即2sinAsinB cosAcosB ＝, 可得2,tanAtanB ＝②联立①②解得1tanA ＝（负的舍去）, 可得锐角4A π＝；()2由()1可得2,3tanB tanC ＝＝,由sin 2cos BtanB B ＝＝22,1,sin B cos B B +＝为锐角,解得5sinB ＝,因为sin 3cos C tanC C =＝22,1,sin C cos C C +＝为锐角,故可得sinC ,由正弦定理可得sin2253sin10c Bb c cC==＝,又ABC的面积为1,可得21122212232bcsinA c⋅⋅=＝,解得3c＝．【点睛】本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且300AB=米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为502米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设2AOPθ∠=．（1）用θ表示线段,PQ并确定sin2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．【答案】（1）502300sincosPQθθ-＝2sin21θ<≤；（2）6.【解析】(1)过点Q作QH AB⊥于点,H再在AOP中利用正弦定理求解AP,再根据sin2QHAQπθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝求解AQ,进而求得PQ.再根据0PQ>确定sin2θ的范围即可.(2)根据(1)有150232cosPQ sinθθ⎫=-⎪⎭,再设()132cosf sinθθθ=-,求导分析函数的单调性与最值即可. 【详解】 解：()1过点Q 作QH AB ⊥于点,H 则502QH ＝在AOP 中,150,2OA OP AOP θ∠＝＝＝,2OAP πθ∴∠-＝, 由正弦定理得：sin 2sin 2OP APπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,300AP sin θ∴＝,502cos sin 2QH AQ πθθ∴=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝, 502==300cos PQ AP AQ sin θθ∴--, 5023000cos PQ sin θθ->＝,因为cos 0θ>, 化简得2sin 213θ<≤ ()2502130050232cos PQ sin sin θθθ⎫=-⎪⎭＝, 令()132cos fθθθ=-2sin 21θ<≤,且2(0,)θπ∈, ()22sin tan '32cos 32cos cos f θθθθθθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222sin cos tancoscosθθθθθ⎛⎫+⎪=⎪⎝⎭()()23cos tan1tan cos tan tanθθθθθθ⎡⎤=+=-⎣⎦因为(0,)2πθ∈,故cos0θ>令'()0,fθ＝即3tan tan0θθ+-=,230(,)tan tanθθθ∴+=记000,2tanθθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当00θθ＜＜时,()()'0,f fθθ>单调递增；当02πθθ＜＜时,()()'0,f fθθ<单调递减,又233sinθ=>,∴当tanθ时,()fθ取最大值,此时33sin cosθθ,1c osPQθθ⎫=-=⎪⎭PQ∴的最大值为【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点,O焦点在x轴上，右顶点()2,0A到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为12．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若,M N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设()4,0P-，连接PM交椭圆C 于另一点E．求证：直线NE过定点,B并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于,S T两点，求OS OT⋅的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明详见解析，()1,0B -；（3）54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)根据题意列出关于,,a b c 的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,再设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立直线与椭圆的方程, 进而求得NE 的方程,并代入11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝化简分析即可.(3)先分析过点B 的直线ST 斜率不存在时OS OT ⋅的值,再分析存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x +＝,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入3434OS OT x x y y ⋅=+求解出关于k 的解析式,再求解范围即可. 【详解】解：()1设椭圆C 的标准方程()222210,x y a b a b+=>>焦距为2c ,由题意得,2,a ＝由212a c c a a a c-==-,可得1,c ＝则2223b a c ＝﹣＝,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；()2证明：根据对称性,直线NE 过的定点B 一定在x 轴上,由题意可知直线PM 的斜率存在, 设直线PM 的方程为(4)y k x +＝,联立22(4)143y k x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y 得到()2222433264120k x k x k +++﹣＝, 设点1122(,),(,)M x y E x y ,则11(,)N x y ﹣． 所以22121222326412,4343k k x x x x k k -+=-=++,所以NE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--,令0,y ＝得()221221y x x x x y y -==+,将11(4)y k x +＝,22(4)y k x +＝代入上式并整理,()121212248x x x x x x x ++=++,整理得()()2222128241281322432k k x k k --==--++,所以,直线NE 与x 轴相交于定点(1,0)B -．()3当过点B 的直线ST 的斜率不存在时,直线ST 的方程为1x =-331,1,22S T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,, 此时54OS OT ⋅=-, 当过点B 的直线ST 斜率存在时,设直线ST 的方程为(1)y m x =+,且3344(,),(,)S x y T x y 在椭圆C 上,联立方程组22(1)143y m x x y +⎧⎪⎨+=⎪⎩＝,消去y ,整理得22224384120m x m x m +++（）﹣＝, 则()()()()22222844341214410mmm m ++＝﹣﹣＝＞．所以223434228412,,4343m m x x x x m m -+=-=++ 所以()()()222343434324439111m y y m x x m x x x m x =++=++=-++, 所以()2342342451253344343m OS OT x x y m m y +⋅=+=-=-++-, 由20,m ≥得54,4OS OT ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭,综上可得,OS OT ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.19．已知函数()212ax f x bx+＝，其中0,0a b >>．（1）①求函数()f x 的单调区间； ②若12,x x 满足)1,2i x i =>，且1220,0x x x >+>．求证：()()122f x f x b>+ ． （2）函数()2ln 12g x ax x -＝．若12,x x ⎛∈ ⎝对任意，12,x x ≠都有()()()()1212||||f x f x g x g x ->-，求b a -的最大值．【答案】（1）①单调递增区间⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎭，单调递减区间⎛ ⎝；②详见解析；（2）116. 【解析】(1)①求导可得()221,02ax f x x bx-'=≠,再分别求解()0f x '>与()0f x '<的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.②根据(1)中的结论,求出()()122f x f x +的表达式,再分10x ＜与1>0x 两种情况,结合函数的单调性分析()()122f x f x +的范围即可.(2)求导分析()2ln 12g x ax x -＝的单调性,再结合()f x 单调性,设12,x x <去绝对值化简可得()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,再构造函数()()()M x f x g x ＝﹣,x⎛∈ ⎝,根据函数的单调性与恒成立问题可知10≥,再换元表达b a -求解最大值即可. 【详解】解：()()2211,02ax f x x bx -'=≠,由()0f x '>可得x>或x <由()0f x '<可得x<<故函数的单调递增区间⎛-∞ ⎝,⎫+∞⎪⎭,单调递减区间⎛ ⎝；1220,0x x x +②＞＞,10x ∴＞或10x ＜,若10x ＞,因为i x ,故1x ＞2x由①知f x （）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()1223f x f x f b b +=>＞, 若10,x ＜由1x 可得1x <x 1, 因为1220,0x x x +＞＞, 所以21x x ＞﹣, 由f x ①（）在⎫+∞⎪⎭上单调递增,()()()()()1211122f x f x f x f x f x ++-->＞=综上()()122f x f x +． ()20x＜时,()2110axg x ax x x -'=-=<,g x （）在⎛ ⎝上单调递减,不妨设12,x x ＜ 由(1)()f x 在⎛ ⎝上单调递减,由()()()()1212f x f x g x g x ->-, 可得()()()()1212f x f x g x g x ->-, 所以()()()()11220[]f x g x f x g x ---＞,令()()()M x f x g x ＝﹣,x ⎛∈ ⎝, 可得M x （）单调递减, 所以()()()222211211022ax bx ax M x ax bx x bx---'=-+=≤在⎛ ⎝上恒成立, 即120bx ≥﹣在⎛ ⎝上恒成立,即10≥,所以b ≤,2111241616b a a ⎫≤-=-+≤⎪⎭﹣ ,所以b a ﹣的最大值116． 【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.20．已知{}{}{},,n n n a b c 都是各项不为零的数列，且满足1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为()0d d ≠的等差数列．（1）若数列{}n a 是常数列，2d =，23c =，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n a n λ=λ（是不为零的常数），求证：数列{}n b 是等差数列； （3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），()2,*n n k b c n n N +≥∈=．求证：对任意112,*,n n n n b b n n N a a ++≥∈>的恒成立． 【答案】（1）43n b n -＝；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】(1)根据2d =,23c =可求得n c ,再根据{}n a 是常数列代入1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈根据通项与前n 项和的关系求解{}n b 即可.(2)取1n =,并结合通项与前n 项和的关系可求得11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝再根据1n n n a S S -=-化简可得1n n n S d nc nb λλ+﹣＝,代入()112n n n S λ--=化简即可知()1332n n b n b d --=≥,再证明2132b b d -=也成立即可. (3)由(2) 当2n ≥时,11()n nn n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,代入所给的条件化简可得1,n n S ka ﹣＝()11n n n n S S a k a ++﹣＝＝,进而证明可得11n n k a a k-+=,即数列{}n a 是等比数列.继而求得21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,再根据作商法证明11n n n n b b a a ++>即可. 【详解】()1解：22,3,d c ＝＝21n c n ∴＝﹣．{}n a 是各项不为零的常数列,12,n a a a ∴⋯＝＝＝则1n S na ＝,则由1122n n n n c S a b a b a b ++⋯+＝,及21,n c n＝﹣得()1221n n n b b b ++⋯+﹣＝, 当2n ≥时,()()121123n n n b b b ++⋯+﹣﹣﹣＝,两式作差,可得43n b n＝﹣． 当1n ＝时,11b ＝满足上式,则43n b n＝﹣； ()2证明：1122n n n n a b a b a b c S ++⋯+＝,当2n ≥时,11221111n n n n a b a b a b c S ++⋯+﹣﹣﹣﹣＝,两式相减得：11,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝ 即()()11111,n n n n n n n n n n n n n n S a c S c a b S c c a c a b ++﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝﹣＝．即1n n n S d nc nb λλ+﹣＝．又()112n n n S λ--=,()12n n n n d nc nb λλλ-∴+=,即12n n n d c b -+=． ∴当3n ≥时,1122n n n d c b ---+=,两式相减得：()1332n n b n b d --=≥．∴数列{}n b 从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当1n ＝时,由1111,S c a b ＝得11c b ＝,当2n ＝时,由22112113222b d c d c d b d -=+=++=+,得2132b b d -=． 故数列{}n b 是公差为32d 的等差数列；()3证明：由()2,当2n ≥时,()11n n n n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,即()1n n nn S d a b c ﹣＝﹣, n n k b c +＝,n n b c kd ∴+＝,即n n b c kd ﹣＝, 1•,n n S d a kd ∴﹣＝即1n n S ka ﹣＝． ()11n n n n S S a k a ∴++﹣＝＝,当3n ≥时,()111,n n n S k a ka +﹣﹣＝＝即11n n k a a k-+=． 故从第二项起数列{}n a 是等比数列,∴当2n ≥时,221n n k a a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．()()()22111n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +++-+=+-+=+＝＝＝．另外,由已知条件可得()1221122a a c a b a b ++＝, 又()2122,,2c k b k b k k +＝＝＝,21a ∴＝,因而21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令nn nb d a =, 则()()()()()11111111101n n n n n n n k k n k d b a nd a k k b n +++-=++-=-=-+++<+． 故对任意的2,*,n n N ≥∈11n n n n b b a a ++>恒成立． 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前n 项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.21．已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值24λ=的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.求矩阵A .【答案】2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A 【详解】由特征值、特征向量定义可知，111A αλα=，即11111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得1,1.a b c d -=-⎧⎨-=⎩同理可得3212,328.a b c d +=⎧⎨+=⎩解得2a =，3b =，2c =，1d =.因此矩阵2321A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos {sin x y αα== （α为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】（1）2214x y +=，4x y +=（2）max 2d = 【解析】【详解】试题分析：利用cos ,sin x y ρθρθ==将极坐标方程化为直角坐标方程：cos()4πρθ-=ρcosθ＋ρsinθ＝4，即为x ＋y ＝4．再利用点到直线距离公式得：设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤试题解析：解：cos()4πρθ-=化简为ρcosθ＋ρsinθ＝4，则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4．设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离2d =≤，d max ＝2． 【考点】极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式 23．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值.【答案】1【解析】试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++试题解析：因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=， 所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++⎪+++⎝⎭33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ≥⋅+++=+++，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===．【考点】柯西不等式24．如图，在正四棱锥P ABCD ﹣中，底面正方形的对角线,AC BD 交于点O 且12OP AB ＝．（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角B PD C --的大小． 【答案】（16（2）60︒. 【解析】(1) 以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为2,再求解BP 与平面PCD 的法向量,继而求得直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值即可.(2)分别求解平面BPD 与平面PDC 的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可. 【详解】解：()1在正四棱锥P ABCD ﹣中,底面正方形的对角线,AC BD 交于点,O 所以OP ⊥平面,ABCD 取AB 的中点,E BC 的中点,F 所以,,OP OE OF 两两垂直,故以点O 为坐标原点,以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2, 因为1,2OP AB ＝所以1,OP ＝所以()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1B C D P ﹣﹣﹣, 所以()1,1,1BP ＝﹣﹣,设平面PCD 的法向量是(),,n x y z =,因为()0,2,0CD =-,()1,1,1CP =﹣, 所以20CD n y ⋅=-＝,0CP n x y z ⋅+＝﹣＝,取1,x ＝则0,1y z ＝＝﹣, 所以()1,0,1n =- 所以6,BP n cos BP n BP n⋅=＜＞＝所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为63． ()2设平面BPD 的法向量是(),,n x y z =,因为()1,1,1BP ＝﹣﹣,()-2,-2,1BD =,所以0,BP n x y z ⋅+＝﹣﹣＝220BD n x y ⋅＝﹣﹣＝,取1,x ＝则1,0,y z ＝﹣＝ 所以()1,1,0n =-,由()1知平面PCD 的法向量是()1,0,1n =-,所以12m ncos m n m n ⋅＜,＞＝＝ 所以,60m n ︒＜＞＝,所以锐二面角B PD C ﹣﹣的大小为60︒． 【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.25．定义：若数列{}n a 满足所有的项均由1,1﹣构成且其中1﹣有m 个，1有p 个()3m p +≥，则称{}n a 为“(),m p ﹣数列”．（1）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项，则使得1i j k a a a ＝的取法有多少种？（2）(),,i j k a a a i j k ＜＜为“(),m p ﹣数列”{}n a 中的任意三项，则存在多少正整数(),m p 对使得1100,m p ≤≤≤且1i j k a a a =的概率为12. 【答案】（1）16；（2）115.【解析】(1)易得使得1i j k a a a ＝的情况只有“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种,“1,1,1”共有3P C 种.再根据古典概型的方法可知213312m p pm pC C C C ++=,利用组合数的计算公式可得()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝,当p m =时根据题意有()(),,,2,3,4,{},100m p k k k ∈⋯=,共99个；当2232320p p mp mm +﹣﹣﹣﹣＝时求得()232m p +＝,再根据1100,m p ≤≤≤换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【详解】解：（1）三个数乘积为1有两种情况：“1,1,1﹣﹣”,“1,1,1”, 其中“1,1,1﹣﹣”共有：213412C C ＝种, “1,1,1”共有：344C =种,利用分类计数原理得：(),,i j k a a a i j k ＜＜为“()3,4﹣数列”{}n a 中的任意三项,则使得1i j k a a a ＝的取法有：12416+＝种．（2）与(1)同理,“1,1,1﹣﹣”共有21m p C C 种, “1,1,1”共有3P C 种,而在“(),m p ﹣数列”中任取三项共有3m p C +种,根据古典概型有：213312m p pm pC C C C ++=, 再根据组合数的计算公式能得到：()()2232320pm p p mp m m +﹣﹣﹣﹣﹣＝, p m ①＝时,应满足11003m p m p p m ≤≤≤⎧⎪+≥⎨⎪=⎩,()(),,,2,3,{,}4,100m p k k k ∴∈⋯=,共99个,2232320p p mp m m +②﹣﹣﹣﹣＝时,应满足221100332320m p m p p p mp m m <≤<⎧⎪+≥⎨⎪--+--=⎩,视m 为常数,可解得()232m p +±＝,1,m ≥5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,1m ≥,5≥,根据p m ≥可知,()232m p ++＝,（否则1p m≤﹣）,下设k则由于p 为正整数知k 必为正整数,1100m ≤≤, 549k ∴≤≤,化简上式关系式可以知道：()()21112424k k k m -+-=＝, 1,1k k ∴+﹣均为偶数, ∴设()*21,k t t N +∈＝,则224,t ≤≤()211246t t k m +-∴=＝, 由于,1t t +中必存在偶数,∴只需,1t t +中存在数为3的倍数即可,2,3,5,6,8,9,11,,23,24t ∴⋯＝, 5,11,13,,47,49k ∴⋯＝．检验：()()()23114850100,22424m k k p ++-++=≤＝＝ 符合题意,∴共有16个,综上所述：共有115个数对(),m p 符合题意． 【点睛】本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意。

江苏省南通市2020届高三5月二模试题数学试题(解析版)

江苏省南通市2020届高三5月二模试题数学试题(解析版)

江苏省南通市2020届高三5月二模试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.记复数z ＝a +bi （i 为虚数单位）的共轭复数为()z a bi a b R =-∈，，已知z ＝2+i ，则2z =_____． 【答案】3﹣4i 【解析】 【分析】计算得到z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，再计算2z 得到答案. 【详解】∵z ＝2+i ，∴z 2＝（2+i ）2＝3+4i ，则234z i =-． 故答案为：3﹣4i ．【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力. 2.已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A∪B)＝________. 【答案】{5} 【解析】易得A∪B ＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A∪B)＝{5}．3.某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____． 【答案】30 【解析】 【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】分层抽样的抽取比例为801160020=，∴抽取学生的人数为600120⨯=30． 故答案为：30．【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.4.角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin （π﹣α）的值是_____．【答案】255【解析】 【分析】 计算sinα25y r ==，再利用诱导公式计算得到答案. 【详解】由题意可得x ＝1，y ＝2，r 5=sinα25y r ==，∴sin （π﹣α）＝sinα25= 25． 【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力. 5.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____． 【答案】28 【解析】 【分析】根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 4+2 第二圈 是 7 4+2+8 第三圈 是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28．【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6.设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ∥n ，则m ∥α；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β； 其中正确命题的序号为_____． 【答案】④ 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误； 对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误； 对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确； 综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④．【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.7.已知函数f(x)＝322{102x xx x ≥，，（－），＜＜，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由图可知，当直线y ＝kx 在直线OA 与x 轴(不含它们)之间时，y ＝kx 与y ＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．8.已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为_____． 【答案】-2 【解析】 【分析】讨论0,0,0a a a <=>三种情况，a ＜0时,根据均值不等式得到a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣2=-4，计算等号成立的条件得到答案. 【详解】已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0， ①a ＜0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＜0，其中a 4a+＜0， 故解集为（a 4a+，4），由于a 4a +=-（﹣a 4a-）≤﹣=-4， 当且仅当﹣a 4a=-，即a ＝﹣2时取等号， ∴a 4a +的最大值为﹣4，当且仅当a 4a+=-4时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为﹣2；②a ＝0时，﹣4（x ﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a ＝0不符合条件；③a ＞0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＞0，其中a 4a+≥4， ∴故解集为（﹣∞，4）∪（a 4a+，+∞），整数解有无穷多，故a ＞0不符合条件；综上所述，a ＝﹣2． 故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为10F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、20F ⎫⎪⎪⎝⎭，点P 是第一象限内双曲线上的点，且1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2，则双曲线的离心率为_____．【解析】 【分析】 根据正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，根据余弦定理得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，联立方程得到1233PF PF ==，计算得到答案.【详解】∵△PF 1F 2中，sin ∠PF 1F 2═5sin ∠PF 1F 2═5，∴由正弦定理得1212122PF sin PF F PF sin PF F ∠==∠，①又∵1212tan PF F ∠=，tan ∠PF 2F 1＝﹣2， ∴tan ∠F 1PF 2＝﹣tan （∠PF 2F 1+∠PF 1F 2）123214122-=-=+⨯，可得cos ∠F 1PF 245=， △PF 1F 2中用余弦定理，得2212PF PF +-2PF 1•PF 2cos ∠F 1PF 2212F F ==3，②①②联解，得12PF PF ==12PF PF -=∴双曲线的2a =，结合2c =，得离心率22c e a ==.. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10.记S k ＝1k +2k +3k +……+n k ，当k ＝1，2，3，……时，观察下列等式：S 112=n 212+n ，S 213=n 312+n 216+n ，S 314=n 412+n 314+n 2，……S 5＝An 612+n 5512+n 4+Bn 2，…可以推测，A ﹣B ＝_____． 【答案】14【解析】 【分析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案. 【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数，∴A 16=，A 15212B +++=1，解得B 112=-，所以A ﹣B 1116124=+=． 故答案为：14．【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11.设函数()f x x x a =-，若对于任意的1x ，2x ∈[2，)+∞，1x ≠2x ，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】2a ≤试题分析：由题意得函数()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增，当2a ≤时()()f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增；当2a >时()f x x x a =-在[,)a +∞上单调递增；在[2,)a 上单调递减，因此实数a 的取值范围是2a ≤考点：函数单调性12.已知平面向量a r ，b r ，c r 满足|a r |＝1，|b r |＝2，a r ，b r 的夹角等于3π，且（a c -r r）•（b c -r r ）＝0，则|c r|的取值范围是_____．【答案】⎣⎦【解析】 【分析】计算得到|a b +r r |=2c =r |c r |cosα﹣1，解得cosα2=r ，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（a c -r r）•（b c -rr ）＝0 可得 2c =r （a b +rr）•c a b -⋅=r r |a b +rr|•|c r|cosα﹣1×2cos3π=|a b +r r |•|c r |cosα﹣1，α为a b +r r 与cr 的夹角．再由 ()222a ba b +=++r r r r 2a r •b =r 1+4+2×1×2cos 3π=7 可得|a b +r r |=∴2c =rc r |cosα﹣1，解得cosα2=r ．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cos α≤12≤r 1，即2c r c r |+1≤0，解得≤|c r |≤故答案为22⎣⎦，． 【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.13.在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()22211x y a a+=＞上，其中A （0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为_____． 【答案】3【分析】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k =-x +1，（k ≠0），联立方程得到B （22221a ka k -+，222211a k a k -+），故S 442221211a k ka a k k +=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，令t 1k k =+，得S 42222(1)a a a t t=-+，利用均值不等式得到答案. 【详解】设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k=-x +1，（k ≠0） 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2kx ＝0，所以x ＝0或x 22221a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k •22221a k a k -++1），即B （22221a k a k -+，222211a k a k-+）， 因此AB 222222222221(0)(1)111a k a k k a k a k --=-+-=+++22221a k a k+， 同理可得：AC 211k =+•22221a kak+.∴Rt △ABC 的面积为S 12=AB •AC 2212k k=++44422422221221111a k a ka a k a a k k k +=⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令t 1k k =+，得S ()4422422222(1)12a t a a a a t a tt==-++-+. ∵t 1k k =+≥2，∴S △ABC442222(1)(1)2a a a a a t t≤=--⨯.2t t =t 21a a-=时，△ABC 的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =-.解之得a ＝3或a 329716+=. ∵a 3297+=时，t 21a a -=＜2不符合题意，∴a ＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.14.设f （x ）＝e tx （t ＞0），过点P （t ，0）且平行于y 轴的直线与曲线C ：y ＝f （x ）的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1，f （1）），则△PRS 的面积的最小值是_____． 【答案】2e【解析】 【分析】计算R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t =，△PRS 的面积为S 2te t=，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，根据函数的单调性得到最值.【详解】∵PQ ∥y 轴，P （t ，0），∴Q （t ，f （t ））即Q （t ，2t e ），又f （x ）＝e tx （t ＞0）的导数f ′（x ）＝t e tx ，∴过Q 的切线斜率k ＝t 2t e ，设R （r ，0），则k 220t t e te t r-==-，∴r ＝t 1t -，即R （t 1t -，0），PR ＝t ﹣（t 1t -）1t=，又S （1，f （1））即S （1，e t ），∴△PRS 的面积为S 2t et=，导数S ′()212t e t t-=，由S ′＝0得t ＝1，当t ＞1时，S ′＞0，当0＜t ＜1时，S ′＜0，∴t ＝1为极小值点，也为最小值点，∴△PRS 的面积的最小值为2e ． 故答案为：2e ． 【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.【答案】（1）sin B =（2）13c = 【解析】 【分析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a A b B=得到 a =13c =．【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以4cos 5A == ，又()1tan 3A B -= ，所以02A B π<-< ，且()()sinA B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455=-=(2)因为sin sin a A b B ==，且5b = ，所以a =， 又()cos cos cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+= ，则2222cos 952525169c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝ ，所以13c= .16.如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．（1）求证：VA∥平面BDE；（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连结OE，证明VA∥OE得到答案.（2）证明VO⊥BD，BD⊥AC，得到BD⊥平面VAC，得到证明.【详解】（1）连结OE．因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，又因为E是棱VC的中点，所以VA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，VA⊄平面BDE，所以VA∥平面BDE；（2）因为VO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以VO⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.17.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝25．（2）（512+∞，）．（3）存在，34a=【解析】分析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到42955m-=，计算得到答案.（2）把直线ax ﹣y +5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a ﹣1）2﹣4（a 2+1）＞0得到答案. （3）l 的方程为()124y x a=-++，即x +ay +2﹣4a ＝0，过点M （1，0），计算得到答案. 【详解】（1）设圆心为M （m ，0）（m ∈Z ）．由于圆与直线4x +3y ﹣29＝0相切，且半径为5， 所以42955m -=，即|4m ﹣29|＝25．因为m 为整数，故m ＝1．故所求圆的方程为（x ﹣1）2+y 2＝25．（2）把直线ax ﹣y +5＝0，即y ＝ax +5，代入圆的方程，消去y ， 整理得（a 2+1）x 2+2（5a ﹣1）x +1＝0，由于直线ax ﹣y +5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4（5a ﹣1）2﹣4（a 2+1）＞0，即12a 2﹣5a ＞0，由于a ＞0，解得a 512＞，所以实数a 的取值范围是（512+∞，）． （3）设符合条件的实数a 存在，则直线l 的斜率为1a-， l 的方程为()124y x a=-++，即x +ay +2﹣4a ＝0， 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M （1，0）必在l 上， 所以1+0+2﹣4a ＝0，解得34a =．由于35412⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故存在实数34a = 使得过点P （﹣2，4）的直线l 垂直平分弦AB .【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝60°． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为∠APB ＝α，∠DPC ＝β，问点P 在何处时，α+β最小？【答案】（1）103m ；（2）当BP 为202103t =时，α+β取得最小值． 【解析】 【分析】（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，根据()2tan CAD tan CAE ∠=∠得到2200x --=，解得答案.（2）设BP ＝t，则(0CP t t =＜＜，故()10ttan αβ+=，设()f t =，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则CE ＝10，DE ＝10，设BC ＝x ，则()22202210011tan CAEx tan CAD tan CAE tan CAE x ∠∠=∠===-∠-2200x--=，解之得，x =x =（舍）， （2）设BP＝t，则(0CP t t =＜＜， ()101t tan t αβ+===-设()f t =，()2'200f t t =-+-令f '（t ）＝0，因为0t ＜＜t =，当(0t ∈，时，f '（t ）＜0，f （t ）是减函数；当(t ∈时，f '（t ）＞0，f （t）是增函数，所以，当t =f （t ）取得最小值，即tan （α+β）取得最小值， 因为22000t -+-＜恒成立，所以f （t ）＜0，所以tan （α+β）＜0，2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，， 因为y ＝tanx 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，所以当202103t =α+β取得最小值．【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.设首项为1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{}2n a 的前n 项和为T n，且()243n nS p T--=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{a n }为等比数列；（3）证明：“数列a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“x ＝1，且y ＝2”． 【答案】（1）p ＝2；（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】（1）取n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，计算排除p ＝0的情况得到答案.（2）241(2)33n n T S =--，则21141(2)33n n T S ++=--，相减得到3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ，再化简得到2112n n a a ++=，得到证明.（3）分别证明充分性和必要性，假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，计算化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，设k ＝x ﹣（y ﹣2），计算得到k ＝1，得到答案. 【详解】（1）n ＝1时，由()24113p --=得p ＝0或2，若p ＝0时，243n n S T -=，当n ＝2时，()22224113a a-++=，解得a 2＝0或212a =-， 而a n ＞0，所以p ＝0不符合题意，故p ＝2； （2）当p ＝2时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②﹣①并化简得3a n +1＝4﹣S n +1﹣S n ③，则3a n +2＝4﹣S n +2﹣S n +1④，④﹣③得2112n n a a ++=（n ∈N *）， 又因为2112a a =，所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=； （3）充分性：若x ＝1，y ＝2，由112n n a -=知a n ，2x a n +1，2y a n +2依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；必要性：假设a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=，所以11111222222x yn n n -+⋅⋅=+⋅，化简得2x ﹣2y ﹣2＝1，显然x ＞y ﹣2，设k ＝x ﹣（y ﹣2），因为x 、y 均为整数，所以当k ≥2时，2x ﹣2y ﹣2＞1或2x ﹣2y ﹣2＜1，故当k ＝1，且当x ＝1，且y ﹣2＝0时上式成立，即证．【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力. 20.已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，123,,x x x R ∈，且123x x x <<． （1）当123012x x x ===，，时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）若方程()0f x '=的两个实数根是()αβαβ<，，试比较122x x +，232x x +与αβ，的大小，并说明理由．【答案】（1）(1,1)33-+（2）详见解析（3）231222x x x x αβ++<<<【解析】 【详解】试题分析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x 减区间(133-+；（2）因为32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++，因为2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-=-<'，22323()()024x x x x f +-=-<'，所以231222x x x x αβ++<<<试题解析：（1）当123012x x x ===，，时，322()(1)(2)=32,()362,f x x x x x x x f x x x =---+=-+'，由()0f x <得()f x减区间(1)33-+； （2）法1：32123122331123()()()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，2123122331()32()()f x x x x x x x x x x x x =-+++'++2221223312[()()()]0x x x x x x ∆=-+-+->，123x x x <<，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；法2：122331()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x =--+---'-+，22321()()()0f x x x x x -'=-<，()f x 是开口向上的二次函数，所以，方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）因为21221()()024x x x x f +-=-<'，22323()()024x x x x f +-=-<'，又()f x 在(,)α-∞和(,)β+∞增，()f x 在(,)αβ减， 所以231222x x x x αβ++<<<． 考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． [选修4-2：矩阵与变换]21.试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 【答案】y ＝2sin 2x ． 【解析】【分析】计算MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，计算得到函数表达式. 【详解】∵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，N 10201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴MN 11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴在矩阵MN 变换下，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→1'2'2x x y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x ． 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.[选修4-4：极坐标与参数方程]22.已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【答案】（1120y -+=．x 2+y 2＝100．（2）16 【解析】 【分析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为. 【详解】（1）sin 63πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin cos 622ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即162y x =，120y -+=.10cos 10sin x y θθ=⎧⎨=⎩，故22100x y +=. （2）圆心()0,0到直线的距离为1262d ==，故弦长为16=. 【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为63，求PF 的长度． 【答案】（1）3015．（22． 【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则BE =u u u r （﹣1，0，2），CP =u u u r（﹣2，﹣1，1），计算夹角得到答案.（2）设FP FD λ=u u u r u u u r，0≤λ≤1，计算P （0，2λ，2﹣2λ），计算平面APC 的法向量n =r（1，﹣1，222λλ-），平面ADF 的法向量m =r（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）∵BAF ＝90°，∴AF ⊥AB ，又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AF ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，P 是DF 的中点，∴B （2，0，0），E （1，0，2），C （2，2，0），P （0，1，1），BE =u u u r（﹣1，0，2），CP =u u u r （﹣2，﹣1，1）， 设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，则cosθ2301556BE CP BE CP⋅===⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ，∴异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为23015． （2）A （0，0，0），C （2，2，0），F （0，0，2），D （0，2，0），设P （a ，b ，c ），FP FD λ=u u u r u u u r，0≤λ≤1，即（a ，b ，c ﹣2）＝λ（0，2，﹣2），解得a ＝0，b ＝2λ，c ＝2﹣2λ，∴P （0，2λ，2﹣2λ），AP =u u u r（0，2λ，2﹣2λ），AC =u u u r （2，2，0）， 设平面APC 的法向量n =r（x ，y ，z ），则()2220220n AP y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩u u uv r u u u v r，取x ＝1，得n =r（1，﹣1，222λλ-）， 平面ADP 的法向量m =r（1，0，0），∵二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为6， ∴|cos m n r r ＜，＞|2261()322()22m nm nλλ⋅===-⋅+-r r r r ， 解得12λ=，∴P （0，1，1）， ∴PF 的长度|PF |222(00)(10)(12)2=-+-+-=．【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）41a +，ξ的分布列为（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝01C 112⎛⎫-⎪⎝⎭02C (1－a)2＝12(1－a)2； P(ξ＝1)＝11C ·122C (1－a)2＋01C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭12C a(1－a)＝12(1－a 2)； P(ξ＝2)＝11C ·1212C a(1－a)＋01C 112⎛⎫- ⎪⎝⎭22C a 2＝12(2a －a 2)；P(ξ＝3)＝11C ·1222C a 2＝22a . 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×22a＝412a +.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)； P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝122a-； P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝2122a-.由2(1)0,12{0,21202a a a a-≥-≥-≥和0＜a ＜1，得0＜a≤12，即a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷含答案

江苏省海安高级中学2020届高三下学期期初模拟考试数学试卷含答案

（3）当 a 1时，若函数 f (x) 在区间 0，kπ(k N*) 上恰有 2015 个零点，求 k 的值．
20．(本小题满分 16 分)
已知正整数 ， 为常数，且 1．无穷数列an 的各项均为正整数，其前 n 项和为 Sn ，且 Sn an ，n N* ．记数列 an 中任意不同两项的和构成的集合为 A． （1）求证：数列 an 为等比数列，并求 的值；
14．设函数 f x ex 2x 1 ax a ．若存在唯一的整数 x0 ，使得 f x0 0 ，则 a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．纸．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
5．答案：1110
6．答案： ， 4
7．答案：12 8．答案： k 3，k 7 ，k Z
8
8
9．答案： 1， 3
10．答案：1240
11．答案： 6 2， 6 2
12．答案： 2，0 1，
13．答案：18 π
11．在平面四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的取值范围是 ▲ ．

x

2，

x1 2
12．已知函数
f
x

x

1 ， 2x
2 x ≤ 1 ，若 f t ≥f
2
2
1 t
，则实数 t 的取值范围是
▲
．
2，
x≤ 2 2
（1）若 λ=1，求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值； （2）若平面 CDE⊥平面 CD1O，求 λ 的值.

江苏省南通市海安高级中学2020届高三数学下学期5月第二次检测试题含解析

江苏省南通市海安高级中学2020届高三数学下学期5月第二次检测试题含解析

江苏省南通市海安高级中学2020届高三数学下学期5月第二次检测试题（含解析）一、填空题1.设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ． 【答案】1 【解析】试题分析：由题意1M ∈，所以1x =． 考点：集合间的关系．2.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 【答案】60 【解析】 【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.3.已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为 . 【答案】15【解析】试题分析：()134513413425255i i z z z i -+=⇒==⇒==+ 考点：复数及模的概念与复数的运算4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为_________.【答案】55 【解析】【详解】试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知(110)1001210552S +⨯=+++⋅⋅⋅+==,应填55.考点：伪代码语言的理解和运用．5.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ． 【答案】910【解析】试题分析：从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件，其中皆不是乙类试题的包含1中基本事件，因此至少有1道试题是乙类试题的概率为1911010-= 考点：古典概型概率6.在ABC 中，若1AB =，2BC =，5CA =AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值是______. 【答案】5- 【解析】 【分析】利用勾股定理可得知AB BC ⊥，结合平面向量数量积的运算性质可求得AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值.【详解】在ABC 中，1AB =，2BC =，5CA =222AB BC AC +=，AB BC ∴⊥，则0AB BC ⋅=，因此，()25AB BC BC CA CA AB CA AB BC CA AC AC ⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅=-=-. 故答案为：5-.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的运算性质，考查计算能力，属于基础题.7.若实数,x y满足约束条件22,{1,1,x yx yx y-≤-≥-+≥则目标函数2z x y=+的最小值为．【答案】1【解析】【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C直线2z x y=+过点(0,1)C时取最小值1考点：线性规划求最值8.已知()1sin153α︒-=，则()cos302α︒-的值为______.【答案】79【解析】【分析】由题易得3022(15)αα︒︒-=-，然后结合题中条件由余弦的二倍角公式直接计算即可. 【详解】()()()227cos302cos21512sin15199ααα︒︒︒⎡⎤-=-=--=-=⎣⎦.故答案为：79.【点睛】本题考查余弦二倍角公式，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若283652,62a a a a S ==-，则1a 的值是 ． 【答案】-2 【解析】 试题分析：22836554542222a a a a a a a a a q =∴=∴=∴=，()5151126262212a S a-=-∴=-∴=--考点：等比数列性质及求和公式10.已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则离心率e =______.【解析】 【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，由平行求得参数a ，然后离心率． 【详解】由已知双曲线的渐近线方程为0x y =和0x y +=，显然直线0x y =与直线230x y -+=2=，14a =， 即双曲线方程为22114y x -=，实半轴长为1a '=，虚半轴长为12b '=，半焦距为2c ==，所以离心率为2c e a =='．． 【点睛】本题考查双曲线离心率，掌握双曲线的渐近线方程与两直线平行的条件是解题关键．11.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_________倍.【答案】【解析】试题分析：因为一个圆柱和一个圆锥同底等高，所以设底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面积是其底面面积的2倍，所以22,2rl r l r ππ==，h =，所以圆柱的侧面积22S rl r π==，其底面积为2r π，所以圆柱的侧面积是底面积的.考点：旋转体的侧面积与表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.12.已知函数()()(),01,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()()22f x f x <-的解集为______.【答案】()2,1- 【解析】 【分析】先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果. 【详解】,1x y e y x ==+都为单调递增函数，且001e =+()f x ∴在R 上单调递增，()()22f x f x <-， 22x x ∴<-，即()()220210x x x x +-<+-<，∴21x -<< 故答案为：()2,1-【点睛】本题考查分段函数单调性、利用函数单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.13.已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .【答案】92【解析】试题分析：由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数(0)xy a b b =+>的图象上，所以 a ＋b ＝3．1＜a ＜3，0＜b ＜2．4114114114192()[(1)]()(5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥---- 当且仅当72,33a b ==时取等号考点：指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值14.已知直线30x y -+=与圆222:O x y r +=()0r >相交于,M N 两点，若3OM ON ⋅=，圆的半径r =______. 6 【解析】 【分析】求出圆心到弦的距离32=2d ，利用余弦二倍角公式与向量的数量积公式化简222(21)d OM ON r r⋅=⋅-可得【详解】圆心(0,0) 到直线30x y -+=的距离2200+33221+1d -.()22222cos cos 2cos 1(21)d OM ON OM ON MON r r MON r MOE r r⋅=∠=⋅⋅∠=∠-=⋅-2222292293662d r r r r r ∴-=⋅-=-=⇒=⇒=.6【点睛】本题考查直线与圆相交问题．解题关键是掌握垂径定理及向量的数量积公式 二、解答题15.设函数()sin cos 464f x x x πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调增区间；（2）若()0,4x ∈，求()y f x =的值域.【答案】（1）单调增区间为：()2108,833k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）332⎛- ⎝. 【解析】 【分析】（1）由两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的单调性得增区间； （2）求出43x ππ-的范围，把它作为一个整体，利用正弦函数性质可得()f x 值域．【详解】解：（1）()33sin cos cos 3sin 464242443f x x x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵222432k x k ππππππ-+≤-≤+，∴2108833k x k -+≤≤+，k Z ∈ ∴()f x 的单调增区间为：()2108,833k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）∵()0,4x ∈，∴23433x ππππ-<-<∴3sin 1243x ππ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的值域为：3,32⎛⎤-⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查正弦型三角函数的单调性，值域问题，考查两角和与差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键．16.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点.（1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 分析】 （1）证明OGCD ，再利用线面平行判定定理，即可证明；（2）证明AC ⊥平面ODE 内的两条相交直线EO 、DO ； 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC BD O =，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OGCD ，又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线OG ∥平面EFCD . （2）∵BF CF =，点G 为BC 的中点，∴FG BC ⊥. ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ⋂平面ABCD BC =，FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥，∴FG ⊥平面ABCD ，∵AC⊂平面ABCD，∴FG AC，∵OG AB，12 OG AB=，EF AB∥，12BF AB=，∴OG EF∥，OG EF=，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG EO∥，∵FG AC，FG EO∥，∴AC EO⊥，∵四边形ABCD是菱形，∴AC DO⊥，∵AC EO⊥，AC DO⊥，EO DO O⋂=，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE.【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意条件书写的完整性.17.如图，已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>，离心率为12，过原点的直线与椭圆C交于,A B两点（,A B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且AD AB⊥.（1）若椭圆C的右准线方程为：4x=，求椭圆C的方程；（2）设直线BD、AB的斜率分别为1k、2k，求12kk的值.【答案】（1）22143x y+=；（2）1234kk=.【解析】【分析】（1）根据右准线以及离心率列方程组解得21ac=⎧⎨=⎩，即得23b=，可得椭圆C的方程；（2）利用点差法得22110AD BD k k a b +⋅=，结合AD AB ⊥转化为1222111()0k a b k +-⋅=再根据离心率可得12k k 的值. 【详解】（1）2124c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：21a c =⎧⎨=⎩，∴23b =，∴椭圆方程为：22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，∴,A D 在椭圆上∴22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴()()()()1212121222110x x x x y y y y a b +-++-= ∴22110AD BD k k a b +⋅=，∵12c e a ==，∴2234b a =，∴134AD k k =-∵AD AB ⊥，∴21AD k k =-，∴1234314AD ADk k k k -==- 【点睛】本题考查椭圆标准方程、点差法，考查综合分析求解能力，属中档题.18.如图，某小区有一块矩形地块OABC ，其中2OC =，3OA =，单位：百米.已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N .现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF 满足函数()2202y x x =-+≤≤的图象，若点M 到y 轴距离记为t .（1）当23t =时，求直路所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【答案】（1）42239y x =-+；（2）t =6. 【解析】【分析】（1）把23t =代入函数22y x =-+，得M 的坐标，再利用导数求切线的斜率，即可得到答案；（2）先求出面积的表达式为31444OND S t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，再利用导数求函数的最大值，即可得到答案；【详解】解：（1）把23t =代入函数22y x =-+，得214,39M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵2y x '=-，∴43k =-， ∴直线方程为42239y x =-+； （2）由（1）知，直线的方程为222y tx t =-++，令0y =，122x t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令0x =，22y t =+， ∴1222t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，223t +≤.∴21t ≤， ∴()231121424224OND S t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， 令()31444g t t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴()()()2222324t t g t t+-'=当t =()0g t '=，当23t ⎛∈ ⎝⎭时，()0g t '<，当3t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，()g t g ≥=⎝⎭，所以所求面积的最大值为69-. 【点睛】本题考查函数模型解决面积问题、导数几何意义的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19.若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称x 为函数()y f x =的极值点.已知函数()()3ln 1f x ax x x a R =+-∈.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）极小值31e --；（2）22,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】(1)求出()()3ln 1f x x '=+，令()0f x '=求出方程的解，从而探究()(),f x f x '随x 的变化情况，即可求出极值.(2)求出()()23ln 1f x ax x '=++，令()2ln 1g x ax x =++，分0a >，0a =，0a <三种情况进行讨论，结合零点存在定理求出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）当0a =时，()3ln 1f x x x =-的定义域为()0,∞+，()()3ln 33ln 1f x x x '=+=+，令()0f x '=，解得1x e=，则()(),f x f x '随x 的变化如下表，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数； 故()f x 在1x e=时取得极小值131f e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）函数()33ln 1f x ax x x =+-的定义域为()0,∞+，()()23ln 1f x ax x '=++， 令()2ln 1g x ax x =++，则()21212ax g x ax x x +'=+=， 当0a >时，()0g x '>在()0,∞+恒成立，故()f x '在()0,∞+上是增函数，而2211113ln 130f a a e e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故当1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立， 故()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增，故()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上没有极值点； 当0a =时，由（1）知，()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上没有极值点；当0a <时，令2210ax x+=，解得x =；故()2ln 1g x ax x =++在⎛ ⎝上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数，①当()10g e g e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即220a e -<<时， ()g x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭得20a e=，不符合题意； ③令()0g e =得22a e =-1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而1ln 0222e e g g ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，又10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()g x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号， 综上所述，实数a 的取值范围是22,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了极值的求解，考查了已知极值点的范围求解参数.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对一切正整数n 都有212n n S n a =+. （1）求证：()*142n n a a n n N++=+∈；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）是否存在实数a，使不等式21211111...1n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）()*2n a n n N =∈；（3）存在；a 的取值范围是()3,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】 （1）由题得()2*12n n S n a n N =+∈①，()()211112n n S n a n N ++=++∈②，②－①即得142n n a a n ++=+；（2）由题得24n na a +-=.()*n N ∈，再对n 分奇数和偶数两种情况讨论，求出数列{}n a 的通项公式；（3）令()1211111...1n f n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*n N ∈，判断函数的单调性，求出其最大值，解不等式322a a<-即得解. 【详解】（1）证明：∵()2*12n n S n a n N =+∈①， ∴()()211112n n S n a n N ++=++∈② 由②－①得()()22*11111111212222n n n n n n S S n a n a n a a n N +++⎡⎤⎛⎫-=++-+=++-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，∴()*142n n a a n n N ++=+∈.（2）∵()*142n n a a n n N ++=+∈③∴()2146n n a a n n N +++=+∈，④④－③，得24n n a a +-=.()*n N ∈从而数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，且首项为12a =，公差为4；数列{}n a 的偶数项也依次成等差数列，且首项为2a ，公差为4.在①中令1n =得211112S a =+，又∵11S a =，∴1111122a a a =+⇒=. 在③中令1n =得2242a +=+，∴24a =.∴当()*21n k k N=-∈时，12n k +=，()21141422n k a a a k k n -==+-=-=； ∴当2n k =()*k N ∈时，2nk =，()224142n k a a a k k n ==+-==； 综上所述，()*2n a n n N=∈. （3）令()1211111...1n f n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*n N ∈，则()0f n > 且()()1121111n f n n f n a +++⎛⎫=-==< ⎪⎝⎭∴()()1f n f n +<，∴()f n 单调递减，∴()()max []12f n f ==.∴不等式21211111...1n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对一切正整数n 都成立等价于()32f n a a<-对一切正整数n 都成立， 等价于()max 2f n a a <-⎡⎤⎣⎦322a a <-.∴22302a a --<，即(20a a a>，解之得a >0a <<. 综上所述，存在实数a 的适合题意，a的取值范围是()3,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列的单调性的判定和最值的求法，考查数列不等式的恒成立问题的求解，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

江苏省南通市2020届高三下学期5月阶段性练习数学试题

江苏省南通市2020届高三下学期5月阶段性练习数学试题

江苏省南通市2020届高三下学期5月阶段性练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}2,1,0,1M =--，{}20N x x x =+≤，则M N =_______.2．已知复数2a i i++为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是__. 3．某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是__.4．根据如图所示的伪代码，当输入的x 为1-时，最后输出的m 的值是__.5．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>双曲线的渐近线的方程是__.6．某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是__.7．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则ϕ的最小正值是______．8．已知非零向量b 与a 的夹角为120︒，且||2a =，24a b +=，则||b =__.9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且18a ，3a ，26a 成等差数列，则785622a a a a ++的值是__.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(10,0)-的圆M 与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆M 的半径是__.11．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π.设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V 的值是__.12．已知函数()log (1)a f x x a =>的图象与直线(1)()y k x k R =-∈相交.若其中一个交点的纵坐标为1，则k a +的最小值是__.13．已知函数224,0()1(2),0x x f x x x x +⎧⎪=+⎨⎪+<⎩若关于x 的不等式()10()f x mx m m R ---<∈的解集是1(x ，23)(x x ⋃，)+∞，123x x x <<，则m 的取值范围是__.14．如图，在ABC ∆中，32AC BC =，点M ，N 分别在AC ，BC 上，且13AM AC =，12BN BC =.若BM 与AN 相交于点P ，则CP AB 的取值范围是__.15．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若2cos a C b =，且2sin sin sin C A B =，求B 的值；（2）若cos(2)3cos 0A B B ++=，求tan tan A C 的值.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，侧面11BCC B 是矩形，点E ，F 分别为BC ，11A B 的中点.求证：（1）1BC AC ⊥；（2）//EF 平面11ACC A .17．如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为ABC ∆，A 到河两岸距离AE ，AD 相等，B ，C 分别在两岸上，AB AC ⊥.为方便游客观赏，拟围绕ABC ∆区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度l （即ABC ∆的周长）最短，工程师设计了以下两种方案：方案1：设ABD α∠=，求出l 关于α的函数解析式()f α，并求出()f α的最小值. 方案2：设EC x =米，求出l 关于x 的函数解析式()g x ，并求出()g x 的最小值.请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>短轴的两个顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>≠与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k .已知212·k k k =. ①求k 的值；②当OPQ △的面积最大时，求直线PQ 的方程.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2121·n n n n a S S S λ++++=，*n N ∈，R λ∈.（1）若3λ=-，21a =-，求3a 的值；（2）若数列{}n a 的前k 项成公差不为0的等差数列，求k 的最大值；（3）若20a >，是否存在R λ∈，使{}n a 为等比数列？若存在，求出所有符合题意的λ的值；若不存在，请说明理由.20．对于定义在D 上的函数()f x ，若存在k ∈R ，使()f x kx <恒成立，则称()f x 为“()m k 型函数”；若存在k ∈R ，使()f x kx 恒成立，则称()f x 为“()M k 型函数”.已知函数()(12)()f x ax lnx a R =-∈.（1）设函数1()()1(1)h x f x x =+.若0a =，且1()h x 为“()m k 型函数”，求k 的取值范围；（2）设函数21()()h x f x x =+.证明：当12a =-，2()h x 为“M （1）型函数”； （3）若a Z ∈，证明存在唯一整数a ，使得()f x 为“1()4m 型函数”.21．已知矩阵A 的逆矩阵13221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A ；（2）若向量21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算2A α. 22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线1,{(12x t y t ==为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=+，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值.23．若实数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求222x y z ++的最小值.24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)y px p =>，过点(4,0)M p 的直线l 交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点.当AB 垂直于x 轴时，OAB ∆的面积为（1）求抛物线的方程：（2）设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T .①证明：12y y 为定值：②若//OA TB ，求直线l 的斜率.25．设*n N ∈，k ∈N ，n k .（1）化简：11112··k k n n k k n n C C C C +++++； （2）已知2220122(1)n n n x a a x a x a x -=+++⋯+.记21()(1)nk k k F n n a ==+∑.证明：()F n 能被21n 整除.参考答案1．{}1,0-【解析】【分析】求出集合N ，利用交集的定义可得集合M N ⋂.【详解】{}{}2010N x x x x x =+≤=-≤≤，{}2,1,0,1M =--，因此，{}1,0M N ⋂=-. 故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2．12-. 【解析】【分析】先把复数2a i i ++化成复数的一般形式，再由纯虚数的定义可求a . 【详解】解：因为复数()(2)2122(2)(2)55a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-， 由于它为纯虚数，所以2105a +=，且205a -≠，则12a =-， 故答案是：12-. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.3．85. 【解析】【分析】先求出平均数，再由方差计算公式求出这5次得分的方差.【详解】某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117， 平均数为1(114116114114117)1155x =++++=， 则这5次得分的方差为：22222218[(114115)(116115)(114115)(114115)(117115)]55S =-+-+-+-+-=. 故答案为：85. 【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 4．32. 【解析】【分析】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出210230x x m x x ⎧+<=⎨-⎩的值，由题意即可计算得解.【详解】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出210230x x m x x ⎧+<=⎨-⎩的值，当输入的x 为1-时，可得13212m -=+=. 故答案为：32. 【点睛】 本题主要考查了伪代码的应用，属于基础题.5．2y x =±.【解析】【分析】 由双曲线的离心率结合隐含条件求得b a的值，则答案可求. 【详解】解：由题意，c e a ==222225c a b a a +==， 解得：2b a=， ∴该双曲线的渐近线的方程是2y x =±.故答案为：2y x =±.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，注意隐含条件的运用，是基础题.6．12. 【解析】【分析】基本事件总数246n C ==，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数233m C ==，由此能求出抽到的2道题他都会的概率.【详解】解：某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.基本事件总数246n C ==，该同学会其中的3道题，抽到的2道题他都会包含的基本事件个数233m C ==，∴抽到的2道题他都会的概率是3162m p n ===. 故答案为：12. 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 7．π6【解析】【分析】先由平移求出()g x 的解析式()πsin 223g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由()g x 为奇函数，可得()π2π3k k ϕ-+=∈Z ，从而可求出ϕ的最小正值. 【详解】将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位得到，()πsin 223g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，由于函数()g x 为奇函数， 所以()π2π3k k ϕ-+=∈Z ， 整理得：()ππ26k k ϕ=-+∈Z ， 当0k =时，ϕ的最小正值是π6． 故答案为：π6 【点睛】此题考查三角函数的平移变换，正弦函数的性质，属于基础题.8．4.【解析】【分析】 先把24a b +=两边平方，再展开，并结合平面向量的数量积运算进行求解即可.【详解】解：由题可知，2(2)16a b +=，∴224||4||||cos12160||a a b b +⋅+=，即214442||()|||162b b ⨯+⨯⨯⋅-+=，解得||4b =.故答案为：4.【点睛】本题考查平面向量的模长、数量积运算，对式子进行平方处理是解决平面向量模长问题的常用手段，考查学生的运算能力，属于基础题.9．16.【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，化简可得所求值.【详解】解：等比数列{}n a 的各项均为正数，设公比为q ，0q >，由18a ，3a ，26a 成等差数列，可得312286a a a =+，即有2111286a q a a q =+，即2340q q --=，解得4(1q =-舍去）， 则22785656562(2)1622a a q a a q a a a a ++===++. 故答案为：16.【点睛】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.10．【解析】【分析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再由所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，知两圆圆心的连线在直线y x =上，设所求圆的圆心为(,)a a ，由半径相等列式求得a 值，则答案可求.【详解】解：圆22660x y x y +--=化为22(3)(3)18x y -+-=，圆心坐标为(3,3)，半径为如图，所求的圆与圆22660x y x y +--=相切于原点，∴两圆圆心的连线在直线y x =上， 可设所求圆的圆心为(,)a a=解得5a =-，∴所求圆M 的半径为故答案为：【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查数学转化思想方法与数形结合的，属于中档题. 11．2.【解析】【分析】设圆柱的高为h ，表示出表面积可得43h R =，再分别表示出1V ，2V 即可. 【详解】解：设酒杯上部分高为h ， 则酒杯内壁表面积221144223S R Rh R πππ=⨯+=， 则43h R =， 所以23143V R h R ππ==，321423V R π=⨯， 故122V V =， 故答案为：2.【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.12．3.【解析】【分析】由题知两函数其中一个交点(1,0)，另一个交点的纵坐标为1，得 0k >，利用交点满足两函数解析式可求出(1)1k a -=，由均值不等式求最小值即可.【详解】 解：函数()log (1)a f x x a =>与直线(1)()y k x k R =-∈过(1,0)，∴由函数()log (1)a f x x a =>的图象与直线(1)()y k x k R =-∈相交.其中一个交点的纵坐标为1得0k >，设交点(,1)m ，代入()log a f x x =，1log a m =，m a ∴=，再把点(,1)a 代入直线方程：211(1)()2k a k a +-=-，即3k a +，当且仅当1k a =-时，等号成立，k a +取最小值3.故答案为：3.【点睛】本题主要考查对数函数与直线的位置关系，均值不等式的应用，属于中档题.13．(0,2)(2,3)⋃.【解析】【分析】作出函数()y f x =与直线1y mx m =++的图象，找到两个极限情况，结合图象即可得解.【详解】由不等式()10f x mx m ---<得()1f x mx m <++，作出函数()y f x =与直线1y mx m =++的图象如图所示，注意到直线1y mx m =++恒过点(1,1)-，且点(1,1)-也在函数()y f x =上，当直线1y mx m =++与函数2()(2)f x x =+相切时，可得2(4)30x m x m +-+-=，则△2440m m =-+=，解得2m =，当直线1y mx m =++过点(0,4)C 时，则14m +=，解得3m =，由图可知，满足条件的实数m 的取值范围为(0,2)(2,3)⋃.故答案为：(0,2)(2,3)⋃.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，二次函数的性质应用，其它不等式的解法，考查数形结合思想，属于中档题.14．1(,2)5.【解析】【分析】设2BC =，3AC =，由三点共线的向量表示可设(1)(1)CP CA CN C C x y y B M x =-+=-+，结合已知条件进一步得到1124CP CA CB =+， 由此可得21133()881312cos ,CP AB CA CB =-+⋅-，结合余弦函数的有界性即可得出答案.【详解】解：不妨设2BC =，3AC =，由于A ，P ，N 三点共线，M ，P ，B 三点共线，故由平面向量基本定理可设，(1)(1)CP CA CN C C x y y B M x =-+=-+，11,32AM AC BN BC ==， ∴2(1)(1)23C x y x y CB A P CA C CB =-+=-+， ∴21312x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1124CP CA CB =+， 222()CP CP AB CB CA ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭ 221124()CA CB CB CA ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 2222111||||cos 41642||||cos CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB ++⋅⋅〈⋅〉=+-⋅⋅〈⋅〉 91132cos 44449232cos CA CB CA CB ++⨯⨯⨯⋅=+-⨯⨯⨯⋅ 106cos 141312cos CA CB CA CB +⋅=⨯-⋅ 12cos 1333181312cos CA CB CA CB ⋅-+=⨯-⋅ 1133881312cos CA CB =-+⨯-⋅, 又1cos ,1CA CB -<<，∴211331()(,4)88251312cos ,CP AB CA CB =-+⋅∈-， ∴1(,2)5CP AB ∈.故答案为：1(,2)5.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及了平面向量基本定理的运用，数量积的运算等基础知识点，考查运算求解能力，属于中档题.15．（1）3B π=；（2）tan tan 2A C =.【解析】【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得a c =，利用正弦定理化简已知等式可得2c ab =，从而可得c a b ==，即可得解.（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos cos sin sin A C A C =，由题意可得cos 0A ≠，cos 0C ≠，利用同角三角函数基本关系式可求tan tan A C 的值.【详解】 解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得2222?2a b c a b ab+-=， 化简得22a c =，即a c =，因为2sin sin sin C A B =，且2(sin sin sin a b c R R A B C ===为ABC ∆外接圆半径）， 所以2c ab =，所以c a b ==，所以ABC ∆为正三角形， 所以3B π=.（2）因为cos(2)3cos 0A B B ++=，且()B A C π=-+，所以cos[()]3cos[()]0A C A C ππ+-+-+=，所以cos()3cos()A C A C -=-+，即cos cos sin sin 3cos cos 3sin sin A C A C A C A C +=-+，所以2cos cos sin sin A C A C =，因为斜三角形ABC 中，2A π≠，2C π≠，所以cos 0A ≠，cos 0C ≠，所以tan tan 2A C =.【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的计算能力和转化思想，属于基础题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）推导出1BC CC ⊥，从而BC ⊥平面11ACC A .由此能证明1BC AC ⊥；（2）取11A C 的中点G ，连结FG ，CG .推导出四边形EFGC 为平行四边形，//EF GC .由此能证明//EF 平面11ACC A .【详解】（1）因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC CC ⊥，因为平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B C C =，BC 在平面11BCC B 内，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC 在平面11ACC A 内，所以1BC AC ⊥；（2）取11A C 的中点G ，连结FG ，CG ，在△111A B C 中，F ，G 分别是11A B ，11A C 的中点，所以11//FG B C ，且1112FG B C =，在矩形11BCC B 中，E 是BC 的中点，所以11//EC B C ，且1112EC B C =， 所以//EC FG ，且EC FG =，所以四边形EFGC 为平行四边形，所以//EF GC ，又因为EF 在平面11ACC A 外，GC 在平面11ACC A 内，所以//EF 平面11ACC A .【点睛】本题考查线线平行、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题.17．答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】方案1：由AB AC ⊥，得90EAC BAD ∠+∠=︒，可得EAC ABD α∠=∠=，2(0,)απ∈.求解三角形可得50sin AB α=，50cos AC α=，50sin cos BC αα=，即可得到()f α关于α的解析式，其中2(0,)απ∈.设sin cos t αα=+，化为关于t 的函数求解； 方案2：由已知证明Rt CAE Rt ABD ∆∆∽，得AC EC AB AD=.由EC x =，得AC ==50AD =，再求得AB ，BC ，可得2500()()g x x x x =++，0x >.然后利用基本不等式求最值. 【详解】解：方案1:AB AC ⊥，90EAC BAD ∴∠+∠=︒，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，EAC ABD α∴∠=∠=，2(0,)απ∈. 50AD AE ==，在Rt ADB ∆和Rt AEC ∆中，50sin AB α=，50cos AC α=，∴50sin cos BC αα===， ∴111sin cos 1()50()50()sin cos sin cos sin cos f ααααααααα++=++=，其中2(0,)απ∈. 设sin cos t αα=+，则sin cos )4t πααα=+=+，2(0,)απ∈，∴t ∈， 212sin cos t αα=+，∴21sin cos 2t αα-=. ∴250(1)100112t y t t +==--，∴当t =时，()100min f α==+.答：景观桥总长的最小值为(100+米；方案2:AB AC ⊥，90EAC BAD ∴∠+∠=︒，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，EAC ABD ∴∠=∠，则Rt CAE Rt ABD ∆∆∽， ∴AC EC AB AD=. EC x =，AC ==50AD =，∴AB =，则2500BC x x===+，∴2500()()g x x x x =++，0x >. 0x，()22500100g x∴=2502100100⨯=.=，且2500xx=，即50x=时取“=”.∴()100ming x=+答：景观桥总长的最小值为(100+米.【点睛】本题考查三角形的解法，训练了利用换元法及基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题. 18．（1）2214xy+=；（2）①12k=；②112y x=±.【解析】【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，则222c a b=-.利用短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，求出a，b，然后求解椭圆C的标准方程.（2）①设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，联立22,1,4y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩利用韦达定理，通过直线的斜率求解即可；②由①得12k=，直线PQ的方程为12y x m=+，然后求解弦长，点到直线的距离，求解三角形的面积，然后求解即可.【详解】解：（1）设椭圆的焦距为2c，则222c a b=-.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以=c.，则22ac=所以2a=，1b=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=.（2）①设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，联立22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8440k x kmx m +++-=， 2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，所以122841km x x k -+=+，212244·41m x x k -=+， 又OP 的斜率111y k x =，OQ 的斜率222y k x =，所以2221212121212121212()()()·y y kx m kx m k x x km x x m k k k x x x x x x +++++====，化简得212()0km x x m ++=，所以228·041km km m k -+=+.又因为0m ≠，即241k =， 又0k >，所以12k =.②由①得12k =，直线PQ 的方程为12y x m =+，且122x x m +=-，212·22x x m =-，22m <. 又0m ≠，所以0m <所以12PQ x ==-== 点O 到直线PQ的距离d ==，所以221(2)·122OPQm m SPQ d +-====， 当且仅当222m m =-，即1m =±时，OPQ △的面积最大， 所以，直线PQ 的方程为112y x =±.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.19．（1）33a =-；（2）4；（3）存在；1λ=. 【解析】 【分析】（1）记2121·n n n n a S S S λ++++=为(*)式.当3λ=-时，(*)式为21213?n n n n a S S S +++-+=，令1n =得，221323?a S S S -+=，转化求解即可.（2）设公差为d ，若3k =，则22S d =+，333S d =+.在(*)式中，令1n =得，22132·a S S S λ+=，推出21d d λ++=，若4k =，推出2321(12d d d λ++=+，求解可得2d =-，3λ=-.所以4k =符合题意.验证5k =，是否成立，推出结果. （3）假设存在R λ∈，使{}n a 为等比数列，推出(1)0q λ-=，结合112(1)(1)n n n n S S S S +++-=-，推出21111n n n n S S S S +++--=，得到数列11n n S S +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为常数列，转化求解证明即可. 【详解】解：记2121·n n n n a S S S λ++++=为(*)式.（1）当3λ=-时，(*)式为21213?n n n n a S S S +++-+=，令1n =得，221323a S S S ⋅-+=，即221123123()()a a a a a a a -+++=+⋅，由已知11a =，21a =-，解得33a =-.（2）因为前k 项成等差数列，设公差为d ，则21a d =+，312a d =+， 若3k =，则22S d =+，333S d =+.在(*)式中，令1n =得，22132·a S S S λ+=，所以2(1)33(2)d d d λ+++=+，化简得21(1)d d d λ++=+，① 若4k =，则446S d =+，在(*)式中，令2n =得，23243·a S S S λ+=，所以2(12)(2)(46)(33)d d d d λ++++=+，化简得2321(12)d d d λ++=+，②②-①得，22d d d λ+=，因为公差不为0，所以0d ≠， 所以21d λ+=，代入①得，220d d +=，所以2d =-，3λ=-. 所以4k =符合题意.若5k =，则11a =，21a =-，33a =-，45a =-，57a =-，33S =-，48S =-，515=-S ， 在(*)式中，令3n =得，43533(5)(3)(15)60a S S -+=-⨯-+-⨯-=，224(8)64S =-=，所以243543a S S S -+≠，所以k 的最大值为4.（3）假设存在R λ∈，使{}n a 为等比数列，设前3项分别为1，q ，2q ，则21231,1,1S S q S q q ==+=++，(*)式中，令1n =得，22(1)(1)q q q q λ+++=+，化简得(1)0q λ-=，因为20q a =>，所以1λ=，此时(*)式为2121()?n n n n n S S S S S +++-+=，即112(1)(1)(**)n n n n S S S S +++-=-，由11S =，2211S a =+>，得31S >，由2S ，31S >得41S >，⋯， 依此类推，10n S ≥>，所以(**)等价于21111n n n nS S S S +++--=， 所以数列11n n S S +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为常数列， 所以122111n n S S a S S +--==， 于是2n 时，12211,1,n n nn S a S S a S +--=⎧⎨-=⎩两式相减得12·n n a a a +=， 因为221·a a a =，所以*12·()n n a a a n N +=∈， 又1a ，20a ≠，所以12n na a a +=（非零常数），所以存在1λ=，使{}n a 为等比数列. 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题. 20．（1）(1,)+∞；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将0a =代入，依题意，即1lnx k x +>恒成立，设1()(1)lnx g x x x+=，求出函数()g x 的最小值即可得解；（2）分析可知，即证1(1)0x lnx x x ++-，令1()(1)R x x lnx x x =++-，21()x R x lnx x-'=+，方法一：由不等式的性质可知()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0R x R =，即得证；方法二：令211()()F x R x lnx x x='=+-，再对函数()F x 求导，可得当01x <<时，()0R x '<，当1x >时，()0R x '>，进而得到()R x 的单调性，由此得证；（3）问题等价于证明存在唯一整数a ，1()(12)04p x ax lnx x =--<恒成立，易知当0a 及2a 时，不合题意，故只需证明1a =时符合题意即可，方法一：记1()(12)4p x x lnx x =--，分当1x 或102x <以及当112x <<时证明即可；方法二：记1()(12)4p x x lnx x =--，利用导数求其最大值小于0即可得证.【详解】（1）0a =时，1()1h x lnx =+. 因为1()h x 为“()m k 型函数”，所以1()h x kx <恒成立，即1lnx k x+>恒成立. 设1()(1)lnx g x x x +=，则2()0lnxg x x'-=恒成立， 所以()g x 在[1，)+∞上单调递减， 所以()g x g （1）1=，所以k 的取值范围是(1,)+∞； （2）证明：当12a =-时，要证2()h x 为“M （1）型函数”， 即证1(1)x lnx x x ++，即证1(1)0x lnx x x++-. 令1()(1)R x x lnx x x =++-，则22211111()(1)1x R x lnx x lnx lnx x x x x x-=++---+'=+=，方法一：当1x >时，0lnx >，210x x ->，则()0R x '>；当01x <<时，0lnx <，210x x-<，则()0R x '<；所以()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则()R x R （1），又R （1）0=，所以()0R x ， 所以2()h x 为“M （1）型函数”.方法二：令211()F x lnx x x =+-，则22331122()0x x F x x x x x -+=+='->，所以函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，又F （1）0=， 所以当01x <<时，()0R x '<，当1x >时，()0R x '>， 所以()R x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 以下同方法一.（3）证明：函数()f x 为“1()4m 型函数”等价于1()(12)04p x ax lnx x =--<恒成立， 当0a 时，()(12)1044e ep e ae =--->，不合题意； 当2a 时，12111()1(4)044a p e e e e e =---->，不合题意； 当1a =时，方法一：1()(12)4p x x lnx x =--， ①当1x 或102x <时，1()004p x x -<；②当112x <<时，120x -<，由（2）知1x lnx x->， 所以2(12)(1)11()(32)044x x p x x x x x---<-=-， 综上，存在唯一整数1a =，使得()f x 为“1()4m 型函数”.方法二：1()(12)4p x x lnx x =--，12119()2244x p x lnx lnx x x -=-+-=-+-'， 记19()24x lnx x ϕ=-+-，则221()0x x xϕ'-=-<， 所以()()x p x ϕ'=在(0,)+∞上单调递减. 易得1lnx x -，所以991722(21)0444p =-+=='<； 又因为199()222120244p ln =+->+->'， 所以存在唯一零点01(2x ∈，使得00019()204p x lnx x +-'=-=， 且0x 为()p x 的最大值点，所以00000000019(12)()411117()(12)242428x x p x x lnx x x x x --=--=-=+-， 注意到117228yx x =+-在1(,22上单调递增， 所以017117()()02824p x p <==<，所以()0p x <. 综上，存在唯一整数1a =，使得()f x 为“1()4m 型函数”. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查构造思想，分类讨论思想，函数与方程等数学思想，考查推理论证能力，运算求解能力等，属于较难题目. 21．（1）1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）23⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.【解析】 【分析】（1）设出矩阵，利用逆矩阵的运算法则化简求解即可. （2）直接利用矩阵乘法的运算法则化简求解即可. 【详解】解：（1）设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则132323210212201a b a c b d A A c d a c b d -++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 故321,20,{320,21,a c a c b d b d +=+=+=+=解得1,2,{2,3,a b c d =-===-则矩阵1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（2）由矩阵1223A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，得21212582323813A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2582281313A α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵与逆矩阵的运算法则的应用，是基本知识的考查，中档题. 22．72. 【解析】 【分析】首先利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果. 【详解】解：由4cos()3πρθ=+得24cos()2cos sin 3πρρθρθθ=+=-，所以曲线C的直角坐标方程为2220x y x +-+=，即22(1)(4x y -+=，圆心(1,-，半径2r.由直线l的参数方程1,2{12x t y t =+=得1x =+，所以直线l的普通方程为10x -=.所以圆心(1,-到直线l 的距离32d =， 所以点P 到直线l 距离的最大值为37222+=. 【点睛】本题主要考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23．114【解析】 【分析】利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z++≤++++，进行解答即可. 【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z++≤++++,即()222141x y z++≥，故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==,即222x y z ++的最小值为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 24．（1）2y x =；（2）①证明见解析；②±1. 【解析】 【分析】（1）当AB 垂直于x 轴时，求出AB 坐标，利用三角形的面积转化求解抛物线方程即可.（2）①由题意可知直线l 与x 轴不垂直.设211(,)A y y ，222(,)B y y ，122212121AB y y k y y y y -==-+.通过A ，M ，B 三点共线，得122y y =-. ②122y y =-，得到21142(,)B y y -.求出线段AB 垂直平分线的方程，结合OA TB k k =，转化求解即可. 【详解】解：（1）当AB 垂直于x轴时，(4,)A p，(4,)B p -所以OAB ∆的面积为211···?422AB OM p ===， 因为0p >，所以12p =，所以抛物线的方程为2y x =.（2）①由题意可知直线l 与x 轴不垂直.由（1）知(2,0)M ，设211(,)A y y ，222(,)B y y ，则122212121AB y y k y y y y -==-+. 由A ，M ，B 三点共线，得12221222y y y y =--， 因为12y y ≠，化简得122y y =-. ②因为122y y =-，所以21142(,)B y y -. 因为线段AB 垂直平分线的方程为22121212()()22y y y y y y y x ++-=-+-，令0y =，得22212121114(1)22T y y x y y ++==++. 因为//OA TB ，所以OA TB k k =，即1211221121144(1)2y y y y y =++-，整理得2211(1)(4)0y y +-=，解得12y =±，故(4,2)A ±.所以1AM k =±，即直线l 的斜率为±1.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题. 25．（1）12n n ++；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用组合排列数的计算公式即可得出.（2）由（1）得，11211111111111111111()222k k k n n n k k k k k k k n n n n n n n C C C n n n C n C C n C C n C C ++++++++++++++++++=⋅=⋅=⋅+++⋅⋅+.由122121(1)21(1)(1)[]22k k k k k k k n n n k k n k k a C n C C +++-+--==⋅++，可得22111212121(1)(1)()(1)[]2k k nn k k k k kn n k n k k F n n a C C +==+++--=+=⋅+∑∑，求和即可得出.【详解】（1）解：11112(1)!(1)!(1)!(1)!1!(1)!(1)!()!!(2)!!(2)(1)!2!()!(1)!(1)!k k n n k k n n n n C C n n n n k n k k n k n n C C n n n n k n k k n k +++++++⋅+⋅⋅+++-+-===++⋅+⋅+⋅-++-⋅.（2）证明：由（1）得，11211111111111111111()222k k k n n n k k k k k k k n n n n n n n C C C n n n C n C C n C C n C C ++++++++++++++++++=⋅=⋅=⋅+++⋅⋅+. 因为122121(1)21(1)(1)·[]22k k k k k k k n n n k k n k ka C n C C +++-+--==++，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

江苏省南通市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

江苏省南通市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

江苏省南通市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，则是（）A . AB . TC .D . R2. （2分） (2017高二下·衡水期末) 复数的共轭复数是（）A . 1+iB . 1﹣iC . ﹣1+iD . ﹣1﹣i3. （2分） (2016高一下·榆社期中) 已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2）B . （，+∞）C . （﹣2，）D . （﹣）4. （2分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是（）A . ①②④B . ①②③C . ①③④D . ①②③④5. （2分）(2020·淮北模拟) 已知等差数列满足，则的最大值为（）A .B . 20C . 25D . 1006. （2分） (2016高三上·厦门期中) 已知a=sin2，b=log 2，c=log ，则（）A . a＞b＞cB . c＞a＞bC . a＞c＞bD . c＞b＞a7. （2分）(2017·榆林模拟) 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A . f（x）=x2B . f（x）=sinxC . f（x）=exD . f（x）=8. （2分）(2017·河北模拟) 在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（）A . （﹣0.4，﹣0.3）B . （﹣0.2，﹣0.1）C . （﹣0.3，﹣0.2）D . （0.4，0.5）9. （2分）(2017·唐山模拟) 一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·成都模拟) 设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2016·山东模拟) 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门，另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A . 18B . 24C . 36D . 72二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·南京模拟) 已知实数x，y满足，则的最小值是________．14. （1分） (2019高三上·沈河月考) ________．15. （2分） (2017高一上·海淀期中) 已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=________，φ=________．16. （1分）若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高一下·攀枝花期中) 已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2 ，且a3+2是a2 ， a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an+log2 ，Sn=b1+b2+…bn，求使 Sn﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．18. （10分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：使用年限x（年）23456维修费用y（万元） 2.2 3.8 5.5 6.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：（1）线性回归方程；（2）根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？参考公式： = ， = ﹣， = x+ ．19. （10分） (2016高二下·宜春期末) 如图，已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F分别是SC，BC的中点．（1）证明：SD⊥AF；（2）若AB=2，SA=4，求二面角F﹣AE﹣C的余弦值．20. （5分）(2017·荆州模拟) 设椭圆E： + =1（a＞0）的焦点在x轴上．（Ⅰ）若椭圆E的离心率e= a，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=2 与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P，问当a变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值，若不是定值，说明理由．21. （10分） (2017高二下·赣州期末) 已知函数f（x）=ax3﹣bx+2（a＞0）（1）在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）在x=2处的切线方程．22. （10分） (2018高二下·长春开学考) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．23. （10分）(2017·晋中模拟) 已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

江苏省南通市2020届高三数学下学期5月模拟考试试题含解析

江苏省南通市2020届高三数学下学期5月模拟考试试题含解析
江苏省南通市2020届高三数学下学期5月模拟考试试题（含解析)
一､填空题
1。 已知集合 ， ，则 ____．
【答案】
【解析】
由题意可得: ,
则 .
2。 设复数 （ 为虚数单位)，则 的共轭复数为____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算,求得 ，再根据共轭复数的概念，即可得答案。
【详解】由于 ，所以 的共轭复数为 ．
此时退出循环体，输出的 的值为 。
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查根据程序框图求解运算结果，“还原现场”是常用的求解方法,侧重考查数学运算的核心素养.
6。 函数 的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ,由二次函数知识求解 的范围，结合对数函数单调性可得值域.
【详解】令 ,则 ,
因为 ，且 为增函数，
【答案】
【解析】
【分析】
将不等式变形为 ,构造函数 ，可知当 时,函数 在 上为减函数，可得出 ，进而可求得 的取值范围.
【详解】由 ，可得 ，
构造函数 ,当 且当 ， ，
此时，函数 在 上为减函数，
由于 ，则 ,
所以， ，所以， , ， 。
综上可得 的取值范围为 。
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查恒成立问题，构造函数,判断单调性，结合单调性把抽象不等式转化为具体不等式，侧重考查数学抽象的核心素养。
【详解】根据等差数列的性质， 可化为
即
又 = = = =40．
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
(1）若 ，则 ;
（2） 为等差数列。
（3） 且 为等差数列；
（4) 且 ;

2020届江苏省南通市海安高中高考数学5月模拟试题

2020届江苏省南通市海安高中高考数学5月模拟试题

2020届江苏省南通市海安高中高考数学5月模拟试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，﹣1，1}，则∁U A＝．2．（5分）已知复数z＝（1﹣i）•（a+i）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为．3．（5分）数据1，3，5，7，9的标准差为．4．（5分）函数f（x）＝的定义域是．5．（5分）在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2m3的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是．6．（5分）如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线经过点（3，4），则该双曲线的准线方程为．8．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，S3，S9，S6成等差数列，则的值为．9．（5分）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）①因为当x＝时，sin（x+）≠sin x，所以不是函数y＝sin x的周期；②对于定义在R上的函数f（x），若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数；③“M＞N”是“log2M＞log2N”成立的充分必要条件；④若实数a满足a2＜4，则a≤2．10．（5分）如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若函数f（x）＝lnx﹣ax在x＝1处的切线与圆C：x2﹣2x+y2+1﹣a＝0存在公共点，则实数a的取值范围为．12．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，若关于x的不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，2），则的值为．13．（5分）在边长为4的菱形ABCD中，A＝60°，点P在菱形ABCD所在的平面内．若P A＝3，PC＝，则＝．14．（5分）设函数f（x）＝，g（x）＝k（x﹣），其中k＞0．若存在唯一的整数x，使得f（x）＜g（x），则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，M为棱PD的中点，MA＝MC．求证：（1）PB∥平面AMC；（2）平面PBD⊥平面AMC．16．（14分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知tan A，tan B，tan C成等差数列，cos A，，cos B成等比数列．（1）求A的值；（2）若△ABC的面积为1，求c的值．17．（14分）某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且AB＝300米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为50米．开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ．设∠AOP＝2θ．（1）用θ表示线段PQ，并确定sin2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点A（2，0）到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设P（﹣4，0），连接PM交椭圆C 于另一点E．求证：直线NE过定点B，并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于S，T两点，求的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）＝，其中a＞0，b＞0．（1）①求函数f（x）的单调区间；②若x1，x2满足|x i|＞（i＝1，2），且x1+x2＞0，x2＞0．求证：f（x1）+2f（x2）＞．（2）函数g（x）＝ax2﹣lnx．若对任意x1，x2∈（0，），x1≠x2，都有|f（x1）﹣f （x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|，求b﹣a的最大值．20．（16分）已知{a n}，{b n}，{c n}都是各项不为零的数列，且满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝c n S n，n∈N*，其中S n是数列{a n}的前n项和，{c n}是公差为d（d≠0）的等差数列．（1）若数列{a n}是常数列，d＝2，c2＝3，求数列{b n}的通项公式；（2）若a n＝λn（λ是不为零的常数），求证：数列{b n}是等差数列；（3）若a1＝c1＝d＝k（k为常数，k∈N*），b n＝c n+k（n≥2，n∈N*）．求证：对任意的n≥2，n∈N*，＞恒成立．【选做题】在A，B，C四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-&shy;2：矩阵与变换](10分）21．（10分）已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝﹣1的一个特征向量为＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为＝．求矩阵A．[选修4&shy;-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos （θ﹣）＝2．点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．[选修4&shy;-5：不等式选讲]（10分）23．设正数a，b，c满足a+b+c＝1，求++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O且OP＝AB．（1）求直线BP与平面PCD所成角的正弦值；（2）求锐二面角B﹣PD﹣C的大小．25．（10分）定义：若数列{a n}满足所有的项均由﹣1，1构成且其中﹣1有m个，1有p个（m+p≥3），则称{a n}为“（m，p）﹣数列”．（1）a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（3，4）﹣数列”{a n}中的任意三项，则使得a i a j a k＝1的取法有多少种？（2）a i，a j，a k（i＜j＜k）为“（m，p）﹣数列”{a n}中的任意三项，则存在多少正整数对（m，p）使得1≤m≤p≤100，且a i a j a k＝1的概率为．。

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2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知全集0，1，，集合，则______．2.已知复数为虚数单位为纯虚数，则实数a的值为______．3.数据1，3，5，7，9的标准差为______．4.函数的定义域为______ ．5.在一底面半径和高都是2m的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是______．6.如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为______．7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线经过点，则该双曲线的准线方程为______．8.设是等比数列的前n项的和，，，成等差数列，则的值为______．9.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是______写出所有正确命题的序号因为当时，，所以不是函数的周期；对于定义在R上的函数，若，则函数不是偶函数；“”是“”成立的充分必要条件；若实数a满足，则．10.如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为______．11.在平面直角坐标系xOy中，若函数在处的切线与圆C：存在公共点，则实数a的取值范围为______．12.已知函数，若关于x的不等式的解集是，则的值为______．13.在边长为4的菱形ABCD中，，点P在菱形ABCD所在的平面内．若，，则______．14.设函数，，其中若存在唯一的整数x，使得，则实数k的取值范围是______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，四棱锥中，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，M为棱PD的中点，求证：平面AMC；平面平面AMC．16.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知tan A，tan B，tan C成等差数列，cos A，，cos B成等比数列．求A的值；若的面积为1，求c的值．17.某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，且米，景观湖边界CD与AB平行且它们间的距离为米．开发商计划从A点出发建一座景观桥假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行，桥面在湖面上的部分记作设．用表示线段PQ，并确定的范围；为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ的长度设计到最长，求PQ的最大值．18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．求椭圆C的标准方程；若M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设，连接PM交椭圆C于另一点求证：直线NE过定点B，并求出点B的坐标；在的条件下，过点B的直线交椭圆C于S，T两点，求的取值范围．19.已知函数，其中，．求函数的单调区间；若，满足，且，求证：．函数若对任意x1，，，都有，求的最大值．20.已知，，都是各项不为零的数列，且满足，，其中是数列的前n项和，是公差为的等差数列．若数列是常数列，，，求数列的通项公式；若是不为零的常数，求证：数列是等差数列；若为常数，，求证：对任意的，，恒成立．21.已知二阶矩阵，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为求矩阵A．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为为参数以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．23.选修：不等式选讲若正数a，b，c满足，求的最小值．24.如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O且．求直线BP与平面PCD所成角的正弦值；求锐二面角的大小．25.定义：若数列满足所有的项均由，1构成且其中有m个，1有p个，则称为“数列”．，，为“数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？，，为“数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得，且的概率为．-------- 答案与解析 --------1.答案：解析：解：0，1，，，．故答案为：．进行补集的运算即可．本题考查了列举法的定义，全集和补集的定义及补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：解析：解：复数为纯虚数，，，解得．故答案为：．利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：解析：【分析】首先做出这组数据的平均数，再利用方差的公式，代入数据做出这组数据的方差，最后把方差开方做出这组数据的标准差．本题考查一组数据的标准差，我们需要先求平均数，在求方差，最后开方做出标准差，属于基础题．【解答】解：样本的平均数，这组数据的方差是，，标准差，故答案为：，4.答案：解析：解：由，即，解得，定义域为．故答案为：．由，结合指数函数的单调性，即可得到所求定义域．本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式和指数函数的性质，属于基础题．5.答案：解析：解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率．故答案为：．利用几何概率计算公式即可得出．本题考查了几何概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：5解析：解：由算法语句知：算法的功能是求满足的最小正整数的值，，，输出的i值为5．故答案为：5．算法的功能是求满足的最大正整数的值，计算S的值确定输出i的值．本题考查了当型循环结构的程序语句，根据算法的流程判断算法的功能是解题的关键．7.答案：解析：解：双曲线经过点，，解得，即．又，该双曲线的准线方程为：．故答案为：．把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8.答案：2解析：解：等比数列的公比设为q，，，成等差数列，可得，若，则，显然不成立，故，则，化为，解得，则，故答案为：2．等比数列的公比设为q，判断公比q不为1，由等比数列的求和公式和等差数列的通项公式，解方程可得，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．9.答案：解析：解：因为当时，，所以由周期函数的定义知不是函数的周期，故正确；对于定义在R上的函数，若，由偶函数的定义知函数不是偶函数，故正确；由，不一定有，反之成立，则“”是“”成立的必要不充分条件，故错误；若实数a满足，则，所以成立，故正确．正确命题的序号是．故答案为：．由周期函数的定义判断；由偶函数的概念判断；由充分必要条件的判定判断；求解一元二次不等式判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．10.答案：解析：解：如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，此四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，的高AD是四棱锥的高，此四棱锥的体积为：．故答案为：．此四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，的高AD是四棱锥的高，由此能求出此四棱锥的体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：解析：解：由条件得到，则当时，，，所以函数在处的切线为，即圆C方程整理可得：，即有圆心，且所以圆心到直线的距离，解得或，故答案为：．利用导数可求出切线方程，则切线与圆存在公共点等价于圆心到直线的距离d小于等于半径，解出不等式即可本题考查曲线上某点的切线方程，考查直线与圆存在公共点问题，属于中档题．12.答案：解析：解：因为函数，关于x的不等式的解集是，的两根为：和2；所以有：且；且；；故答案为：根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程的两根分别为和2，由此建立关于a、b，c的方程组并解之，即可得到实数a、b，错之间的关系，进而求出结论．本题给出三次函数，讨论不等式不等式的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．13.答案：解析：解：连接AC，BD，设AC，BD交于点O，以点O为原点，分别以直线OC，OD为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，，，得，，解得，，或，显然得出的是定值，取，则，．故答案为：．可连接AC，BD，并设AC与BD交于点O，然后以点O为原点，OC，OD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，从而可求出，并设根据即可求出P点的坐标，进而可求出向量的坐标，从而进行数量积的坐标运算即可求出的值．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，两点间的距离公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于中档题．14.答案：解析：解：函数，且，画出的图象如下：，又存在唯一的整数x，使得，，得；又，过定点，，，存在唯一的整数，，．故答案为：本题利用，的图象特点寻找整数x的大致范围，再代入数字检验，确定k的取值范围．本题考查了分段函数、带绝对值号函数的图象画法，以及数形结合思想，需要学生有较强的逻辑思维能力，分析出k的范围．属于中档题．15.答案：解：证明：连结OM，是菱形ABCD对角线AC、BD的交点，为BD的中点，是棱PD的中点，，平面AMC，平面AMC，平面AMC．解：在菱形ABCD中，，且O为AC的中点，，，，平面PBD，平面AMC，平面平面AMC．解析：连结OM，推导出，由此能证明平面AMC．推导出，从而平面PBD，由此能证明平面平面AMC．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解：，tan B，tan C成等差数列，可得，而，所以，又cos A，，cos B成等比数列，可得，即，可得，联立解得负的舍去，可得锐角；由可得，，由，，B为锐角，解得，同理可得，由正弦定理可得，又的面积为1，可得，解得．解析：运用等差数列和等比数列的中项性质，结合诱导公式、两角和的余弦公式、正切公式，化简计算可得，进而得到所求角；运用同角的基本关系式，求得sin B，sin C，再由正弦定理和面积公式，解方程可得所求值．本题考查等差数列和等比数列的中项性质，三角形的正弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的同角公式、两角和的余弦、正切公式，考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：解：过点Q作于点H，则，在中，，，，由正弦定理得：，，，，，即，且；，令，，且，，令，即，，记，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，当时，取最大值，此时，，的最大值为米．解析：过点Q作于点H，则，所以，由正弦定理求得，所以，所以，又，即，且；因为，令，利用导数得到当时，取最大值，此时，，所以PQ的最大值为米．本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．18.答案：解：设椭圆C的标准方程，焦距为2c，由题意得，，由，可得，则，所以椭圆C的标准方程为；证明：根据对称性，直线NE过的定点B一定在x轴上，由题意可知直线PM的斜率存在，设直线PM的方程为，联立，消去y得到，设点，，则所以，，所以NE的方程为，令，得，将代入上式并整理，，整理得，所以，直线NE与x轴相交于定点．当过点M的直线ST的斜率不存在时，直线ST的方程为，，，此时，当过点B的直线ST斜率存在时，设直线ST的方程为，且，在椭圆C上，联立方程组，消去y，整理得，则．所以，，所以，所以，由，得综上可得，的取值范围是．解析：根据题意，设椭圆方程，根据题意可知，，，即可求得b的值，求得椭圆方程；设直线PM的方程．代入椭圆方程，根据直线点斜式方程结合韦达定理，即可求得B点坐标；分类讨论，当直线ST的斜率存在，设直线ST的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可求得的取值范围．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，分类讨论思想，计算能力，属于难题．19.答案：解：，，由可得或，由可得，故函数的单调递增区间，，单调递减区间；，，或，若因为，，，由知在上单调递增，，若，由可得，因为，，所以，由在上单调递增，综上．时，，在上单调递减，不妨设，由在上单调递减，由，可得，所以，令，，可得单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，即，所以，，所以的最大值．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调区间；结合的单调性及，的范围即可证明；结合函数的单调性，把所要证明的不等式转化为同一函数的不同函数值的大小比较，进行合理的构造函数，结合单调性可求．本题综合考查了函数的性质及导数的综合应用，考查了考试分析及解决问题的能力，试题具有一定的难度．20.答案：解：，，．是各项不为零的常数列，，则，则由，及，得，当时，，两式作差，可得．当时，满足上式，则；证明：，当时，，两式相减得：，即，．即．又，，即．当时，，两式相减得：．数列从第二项起是公差为的等差数列．又当时，由，得，当时，由，得．故数列是公差为的等差数列；证明：由，当时，，即，，，即，，即．，当时，，即．故从第二项起数列是等比数列，当时，．．另外，由已知条件可得，又，，，，因而．令，则．故对任意的，，恒成立．解析：由已知得由是各项不为零的常数列，得，结合已知可得，则当时，，两式作差可得已知满足，得；由，得时，，两式相减得：进一步得到可得数列从第二项起是公差为的等差数列；由，当时，，即，结合，得，进一步得到故从第二项起数列是等比数列，求得当时，令，则故对任意的，，恒成立．本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算能力，属难题．21.答案：解：由特征值、特征向量定义可知，，，二阶矩阵，矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为．，，，且，解得，，，．矩阵．解析：由特征值、特征向量定义可知，，，由此可建立方程组，从而可求矩阵A．本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值、特征向量定、矩阵乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22.答案：解：直线l的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．设点为曲线上任意一点，则：点P到直线的距离，当时，．解析：首先把极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：正数a，b，c满足，，即当且仅当时，取等号当时，的最小值为1．解析：利用柯西不等式，即可求得的最小值．本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．24.答案：解：在正四棱锥中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O，所以平面ABCD，取AB的中点E，BC的中点F，所以OP，OE，OF两两垂直，故以点O为坐标原点，以OE，OF，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2，因为，所以，所以1，，1，，，0，，所以，设平面PCD的法向量是y，，因为，，所以，，取，则，，所以0，，所以，，所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为．设平面BPD的法向量是y，，因为，，所以，，取，则，，所以，由知平面PCD的法向量是0，，所以，所以，，所以锐二面角的大小为．解析：取AB的中点E，BC的中点F，以点O为坐标原点，以OE，OF，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2，求出平面PCD的法向量，以及，然后利用空间向量的数量积求解直线BP与平面PCD所成角的正弦值．求出平面BPD的法向量，平面PCD的法向量，然后求解锐二面角的大小．本题考查直线与平面所成角的求法，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．25.答案：解：三个数乘积为1有两种情况：“，，1”，“1，1，1”，其中“，，1”共有：种，“1，1，1”共有：种，利用分类计数原理得：，，为“数列”中的任意三项，则使得的取法有：种．与基本同理，“，，1”共有种，“1，1，1”共有种，而在“数列”中任取三项共有种，根据古典概型有：，再根据组合数的计算公式能得到：，时，应满足，，3，4，，，共99个，时，应满足，视m为常数，可解得，，，根据可知，，，，根据可知，，否则，下设，则由于p为正整数知k必为正整数，，，化简上式关系式可以知道：，，均为偶数，设，，则，，由于t，中必存在偶数，只需t，中存在数为3的倍数即可，，3，5，6，8，9，11，，23，24，，11，13，，47，49．检验：，符合题意，共有16个，综上所述：共有115个数对符合题意．解析：三个数乘积为1有两种情况：“，，1”，“1，1，1”，其中“，，1”共有：种，“1，1，1”共有：种，利用分类计数原理能求出使得的取法种数．“，，1”共有种，“1，1，1”共有种，而在“数列”中任取三项共有种，根据古典概型有：，再根据组合数的计算公式能得到，利用和分类讨论经，能求出存在多少正整数对使得，且的概率为．本题考查不同的取法种数的求法，考查分类计数原理、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。

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