《二次函数与幂函数》教案

教学过程

一、课堂导入

以提问的形式复习一元二次方程的一般形式，一次函数，反比例函数的定义，然后让学生欣赏一组优美的有关抛物线的图案，创设情境：

（1）你们喜欢打篮球吗？

（2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？

从而引出课题〈〈二次函数〉〉，导入新课

二、复习预习

1.复习一次函数的相关概念

2.预习二次函数的概念

3.预习二次函数的相关性质

4.预习二次函数的图像

三、知识讲解

考点1 二次函数的解析式

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；

(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

考点2 二次函数的图象和性质

考点3 幂函数的定义

形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

四、例题精析

【例题1】

【题干】已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．

【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.

又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.

设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．

又∵f(x)的图象过点(4,3)，

∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)·(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.

【例题2】

【题干】已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.

(1)求a，b的值；

(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．

【解析】(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a .

当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，

故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0.

当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，

故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－1，

b ＝3.

(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.

g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，

∵g (x )在[2,4]上单调，

∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.

【例题3】

【题干】幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()

A．－1

C．1D．2

【答案】D

【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1

【例题4】

【题干】当0

【解析】如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．

五、课堂运用

【基础】

1．已知点⎝ ⎛⎭

⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A ．奇函数

B ．偶函数

C ．定义域内的减函数

D ．定义域内的增函数

解析：选A 设f (x )＝x α，由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫33α＝3， 解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数．

2．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是() A．f(－2)

B．f(0)

C．f(0)

D．f(2)

解析：选C∵f(1＋x)＝f(－x)，

∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c. ∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c. ∴2＋b＝－b，即b＝－1.

∴f(x)＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝1 2.

∴f(0)

3．已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)＞0，f(p)＜0，则必有() A．f(p＋1)＞0 B．f(p＋1)＜0

C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符号不能确定

解析：选A函数f(x)＝x2＋x＋c的对称轴为x＝－1

2，又因为f(0)＞0，f(p)＜0，故－1＜p＜0，p＋1＞0，所以f(p＋

1)＞0.

【巩固】

4．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c 的值为________．

解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋a2

4－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m

＋6是方程x2＋ax＋a2

4－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎨

⎧2m＋6＝－a，

m(m＋6)＝

a2

4

－c，

解得c＝9.

答案：9