《二次函数与幂函数》教案

教学过程
一、课堂导入
以提问的形式复习一元二次方程的一般形式，一次函数，反比例函数的定义，然后让学生欣赏一组优美的有关抛物线的图案，创设情境：
（1）你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
从而引出课题〈〈二次函数〉〉，导入新课
二、复习预习
1.复习一次函数的相关概念
2.预习二次函数的概念
3.预习二次函数的相关性质
4.预习二次函数的图像
三、知识讲解
考点1 二次函数的解析式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
考点2 二次函数的图象和性质
考点3 幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
四、例题精析
【例题1】
【题干】已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)·(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
【例题2】
【题干】已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．
【解析】(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a .
当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0.
当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3.
(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.
g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，
∵g (x )在[2,4]上单调，
∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.
【例题3】
【题干】幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()
A．－1<m<3B．0
C．1D．2
【答案】D
【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．
【例题4】
【题干】当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．
【解析】如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．
五、课堂运用
【基础】
1．已知点⎝ ⎛⎭
⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A ．奇函数
B ．偶函数
C ．定义域内的减函数
D ．定义域内的增函数
解析：选A 设f (x )＝x α，由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫33α＝3， 解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数．
2．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是() A．f(－2)<f(0)<f(2)
B．f(0)<f(－2)<f(2)
C．f(0)<f(2)<f(－2)
D．f(2)<f(0)<f(－2)
解析：选C∵f(1＋x)＝f(－x)，
∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c. ∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c. ∴2＋b＝－b，即b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝1 2.
∴f(0)<f(2)<f(－2)．
3．已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)＞0，f(p)＜0，则必有() A．f(p＋1)＞0 B．f(p＋1)＜0
C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符号不能确定
解析：选A函数f(x)＝x2＋x＋c的对称轴为x＝－1
2，又因为f(0)＞0，f(p)＜0，故－1＜p＜0，p＋1＞0，所以f(p＋
1)＞0.
【巩固】
4．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c 的值为________．
解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋a2
4－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m
＋6是方程x2＋ax＋a2
4－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎨
⎧2m＋6＝－a，
m(m＋6)＝
a2
4
－c，
解得c＝9.
答案：9
5．已知函数y＝mx2＋(m－3)x＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________．
解析：当m ＝0时，y ＝－3x ＋1，显然成立．
当m ≠0时，要使y ∈[0，＋∞)，
只要⎩⎪⎨⎪⎧
m >0，Δ＝(m －3)2－4×m ×1≥0，
解得0＜m ≤1或m ≥9.
综上m 的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．
答案：[0,1]∪[9，＋∞)
【拔高】
6．已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．
解：∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －a 22－4a ， ∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，－4a . ①当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.
令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)；
②当0<a 2<1，即0<a <2时，x ＝a 2时，
f (x )取最大值为－4a .
令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；
③当a 2
≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减， ∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，
令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．
综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.
∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516
或f (x )＝－4x 2－20x －5.
7．已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式．
解：如图所示，函数图象的对称轴为x ＝－32，
(1)当t ＋1≤－32，即t ≤－52时，
h (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2＋3(t ＋1)－5，
即h (t )＝t 2＋5t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ≤－52.
(2)当t ≤－32<t ＋1，
即－52＜t ≤－32时，
h (t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－294.
(3)当t >－32时，h (t )＝f (t )＝t 2＋3t －5.
综上可得，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋5t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ≤－52，
－294⎝ ⎛⎭⎪⎫－52<t ≤－32，
t 2＋3t －5⎝ ⎛⎭⎪⎫t >－32.
课程小结
1.幂函数图象的特点
(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；
(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
2．与二次函数有关的不等式恒成立问题
(1)ax 2
＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧ a >0，b 2－4ac <0. (2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎨⎧
a <0，
b 2－4a
c <0. [注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．。