1.4 曲线论的基本公式—Frenet公式

(s ) 而由题设 k (s) > 0 , 则在整个开区间 (s0 − ε, s0 + ε) 上有 λ(s) = 0 , 这与 dλ ds = 1 矛盾. 这
一矛盾说明曲线的挠率 τ (s) ≡ 0, 即曲线为平面曲线. 27
【例3 】 证明：如果曲线的所有切线都经过一定点, 则此曲线为直线. 【证明Ⅰ】 设曲线的一般参数方程为 r = r (t), ρ 是切线上任一点的向径, 则任意一 ρ − r (t) = λ(t)r (t), 若设切线都过定点 ρ0 , 则 ρ0 − r (t) = λ(t)r (t), 两边关于 t 求导, 得 0 = (1 + λ (t))r (t) + λ(t)r (t), 由于 λ(t), 1 + λ (t) 不全为零, 故上式表明 r (t) 与 r (t) 线性相关, 从而r (t) × r (t) ≡ 0, 于 是曲线的曲率 k (t) ≡ 0, 即该曲线为直线. 【证明Ⅱ】 线方程为 ρ − r (s) = λ(s)α, 由题设切线过定点, 设定点为 ρ0 , 则 ρ0 − r (s) = λ(s)α, 两边关于 s 求导, 得 0 = (1 + λ (s))α + λ(s)k (s)β , 而 α ⊥ β , 故 1 + λ (s) = 0, 且 λ(s)k (s) = 0, 若曲线上某点处 k (s) = 0, 由后式必须 λ(s) = 0, 这与前式矛盾. 于是 k (s) ≡ 0, 即该曲线为直线. 1.4.3 两条 曲线之 间的对 应 【例4 】 设在两条曲线 C1 , C2 的点之间建立了一一对应关系, 证明： (1) 若它们在对应点的切线平行, 则对应点的主法线及副法线也分别平行. (2) 若它们在对应点的主法线平行, 则对应点的切线作成固定角. (3) 若 C1 , C2 作为挠曲线在对应点的副法线平行, 则它们在对应点的切线和主法线也 分别平行. 【证明】 率为 τi (si ). 28 设曲线 Ci (i = 1, 2) 的自然参数方程为 r i = r i (si ) (i = 1, 2), 其中 si 分别是 对应曲线的自然参数, 记 Ci 在对应点的基本向量为 αi (si ), β i (si ), γ i (si ), 曲率为 ki (si ), 挠 设曲线的自然参数方程为 r = r (s), 并设切线上流动点的径矢为 ρ, 则切 点处的切线方程为
(α2 × β 2 ) = γ 2 .
(2) 由题设知 β 1
于是 (α1 · α2 ) 是与参数 s1 和 s2 无关的常量, 从而夹角 ϕ 为定值. (3) 类似于(1)的证明, 留作习题. 【例5 】 设在两条曲率处处不为 0 的曲线 C1 , C2 的点之间建立了一一对应关系, 已知 曲线 C1 的切线平行于曲线 C2 的从法线, 证明：在对应点处 (1) 曲线 C1 的从法线平行于曲线 C2 的切线. (2) 曲线 C1 和 C2 的主法线平行. (3) 曲线 C1 和 C2 的曲率与挠率之比的绝对值的乘积等于 1. 29
因此,
k τ
= ±1 . 证明：如果曲率处处不为零的曲线的所有密切平面都经过一定点, 则此曲线 设曲线的一般参数方程为 r = r (t), 并设密切平面上流动点的径矢为 R, (R − r (t), r (t), r (t)) = 0.
【例2 】 为平面曲线.
【证明Ⅰ】
则密切平面方程为
利用密切平面过定点的条件, 不失一般性设定点为坐标原点, 则 (r (t), r (t), r (t)) = 0, 上式两边关于参数 t 求导, 得 (r (t), r (t), r (t)) = 0, (2) (1)
则密切平面方程为
反设曲线在某点 P (s0 ) 处 τ (s0 ) = 0, 那么利用 τ 的连续性, 必存在一个含 s0 的开区间 (s0 − ε, s0 + ε) 满足下述性质：对于 ∀s ∈ (s0 − ε, s0 + ε) , τ (s) = 0. 则由(4)式 r (s) ⊥ β , 而由(3)式 r (s) ⊥ γ , 所以 r (s) α , 即存在可微分函数 λ(s) , 使得 r (s) = λ(s)α, 这里 s ∈ (s0 − ε, s0 + ε). (5)式两边对 s 求导, 得 dλ(s) α + λ(s)k (s)β , ds 由于 α, β 是线性无关的两个单位向量, 比较(6)式两边知 α= dλ(s) = 1, ds λ(s)k (s) = 0, (6) (5)
25
【解】
设曲线 C 的曲率和挠率分别为 k 和 τ , s 为弧长参数, 首先求 γ 关于 s 的导矢 dt 1 −τ β = √ {− cos t, − sin t, 0} , ds 2
量, 结合 Frenet 公式得
显然 τ = 0 , 否则, 是
dt ds
= 0 , 不合理, 故 β 与矢量 {cos t, sin t, 0} 平行, 但后者为单位矢量, 于
(1) 根据题设知 α1
α2 , 即 α1 = ±α2 ,
上式两边同时关于参数 s1 求导并应用 Frenet 公式, 得 k1 β 1 = ±k2 于是 β 1 β 2 , 最后 γ 1 = (α1 × β 1 ) β2 , 即 β 1 = ±β 2 , 设 C1 和 C2 在对应点的切线之间的夹角为 ϕ, 则 cos ϕ = α1 · α2 , 下面我们来证明 (α1 · α2 ) 与参数 s1 和 s2 ห้องสมุดไป่ตู้无关, 从而ϕ 是定角. 事实上 d(α1 · α2 ) dα1 dα2 = · α2 + α1 · ds1 ds1 ds1 ds2 = k1 β 1 · α2 + k2 α1 · β 2 ds1 ds2 α1 · β 1 = ±k1 α2 · β 2 ± k2 ds1 = 0, 类似的推理, 我们可以得到 d(α1 · α2 ) = 0, ds2 ds2 β , ds1 2
【证明】 率为 τi (si ).
设曲线 Ci (i = 1, 2) 的自然参数方程为 r i = r i (si ) (i = 1, 2), 其中 si 分别是
对应曲线的自然参数, 记 Ci 在对应点的基本向量为 αi (si ), β i (si ), γ i (si ), 曲率为 ki (si ), 挠 (1) 根据题设, α1 (s1 ) = ±γ 2 (s2 ), 上式两边同时关于参数 s1 求导并应用 Frenet 公式, 得 β 1 (s1 ) = ± 从而, β 1 (s1 ) 于是 γ 1 (s1 ) = α1 (s1 ) × β 1 (s1 ) 即在对应点处, C1 的从法线平行于 C2 的切线. (2) (1)的证明中已经得到相应结论. (3) 由(1)知 γ 1 (s1 ) = ±α2 (s2 ), 两边同时关于参数 s1 求导并应用 Frenet 公式, 得 −τ1 (s1 )β 1 (s1 ) = ±k2 (s2 ) 注意到(1)的证明中得到的(*)式, 则有 τ1 (s1 ) = ±k1 (s1 ) 即 k2 (s2 ) , τ2 (s2 ) ds2 β (s2 ), ds1 2 γ 2 (s2 ) × β 2 (s2 ) α2 (s2 ), β 2 (s2 ), 且 τ2 (s2 ) ds2 β (s2 ), k1 (s1 ) ds1 2 ds2 k1 (s1 ) =± , ds1 τ2 (s2 ) (∗)
§1.4 曲线论的基本公式—Frenet 公式
1.4.1 Frenet 公式 由§1.2我 们 已 经 知 道, 在 曲 线 C : r = r (s) 上 任 一 点 P (s) 处, 有 三 个 两 两 互 相 垂 直 的 单 位 矢 量 α(s), β (s), γ (s), 它 们 组 成 曲 线 的 基 本 三 棱 形, 或 称 Frenet 标 架, 记 为 {P (s); α(s), β (s), γ (s)}. 因为 α, β , γ 是三个线性无关的向量, 所以 P (s) 点处的任意一个向量都可以写成它们的 ˙,γ ˙ ,β ˙ 也可以用它们线性表示. 由曲率 线性组合, 特别基本向量 α, β , γ 关于弧长的导矢量 α 和挠率的定义, 我们已经知道 ˙ = kβ, α 其中 k 和 τ 是曲线在 P 点处的曲率和挠率. 现在对式 β = γ × α 两边关于弧长 s 求导, 并利用上面两式便得 ˙ = −k α + τ γ , β 于是我们得到下述公式 ˙ = α kβ, ˙ = −k α β + τ γ, ˙ = γ −τ β , ˙ = −τ β , γ
这组公式是由法国数学家 Frenet 于 1847 年发现的, 通常称为 Frenet 公式, 同一组公式也 被法国数学家 Serret 于 1851 年所独立发现, 所以也有 Frenet-Serret 公式 的说法. 随着时 间的推移, 人们越来越认识到这组公式是曲线论的灵魂, 它是研究曲线的几何性质的强有 力的工具. 1.4.2 Frenet 公式 的初步 应用 【例1 】 已知曲线 C : r = r (t) (t 为一般参数) 的副法矢量 1 γ = √ {− sin t, cos t, 1}, 2 求它的切矢量 α 和主法矢量 β , 并求它的曲率和挠率之比.
代入(2)式, 并注意到 (r (t), r (t), r (t)) = 0, 从而 µ(t) = 0, 于是 r(t) = λ(t)r (t), 这里 t ∈ (t0 − ε, t0 + ε). 上式两边关于 t 求导, 得 (1 − λ (t))r (t) = λ(t)r (t), 易见 1 − λ (t), λ(t) 不全为 0 , 因此 r (t), r (t) 线性相关, 换句话说, r (t) × r (t) = 0, 这与曲 率处处不为 0 相矛盾. 于是, 挠率 τ (t) ≡ 0, 即曲线为平面曲线. 【证明Ⅱ】 设曲线的自然参数方程为 r = r (s), 并设密切平面上流动点的径矢为 R, (R − r (s)) · γ = 0. 由题设密切平面过定点, 不失一般性设定点为坐标原点, 则 r (s) · γ = 0, 两边关于弧长 s 求导, 得 τ (s)r (s) · β = 0. (4) (3)
k1 (s1 ) k2 (s2 ) · = 1. τ1 (s1 ) τ2 (s2 )
【例6 】
若曲线 C 能与另一条曲线 C1 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C
的主法线与 C1 的副法线重合, 则称曲线 C 称为孟恩哈姆曲线. 试证明：曲线 C 为孟恩哈姆 曲线的充要条件是 λ0 (k 2 + τ 2 ) = k , 其中 λ0 是常数, k, τ 分别是C 的曲率和挠率. 【证明】 (⇒) 设曲线 C 的自然参数方程为 r = r (s) , 曲线 C1 的自然参数方程为 r 1 (s1 ) = r (s) + λ(s)β (s), 30 r 1 = r 1 (s1 ), 则由题设
若存在某个参数值 t0 , 使得 τ (t0 ) = 0, 则由 τ 的连续性, 必存在某个开区间 (t0 − ε, t0 + ε), 在 这 个 开 区 间 上 有 τ (t) = 0, 或 (r (t), r (t), r (t)) = 0, 由 题 设, 曲 率 处 处 不 为 0 , 即 r (t), r (t) 线性无关, 这时由(1)式, r(t) 可有如下线性表示 r(t) = λ(t)r (t) + µ(t)r (t), 26
β = ±{cos t, sin t, 0}, 1 α = β × γ = ± √ {sin t, − cos t, 1}, 2 1 dt τ = ±√ , 2 ds 为求曲率和挠率之比, 注意到, 1 dt ˙ = ± √ {cos t, sin t, 0} , α ds 2 ˙ = k β , 比较两式得 而α 1 dt k=√ , 2 ds