三角函数求值域专题

三角函数求值域专题

求三角函数值域及最值的常用方法：

（1） 一次函数型：或利用为：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a ，

利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，

（1）：5)12

3sin(2+-

-=π

x y ，x x y cos sin =

（2）x x y cos 3sin 4-=

（3）.函数在区间上的最小值为 1 ． （4）函数且的值域是___(,1][1,)-∞-⋃+∞

（2）二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解； 二倍角公式的应用：

如： （1） x x y 2cos sin += （2）函数的最大值等于

4

3

． （3）.当时，函数的最小值为 4 ．

（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ． （5）.若，则的最大值与最小值之和为____2____．

（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；

型如d

x c b

x a x f ++=

cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：

①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解；

③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2

x

y x =

-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2

x

y x =

-得最值，由几何知

识，易求得过Q

的两切线得斜率分别为

3

-

3

。结合图形可知，此函数的值域是[。

解法2：将函数

sin

cos2

x

y

x

=

-

变形为cos sin2

y x x y

-=

，∴sin()

xφ

+=

由

|sin()|1

xφ+=≤22

(2)1

y y

⇒≤+

，解得：

33

y

-≤≤

，故值域是[

33

-

解法3：利用万能公式求解：由万能公式

2

1

2

sin

t

t

x

+

=，

2

2

1

cos

1

t

x

t

-

=

+

，代入

sin

cos2

x

y

x

=

-

得到2

2

13

t

y

t

=

--

则有2

320

yt t y

++=知：当0

t=，则0

y=，满足条件；当0

t≠，由2

4120

y

=-≥

△

，

33

y

⇒-≤≤

，故所求函数的值域是[

33

-。

解法4：利用重要不等式求解：由万能公式

2

1

2

sin

t

t

x

+

=，

2

2

1

cos

1

t

x

t

-

=

+

，代入

sin

cos2

x

y

x

=

-

得到2

2

13

t

y

t

=

--

当0

t=时，则0

y=，满足条件；当0

t≠时，

22

11

3(3)

y

t t

t t

==-

--+

，如果t > 0

，则

22

11

3(3)

y

t t

t t

==-≥=

--+

，此时即有0

3

y

-≤<；如果t < 0

，则

2

13

()(3)

y

t

t

=≤=

-+-

0y

<≤

。综上：此函数的值域是[。

例2.求函数的最小值．

解法一：原式可化为，得，即，

故，解得或（舍），所以的最小值为．

解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．

（4）换元法．