北师大版八年级数学下册 公式法 教案
北师大版数学八年级下册4.3《公式法》教学设计
北师大版数学八年级下册4.3《公式法》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.3《公式法》是学生在学习了二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法等知识后，进一步学习解决实际问题的一种方法。
公式法作为一种解决实际问题的方法，在代数学中占有重要地位。
本节课通过具体实例，让学生掌握公式法的原理和应用，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的解法、二元一次方程组的解法等知识，具备了一定的数学基础。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，引导学生将所学知识应用于实际问题中。
三. 教学目标1.理解公式法的原理，掌握公式法在解决实际问题中的应用。
2.培养学生运用公式法解决实际问题的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：公式法的原理和应用。
2.难点：如何引导学生将所学知识应用于实际问题中。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，通过具体实例，引导学生发现公式法的原理，再通过练习巩固所学知识，最后运用所学知识解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关实例，用于引导学生发现公式法的原理。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
3.准备实际问题，用于培养学生运用公式法解决实际问题的能力。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决此类问题。
例如：某商店举行打折活动，原价100元的商品打8折，求打折后的价格。
2.呈现（10分钟）呈现实例，引导学生发现公式法的原理。
例如：设商品原价为x元，打折后的价格为y元，根据题意可得：y = 0.8x。
引导学生发现，实际问题中往往存在一定的规律，通过找出规律，可以得到解决实际问题的公式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试用所学知识解决实际问题。
每组选择一个实际问题，运用公式法进行解决。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）呈现练习题，让学生独立完成。
8年级数学北师大版下册教案第4章《公 式 法》
教学设计公式法教学目标：1．理解平方差公式的本质，即“结构的不变性，字母的可变性”；会用平方差公式进行因式分解；使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解.2．经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.教学重点与难点：重点：会用平方差公式a2-b2= (a+b)(a-b)进行因式分解.难点：多项式是两个二项式的平方差时，如何运用公式a2-b2= (a+b)(a-b)因式分解．课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：回答下列问题.问题1：当今时代是网络时代，数字语言在生活中，在网络中应用已相当广泛．你知道在网络用语中“1314”表示什么意思吗？问题2：今年是2014年，你知道“2014”在网络用语中表示什么意思吗？“2013”呢？问题3：你能计算出“爱你一世”2-“爱你一生”2等于多少吗？处理方式：问题1、2由学生口答完成.对于问题3先让学生列出算式20142-20132，然后让一名学生在黑板上板书过程，如：20142-20132=(2014+2013)(2014-2013)=4027．其余学生在练习本上完成．完成后教师引导学生分析运算的依据，从而引入出新课．引导性语言举例：你能说说你是如何运算的吗？是直接运用吗？公式(a+b)(a-b)=a2-b2逆过来是什么形式？整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2逆运用后变为a2-b2= (a+b)(a-b)的形式．此时公式的左边为多项式，右边为乘积的形式，这种变形我们称为什么？设计意图：利用学生感兴趣的网络数字用语，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步体会了整式的乘法与因式分解是两个互逆的过程，这也为新课的学习做好铺垫．二、探究学习，感悟新知活动内容1：（多媒体出示）请同学们观察多项式x2-25，9x2-y2，完成以下探究问题，并与同伴交流．1．两个多项式的共同特征：多项式都只有项，项的符号，每项．．都可以写成的形式．2．尝试将x2-25，9x2-y2写成两个因式的乘积：x2-25=_____2-______2=（_______）（________）；9x2-y2=______2-______2=（_______）（_______）．依据是：．处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，强调：我们把公式a2-b2= (a+b)(a-b)称为因式分解的平方差公式，同时形象的表示为“■2-■2=(■+■)(■-■)”．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对平方差公式从感性认识上升到理性认识．先从观察多项式入手，体验这些多项式所具有的平方差的特征，在这一过程中让学生再次感受因式分解与整式乘法的关系．活动内容2：你能根据公式的特点判断出下列各式能用平方差公式因式分解吗？若能，你能确定公式中的a和b是什么吗？（多媒体出示）1．下列各式能用平方差公式a2-b2= (a+b)(a-b)因式分解吗？若能，你能确定公式中的a 和b是什么吗？（1）a2-42；（2）9-m2n2；（3）x2-425y2．2．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？若不能，为什么？（1）4x2-y2；（2）4x2+y2；（3）-4x2+y2；（4）-4x2-y2．3．通过对以上问题的解决，你能说说一个多项式若能够运用平方差公式进行因式分解，它应满足什么条件吗？处理方式：在老师的指导下，让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行实例练习，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论.同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释.设计意图：通过两道练习题让学生自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征，加深对能够运用平方差公式因式分解的多项式特点的认识．三、例题解析，应用新知活动内容1：我们能够判断一个多项式能否使用平方差公式进行因式分解，你能顺利的利用平方差公式进行因式分解吗？请同学们用10秒钟的时间观察例1中的两个多项式的特点，想一想如何进行因式分解．（多媒体出示例1）例1 把下列各式因式分解：（1）25-16x2；（2）9a2-14b2．处理方式：先给学生10秒钟时间观察例1两式的特点，再分别口述解题过程，教师板书.在学生口述过程中，教师可进行有针对性的提问，让学生明确公式中的a、b在25-16x2、9a2-14b2中分别指什么；25-16x2、9a2-14b2可以写成哪两个数或式的平方差的形式.学生完成后教师可借助多媒体展示下图，让学生进一步理解并规范如何使用平方差公式进行因式分解.（多媒体出示，同时给学生半分钟时间反思体会）巩固训练1：把下列各式因式分解：（1）a2b2－4m2；（2）9m2–n2；（3）–16x2＋81y2．处理方式：让三名学生主动到黑板板演，其他学生在练习本上完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．对于第（3）小题，可展示学生解法的多样性，拓展学生的思路.参考答案：（1）a2b2－4m2 =( ab)2－(2m)2 = ( ab+2m)( ab－2m)．（2）9m2–n2=(3m)2–n2=(3m+n)( 3m–n)．（3）–16x2＋81y2=(9y)2–(4x)2= (9y+4x)( 9y-4x)；–16x2＋81y2=–(16x2–81y2)= –[(4x)2–(9y)2)]= –(4x +9y)( 4x-9y)．设计意图：例1的设计主要是直接利用平方差公式因式分解，让学生体会公式中的a，b在此例中分别是什么．通过巩固练习加深对知识的理解与应用．活动内容2：1．通过以上解题过程，我们发现公式中a 、b 可以是一个数，也可以是一个单项式，也就是说可以是一个单项式，那么当公式中的a 、b 是多项式时又如何因式分解呢？比如我们把多项式9m 2–n 2中的m 换成m +n ，把n 换成m –n ，即变成9(m +n )2-(m -n )2．观察多项式9（m +n ）2-（m -n ）2，你能确定公式中的a 、b 吗？你能把多项式9（m +n ）2-（m -n ）2写成平方差的形式吗？你能类比9m 2–n 2因式分解的过程把多项式9(m +n )2-(m -n )2因式分解吗？处理方式：学生思考并回答引导问题，通过交流讨论，在类比中尝试对当公式中的a 、b 是多项式的情况进行因式分解．对于多项式9(m +n )2-(m -n )2的因式分解过程，可以由一名学生板演，其余学生练习本上完成，然后借助多媒体展示矫正、规范理解．设计意图：活动的设计意在通过一系列的引导性问题，引导学生通过类比公式中a ，b 是单项式时的因式分解方法，来学习当公式中的a ，b 是多项式时如何因式分解，从而进一步加深学生对应用公式进行因式分解的理解.2．请同学们结合大屏幕，再次体会此例的解题步骤，注意解题过程中的细节. （多媒体出示例2及解题过程，同时给学生半分钟时间反思体会）例2 把多项式9(m +n )2-(m -n )2因式分解.解： 9(m +n )2-(m -n )2------------------------（写成两式平方差的形式）=[3(m +n )]2-(m -n )2----------------------------（别忘了要加中括号）=[3(m +n )+(m -n )][ 3(m +n )-(m -n )]----------（去括号）=(3m +3n +m -n )(3m +3n -m +n ) ---------------（合并同类项）=(4m +2n )(2m +4n )----------------------------（提公因式）=4(2m +n )( m +2n )．巩固训练2：把下列各式因式分解.(1) (m +n )2-n 2; (2) (2x +y )2-(x +2y )2．处理方式：让学生先根据多媒体展示的例2解题过程，理解因式分解的步骤及注意事项.然后让两名同学板演巩固训练2，其余学生再练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时强调，如：别忘了加中括号；当括号前面是负号时去掉括号要变号．设计意图：活动的设计意在进一步让学生理解平方差公式中的字母a ，b 不仅可以表示具体的数，而且可以表示其他代数式，如一个单项式或一个多项式等．在这里，平方差公式中的字母都表示一个二项式．这个多项式是两个二项式的平方差，分解后的两个因式往往需要进行去括号、合并同类项等化简整理的过程．活动内容3：1．以上二项式都可以使用平方差公式因式分解，是否任何一个二项式都可以直接使用平方差公式分解呢？请同学们观察多项式2x 3-8x ，你能将它进行因式分解吗？处理方式：学生口述，教师板书．完成后多媒体出示例3的解题过程.例3 把多项式2x 3-8x 因式分解．（多媒体出示）解：2x 3-8x =2x (x 2-4) ------------（提公因式）=2x (x 2-22) ------------------------------（运用平方差公式）=2x (x +2) (x -2)．2．你能说说本题的解题过程吗？学生思考后回答：先提公因式，再运用平方差公式分解．巩固训练3：把多项式2233ay ax 因式分解.处理方式：一名学生板演，其余学生在练习本上完成．完成后，让学生对板演的同学进行评价，教师及时点评表扬．设计意图：主要是引导学生体会因式分解的基本步骤：多项式中若含有公因式，就要先提出公因式；然后再进一步分解，直至不能再分解为止．四、回顾反思，提炼升华师：同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈提高师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）A 组：1．在多项式①－m 4－n 4，②a 2＋b 2，③－16x 2＋y 2，④9（a －b ）2－4，⑤－4a 2＋b 2中，能用平方差公式分解因式的有 ．2．将下列各多项式分解因式：（1）a 3－16a （2）9(x －y )2－4(x +y )2B 组：3．在边长为a cm 的正方形木板上开出边长为b cm 的四个正方形小孔（如图所示），你能求出剩余部分的面积（用a 、b 表示）？若a =14.5cm ，b =2.75cm ，则剩余部分的面积为多少？处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，课堂延伸必做题：课本100页，习题4.4第1题（5）（7）第2题（2）（4）．选做题：1．课本101页，习题4.4第3题．2．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4－y 4，因式分解的结果是（x －y ）（x ＋y ）（x 2＋y 2），若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：（x －y ）＝0，（x ＋y ）＝18，（x 2＋y 2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x 3－xy 2，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）.结束语：师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢你们！就让我把这份感动与惊喜埋在心底“一生一世”，相信你们的明天会更美好！祝愿同学们：象雄鹰一样飞的更高，飞的更远！（多媒体播放歌曲“飞的更高”结束本课）板书设计：。
八年级数学北师大版下册 第4章《公式法》教学设计 教案(1)
把多项式进行适当的变形，灵活运用平方差公式因式分解.
课堂检测
四、巩固训练
1.下列各式能用平方差公式分解因式的是（）
4m²+n² B. 4m- (-n)²
C. -4 m²-n³ D. - m²+ n²
2.-4a²+1分解因式的结果应是（）
A(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1)
教学设计
公式法
课题
4.3.1公式法（1）
单元
级（下）
学习
目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
重点
会用平方差公式进行因式分解。
难点
掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
=(x2+x+2)(x2+x)
=x(x+1)(x2+x+2)
6.如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
解:a2-4b2=(a+2b)(a-2b)cm2
当a=3.6，b=0.8时,
原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8)
4.把多项式x4-16因式分解.
x4-16=(x2+4)(x+2)(x-2)
5.分解因式
（1）(x－1)+b2(1－x)（2）(x2+x+1)2－1
解：（1）(x－1)+b2(1－x)
北师大版八年级数学下册4.3《公式法》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了公式法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对公式法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“公式法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式、平方差公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与公式法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示完全平方公式的应用和基本原理。
北师大版八年级数学下册4.3《公式法》教案
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学下册第四章第三节《公式法》。教学内容主要包括以下方面：
1.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²、a² - 2ab + b² = (a - b)²；
2.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)；
2.教学难点
-理解并记忆各种公式的结构，尤其是立方和与立方差公式的应用。
【精品】北师大版八下运用公式法教案2篇
【关键字】精品§2.3.1 运用公式法（一）●教学目标教学知识点 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式.能力训练要求 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力2.训练学生对平方差公式的运用能力.情感与价值观要求在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.●教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.●教学难点将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.●教学方法引导自学法●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.Ⅱ.新课讲解1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2 （1反过来 a2－b2=（a+b）（a－b）（2）2.公式讲解a2－b2的特点：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差如：x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.2－4n2=（）2－（2n）2=（ +2n）（－2n）3.例题讲解例1、把下列各式分解因式：（1）25－16x2;（2）9a2－b2.例2、把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x.补充例题判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）•（a2－1）.Ⅲ.课堂练习1、P49随堂练习2、补充练习分解因式（1）36（x+y）2－49（x－y）2; （2）（x－1）+b2（1－x）;（3）（x2+x+1）2－1.Ⅳ.课时小结①分解时先看是否有公因式，再考虑平方差公式②分解时一定要分解完整完全。
Ⅴ.课后作业Ⅵ.活动与探究把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式●备课资料把下列各式分解因式：（1）49x2－121y2; （2）－25a2+16b2; （3）144a2b2－0.81c2;（4）－36x2+y2; （5）（a－b）2－1; （6）9x2－（2y+z）2;（7）（2m－n）2－（m－2n）2; （8）49（2a－3b）2－9（a+b）2§运用公式法（二）●教学目标教学知识点 1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.●教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式●教学方法观察—发现—运用法●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点完全平方公式：（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2; （a －b ）2 =a 2－2ab +b 2倒写： a 2+2ab +b 2=（a +b ）2; a 2－2ab +b 2=（a －b ）2. 左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.形如a 2+2ab +b 2或a 2－2ab +b 2的式子称为完全平方式.练一练下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a+4; （2）x2+4x +4y2; （3）4a2+2ab+ b2;（4）a2－ab+b2; （5）x2－6x －9; （6）a2+a +0.25.2.例题讲解例1、把下列完全平方式分解因式：（1）x 2+14x +49; （2）（m +n ）2－6（m +n ）+9. 例2、把下列各式分解因式：（1）3ax 2+6axy +3ay 2; （2）－x 2－4y 2+4xy .Ⅲ.课堂练习1、P52随堂练习2、补充练习 把下列各式分解因式：（1）4a 2－4ab +b 2; （2）a 2b 2+8abc +16c 2; （3）（x +y ）2+6（x +y ）+9; （4）1442m －6mn +n 2; （5）4（2a +b ）2－12（2a +b ）+9;（6）51x 2y －x 4－1002y Ⅳ.课时小结用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负Ⅴ.课后作业习题2.5●备课资料把下列各式分解因式1、－4xy－4x2－y2;2、3ab2+6a2b+3a3;3、（s+t）2－10（s+t）+25;4、0.25a2b2－a bc+c2;5、x2y－6xy+9y;6、2x3y2－16x2y+32x;7、16x5+8x3y2+xy4此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
《公式法》第1课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】
《公式法》教学设计第1课时一、教学目标1.能够理解并熟练运用平方差公式分解因式，体会转化思想.2.能够综合运用提公因式法、平方差公式法分解因式.3.经历通过整式乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力.4.通过对平方差公式特点的辨析过程，培养观察、理解、概括和应用能力、语言表达能力.二、教学重难点重点：理解并熟练运用平方差公式分解因式.难点：能够综合运用提公因式法、平方差公式法分解因式.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计【探究】教师活动：通过观察x2-25，9x2-y2入手，体验这些多项式所具有的平方差的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的平方差公式.计算下列各式:(1)(x+5)(x-5)= ________ ,(2)(3x+y)(3x-y)= ________.预设答案：（1）x2-25；（2）9x2-y2根据上面算式填空:(1) x2-25=_____________,(2)9x2-y2=_____________.预设：（1）(x+5)(x-5)；（2）(3x+y)(3x-y).提问：你有什么发现呢？预设答案：前两个形如(a+b)(a-b)=a2-b2，是整式的乘法，后两个形如a2-b2=(a+b)(a-b)，是因式分解.而且它们是左右调换的.【归纳】平方差公式:两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.【想一想】平方差公式有什么特点？预设答案：左边：只有两项，两个数的平方差的形式；右边：两数的和与差的积追问：什么样的形式的多项式才可以套用平方差公式来进行因式分解呢？预设答案：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:( )2-( )2的形式. (两数是平方，减号在中央)【做一做】观察下面的拼图过程，验证平方差公式是否正确？预设答案：a2-b2=(a+b)(a-b)，是正确的.分析：(1)把9(m+n)2看成是a2,(m-n)2看成是b2，从而公式中的a为3（m+n）,b为m-n,再套用平方差公式.（2）有公因式2x需先提出来，剩下的x²-4，再套用平方差公式.解：（1）原式=[3(m+n)]²-（m-n)²=[3（m+n）+（m-n）][3（m+n）-（m-n）]=[3m+3n+m-n][3m+3n-m+n]=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)](m+2n)注意：分解要彻底！a²-b²=(a + b)(a-b)中的a，b 可以表示数、单项式，也可以是多项式.（2）原式=2x3-8x=2x（x²-4）=2x（x²-2²）=2x（x-2）(x+2)注意：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.【随堂练习】教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2=______；(2)(a+b)2-(a-b)2=______；(3) 2x3-8=_________；(4)-a4+16=_______.答案：(1)(4a+3b)(4a-3b) ；(2)4ab；(3)2(x+2)(x-2) ；(4)(4+a2)(2+a)(2-a)．2.多项式4a-a³分解因式的结果是( )A.a(4-a²)B. a(2-a)(2+a)C. a(a-2)(a+2)D. a(2-a)²答案：B3.如图，在一块边长为a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形，求剩余部分的面积.如果a=3.6，b=0.8呢？解：a2-4b2=(a+2b)(a-2b)所以剩余部分的面积为(a+2b)(a-2b )cm²当a=3.6，b=0.8时，(a+2b)(a-2b )=(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)=(3.6+1.6)(3.6-1.6)=5.2×2=10.4(cm²)4.利用因式分解进行简便计算：(1)1012－992；(2)53.52×4－46.52×4.解：(1)1012－992=(101+99)(101－99)=400；(2)53.52×4－46.52×4.＝4×(53.52－46.52)＝ 4 ×(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7＝2800.以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容:教科书第100页习题4.4第2、3题.。
2024年北师大版八年级下册数学教案5篇
北师大版八年级下册数学教案5篇北师大版八年级下册数学教案（篇1）一、学习目标：1．经历探索平方差公式的过程。
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。
二、重点难点重点：平方差公式的推导和应用；难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。
三、合作学习你能用简便方法计算下列各题吗？（1）20_×1999（2）998×1002导入新课：计算下列多项式的积．（1）（_+1）（_—1）；（2）（m+2）（m—2）（3）（2_+1）（2_—1）；（4）（_+5y）（_—5y）。
结论：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
即：（a+b）（a—b）=a2—b2四、精讲精练例1：运用平方差公式计算：（1）（3_+2）（3_—2）；（2）（b+2a）（2a—b）；（3）（—_+2y）（—_—2y）。
例2：计算：（1）102×98；（2）（y+2）（y—2）—（y—1）（y+5）。
随堂练习计算：（1）（a+b）（—b+a）；（2）（—a—b）（a—b）；（3）（3a+2b）（3a—2b）；（4）（a5—b2）（a5+b2）；（5）（a+2b+2c）（a+2b—2c）；（6）（a—b）（a+b）（a2+b2）。
五、小结（a+b）（a—b）=a2—b2北师大版八年级下册数学教案（篇2）教学目标：1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）． 2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学计数法表示小于1的数．教学重点：掌握整数指数幂的运算性质。
难点：会用科学计数法表示小于1的数。
情感态度与价值观：通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，服务于实践。
能利用事物之间的类比性解决问题．教学过程：一、课堂引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：（1）同底数的幂的乘法：am?an = am+n（m，n是正整数）；（2）幂的乘方：（am)n = amn (m，n是正整数）；（3）积的乘方：（ab)n = anbn (n是正整数）；（4）同底数的幂的除法：am÷an = am?n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）；（5）商的乘方：（)n = (n是正整数）；2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a0 = 1．3．你还记得1纳米=10?9米，即1纳米=米吗？4．计算当a≠0时，a3÷a5 ===，另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质am÷an = am?n (a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么a3÷a5 = a3?5 = a?2，于是得到a?2 =(a≠0)。
北师大版八年级数学下册2.3运用公式法教案
第四、五课时：2.3运用公式法教学目标：1、知识与技能目标：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式、完全平方公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式、完全平方公式分解因式．2、过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对两个公式的运用能力．3、情感与态度目标：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．教学重点：会用平方差公式、完全平方公式进行因式分解教学难点：采用适当公式第四课时教学过程：第一环节创设情境引入新课填空：（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x 2–9= ；（4）1–4x 2= ．第二环节 探究新知问题1：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）问题2：把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．问题3：将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．第三环节： 随堂练习55页练习1、2、3第四环节：课堂小结问题：从今天的课程中，你学到了哪些知识？需要注意什么？注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a 与b 既可以是单项式，又可以是多项式；第五环节：布置作业A 组：创新设计 教材：56页1、2、3B组：创新设计教材56页1、2C组：创新设计教材56页1板书设计：第五课时教学过程：第一环节复习提问填空：（1）（a+b）（a-b）= ；（2）（a+b）2= ；（3）（a–b）2= ；根据上面式子填空：（1）a2–b2= ；（2）a2–2ab+b2= ；（3）a2+2ab+b2= ；第二环节探究新知活动1、结论：形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．活动2、观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．（1）x2–4y2（2）x2+4xy–4y2（3）4m2–6mn+9n2（4）m2+6mn+9n2结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解，活动3、把下列各式因式分解：（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2（3）m 2–9132+m （4）()()1682++++n m n m 活动目的：(1)培养学生对完全平方公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．活动4、将下列各式因式分解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.第三环节： 随堂练习58页练习1、2、第四环节：课堂小结问题：从今天的课程中，你学到了哪些知识？需要注意什么？注意事项：1）有公因式则先提取公因式；（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；（3）完全平方公式中的a 与b 既可以是单项式，又可以是多项式；第五环节：布置作业A 组：创新设计 教材：60页1、2、3 、4B组：创新设计教材60页1、2 C组：创新设计教材60页1板书设计：教学反思。
北师大版八年级数学下册优秀教学案例4.3.1公式法
一、案例背景
本节内容为北师大版八年级数学下册第四章第三节第一课时“公式法”，旨在让学生掌握完全平方公式及应用，培养学生运用公式解决实际问题的能力。在此之前，学生已学习了有理数的乘方、平方差公式，为本节课的学习奠定了基础。本节课的内容对于理解二次函数、解一元二次方程等后续知识具有重要意义，因此，探索和理解公式法在这一章节显得尤为关键。
1.什么是完全平方公式？
2.完全平方公式是如何推导出来的？
3.如何运用完全平方公式解决实际问题？
在问题导向教学过程中，教师应关注问题的设计，确保问题具有启发性和挑战性。同时，教师还需关注学生的回答，及时给予反馈和指导，引导学生正确思考和解决问题。
（三）小组合作
小组合作是一种有效的教学策略，可以培养学生的合作意识、团队精神和沟通能力。在本节课中，教师可以组织学生进行小组合作学习，让学生在解决问题的过程中相互启发、取长补短。例如，教师可以设计一些小组讨论题，让学生在小组内进行讨论和交流。
本节课的导入环节，我会采用情境教学法，设计一个与生活密切相关的问题情境，让学生在解决问题的过程中自然地引入完全平方公式。例如，我可以这样导入新课：“同学们，假设你们家里要装修一个矩形房间，已知房间的长和宽，你们知道如何计算这个房间的面积吗？今天，我们就来学习一种简化计算过程的方法——完全平方公式。”
在教学过程中，教师应以富有激情的语言、生动有趣的故事和贴近生活的实例，激发学生对数学的兴趣。同时，教师还需注重培养学生的自主学习能力，引导学生养成良好的学习习惯。在解决实际问题的过程中，教师应鼓励学生勇于探索、积极思考，培养学生的创新意识和实践能力。
为了实现这一目标，教师可以结合教学内容，讲述一些数学家的故事，让学生了解数学的发展历程，感受数学的博大精深。此外，教师还需关注学生的情感需求，及时给予关爱和支持，让学生在数学学习中感受到温暖和快乐。
八年级数学下册 4.3.1 公式法教案1 (新版)北师大版
课题：4.3.1公式法教学目标：1．理解和掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式分解因式．2．经历通过平方差公式逆向运算的推导得出用公式分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力．3．经历探究方法的过程，体验数学思想方法和成功的喜悦．教学重点与难点：重点：是应用平方差公式分解因式．难点：准确理解和掌握公式的结构特征；灵活应用公式法和提取公因式法分解因式．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、创设情景，导入新课问题1：看谁算得又快又准：（1）642－362 = ；（2）20152-20142= ．问题2：能说一下你的方法吗？引导语：逆用平方差公式可以帮助我们简便运算，那么能否帮助我们进行分解因式呢？本节课我们一起去感受乘法公式—平方差公式的魅力．【教师板书课题：§4.3 公式法（1）】.处理方式：学生观察、思考，尝试快速计算后说明自己的方法.设计意图：通过师生比赛计算入手有效地激发了学生的学习兴趣，唤起了他们强烈的求知欲望.使学生把学习当成一种自我需要，为学生营造一种轻松、和谐的学习氛围，从而自然导入新课．二、合作交流，探究新知探究一：观察发现（1）观察多项式x2-25，9x2-y2，它们有什么共同特征？（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．处理方式：学生认真观察思考，有的面露困惑，有的积极动手尝试写成两个因式的乘积，组内同学积极地进行交流，然后纷纷举手．设计意图：学生通过观察、交流，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，得到了分解因式的平方差公式，再次感受整式乘法与分解因式之间的互逆关系．发展学生的逆向思维、分析能力和推理能力．判断下面多项式能否用平方差公式来分解因式？①x2-1；②x2+y2；③-x2+ y2；④-x2-y2；⑤19m2-4n2；⑥ (a+b)2-(c+d)2．处理方式：学生观察、思考，并总结运用平方差公式分解因式的前提条件.设计意图：引导学生观察与平方差公式结构类似的几个变式，判断能否用平方差公式进行因式分解，有助于让学生注意到运用平方差进行因式分解的前提条件，为下一步进行因式分解做好准备．同时让学生理解平方差公式中的字母a、b不仅可以表示单项式，而且可以表示多项式．探究二：应用新知例1把下列各式分解因式：（1）25-16x2；（2）9a2-14b2．处理方式：学生对比公式，明确公式中的a与b在此例中分别是什么，从而直接利用平方差公式因式分解.设计意图：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；（1）（2）两道题目较简单，是公式简单应用，考查学生对公式的直接应用能力，为后面公式的灵活应用做铺垫.例2把下列各式分解因式：（1）9(m+n)2-(m-n)2；（2）2x3-8x ．处理方式：学生积极动手尝试分解因式，并小组交流，然后展示.设计意图：让学生进一步理解在平方差公式a2–b2=（a+b）（a–b）中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，同时向学生渗透换元的思想方法；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．三、思维训练，巩固提高1．判断下列分解因式是否正确：（1）-4a2+9b2=(-2a+3b)(-2a-3b)；（2）9-25a2=(3+25a)(3+25a)；（3）(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2；（4）a4-1=(a2)2-1=(a2+1)(a2-1)．2．把下列各式分解因式：（1）a2b2-m2；（2）- 4a2 +1；（3）(m-a)2-(n＋b)2；（4）3x3y-12xy．处理方式：学生代表去大黑板板演，其余学生独立完成.教师巡视了解学生对知识的掌握情况,同时关注学生在练习中出现的问题,纠正学生解题中发生的错误，并对各种错误进行评析．拓展练习：3．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□-4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有种．4．如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．处理方式：拓展练习，为学有余力的学生提供素材，加深学生对平方差公式分解因式的理解与运用能力．设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，分解因式的步骤是否真正了解，以便能及时地进行查缺补漏．对于完成好的同学,教师给予鼓励;对回答问题暂时有困难的同学,教师应帮助他们树立信心.四、归纳总结，形成体系师：通过本节课的学习你都学到了哪些知识？掌握了哪些数学方法？你还有什么疑难问题要和大家一起探讨吗？学生畅所欲言，谈收获与感受．设计意图：先引导学生自由发言、互相补充，教师进行修正、精炼阐述．这样的小结既梳理了知识，又点明了本节课的学习要点，同时使学生对本节知识体系有一个清晰的认识，为下节的学习打下良好基础，起到画龙点晴的作用．五、达标检测，反馈矫正１．下列多项式，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（）A．-x2+y2 B．4a2-(a+b)2 C．a2-8b2 D．x2y2-1212．分解因式x2y-4y的正确结果是（）A．y(x+2)(x-2) B．y(x+4)(x-4) C．y(x2-4) D．y(x-2)23．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（）A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，84．设n为整数，则(2n+1)2-25一定能被（）整除A．6 B．5 C．4 D．125.若226-=，且2m n+=．m n-=，m n处理方式：学生5分钟完成并展示答案，全班反馈、矫正．教师及时评价！设计意图：及时反馈，了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力.教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性的进行讲解.六、布置作业，巩固深化必做题：课本P100习题4.4 第1、2、3题．选做题：生活中的密码：在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－y4，分解因式的结果是(x－y)(x＋y)(x2＋y2)，若取x ＝9，y＝9时，则各个因式的值是：(x－y)＝0，(x＋y)＝18，(x2＋y2)＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－x y2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：（写出一个即可）．你能依据上述方法设计一个密码程序吗？并让你的同伴进行破译，试试看？设计意图：作业的设计突出层次性，可更好地调动不同学生的学习热情.满足不同层次学生的需要．板书设计：。
数学北师大版八年级下册公式法教学设计
21.2.3 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（师生合作完成板书计算）用配方法解下列方程（1）x ²＋8x －9=0 （2）2x ²＋6=7x总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -+，x 2=2b a- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a-≥0直接开平方，得：x+2b a =即x=2b a-∴x 1=2b a -+x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-± （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．三、巩固练习由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2（师生合作完成）（3）2x ²＋5＝7x（4）4x(x －1)＋3＝0（5）4(y ²＋0.09)＝2.4y分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0==∴x 1=22+x 2=22 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0x=(5)57236--±=⨯ x 1=2，x 2=-13四、 加强练习1、用公式法解下列方程．(1) 2x ²－9x ＋8＝0（2）9x ²＋6x ＋1＝0（3）16x ²＋8x ＝33（4）x(x －3)＋5＝0（5）5x ²＋x ＝7（6）(x ＋1)(4x ＋1）＝2x教师巡视、指导例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9134±= x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12．（2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意．②当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-13一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．B ．C ．x=32-± D ．x=32±22的根是（ ）．A ．x 1x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1x 2D ．x 1=x 2 3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示）（2根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？五、总结1、b²﹣4ac的符号判别得知方程根个数2、直接用公式求出方程a acbbx24 2-±-=（b²﹣4ac ≧0）六、作业布置1、课本后练习2、课外延伸题七、教学反思本节课通过复习用配方法解一元二次方程的方法导出（b²﹣4ac ≧0）这公式法解一元二次方程及判别根的个数。
北师版八年级下册数学教案3 公式法
3 公式法第1课时平方差公式教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解平方差公式的本质：结构的不变性，字母的可变性．2．会用平方差公式进行因式分解．3．了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法，再考虑用公式法分解．二、重难点目标【教学重点】掌握运用平方差公式分解因式的方法．【教学难点】用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P99的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积．2．当多项式各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解．3．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(y＋5)(y－5)＝y2－25.(2)根据(1)中等式填空：x2－4＝(x＋2)(x－2)；y2－25＝(y＋5)(y－5)．4．下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是②.(填序号)①x2＋y2；②1－x2；③－x2－y2；④x2－xy.5．分解因式：(1)4x 2－9y 2；(2)16－a 4；(3)(a 2＋1)2－4a 2.解：(1)(2x ＋3y )(2x －3y )．(2)(4＋a 2)(2＋a )(2－a )．(3)(a ＋1)2(a －1)2.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】分解因式：(1)a 4－116b 4； (2)x 3y 2－xy 4. 【互动探索】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解．【解答】(1)原式＝⎝⎛⎭⎫a 2＋14b 2⎝⎛⎭⎫a 2－14b 2＝⎝⎛⎭⎫a 2＋14b 2⎝⎛⎭⎫a －12b ⎝⎛⎭⎫a ＋12b . (2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．【互动总结】(学生总结，老师点评)分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．【例2】 248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．【互动探索】被自然数整除的含义是什么？248－1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？【解答】248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63,26＋1＝65，∴这两个数是65和63.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2 C ．－x 2＋92．下列各式从左到右的变形正确的是( D )A ．－2x ＋4y ＝－2(x －4y )B ．a 2－6＝(a ＋2)(a －3)C ．(a ＋b )2＝a 2＋b 2D ．x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y )3．当整数a 为－4时(只写一个)，多项式x 2＋a 能用平方差公式分解因式．4．分解因式：(1)x 3y 2－xy 4；(2)(a ＋b )2－4a 2；(3)9(m ＋n )2－(m －n )2.解：(1)xy 2(x ＋y )(x －y )．(2)(b －a )(3a ＋b )．(3)4(m ＋2n )(2m ＋n )．5．已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值． 解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14. 【互动探索】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解．【解答】(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400.(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36 000.【互动总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，使运算简便．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时完全平方公式教学目标一、基本目标1．了解运用公式法分解因式的意义．2．会用公式法分解因式．3．知道提公因式法是因式分解首先考虑的方法，然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行因式分解．二、重难点目标【教学重点】掌握多步骤、多方法分解因式的过程．【教学难点】学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P101的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．2．根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法．3．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是③.(填序号)①x2－2x－2；②x2＋1；③x2－4x＋4；④x2＋4x＋1.4．分解因式：(1)9x2＋6x＋1；(2)3m2n－12mn＋12n；(3)(a＋b)2－12(a＋b)＋36.解：(1)(3x＋1)2.(2)3n(m－2)2.(3)(a ＋b －6)2.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2；(2)(a 2＋4)2－16a 2.【互动探索】(引发学生思考)观察式子中的各项，提取公因式，用公式进行因式分解．【解答】(1)原式＝－3a 2(x 2－8x ＋16)＝－3a 2(x －4)2.(2)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )·(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.【互动总结】(学生总结，老师点评)分解因式的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．【例2】已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 【互动探索】(引发学生思考)将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，由运用整体代入的数学思想来解答．【解答】12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2. 当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入求值．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( B )(1)a 2＋ab ＋b 2；(2)a 2－a ＋14； (3)9a 2－24ab ＋4b 2；(4)－a 2＋8a －16.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．有一个式子为x 2＋6x ＋△＝(x ＋Ω)2，则( A )A ．△＝9，Ω＝3B ．△＝6，Ω＝3C ．△＝3，Ω＝9D ．△＝3，Ω＝63．若x 2＋(m －3)x ＋16可直接用完全平方公式分解因式，则m 的值等于－5或11.4．因式分解：(1)2a 3－4a 2b ＋2ab 2；(2)(x ＋2)(x ＋3)＋14； (3)(x 2－1)2＋6(1－x 2)＋9.解：(1)2a(a －b)2.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋522. (3)(x ＋2)2(x －2)2.5．利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500.(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知x ＋1x＝4，求： (1)x 2＋1x 2的值； (2)⎝⎛⎭⎫x －1x 2的值． 【互动探索】确定x ＋1x 与所求式子之间的联系→利用完全平方公式变形x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－4→代入数据求值． 【解答】(1)x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2＝42－2＝14. (2)⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－4＝42－4＝12. 【互动总结】(学生总结，老师点评)这里需要活用公式，如x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，⎝⎛⎭⎫x －1x2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－4，将两个完全平方公式进行互相转化． 环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．练习设计请完成本课时对应练习！。
北师大版八年级数学下册《公式法》教案3
《公式法》教案教学目标知识与技能：1、通过整式乘法的逆向变形得到平方差公式因式分解的方法2、把握平方差公式进行因式分解的特征3、掌握平方差公式进行因式分解的方法技巧过程与方法：感悟提公式法是因式分解的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式因式分解情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值学习重难点重点：掌握用平方差公式进行因式分解，掌握多步骤，多方法因式分解的方法 难点：对因式分解与整式乘法关系的理解一、温故检测（一）填空（二）口算思考1：上面口算的结果有什么共同特征二、学习新知 （师导生学）通过思考1，你能将多项式 进行因式分解吗？如果能，你的理由是什么？ 小明是这样想的:由思考1可知()()2125;=()()212;4=()()2239;x =()()2214.4y =()()()()()()()()()155_________________;233______________;33232____________.x x x y x y m n m n +-=+-=+-=22a b -()()22a b a b a b +-=-Q逆过来写()()22a b ∴-= 结论：可以利用 进行 . （二）分析因式分解的平方差公式的特征 公式左边:(是被分解的多项式) 公式右边:(是因式分解的结果) ①多项式含有两项（ ） ①含有两个底数（ ）②这两项异号（ +a 2 , -b 2） ②是两个底数的和乘以两个底数的差的形式 ③能写成 的形式[知识点拨] 因此利用平方差公式因式分解的 （a , b ），把分解结果成 乘以 的形式 如果下列各式能用平方差公式进行因式分解，那么可看成那两个底数的平方差?【知识点拨】： a 2和b 2的符号相反（ +a 2 , -b 2）（学以致用）例1.把下列各式分解因式：解： 解：[知识点拨] ①利用平方差公式因式分解的关键是确定两个底数（a , b ）；②把分解结果成两个底数的和乘以两个底数的差的形式.例2.把下列各式分解因式：解： 解：()()22a b -=()()22a b -=()2125;x -()2229;m n -()2213.4x y -+()212516x -221(2)94a b -22(1)9()();m n m n +--3(2)28x x-（三）利用平方差公式进行因式分解的方法技巧在分解过程中：一提，二套，三分，四查；（四查：分解到不能再分解为止）三、当堂训练（小组讨论）1、下列因式分解是否正确，为什么？如果不正确，请给出正确的结果.（个人学习）（课本第100页随堂练习第2题选取）2、把下列各式因式分解：解：原式 = 解：原式 =[知识点拨] 先确定两个底数；分解要“彻底”.()()()()5422221111p p p p p p p p p -=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=+-222(1);a b m -()()22(2).m a n b --+（小组竞赛）（课本第100页随堂练习第1题）3、判断下列利用平方差公式进行因式分解的正确性.答：[知识点拨] 分解结果应该是两个底数的和乘以两个底数的差的形式. 答：答：[知识点拨]注意两个底数a , b 分别是那两个数.答：[知识点拨] 注意等式左边能否写成 的形式.4、课堂机动练习（课本第100页随堂练习第3题）如图，在一块长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长 为b 的正方形．用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =3.6， b =0.8时的面积．解：()221x y +=()();x y x y ++()()()222;x y x y x y -=+-()223x y -+=()();x y x y -+--()().x y x y =-+-()224x y --()()22-四、指点迷津五、学习小结（颗粒归仓）这节课（一）、我学到了……（二）、我体会到了……六、课堂作业习题4.4 1；2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《3 公式法》教案第1课时一、教学目标1、知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．2、过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对平方差公式的运用能力．3、情感、态度与价值观：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．二、教学重难点1、重点：运用平方差公式分解因式．2、难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；正确判断因式分解的彻底性．三、教学过程第一环节：练一练活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3）=____________________；（2）（4x+y）（4x–y）=____________________；（3）（1+2x）（1–2x）=____________________；（4）（3m+2n）（3m–2n）=____________________．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2=____________________；；（2）16x2–y2=____________________；（3）x2–9=____________________；（4）1–4x2=____________________．活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．第二环节：想一想活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）．活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．第三环节：做一做活动内容：把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b 活动目的：培养学生对平方差公式的应用能力．注意事项：学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．第四环节：议一议活动内容：将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x活动目的：（1）让学生理解在平方差公式a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．注意事项：在教师的引导下，学生能逐步理解平方差公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．第五环节：反馈练习活动内容：1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）（x –y ） （ ）（2）–x 2+y 2=–（x +y ）（x –y ） （ ）（3）x 2–y 2=（x+y ）（x –y ） （ ）（4）–x 2–y 2=–（x+y ）（x –y ） （ ）2、把下列各式因式分解：（1）4–m2（2）9m2–4n2（3）a2b2－m2（4）（m－a）2－（n＋b）2（5）–16x4＋81y4（6）3x3y–12xy3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b 表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：在实际应用中，部分学生对于第3题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来．第六环节：学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式．第2课时一、教学目标：1、知识与技能：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2、过程与方法：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对完全平方公式的运用能力．3、情感、态度与价值观：通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系．二、教学重难点：1、重点：掌握运用完全平方公式进行因式分解．2、难点：灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，及正确判断因式分解的彻底性问题．三、教学过程：第一环节：做一做活动内容：填空：（1）（a+b）（a-b）=____________________；（2）（a+b）2=____________________；（3）（a–b）2=____________________．根据上面式子填空：（1）a2–b2=____________________；（2）a2–2ab+b2=____________________；（3）a2+2ab+b2=____________________．结论：形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．活动目的：学生通过观察，把整式乘法中的完全平方公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，第（1）组a2–b2是起提示作用．注意事项：学生通过观察能找到第一组式子与第二组式子之间的对应关系．第二环节：辨一辨活动内容：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．（1）x2–4y2（2）x2+4xy–4y2（3）4m2–6mn+9n2（4）m2+6mn+9n2结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解，a2–2ab+b2=（a–b）2；a2+2ab+b2=（a+b）2．活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式．第三环节：试一试活动内容：把下列各式因式分解：（1）x 2–4x +4 （2）9a 2+6ab +b 2（3）m 2–9132+m （4）()()1682++++n m n m 活动目的：（1）培养学生对平方差公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式． 注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误． 第四环节：想一想活动内容：将下列各式因式分解：（1）3ax 2+6axy +3ay 2 （2）–x 2–4y 2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时，一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解．第五环节：反馈练习活动内容：1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）2 （ ）（2）x 2–y 2=（x –y ）2 （ ）（3）x 2–2xy –y 2=（x –y ）2 （ ）（4）–x 2–2xy –y 2=–（x+y ）2 （ ）2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2–x +41 （2）9a 2b 2–3ab +1 （3）229341n mn m ++ （4）251056+-x x 3、把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4（3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y ）2活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：当完全平方公式中的a 与b 表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．第六环节：学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式则先提取公因式；（2）整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式是互逆关系；（3）完全平方公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式．。