高考数学讲义复数.教师版

一、复数的概念

1.虚数单位i:

(1)它的平方等于1-，即2i 1=-;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3)i 与－1的关系:

i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i. (4)i 的周期性：

41i i n +=, 42i 1n +=-, 43i i n +=-, 4i 1n =.

2．数系的扩充：复数(0)i i(0)

i(0)i(0)

a b a b b a a b b a b a =⎧⎪

+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩

实数纯虚数虚数非纯虚数 3.复数的定义：

形如i(,)a b a b +∈R 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C 表示

4.复数的代数形式:

复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.

5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数

z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0

知识内容

复数

6.复数集与其它数集之间的关系：

N Z

Q R

C 苘苘

7.两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，

c ，

d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =,b d =

二、复数的几何意义

1.复平面、实轴、虚轴：

复数i(,)z a b a b =+∈R 与有序实数对(),a b 是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i(,)z a b a b =+∈R 可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.

2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()0,0，它所确定的复数是

00i 0z =+=表示是实数.

除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 3.

复数z a bi =+←−−−

→一一对应

复平面内的点(,)Z a b .

三、复数的四则运算

1.复数1z 与2z 的和的定义：

12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++

2.复数1z 与2z 的差的定义：

12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-

3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+

4.复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++

5.乘法运算规则：

设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 6.乘法运算律：

(1)()()123123z z z z z z = (2)123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ (3)()1231213z z z z z z z +=+ 7.复数除法定义：

满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数i x y +(x 、y ∈R )叫复数i a b +除以复数i c d +的商，记为：

()(i)i a b c d +÷+或者i

i

a b c d ++ 8.除法运算规则：

设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()i i i x y c d cx dy dx cy ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+

由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=++=.

,2222d c ad bc y d

c b

d ac x

于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222

i ac bd bc ad

c d c d

+-=

+++ ②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将i

i

a b c d ++的分母有理化得： 原式22

i (i)(i)[i (i)]()i

i (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-=

==++-+ 222222

()()i i ac bd bc ad ac bd bc ad

c d c d c d ++-+-=

=++++.

∴(()(i)i a b c d +÷+=

2222

i ac bd bc ad

c d c d +-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积

为1是有理数，而()()22i i c d c d c d +-=+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法

叫做分母实数化法. 9.共轭复数：

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的