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全等三角形与角平分线经典题型资料讲解

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全等三角形中角平分线问题的处理方法

全等三角形中角平分线问题的处理方法

全等三角形中角平分线问题的处理方法【全等三角形中角平分线问题的处理方法】1. 引言全等三角形中角平分线问题是几何学中的一个经典问题，旨在探讨如何将一个三角形的角平分线构造出来并求解相关问题。

这个问题在几何学中具有重要的应用价值和理论意义。

本文将从简单到复杂、由浅入深地介绍全等三角形中角平分线的处理方法，以帮助读者更全面、深刻和灵活地理解这一问题。

2. 基本定义与性质我们来回顾一下全等三角形的基本定义与性质。

全等三角形是指具有完全相同的大小和形状的三角形。

根据全等三角形的定义，对于两个全等三角形来说，它们的对应边长相等，对应角度相等。

这一性质是我们处理全等三角形中角平分线问题的基础。

3. 三角形角平分线的构造下面，我们开始介绍全等三角形中角平分线的构造方法。

考虑一个任意三角形ABC，我们的目标是构造出三角形ABC的角B的平分线。

（1）方法一：直接角平分线法我们可以借助直尺和圆规，以及平行线的性质来构造角平分线。

具体的步骤如下：a. 以顶点B为圆心，做一个与边AC相交于点D的圆；b. 以点D为圆心，与圆交于点E，连接BE；c. 连接线段BC和BA；根据圆周角的性质，角EBD是角ABC的一条平分线。

（2）方法二：割取角平分线法除了直接角平分线法之外，我们还可以使用割取角平分线的方法构造角平分线。

具体步骤如下：a. 过顶点B做一条与边AC相交于点F的直线；b. 以BF为半径，顶点B为圆心画一个圆；c. 连接圆与边BC、BA的交点分别为点D和点E，连接线段ED；根据圆内接四边形对角相等的性质，角BED是角ABC的一条平分线。

4. 角平分线的性质与应用了解了全等三角形中角平分线的构造方法之后，我们来探讨一些与角平分线相关的性质与应用。

（1）性质一：角平分线相交于三角形内心不仅在全等三角形中，对于任意三角形来说，角平分线的三条线段的交点恰好是三角形的内心。

这个性质是由角平分线与三角形内接圆的性质相关联的。

（2）性质二：角平分线的长度关系若一个角的平分线将另外两个角的平分线相交于点P，那么点P到三角形各边的距离满足以下关系：AP：BP：CP＝AB：BC：CA。

(完整版)利用角平分线构造全等三角形

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善于构造 活用性质安徽 张雷几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，•故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证．【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上，D C A EHI F G2DCBA35EF14即BP是∠MBN的平分线．2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB．∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE．∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．MC=ME．根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD•垂直于∠ABC•的平分线BD 于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．证明：延长BA、CD交于点F∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中21()()()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知公共边已证∴△BCD ≌△BFD （ASA ） ∴CD=FD ， 即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。

人版八年级数学[上册]第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(有答案解析)

人版八年级数学[上册]第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(有答案解析)

第7讲 全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。

全等三角形+第7讲+角平分线的处理方法+专项训练++2024-2025学年人教版数学八年级上册

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第7讲角平分线的处理方法板块一角平分线的性质条件:OC 平分∠AOB. PD⊥OA 于点D,PE⊥OB 于点E.结论:PD=PE.典例精讲题型一知两垂【例1】如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,BD=CD.求证:BE=CF.题型二作一垂【例2】如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,E 为 BC 上一点,且 AE 平分∠BAD,D E 平分∠ADC.求证:BE=CE.题型三作两垂【例3】如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,BD 平分∠ABC,AD=CD.求证:AD⊥CD.实战演练如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC=36°,∠ADB=72°.求证:AB=AC.类型判定旁心图隐角平分线图形条件PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.OP 平分∠AOB,AP 平分∠BAD,PD⊥OA,PE⊥OB,PF⊥AB.OP 平分∠AOB,∠OAP+∠BAP=180°.结论OC 平分∠AOB.PB平分∠ABE.①PA 平分∠BAD;②PB平分∠ABE.典例精讲题型一直接用判定【例1】如图,在△ABC 中,AC=BC,E 为△ABC 外一点,且∠CAE=∠CBE.求证:CE 平分△ABE 的外角.题型二旁心【例2】如图,在△ABC中,AP 平分∠BAC,BP 平分∠CBD.(1)求证:CP 平分∠BCE;(2)设∠BAC=α,则∠BPC= (用含α的式子表示).实战演练题型三隐角平分线如图,在四边形 AEDC 中,∠EAC+∠EAD=180°,且 CE 平分∠ACD.若∠EAD=α,求∠DEC 的度数.板块三角平分线与面积法类型1 内心向三边作垂类型2 面积比与边长比条件:I 是△ABC 三条角平分线的交点.方法:过点 I 分别向三边作垂线段.结论:①ID=IE=IF;②S△IBC+S△IAC+S△IAB=S△ABC;③ID=2S△ABC÷(AB+BC+AC).条件:AD 是△ABC的角平分线.方法:过点 D 分别作DE⊥AB,DF⊥AC.结论:①DE=DF;②S△ABD:S△ACD=AB:AC=BD:CD.典例精讲题型一面积法求线段长【例1】如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,I 为△ABC 各内角平分线的交点,过点I 作AC 的垂线,垂足为H.若BC=3,AB=4,AC=5,求IH 的长.题型二面积法证线段比【例2】如图,AD 是△ABC 的角平分线.求证:BDCD =ABAC.题型三构全等转化面积【例3】如图,△ABC的角平分线BD,CE 交于点P,∠A=60°,△ABC的面积为 16，四边形AEPD 的面积为5,求△BPC 的面积.实战演练1.如图,在△ABC 中,∠C=90°,O是∠CAB,∠ABC 平分线的交点,且E BC=8cm,AC=6cm6 cm,AB=10cm,求S△AOB.2.如图,在△ABC中,.S ABC=21,∠BAC的角平分线AD 交 BC 于点D,E 为AD 的中点.连接BE,的值.F 为BE 上一点,且 BF=2EF.若S△DEF=2,求ABAC3.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,∠BAC=90°,AD平分∠BAC.BAC.求 DC 的长.4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD 是△ABC的角平分线，若BD=8,求△BDC1的面积.类型梯形图互补图内心图图形典 例 精 讲题型一 直角梯形遇角平分线【例】如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°,E 为AB 上一点,ED 平分∠ADC,EC 平分∠BCD.(1)求证:DE⊥CE; (2)求证:AE=BE; (3)求证:AD+BC=CD;(4)若AB=12,CD=13,求 S△CDE.实 战 演 练题型二 对角互补遇角平分线1.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC+∠D=180°,AC 平分∠BAD,求证:CB=CD.D题型三 内心作垂构对称型全等2.如图,在△ABC 中,AB>AC,AK,BK,CK 分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,KD⊥BC 于点D.求证:AB-AC=BD-CD.。

角平分线知识点+经典例题

角平分线知识点+经典例题

第四讲 角平分线【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD于点F ，则PE ＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质例1．如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．例2、如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B．3:2C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵:3:2AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．例3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC 上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD ＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.【答案与解析】解：DF＝EF．理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，∴PD＝PE，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ， ∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定例4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.【变式】已知：如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF=PG ，DF=EG ．求证：OC 是∠AOB 的平分线．【答案】证明：在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE （HL ），∴PD=PE ，∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴OC 是∠AOB 的平分线．。

全等三角形题型归类及解析

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。

另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。

2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。

(1) 求证：∠ABE=∠C ；(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。

．AB C DE PD A CBM N5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）21PFMDBA CE6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=12BD ；（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．二、中点型由中点应产生以下联想：ED C BA1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =D AE FCHGB3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关 系，并证明你的结论。

【微专题】2023学年八年级数学上册常考点提分精练(人教版) 角平分线与全等三角形结合(解析版)

【微专题】2023学年八年级数学上册常考点提分精练(人教版) 角平分线与全等三角形结合(解析版)

角平分线与全等三角形结合1．如图 A B 两点分别在射线OM ON 上 点C 在MON ∠的内部且CA CB = CD OM ⊥ CE ON ⊥ 垂足分别为D E 且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON ∠；(2)如果10AO = 4BO = 求OD 的长．【答案】(1)见解析(2)7【解析】【分析】（1）证明Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ） 得CD =CE ．再由角平分线的判定即可得出结论；OC 平分∠MON ；（2）证Rt △ODC ≌Rt △OEC （HL ） 得OD =OE 设BE =AD =x ．则OE =OD =4+x 再由AO =OD +AD =4+2x =10 得x =3．即可得出答案．(1)证明：∵CD OM ⊥ CE ON ⊥∴90CDA CEB ∠=∠=︒．在Rt ACD △与Rt BCE 中 CA CB AD BE =⎧⎨=⎩∴Rt ACD △≌Rt BCE （HL ）∴CD CE =．又∵CD OM ⊥ CE ON ⊥∴OC 平分MON ∠．(2)解：在Rt ODC △与Rt OEC △中 CD CE OC OC =⎧⎨=⎩∴Rt ODC △≌Rt OEC △（HL ）∴OD OE =设BE AD x ==．∵4BO = ∴4OE OD x ==+∵AD BE x == ∴4210AO OD AD x =+=+=∴3x = ∴437OD =+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识 证明Rt △ACD ≌Rt △BCE 和Rt △ODC ≌Rt △OEC 是解题的关键．2．已知∠MAN AC 平分∠MAN D 为AM 上一点 B 为AN 上一点．（1）如图①所示 若∠MAN ＝120° ∠ABC ＝∠ADC ＝90° 求证：AB +AD ＝AC ；（2）如图②所示 若∠MAN ＝120° ∠ABC +∠ADC ＝180° 则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立 见解析【解析】【分析】（1）根据AC 平分∠MAN 可得CB ＝CD ∠CAB ＝60° 即可证明RT △ACD ≌RT △ACB 可得AD ＝AB 再根据AC ＝2AB 即可解题；（2）根据AC 平分∠MAN 可得CB ＝CD ∠CAB ＝60° 易证∠FCD ＝∠BCE 即可证明△CDF ≌△CBE 可得BE ＝DF 再根据（1）中证明AC ＝AE +AF 即可解题．【详解】解：（1）证明：∵AC 平分∠MAN∴CB ＝CD ∠CAB ＝60°在Rt △ACD 和Rt △AC B 中AC AC CD CB =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △ACB （HL ）∴AD ＝AB∵∠ACB ＝90°﹣∠CAB ＝30°∴AC ＝2AB∴AD +AB ＝AC ；（2）成立 过C 作CE ⊥AN 于E CF ⊥AM 于F∵AC 平分∠MAN∴CB ＝CD ∠CAB ＝60°∵∠ABC +∠ADC ＝180°∴∠DCB ＝60°∵∠FCE ＝180°﹣∠BAD ＝60°∴∠FCE ＝∠BCD∵∠FCD +∠DCE ＝∠FCE ∠BCE +∠DCE ＝∠BCD∴∠FCD ＝∠BCE在△CDF 和△CBE 中90FCD BCE CF CE CFD CEB ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△CDF ≌△CBE （ASA ）∴BE ＝DF∴AD +AB ＝AD +AE +BE ＝AD +DF +AE ＝AE +AF∵AC ＝AE +AF∴AD +AB ＝A C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质 考查了全等三角形对应边相等的性质 本题中求证△CDF ≌△CBE 是解题的关键．3．如图：在直角△AB C 中 ∠ABC ＝90° 点D 在AB 边上 连接C D ．（1）如图1 若CD 是∠ACB 的角平分线 且AD ＝CD 探究BC 与AC 的数量关系 说明理由； （2）如图2 若BC ＝BD BF ⊥AC 于点F 交CD 于点G 点E 在AB 的延长线上且AD ＝BE 连接GE 求证：BG +EG ＝A C ．【答案】（1）12BC AC =理由见解析；（2）见解析 【解析】【分析】 （1）如图1 过点D 作DM AC ⊥于点M 证明()Rt CDM Rt CDB HL ≌ 由全等三角形的性质得出CM CB = 则可得出结论；（2）作DK AB ⊥交BF 的延长线于点K 证明()Rt CAB Rt BKD AAS ≌ 得出BK AC = DK AB = 证明()DKG DEG SAS ∆≅∆ 得出KG EG = 则结论可得出．【详解】解：（1）12BC AC =． 理由如下：如图1 过点D 作DM AC ⊥于点MAD CD =M ∴为AC 的中点12CM AM AC ∴== CD 平分ACB ∠DM DB ∴=在Rt CDM 和Rt CDB 中CD CD DM DB=⎧⎨=⎩ ()Rt CDM Rt CDB HL ∴≌CM CB ∴=12BC AC ∴=； （2）证明：如图2 作DK AB ⊥交BF 的延长线于点KBF AC ⊥90AFK ∴∠=︒A K ∴∠=∠又90BDK ABC ∠=∠=︒ BC BD =()Rt CAB Rt BKD AAS ∴≌BK AC ∴= DK AB =AD BE =AD BD BE BD ∴+=+即AB DE =DK DE ∴=又DB BC = 90ABC ∠=︒45CDB ∴∠=︒45KDG EDG ∴∠=∠=︒又DG DG =()DKG DEG SAS ∴∆≅∆KG EG ∴=AC BK KG BG EG BG ∴==+=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质 角平分线的性质 等腰三角形的性质 等腰直角三角形的性质等知识 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．4．观察、猜想、探究：在△AB C 中 ∠ACB ＝2∠B ．（1）如图① 当∠C ＝90° AD 为∠BAC 的角平分线时 过D 作AB 的垂线DE,垂足为E 可以发现AB 、AC 、CD 存在的数量关系是 ；（2）如图② 当∠C ≠90° AD 为∠BAC 的角平分线时 线段AB 、AC 、CD 是否还存（1）中的数量关系？如果存在 请给出证明．如果不存在 请说明理由；（3）如图③ 当AD 为△ABC 的外角平分线时 线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想 并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB ＝AC +CD ；（2）存在 理由见解析；（3）AB ＝CD ﹣AC 理由见解析【解析】【分析】（1）根据∠ACB =90° ∠ACB =2∠B 得到∠B =45° CD ⊥AC 由线段垂直平分线的性质可得DE =CD 再证明∠B =∠EDB 得到BE =ED =CD 最后证明Rt △AED ≌Rt △ACD 得到AE =AC 即可得到结论；（2）在AB 上截取AG ＝AC 证明△ADG ≌△ADC 得到CD ＝DG ∠AGD ＝∠ACB 再由∠ACB ＝2∠B 得到∠B ＝∠GDB 则BG ＝DG ＝DC 即可得到AB ＝BG +AG ＝CD +AC ；（3）在AF 上截取AG ＝AC 由AD 为∠F AC 的平分线 得到∠GAD ＝∠CAD 可证△ADG ≌△ACD 得到CD ＝GD ∠AGD ＝∠ACD 即可推出∠ACB ＝∠FGD 再由∠ACB ＝2∠B 推出∠B ＝∠GDB 得到BG ＝DG ＝DC 则AB ＝BG ﹣AG ＝CD ﹣A C ．【详解】解：（1）AB ＝AC +CD 理由如下：∵∠ACB =90° ∠ACB =2∠B∴∠B =45° CD ⊥AC∵DE ⊥AB AD 平分∠BAC∴DE =CD ∠DEB =∠DEA =90°∴∠EDB =180°-∠B -∠DEB =45°∴∠B =∠EDB∴BE =ED =CD在Rt △AED 和Rt △AD C 中DE DC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AED ≌Rt △ACD （HL ）∴AE =AC∴AB +AE +BE =AC +CD ；（2）还存在AB ＝CD +AC 理由如下：在AB 上截取AG ＝AC 如图2所示∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠GAD ＝∠CAD∵在△ADG 和△AD C 中AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ）∴CD ＝DG ∠AGD ＝∠ACB∵∠ACB ＝2∠B∴∠AGD ＝2∠B又∵∠AGD ＝∠B +∠GDB∴∠B ＝∠GDB∴BG ＝DG ＝DC则AB ＝BG +AG ＝CD +AC ；（3）AB ＝CD ﹣AC 理由如下：在AF 上截取AG ＝AC 如图3所示∵AD 为∠F AC 的平分线∴∠GAD ＝∠CAD∵在△ADG 和△AC D 中AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ACD （SAS ）∴CD ＝GD ∠AGD ＝∠ACD∵∠FGD =180°-∠AGD ∠ACB =180°-∠ACD∴∠ACB ＝∠FGD∵∠ACB ＝2∠B∴∠FGD ＝2∠B又∵∠FGD ＝∠B +∠GDB∴∠B ＝∠GDB∴BG ＝DG ＝DC则AB ＝BG ﹣AG ＝CD ﹣A C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定 角平分线的性质与定义 三角形外角的性质 三角形内角和定理 解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．5．已知：如图1 在ABC 中 AD 是BAC ∠的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A 点D 重合） 满足2∠=∠ABE ACE ．（1）如图2 若18∠=︒ACE 且EA EC = 则DEC ∠=________︒ AEB ∠=_______︒． （2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3 若BD BE = 请直接写出ABE ∠和BAC ∠的数量关系．【答案】（1）36 126；（2）见解析；（3）3180∠+∠=︒ABE BAC【解析】【分析】（1）18∠=︒ACE 且EA EC = 再结合三角形的外角定理即可求DEC ∠ 18∠=︒ACE 且EA EC = AD 是BAC ∠的平分线 2∠=∠ABE ACE 再结合三角形内角和定理即可求解AEB ∠； （2）在AC 上截取AF AB = 连接FE 可证()≌AEF AEB SAS 故EF EB = AFE ABE 从而可得FEC FCE ∠=∠ 所以EF FC =进而可证得：=+=+AC AF FC AB BE （3）由BD BE = 可得BED BDE ∠=∠ BED ABE BAE ∠=∠+∠ ∠=∠+∠BDE DAC ACD 又AD 是BAC ∠的平分线 可得ABE ACD ∠=∠ 故CE 是ACD ∠的平分线 所以BE 是ABD ∠的平分线 故∠=∠=∠ABE ACD DBE 又180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒ 所以ABE ∠和BAC ∠的数量关系即可求解．【详解】（1）∵18∠=︒ACE 且EA EC =∴∠EAC =∠ACE =18°∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°又∵AD 是BAC ∠的平分线∴∠BAD =∠CAD =18°∵2∠=∠ABE ACE∴∠ABE =36°∴1801836126∠=︒-︒-︒=︒AEB ；故答案为：36 126（2）在AC 上截取AF AB = 连接FE又∵AE =AE EAF EAB ∠=∠∴()≌AEF AEB SAS∴EF EB = AFE ABE∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ∠ABE =2∠ACE∴FEC FCE ∠=∠∴EF FC =∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =∴BED BDE ∠=∠∵BED ABE BAE ∠=∠+∠ ∠=∠+∠BDE DAC ACD∠CAD =∠BAE∴∠ACD =∠ABE∵∠ABE =2∠ACE∴∠ACD =2∠ACE∴CE 平分∠ACB∴点E 到CA 、CB 的距离相等又∵AD 是BAC ∠的平分线∴点E 到AC 、AB 的距离相等∴点E 到BA 、BC 的距离相等∴BE 是ABD ∠的平分线∴∠ABE =∠CBE∴∠=∠=∠ABE ACD DBE又∵180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒∴2180∠+∠+∠=︒ABE ABE BAC即3180∠+∠=︒ABE BAC ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质 解题的关键是熟练掌握各知识点 准确作出辅助线 熟练运用数形结合的思想．6．已知：如图 D 为△ABC 外角∠ACP 平分线上一点 且DA ＝DB DM ⊥BP 于点M ．（1）若AC ＝6 DM ＝2 求△ACD 的面积；（2）求证：AC ＝BM ＋CM ．【答案】（1）6；（2）见解析【解析】【分析】（1）如图作DN ⊥AC 于N ．根据角平分线的性质定理可得DM ＝DN ＝2 由此即可解决问题； （2）由Rt △CDM ≌Rt △CDN 推出CN ＝CM 由Rt △ADN ≌Rt △BDM 推出AN ＝BM 由此即可解决问题．【详解】（1）解：如图作DN ⊥AC 于N ．∵DC 平分∠ACP DM ⊥CP DN ⊥CA∴DM ＝DN ＝2∴S △ADC ＝12•AC •DN ＝12×6×2＝6．（2）∵CD ＝CD DM ＝DN∴Rt △CDM ≌Rt △CDN∴CN ＝CM∵AD ＝BD DN ＝DM∴Rt △ADN ≌Rt △BDM∴AN ＝BM∴AC ＝AN ＋CN ＝BM ＋CM ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识 解题的关键是学会添加常用辅助线 构造全等三角形解决问题 属于中考常考题型．7．如图 在∠EAF 的平分线上取点B 作BC ⊥AF 于点C 在直线AC 上取一动点P ．在直线AE 上取点Q 使得BQ=BP ．（1）如图1 当点P 在点线段AC 上时 ∠BQA +∠BP A = °；（2）如图2 当点P 在CA 延长线上时 探究AQ 、AP 、AC 三条线段之间的数量关系 说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下 当点P 运动到在射线AC 上时 直接写出AQ 、AP 、PC 三条线段之间的数量关系为： ．【答案】（1）180；（2）2AQ AP AC -=；理由见解析；（3）2AQ AP PC -=或2AP AQ PC -=．【解析】【分析】（1）作BM ⊥AE 于点M 根据角平分线的性质得到BM =BC 证明Rt BMQ ∆Rt ()BPC HL ∆≌,继而证明BQA BPC ∠=∠解题即可；（2）作BM AE ⊥于M 先证明Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ） 继而得到ABM ABC ∠=∠ AM AC = BM BC = 再证明Rt Rt BMQ BCP ∆∆≌（HL ） 从而得到PC QM = 据此解题即可；（3）分两种情况讨论 当点P 在线段AC 上时 或当点P 在线段AC 的延长线上时 分别画出适合的图 再由QBM PBC ∆∆≌（AAS ）可得QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC = 再由Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）可得AM AC = 利用线段和差计算即可．【详解】（1）证明：过点B 作BM AE ⊥于M∵BA 平分EAF ∠ BC AF ⊥∴BM BC =在Rt BMQ ∆和Rt BPC ∆中BQ BP BM BC =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BMQ BPC ∆∆≌（HL ）∴BQA BPC ∠=∠又∵180BPC BPA ∠+∠=︒∴180BQA BPA ∠+∠=︒故答案为180；（2）解：2AQ AP AC -=理由如下：如图2 作BM AE ⊥于M∵AB 平分∠EAF BC AF ⊥∴BM =BC 90BMA BCA ∠=∠=︒在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BC AB AB=⎧⎨=⎩ ∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴ABM ABC ∠=∠ AM AC =在Rt BMQ ∆和Rt BCP ∆中BQ BP BM BC =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BMQ BCP ∆∆≌（HL ）∴PC QM =∴()()2AQ AP AM QM PC AC AM AC AC -=+--=+=（3）当点P 在线段AC 上时 如图 2AQ AP PC -=理由如下：作BM AE ⊥于M∵BC ⊥AF∴90BMA BCA ∠=∠=︒∵180BQA BPA ∠+∠=︒ ∠BPC +∠BP A =180°∴∠BPC =∠BQM在QBM ∆和PBC ∆中BMQ BCP BQM BPC QB PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QBM PBC ∆∆≌（AAS ）∴QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC =在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BC AB AB =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴AM AC =∴()2AQ AP AM QM AC PC QM PC PC -=+--=+=当点P 在线段AC 的延长线上时 如图 2AP AQ PC -=理由如下：作BM AE ⊥于M∵BC ⊥AF∴90BMA BCA ∠=∠=︒∵180BQA BPA ∠+∠=︒ ∠BQM +∠BQA =180°∴∠BPC =∠BQM在QBM ∆和PBC ∆中BMQ BCPBQM BPCQB PB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QBM PBC ∆∆≌（AAS ）∴QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC =在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BCAB AB =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴AM AC =∴()2AP AQ AC CP AM QM MQ PC PC -=+--=+=故答案为：2AQ AP PC -=或2AP AQ PC -=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质 角平分线性质 分类讨论思想等知识 掌握相关知识利用辅助线画出准确图形是解题关键．8．如图 在ABC 中 BAD DAC ∠=∠ DF AB ⊥ DM AC ⊥ 10AF cm = 14AC cm = 动点E 以2/cm s 的速度从A 点向F 点运动 动点G 以1/cm s 的速度从C 点向A 点运动 当一个点到达终点时 另一个点随之停止运动 设运动时间为t ．（1）CM = :AE CG = ；（2）当t 取何值时 DFE △和DMG △全等；（3）在（2）的前提下 若:119:126BD DC = 228cm AED S =△ 求BFD S ．【答案】（1）4 2；（2）143；（3）293cm 2．【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可证Rt △AFD ≌Rt △AMD 得AF =AM 从而求出即可；（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t ＜4时 ②当4≤t ＜5时 分别根据△DFE ≌△DMG 得出EF =GM 据此列出关于t 的方程 进行求解即可．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比 即可求得答案．【详解】（1）∵∠BAD =∠DAC DF ⊥AB DM ⊥AC ∴DF =DM在Rt △AFD 和Rt △AM D 中DF DMAD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AFD ≌Rt △AMD （HL ）；∴10AF AM cm ==14104CM AC AM cm ∴=-=-=2AE t = CG t = :2AE CG ∴=（2）①当0＜t ＜4时 点G 在线段CM 上 点E 在线段AF 上．EF ＝10﹣2t MG ＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t∴t＝6（不合题意舍去）；②当4＜t＜5时点G在线段AM上点E在线段AF上．EF＝10﹣2t MG＝t﹣4∴10﹣2t＝t﹣4∴t＝143；综上所述当t＝143时△DFE与△DMG全等；（3）∵t＝14 3∴AE＝2t＝28 3∵DF＝DM∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126 ∵AC＝14∴AB＝119 9∴BF＝AB﹣AF＝1199﹣10＝299∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝283：299S△AED＝28cm2∴S△BDF＝293cm2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题解题的难点在于第二问中求运动的时间此题容易漏解和错解．9．在平面直角坐标系中A（﹣3 0）、B（0 7）、C（7 0）∠ABC＋∠ADC＝180° BC⊥C D．（1）如图1①求证：∠ABO＝∠CAD；②AB与AD是否相等？请说明理由；（2）如图2 E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点且∠BEO＝45° OE交BC于点F求BF 的长．【答案】（1）①见解析；②AB＝AD见解析；（2）7【解析】【分析】(1）根据四边形的内角和定理、直角三角形的性质证明；(2)过点A作AF⊥BC于点F作AE⊥CD的延长线于点E△ABF≌△ADE得到AB＝AD(3)过点E作EH⊥BC于点H作EG⊥x轴于点G根据角平分线的性质得到EH=EG证明△ABF ≌△ADE得到EB=EO根据等腰三角形的判定定理解答.【详解】证明：①在四边形ABC D中∵∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠BAD＋∠BCD＝180°∵BC⊥CD∴∠BCD＝90°∴∠BAD＝90°∴∠BAC＋∠CAD＝90°∵∠BAC＋∠ABO＝90°∴∠ABO＝∠CAD；解：②AB＝AD如图：过点A 作AF ⊥BC 于点F 作AE ⊥CD 的延长线于点E ∵B （0 7） C （7 0）∴OB ＝OC∴∠BCO ＝45°∵BC ⊥CD∴∠BCO ＝∠DCO ＝45°∵AF ⊥BC AE ⊥CD∴AF ＝AE ∠F AE ＝90°∴∠BAF ＝∠DAE在△ABF 和△ADE 中BAF DAE AF AEAFB AED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△ADE （ASA ）∴AB ＝AD（3）过点E 作EH ⊥BC 于点H 作EG ⊥x 轴于点G∵E 点在∠BCO 的邻补角的平分线上∴EH ＝EG∵∠BCO ＝∠BEO ＝45°∴∠EBC ＝∠EOC在△EBH 和△EOG 中EBH EOG EHB EGO EH EG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBH ≌△EOG （AAS ）∴EB ＝EO∵∠BEO ＝45°∴∠EBO ＝∠EOB ＝67.5° 又∠OBC ＝45°∴∠BOE ＝∠BFO ＝67.5°∴BF ＝BO ＝7.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质 掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.10．如图所示 直线AB 交x 轴于点A （a 0） 交y 轴于点B （0 b ）且a 、b2(4)0a -= C 的坐标为（﹣1 0） 且AH ⊥BC 于点H AH 交OB 于点P ．（1）如图1 写出a 、b 的值 证明△AOP ≌△BOC ；（2）如图2 连接OH 求证：∠OHP ＝45°；（3）如图3 若点D 为AB 的中点 点M 为y 轴正半轴上一动点 连接MD 过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点 当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中 求证：S △BDM ﹣S △ADN ＝4．【答案】（1）a ＝4 b ＝﹣4 见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先依据非负数的性质求得a 、b 的值从而可得到OA OB = 然后再90COB POA ∠=∠=︒OAP OBC ∠=∠ 最后 依据ASA 可证明OAP OBC ∆∆≌；（2）要证45OHP ∠=︒ 只需证明HO 平分CHA ∠ 过O 分别作OM CB ⊥于M 点 作ON HA ⊥于N 点 只需证到OM ON = 只需证明COM PON ∆∆≌即可；（3）连接OD 易证ODM ADN ∆∆≌ 从而有ODM ADN S S ∆∆= 由此可得12BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-==． 【详解】（1）解：2(4)0a -=0a b ∴+= 40a -=4a ∴= 4b =-则4OA OB ==．AH BC ⊥即90AHC ∠=︒ 90COB ∠=︒90HAC ACH OBC OCB ∴∠+∠=∠+∠=︒HAC OBC ∴∠=∠．在OAP ∆与OBC ∆中90COB POA OA OBOAP OBC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()OAP OBC ASA ∴∆∆≌；（2）证明：过O 分别作OM CB ⊥于M 点 作ON HA ⊥于N 点．在四边形OMHN 中 36039090MON ∠=︒-⨯︒=︒90COM PON MOP ∴∠=∠=︒-∠．OAP OBC ∆∆≌OC OP ∴=在COM ∆与PON ∆中90COM PON OMC ONP OC OP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()COM PON AAS ∴∆∆≌OM ON ∴=．OM CB ⊥ ON HA ⊥HO ∴平分CHA ∠1452OHP CHA ∴∠=∠=︒； （3）证明：如图：连接OD ．90AOB ∠=︒ OA OB = D 为AB 的中点OD AB ∴⊥ 45BOD AOD ∠=∠=︒ OD DA BD ==45OAD ∴∠=︒ 9045135MOD ∠=︒+︒=︒135DAN MOD ∴∠=︒=∠．MD ND ⊥即90MDN ∠=︒90MDO NDA MDA ∴∠=∠=︒-∠．在ODM ∆与ADN ∆中MDO NDA DOM DAN OD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ODM ADN ASA ∴∆∆≌ODM ADN S S ∆∆∴=．11114442222BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S S AO BO ∆∆∆∆∆∆∴-=-===⨯⋅=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题是一次函数综合题 考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识 在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．11．在△AB C 中 ∠BAC ＝90° AB ＝A C ．（1）如图1 若A 、B 两点的坐标分别是A （0 4） B （﹣2 0） 求C 点的坐标；（2）如图2 作∠ABC 的角平分线BD 交AC 于点D 过C 点作CE ⊥BD 于点E 求证： BD ＝2CE【答案】（1）（4 2）；（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）作CM ⊥OA 垂足为M 证明△ABO ≌△CAM 即可得解；（2）延长CE 、BA 相交于点F 证明△ABD ≌△ACF （ASA ） 得到BD =CF 证明△BCE ≌△BFE （ASA ） 即可得解；【详解】（1）作CM ⊥OA 垂足为M∵∠AOB =∠BAC =90°∴∠BAO +∠CAM =90° ∠BAO +∠ABO =90°∴∠ABO =∠CAM在ABO 和CAM 中AOB CMA ABO CAM AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABO ≌△CAM∴MC =AO =4 AM =BO =2 MO =AO -AM =2∴点C 坐标（4 2）；（2）如图2 延长CE 、BA 相交于点F∵∠EBF+∠F =90° ∠ACF+∠F =90°∴∠EBF =∠ACF在ABD △和ACF 中ABD ACF AB ACBAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△ACF （ASA ）∴BD=CF在BCE 和BFE △中CBE FBE BE BEBEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCE ≌△BFE （ASA ）∴CE =EF∴BD =CF =2 CE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质 角平分线的性质 准确分析证明是解题的关键． 12．如图1 点A 、D 在y 轴正半轴上 点B 、C 分别在x 轴上 CD 平分∠ACB 与y 轴交于D 点 ∠CAO ＋∠BDO ＝90°．（1）求证：AC ＝BC ；（2）如图2 点C 的坐标为(6 0) 点E 为AC 上一点 且∠DEA ＝∠DBO 求BC +EC 的值；（3）如图3 过D 作DF ⊥AC 于F 点 点H 为FC 上一动点 点G 为OC 上一动点 当H 在FC 上移动、点G 在OC 上移动时 始终满足∠GDH ＝∠GDO +∠FDH ．试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系 写出你的结论并加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）BC +EC =12；（3）GH =FH +OG 证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意∠CAO ＋∠BDO ＝90° 可知∠CAO =∠CBD 再结合CD 平分∠ACB 所以可由AAS 定理证明△ACD ≌△BCD 由全等三角形的性质可得AC =BC ；（2）过D 作DN ⊥AC 于N 点 可证明Rt △BDO ≌Rt △EDN 、△DOC ≌△DNC 因此 BO =EN 、OC =NC 所以 BC +EC =BO +OC +NC -NE =2OC 即可得BC +EC 的长；（3）在x 轴的负半轴上取OM =FH 可证明△DFH ≌△DOM 、△HDG ≌△MDG 因此 MG =GH 所以 GH =OM +OG =FH +OG 即可证明所得结论．【详解】（1）证明：∵x 轴⊥y 轴∴∠CBD ＋∠BDO ＝90°∵∠CAO ＋∠BDO ＝90°∴∠CAO =∠CB D ．∵CD 平分∠ACB∴ACD BCD ∠=∠在△ACD 和△BC D 中ACD BCD CAO CBD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD （AAS ）．∴AC =BC AD =DE ；（2）解：由（1）知∠CAD =∠DEA =∠DBO∴BD =AD =DE过D 作DN ⊥AC 于N 点 如右图所示：∵∠ACD =∠BCD∴DO =DN在Rt △BDO 和Rt △EDN 中BD DE DO DN=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BDO ≌Rt △EDN （HL ）∴BO =EN ．在△DOC 和△DN C 中90DOC DNC OCD NCD DC DC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DOC ≌△DNC （AAS ）可知：OC =NC ；∴BC +EC =BO +OC +NC -NE =2OC =12；（3）GH =FH +OG ．证明：由（1）知：DF =DO在x 轴的负半轴上取OM =FH 连接DM 如图所示： 在△DFH 和△DOM 中90DF DO DFH DOM OM FH ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△DFH ≌△DOM （SAS ）．∴DH =DM ∠1=∠ODM ．∴∠GDH =∠1+∠2=∠ODM +∠2=∠GDM ． 在△HDG 和△MDG 中DH DMGDH GDM DG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△HDG ≌△MDG （SAS ）．∴MG =GH∴GH =OM +OG =FH +OG ．【点睛】本题考查坐标与图形 全等三角形的性质和判定 角平分线的性质．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．。

三角形角平分线专题讲解(精选.)

三角形角平分线专题讲解(精选.)

由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律， 在解决几何问题中大 胆地去猜想， 按一定的规律去尝试。

下面就几何中常见的定理所 涉及到的辅助线作以介绍。

如图 1-1 ，∠∠，如取，并连接、 ，则有△≌△，从而为我们 证明线段、角相等创造了条件。

例1． 如图 1-2 ，，平分∠，平分∠， 点 E 在上，求证：。

分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形， 对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段 的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长 短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。

但无论 延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明 的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全 等自已证明。

此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证 明。

自已试一试。

例2． 已知：如图 1-3 ，2，∠∠，，求证⊥即利用解平分线来构造轴 图1-2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。

构造的方法还是截取线段相等。

其它问题自已证明。

(完整)全等三角形和角平分线专题讲解和练习题

(完整)全等三角形和角平分线专题讲解和练习题

C EODBA21C EDB A21OA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”)2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS"） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知:如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O,且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．图1（2）条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维,逐步分析，探索结论成立的条件,从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADE,还需添加的条件是（只需填一个）_____． 图2（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知:如图3，AB=AC,∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．图3GABF DEC ODA CBFCEDBA（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中,∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒（1）画出测量图案﹒（2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1）题,测量图案如图5所示．第（2）题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB,这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第（3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：（1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O,在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB,这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．（3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ． 又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． 图6评注：本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力,培养了 学生用数学的意识﹒练习:1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点,AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．C ED B AAO Q M CPBN A D C PBHF EGAD CBADCFBEA2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上,点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法:如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN,连接PN 、QM,得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图10，△ABC 中，AB=AC,过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知:如图11，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形,并给予证明．所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可）,才能使△ABC ≌△DEF ．7图13，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC,∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．AODCBAFCGBEAF DCB EOED218．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证:EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(）﹒（A）带①和②去 (B）带①去（C)带②去（D）带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．13．如图19，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起,使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（ )（A)边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等F ED CB A 21A FH DCGBEADCBE AF DC BE C E D例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ， BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等,浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法． 例7 已知:如图21,△ABC 中, BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC,连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例10 如图24,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形．．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．CF E BADQPCBACB AD EA例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．分析：要证CD=21BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º,AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F,DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知:如图28，AD 是△ABC 的中线,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中,∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ． 求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中,AD 平分∠BAC ，AB=AC+CD ． 求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线AD 上一点，AB ＞AC ． 求证:AB —AC ＞EB-EC ．CB AD 4321C E BADF CE BAD CEBADCBADACBD6．如图32,在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知,如图34，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证:CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC,∠A=100º，BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．10．如图36，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ )A ．9B ．8C ．7D ．611．如图37，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．A CF E B M D12．已知：如图38，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。

全等三角形与角平分线

全等三角形与角平分线

实用第四讲全等三角形与角平分线【知识回顾】1全等三角形的性质与判定 2、角平分线的性质与判定【讲解与练习】2 .如图，在平面直角坐标系中， 是线段OA 上的动点，从点O 出发,AB 上.已知A 、Q 两点间的距离是 （s ）时，△ OCF 、△ FAQ >△ CBQ况 x 轴和 y 轴上，OA=10cm ,0C=6cm . FOA 方向作匀速运动，点 Q 在线段 a 倍.若用（a , t ）表示经过时间t 请写出（a , t ）的所有可能情3. ___________________________________________________________ 如图，已知△ ABC 三个角的平分线交于点 O ,延长BA 到点D ，使AD=AO ，连接DO , 若 BD=BC ，/ ABC=54 °，则/ BCA 的度数为 ° .7.如图，已知五边形 ABCDE 中，/ ABC= / AED=90 ° , AB=CD=AE=BC+DE=2 ，则五边 形ABCDE 的面积为 _______________________________________ .1如图，四边形ABCD 中，/ 则AC 长是 cm . 2 ABCD 的面积为24cm ,矩形OABC 的两边分别在 以1cm/s 的速度沿O 、F 两点间距离的 中有两个三角形全等. 4. 如图所示， AB=AC , AD=AE ，/ BAC= / DAE ，/ 1=24 °，/ 2=36 ° ,则/ 3= __________________ .5. 如图，AC=DB ，/ 仁/2，则△ ABC ◎△ ____________________________ ，/ ABC= / _____________________6.如图，点 D 在BC 上, DE 丄AB 于点E , DF 丄BC 交AC 于点F , BD=CF , BE=CD .若 /AFD=145 ° ，则/ EDF= ____________________________________________ .5的形网络，在网格中画出点 F ,使得△ DEF 与厶ABC 全等，这样的格点个.9. ____________________ 如图，0是厶ABC 一点，且0到三边 AB 、BC 、CA 的距离 OF=OD=OE ,若/ BAC=70 Z BOC= _________ .10. 如图，△ ABC 的周长是12, OB 、OC 分别平分Z ABC 和Z ACB , OD 丄BC 于D ，且OD=3，则△ ABC 的面积是 ____________________11. 如图，OC 平分Z AOB , Z AOC=20 ° , P 为 OC 上一点，PD=PE,OD 工 OE , Z OPE=11012. 如图，△ ABC 中，Z A=60 ° , AB > AC ,两角的平分线 CD 、BE 交于点 O , OF 平分ZBOC 交 BC 于 F , (1)Z BOC=120 ° ; (2)连 AO ，贝U AO 平分Z BAC ; (3) A 、O 、F 三点在同一直线上，(4) OD=OE , ( 5) BD+CE=BC .其中正确的结论是 _____________________________ (填序号).13. 如图1,已知△ ABC 中，AB=AC , Z BAC=90 °，直角Z EPF 的顶点P 是BC 中点，两 边PE 、PF 分别交AB 、CA 的延长线于点 E 、F .(1) 求证：AE=CF ;(2) 求证：△ EPF 是等腰直角三角形；(3) 求证：Z FEA+ Z PFC=45 ° ;S ^ABC .8.如图，在5X 三角最多可以画出 (4)求证: S A PFC _ S A PBE = 尹14.如图，△ ACO为等腰直角三角形.(1 )若C (- 1, 3)，求A点坐标；(2)过A作AE丄AC,若/ FEO= / COE，求/ EOF的度数；(3)当厶ACO绕点O旋转时，过C作CN丄y轴，M为AO的中点，/ MNO的大小是否发生变化？15.如图，在△ ABC中，D是边BC上一点，AD平分/ BAC，在AB上截取AE=AC，连接BD=3cm，求线段BC的长.16.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分/ DAE，DA // CE，AB=CB .(1)试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；(2)若/ DAC=25 °，求/ AEB 的度数.AD平分/ BAC，请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法,求证18.如图，△ ABC 中，/ C=60 证：,AD , BE分别平分/ CAB , / CBA、AD、BE交于点P.求(1)/ APB=120 ° ;(2 )点P在/ C的平分线上；(3)AB=AE+BD .19. (1)如图1①，在△ ABC中，/ ABC= / ACB , AB的垂直平分线交AB于点N，交BC 的延长线于点M，若/ BAC=40 °，求/ AMB的度数；(2)如图1②，如果将(1)中的/ BAC的度数改为70°,其余条件不变，再求/ AMB的度数.20.在△ ABC 中, AD是/ BAC的平分线.(1)如图①，求证:S AACD AC(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC ;(3)如图③，若AB=5 , AC=4 , BC=6 .求BD 的长.2. ________________________________________________________ 如图，在△ ABC 中，AB=AC ，/ BAC=90 ° , AE 是过 A 点的一条直线， CE 丄AE 于E , BD 丄 AE 于 D , DE=4cm , CE=2cm ，贝U BD= .3. 如图，在 Rt △ ABC 中，AC=BC ，/ C=90 ° , AB=8，点F 是AB 边的中点，点 D 、E 分 别在AC 、BC 边上运动，且保持 AD=CE ，连接DE 、DF 、EF .在此运动变化的过程中，下 列结论中正确的结论是(1 )△ DFE 是等腰直角三角形；(2) 四边形CDFE 不可能为形；(3) DE 长度的最小值是4;(4) 四边形CDFE 的面积保持不变;(5) △ CDE 面积的最大值为 4.4. 在直角坐标系中，如图有厶 ABC ，现另有一点D 满足以A 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则D 点坐标为 _____________________5. 如图所示，在△ ABC 中，/ A=90 ° , BD 平分/ ABC , AD=2cm , AB+BC=8 , S ^ABC= _____________________ .6. __________________________________________________ 如图，AD 是厶ABC 的角平分线， DF 丄AB ,垂三.【作业】1•“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量 则该花园面积为 _________________ 平方米.AB=20 米，/ DEC=90 °，/ ECD=45足为F, DE=DG , △ ADG和厶AED的面积分别为50和38,则厶EDF的面积为.7.如图，在△ ABC 中，/ ABC=90 ° . AB=BC , A (- 4, 0), B (0, 2) I 玖圏1 图2 图3(1)如图1,求点C的坐标；(2)如图2, BC交x轴于点M , AC交y轴于点N，且BM=CM，求证：/ AMB= / CMN ;(3)如图3,若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角厶BOF与等腰直角△ ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y 轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度.&如图，在厶ABC中，已知/ B= / C,AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1s,A BPD与厶CQP是否全等？请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使厶9.如图，AD // BC,/ D=90 ° .(1)如图1,若/ DAB的平分线与/ CBA的平分线交于点P,试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图2,如果P是DC的中点，BP平分/ ABC，/ CPB=35°，求/ PAD的度数为多10.观察、猜想、探究：在厶ABC 中，/ ACB=2 / B.(1)如图①，当/ C=90 ° , AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD ;(2)如图②，当/ CM 90°, AD为/ BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(3)如图③，当AD ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.参考答案与试题解析(1, 4)(丄，5), (0 10)b.解：①当△ COF 和厶FAQ 全等时,OC=AF ，OF=AQ 或 OC=AQ ，OF=AF , •/ OC=6 , OF=t , AF=10 - t , AQ=at ，代入得:::厂或(Mt ，解得2，a=1, ,5);②同理当厶FAQ 和厶CBQ 全等时，必须BC=AF , BQ=AQ ,10=10 - t , 6- at=at ，此时不存在；③因为△ CBQ 最长直角边 BC=10，而△ COF 的最长直角 边不能等于10,所以△。

全等三角形与角平分线专题

全等三角形与角平分线专题

B AACA 1.如图，已知∠ACB=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于E ，BD=DF 交CA 的延长线于F 点，求证：BE=AE+AF2.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE=12（AB+AD ）。

求∠ABC+∠ADC 的度数3.如图，在△ABC 中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE 是△ABC 的角平分线，点D 在AC 上，且∠CBD=20°，求∠CED 的度数4.如图，点P 为△AEF 外一点，PA 平分∠EAF ，PD ⊥EF 于D ，且DE=DF ，PB ⊥AE 于B 。

求证：AF-AB=BE5.如图，正方形ABOC ，A （-4,4），点M 、N 分别在AB 、AC 上（1）若∠NMO=∠MOC ，问△AMN 的周长是否变化，若不变，请求其值；（2）若点M 在AB 延长线上，点N 在CA 的延长线上，其它条件不变，问CN 、MN 、BM 三者存在怎样的关系，试证明D①B②B图1B图2图3O 7.分别以△ABC 的AB 、AC 为边向外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接CD 、BE 交于F.求证：AF 平分∠DFE8.如图，CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α（1）当α=60°，且点D 在AC 上，连BD 、AE 相交于点G ，如图①，求∠BGA（2）若0°＜α＜90°，如图②，求∠BGC9.如图所示，点A 为∠MON 的角平分线上一点，过A 任作一直线分别与∠MON 的两边交于B 、C 、P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 于点D. （1）若∠MON=90°，如图1，则∠BDC= ；（2）若∠MON=60°，如图2，则∠BDC= ；（3）若∠MON=α，如图3，则∠BDC= ，请给予证明10.已知：如图，∠ACB 为直角，CM ⊥AB 于点M ，AT 平分∠BAC 交CM 于点D ，交BC 于点T ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E.求证：CT=EB图①EB P11.如图，P 为△ABC 的BC 边垂直平分线上的一点，且∠PBC=12∠A ，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于点D 、E.求证：BE=CD12.已知：△ACB 为等腰直角三角形，点P 在BC 上，以AP 为边长作正方形APEF.（1）如图①，当点P 在BC 上时，求∠EBP ；（2）如图②，当点P 在BC 的延长线上时，求∠EBP.13.已知等腰△ABC 和等腰△ADE 的顶点公共，B 、A 、E 在同一条直线上，∠BAC=∠DAE ，PB=PD ，PC=PE.（1）如图1，若∠BAC=90°，则∠BPC+∠DPE= ；（2）如图2，若∠BAC=α，则∠BPC+∠DPE= ；（3）在图1的基础上将等腰Rt △ABC 绕点A 旋转一个角度，得到图3，则∠BPC+∠DPE= ；并证明你的结论。

初中数学《全等三角形中的角平分线》讲义及练习

初中数学《全等三角形中的角平分线》讲义及练习

板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．重、难点知识点睛中考要求第十讲 全等三角形中的角平分线与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A B OP【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【解析】 ∵O 点为ABC △中角平分线的交点， ∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=【例2】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．ADOCB重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。

角平分线的性质与全等三角形

角平分线的性质与全等三角形

角平分线的性质与全等三角形一、知识回顾1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

∵△ABC≌△A＇B＇C＇∴AB=A＇B＇,BC=B＇C＇,AC=A＇C＇; ∠A=∠A＇, ∠B=∠B＇, ∠C=∠C＇二、典型例题例1：下列定理中逆定理不存在的是（）A．角平分线上的点到这个角的两边距离相等B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等分析：把每个选项的逆命题写出，然后利用相关的知识进行证明，不能证明的是错误的，选项D的逆定理是不存在的．解答：A、角平分线上的点到这个角的两边距离相等的逆定理存在，可通过三角形全等来证明，正确；B、在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等逆定理存在，可通过证明三角形全等来证明，正确；C、同位角相等，两直线平行的逆定理是平行线的性质定理之一，正确；D、对应角相等的三角形不全等，及其逆命题不正确，也就是逆定理不存在．故选D．___________________________________________________________________________ ___例2：如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE 全等的理由是（）A．SAS B．AASC．SSS D．ASA分析：根据已知条件在三角形中的位置来选择判定方法，本题中有两角及一角的对边对应相等，所以应选择AAS，比较简单．解答：由已知得，AP=AP，∠DAP=∠EAP，∠ADP=∠AEP所以符合AAS判定．故选B．___________________________________________________________________________ ___例3：已知，如图，△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下列说法，正确的有（）①DE=DF，②AE=AF，③AD平分∠EDF；④AD⊥BC，⑤图**有3对全等三角形．A．B． 3个C．4个D．5个分析：根据题意可以推出DE=DF，△AED≌△AFD，即可推出说法①②③为正确．解答：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，AD平分∠EDF．故选B．___________________________________________________________________________ ___例4：（2002·四川）以下命题中，真命题是（）①同一平面内的两条直线不平行就相交；②三角形的外角必定大于它的内角；③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；④两个全等三角形的面积相等．A．①、③B．①、④C．①、②、④D．②、③、④分析：同一个平面内的两条直线的位置关系：平行、相交；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角；全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；全等三角形的面积比相等．解答：A、根据平面内两条直线的位置关系，故正确；B、三角形的外角应大于任何一个和它不相邻的内角，故错误；C、不符合全等三角形的判定定理，故错误；D、根据全等三角形的定义，故正确．故选B．___________________________________________________________________________ ___例5：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是（）A．∠DAE=∠CBE B．CE=DEC．△DEA不全等于△CBE D．△EAB是等腰三角形分析：由题中条件可得，△ABD≌△BAC，由全等可得对应角相等，对应线段相等，即可得△ADE≌△BCE，所以C中说两个三角形不全等是错误的；再由角相等也可得△EAB为等腰三角形，进而可得出结论．解答：∵∠1=∠2，∠C=∠D，且AB为公共边，∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB=∠CBA，AD=BC，又∠1=∠2，∴∠DAE=∠CBE，A正确；又AD=BC，∠D=∠C，∴△ADE≌△BCE，C错误；∴CE=DE，B正确；∵∠1=∠2△EAB为等腰三角形，D正确．故C错，选C．三、解题经验角平分线的性质很简单，也比较容易掌握。

(完整版)全等三角形知识总结和经典例题

(完整版)全等三角形知识总结和经典例题

全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

全等三角形与角平分线经典题型

全等三角形与角平分线经典题型

全等三角形与角平分线一、知识概述1、角的平分线的作法（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.（2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C.（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.2、角平分线的性质在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形.（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.3、角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.4、三角形的角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC.例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF（）A．大于EF B．小于EFC．等于EF D．与EF的大小无法比较例4、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．例5、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．例6、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O 点，求证：AE＋CD=AC.三、中考解析1、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）A．6cm B．7cmC．8cm D．9cm2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC<DB＋DC.3、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.4、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．5、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°6、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：7、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.。

直角三角形全等的判定与角平分线

直角三角形全等的判定与角平分线

第五讲：直角三角形全等判定知识回顾：1、定理：2、HH 定理：3、适合直角三角形全等的判定定理有：练习提升：1．如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条第3题2.如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点分别在AC 和过 点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA.3.如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D,DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为___________cm. 三、解答题4.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC5.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC . 你能说明BE 与DF 相等吗？9．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=30°.求证:BD=14ABABCDE F1 2第六讲：角平分线的性质一 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）思考：这一画法的根据是2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：文字表达：几何表达： ∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，（已知）∴ ．（角平分线的性质） （2）角平分线的判定：文字表达：几何表达： ∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB （已知）∴ （角平分线的判定） 练习提升：1.△ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=32，BD ∶DC=9∶7,则点D 到AB 的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm2．在△ABC 内部取一点P 使得点P 到△ABC 的三边距离相等，则点P 应是△ABC 的哪三条线交点．（ ）（A ）高 （B ）角平分线 （C ）中线 （D ）边的垂直平分线 3．已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，BE=CF ， 则下列说法正确的有几个（ ） （1）AD 平分∠EDF ；（2）△EBD ≌△FCD ； （3）BD=CD ； （4）AD ⊥BC ．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 4. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，DA 平分∠CAB 交BC 于D ， DE ⊥AB 于E ， AB=10求△BDE 的周长5、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ．E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．6、如图，△ABC 中，∠ABC=1000，∠ACB 的平分线交AB 于E ，在AC 上取一点D ，使∠CBD=200，连结DE ． 求∠CED 的度数．。

中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的角平分线模型(解析版)

中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的角平分线模型(解析版)

专题08 全等三角形中的角平分线模型【模型展示】特点利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

结论三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等【模型证明】解决方案角平分线+垂直两边型角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等．【证明】∵ OC为∵AOB的角平分线，D为OC上一点DE∵OA，DF∵OB∵(AAS)OFD△OED△∵DE=DF角平分线+垂直角平分线型构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

DFEOCBAOBＮＭＢＣＯ角平分线+平行线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∠ON ，交 OM 于点 Q 。

结论：∠POQ 是等腰三角形。

【证明】∠PQ ∥ON∴∠PON=∠OPQ又∵OP 是∠MON 的平分线∴∠POQ=∠PON∴∠POQ=∠OPQ∴△POQ 是等腰三角形【题型演练】一、单选题1．已知：如图，BD 为∠ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF∠AB ，F 为垂足，下列结论：∠∠ABD∠∠EBC∠∠BCE+∠BCD=180°∠AD=AE=EC ∠ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠ 【答案】D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得∠∠正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即∠正确，根据∠可判断∠正确；【详解】∠ BD 为∠ABC 的角平分线，∠ ∠ABD=∠CBD ，∠在∠ABD 和∠EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∠∠ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故∠正确；∠ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∠ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∠∠ABD∠∠EBC，∠∠BCE=∠BDA，∠∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故∠正确；∠∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∠∠DCE=∠DAE，∠∠ACE是等腰三角形，∠AE=EC，∠∠ABD∠∠EBC，∠AD=EC，∠AD=AE=EC，故∠正确；作EG∠BC，垂足为G，如图所示：∠ E是BD上的点，∠EF=EG，在∠BEG和∠BEF中BE BE EF EG=⎧⎨=⎩∠ ∠BEG∠∠BEF，∠BG=BF，在∠CEG和∠AFE中EF EG AE CE=⎧⎨=⎩∠∠CEG∠∠AFE，∠ AF=CG，∠BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故∠正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；2．如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．给出如下几个结论：∠∠AED∠∠DFB ；∠S 四边形BCDG 2；∠若AF=2DF ，则BG=6GF ；∠CG 与BD 一定不垂直；∠∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【详解】试题分析：∠∠ABCD 为菱形，∠AB=AD ，∠AB=BD ，∠∠ABD 为等边三角形，∠∠A=∠BDF=60°，又∠AE=DF ，AD=BD ，∠∠AED∠∠DFB ，故本选项正确；∠∠∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD ，即∠BGD+∠BCD=180°，∠点B 、C 、D 、G 四点共圆，∠∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∠∠BGC=∠DGC=60°，过点C 作CM∠GB 于M ，CN∠GD 于N （如图1），则∠CBM∠∠CDN （AAS ），∠S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN =2S ∠CMG ，∠∠CGM=60°，∠GM=12CG ，，∠S 四边形CMGN =2S ∠CMG =2×12×122，故本选项错误； ∠过点F 作FP∠AE 于P 点（如图2），∠AF=2FD ，∠FP ：AE=DF ：DA=1：3，∠AE=DF ，AB=AD ，∠BE=2AE ，∠FP ：BE=FP ：12AE=1：6，∠FP∠AE ，∠PF∠BE ，∠FG ：BG=FP ：BE=1：6，即BG=6GF ，故本选项正确；∠当点E ，F 分别是AB ，AD 中点时（如图3），由（1）知，∠ABD ，∠BDC 为等边三角形，∠点E ，F 分别是AB ，AD 中点，∠∠BDE=∠DBG=30°，∠DG=BG ，在∠GDC 与∠BGC 中，∠DG=BG ，CG=CG ，CD=CB ，∠∠GDC∠∠BGC ，∠∠DCG=∠BCG ，∠CH∠BD ，即CG∠BD ，故本选项错误；∠∠∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有∠∠∠，共3个，故选B ．考点：四边形综合题．3．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：∠135APB ︒∠=；∠PF PA =；∠AH BD AB +=；∠S 四边形23ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∠在∠ABC 中，∠ACB=90°，∠∠CAB+∠ABC=90°∠AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ， ∠∠BAD=12CAB ∠，∠ABE=12ABC ∠ ∠∠BAD+∠ABE=111+=()45222CAB ABC CAB ABC ∠∠∠+∠=︒ ∠∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE ）=135°，故∠正确；∠∠BPD=45°，又∠PF∠AD ，∠∠FPB=90°+45°=135°∠∠APB=∠FPB又∠∠ABP=∠FBPBP=BP∠∠ABP∠∠FBP （ASA ）∠∠BAP=∠BFP ，AB=AB ，PA=PF ，故∠正确；在∠APH 与∠FPD 中∠∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∠∠APH∠∠FPD （ASA ），∠AH=FD ，又∠AB=FB∠AB=FD+BD=AH+BD ，故∠正确；连接HD ，ED ，∠∠APH∠∠FPD ，∠ABP∠∠FBP∠APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，∠∠HPD=90°，∠∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∠HD∠EP ，∠EPH EPD S S =∠ABP BDP AEP EPD ABDE S S SS S =+++四边形 ()ABP AEP EPH PBD S S S S =+++ABP APH PBD SS S =++ ABP FPD PBD S S S =++ABP FBP S S=+ 2ABPS = 故∠错误，∠正确的有∠∠∠，故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ，注意AAA 和SAS 不能判定两个三角形全等．二、填空题4．已知，∠ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ，∠BDC ＝60°，AB ＝2，AC ＝3，则AD 的长是________．【答案】5【分析】过D 作，DE AC ⊥，DF AB ⊥交AB 延长线于F ，然后根据全等三角形的性质和30︒角直角三角形的性质即可求解．【详解】过D 作，DE AC ⊥，DF AB ⊥交AB 延长线于F ，∠AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，DF AB ⊥，∠DE DF =，90DEC DFB DEA ==︒=∠∠∠，∠360BAC BDC DCE DBA +++=︒∠∠∠∠，12060BAC BDC =︒=︒∠，∠，∠180DCE DBA +=︒∠∠，∠180DBF DBA +=︒∠∠，∠DCE DBF ∠=∠，在DEC 和DFB △中，DCE DBF DEC DFB DE DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()DEC DFB AAS △≌△，∠CE BF =，在Rt DEA △和Rt DFA 中，DE DF DA DA =⎧⎨=⎩， ∠()Rt DEA DFA HL △≌△，∠AE AF =，∠,AE AC CE AF AB BF =-=+，∠AC CE AB BF -=+，∠1CE BF AC AB +=-=， ∠12CE BF ==， ∠52AF AB BF =+=， ∠AD 平分BAC ∠， ∠1602DAB BAC ==︒∠∠， ∠18030ADF DAB DFB =︒--=︒∠∠∠，∠25AD AF ==．【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．5．如图，∠ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝50︒，∠CAP ＝______．【答案】40°【分析】过点P 作PF∠AB 于F ，PM∠AC 于M ，PN∠CD 于N ，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到∠BAC 度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得到答案．【详解】解：过点P 作PF∠AB 于F ，PM∠AC 于M ，PN∠CD 于N ，如图：设∠PCD=x ，∠CP 平分∠ACD ，∠∠ACP=∠PCD=x ，PM=PN ，∠∠ACD=2x ，∠BP 平分∠ABC ，∠∠ABP=∠PBC ，PF=PM=PN ，∠∠BPC ＝50°，∠∠ABP=∠PBC=50PCD BPC x ∠-∠=-︒，∠2(50)ABC x ∠=-︒,∠22(50)100BAC ACD ABC x x ∠=∠-∠=--︒=︒，∠18010080FAC ∠=︒-︒=︒，在Rt∠APF 和Rt∠APM 中，∠PF=PM ，AP 为公共边，∠Rt∠APF∠Rt∠APM （HL ），∠∠FAP=∠CAP ， ∠180402CAP ∠=⨯︒=︒； 故答案为：40°；【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出80FAC ∠=︒是关键．6．如图所示，ABC 的外角ACD ∠的平分线CP 与ABC ∠的平分线相交于点P ，若36BPC ∠=︒，则CAP ∠=_______．【答案】54︒【分析】如图（见解析），设CBP x ∠=，从而可得2ABC x ∠=，先根据三角形的外角性质可求出72BAC =︒∠，再根据角平分线的性质可得,PM PN PM PE ==，从而可得PN PE =，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得PAN PAE ∠=∠，最后根据平角的定义即可得．【详解】如图，过点P 分别作PM BD ⊥于点M ，PN BA ⊥于点N ，PE AC ⊥于点E ， 设CBP x ∠=，则2ABC x ∠=，36BPC ∠=︒，36DCP BP CBP C x ∠+∴∠=∠=+︒， CP 是ACD ∠的平分线，2272ACD DCP x ∴∠=∠=+︒，272272BAC ACD ABC x x ∴∠=∠-∠=+︒-=︒， BP 是ABC ∠的平分线，PM BD ⊥，PN BA ⊥，PM PN ∴=，同理可得：PM PE =，PN PE ∴=， 在Rt ANP 和Rt AEP △中，PN PE PA PA =⎧⎨=⎩， ()Rt ANP Rt AEP HL ∴≅，PAN PAE ∴∠=∠，即PAN CAP ∠=∠，又180PAN CAP BAC ∠+∠+∠=︒，272180CAP ∴∠+︒=︒，解得54CAP ∠=︒，故答案为：54︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．三、解答题7．如图，ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点B 作BE ∠AD ，交AD 延长线于点E ，F 为AB 的中点，连接CF ，交AD 于点G ，连接BG ．（1）线段BE 与线段AD 有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG 的形状，并说明理由．【答案】（1）BE ＝12AD ，见解析；（2）BEG 是等腰直角三角形，见解析【分析】（1）延长BE 、AC 交于点H ，先证明∠BAE ∠∠HAE ，得BE ＝HE ＝12BH ，再证明∠BCH ∠∠ACD ，得BH ＝AD ，则BE ＝12AD ；（2）先证明CF 垂直平分AB ，则AG ＝BG ，再证明∠CAB ＝∠CBA ＝45°，则∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°，于是∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，可证明∠BEG 是等腰直角三角形．【详解】证：（1）BE ＝12AD ，理由如下：如图，延长BE 、AC 交于点H ，∠BE ∠AD ，∠∠AEB ＝∠AEH ＝90°，∠AD 平分∠BAC ，∠∠BAE ＝∠HAE ，在∠BAE 和∠HAE 中，AEB AEH AE AEBAE HAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BAE ∠∠HAE （ASA ），∠BE ＝HE ＝12BH ，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCH ＝180°﹣∠ACB ＝90°＝∠ACD ，∠∠CBH ＝90°﹣∠H ＝∠CAD ，在∠BCH 和∠ACD 中，BCH ACD BC ACCBH CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BCH ∠∠ACD （ASA ），∠BH ＝AD ，∠BE ＝12AD ．（2）∠BEG 是等腰直角三角形，理由如下：∠AC ＝BC ，AF ＝BF ，∠CF ∠AB ，∠AG ＝BG ，∠∠GAB ＝∠GBA ，∠AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∠∠GAB ＝12∠CAB ＝22.5°，∠∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°，∠∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，∠∠BEG ＝90°，∠∠EBG ＝∠EGB ＝45°，∠EG ＝EB ，∠∠BEG 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．8．已知：如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠A +∠C ＝180°，BC ＞BA ．求证：点D 在线段AC 的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】在BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ，证明∠ABD ∠∠BED ，可得出∠C ＝∠DEC ，则DE ＝DC ，从而得出AD ＝CD 即可证明．【详解】证：如图，在BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ，∠BD ＝BD ，∠ABD ＝∠CBD ，∠∠BAD ∠∠BED ，∠∠A ＝∠DEB ，AD ＝DE ，∠∠A +∠C ＝180°，∠BED +∠DEC ＝180°，∠∠C ＝∠DEC ，∠DE ＝DC ，∠AD ＝CD ，∠点D 在线段AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．9．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：180B D ∠+∠=．【答案】详见解析【分析】过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出∠CDF∠∠CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．【详解】证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，∠AC 平分∠BAD ，CE∠AB 于E ，CF AD ⊥于F ，∠CF=CE ，在Rt∠CDF 与Rt∠CEB 中，CF=CE CD=CB ⎧⎨⎩∠CBE CDF ∆∆≌，CBE CDF ∴∠=∠，180ADC CDF ∠+∠=︒，A C 180B D ∴∠+∠=︒ .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明∠CDF∠∠CEB 进而得出∠B=∠FDC ．10．已知：如图，AC ∠BD ，AE 、BE 分别平分∠CAB 和∠ABD ，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC +BD =AB ，理由见见解析【分析】在BA 上截取BF =BD ，连接EF ，先证得BEF BED ≌，可得到∠BFE =∠D ，再由AC ∠BD ，可得∠AFE =∠C ，从而证得AEF AEC ≌，可得AF =AC ，即可求解．【详解】解：AC +BD =AB ，证明如下：在BA 上截取BF =BD ，连接EF ，如图所示：∠AE 、BE 分别平分∠CAB 和∠ABD ，∠∠EAF =∠EAC ，∠EBF =∠EBD ，在∠BEF 和∠BED 中，BF BD EBF EBD BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠BEF BED ≌（SAS ），∠∠BFE =∠D ，∠AC ∠BD ，∠∠C +∠D =180°，∠∠AFE +∠BFE =180°，∠∠AFE +∠D =180°，∠∠AFE =∠C ，在∠AEF 和∠AEC 中，EAF EAC AFE C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠AEF AEC ≌（AAS ），∠AF =AC ，∠AF +BF =AB ，∠AC +BD =AB ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．11．在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠； （2）已知60A ∠=︒．∠如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长；∠如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出1902FBC FCB A ∠+∠=︒-∠的度数，再由三角形内角和定理可求出BFC ∠的度数，（2）在BC 上取一点G 使BG=BD ，构造BFG BFD ≅△（SAS ），再证明()FEC FGC ASA ≅，即可得BC BD CE =+，由此求出答案；（3）延长BA 到P ，使AP=FC ，构造BFC CAP ≅△（SAS ），得PC=BC ，12P BCF ACB ∠=∠=∠，再由三角形内角和可求40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒，进而可得180()100AEB ABE A ∠=︒-∠+∠=︒．【详解】解：（1）BE 、CD 分别是ABC ∠与ACB ∠的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A ∴∠+∠=︒-∠=︒-∠， 1180()180(90)2BFC FBC FCB A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠， 1902BFC A ∴∠=︒+∠， （2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A ∠=︒+∠， 60BAC ∠=︒，120BFC ∴∠=︒，∠18060BFD EFC BFC ∠=∠=︒-∠=︒，在BFG 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠BFG BFD ≅△（SAS ）∠BFD BFG ∠=∠，∠60BFD BFG ∠=∠=︒，∠12060CFG BFG ∠=︒-∠=︒，∠60CFG CFE ∠=∠=︒在FEC 与FGC △中，CFE CFG CF CFECF GCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FEC FGC ASA ∴≅，CE CG ∴=，BC BG CG =+，BC BD CE ∴=+；∠4BD =， 6.5BC =，∠ 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC ，60BAC ∠=︒，∠180120PAC BAC ∠=︒-∠=︒，在BFC △与CAP 中，120BF AC BFC CAP CF PA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∠BFC CAP ≅△（SAS ）∠P BCF ∠=∠，BC PC =，∠P ABC ∠=∠，又∠12P BCF ACB ∠=∠=∠， ∠2ACB ABC ∠=∠，又∠180ACB ABC A ∠+∠+∠=︒，∠360180ABC ∠+︒=︒，∠40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒， ∠1202ABE ABC ∠=∠=︒，180()180(2060)100AEB ABE A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒ 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．如图，∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，CD 平分∠ACB ，BE ∠CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：BE ＝12CD ．【答案】见解析【分析】分别延长BE 、CA 交于点F ，首先结合题意推出∠CFE ∠∠CBE ，从而得到BE ＝EF ＝12BF ，然后证明∠BF A ∠∠CDA ，得到BF ＝CD ，即可得出结论．【详解】证明：分别延长BE 、CA 交于点F ，∠BE ∠CD ，∠∠BEC ＝∠FEC ＝90°．∠CD 平分∠ACB ，∠∠FCE ＝∠BCE ．在∠CFE 与∠CBE 中，∠∠BEC ＝∠FEC ，∠FCE ＝∠BCE ，CE ＝CE ，∠∠CFE ∠∠CBE ，∠BE ＝EF ＝12BF ．在∠CFE 与∠CAD 中，∠∠F ＋∠FCE ＝∠ADC ＋∠ACD ＝ 90°，∠∠F ＝∠ADC ．在∠BF A 与∠CDA 中，∠∠F ＝∠ADC ，∠BAC ＝∠F AB ，AB ＝AC ，∠∠BF A ∠∠CDA ，∠BF ＝CD ．∠BE ＝12CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．13．如图，在∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，交BC 于点D ，过D 作DE ∠BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD ＝DF ．（1）求证：AC ＝AE ；（2）若AB ＝7.4，AF ＝1.4，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）证明∠ACD ∠∠AED （AAS ），即可得出结论；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证∠F AD ∠∠MAD （SAS ），得FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，再证Rt ∠MDE ∠Rt ∠BDE （HL ），得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：（1）证明：∠AD 平分∠BAC ，∠∠DAC =∠DAE ，∠DE ∠BA ，∠∠DEA =∠DEB =90°，∠∠C =90°，∠∠C =∠DEA =90°，在∠ACD 和∠AED 中，C DEA DAC DAE AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD ∠∠AED （AAS ），∠AC =AE ；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在∠F AD 和∠MAD 中，AF AM DAF DAM AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠F AD ∠∠MAD （SAS ），∠FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，∠BD =DF ，∠BD =MD ，在Rt ∠MDE 和Rt ∠BDE 中，MD BD DE DE =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠MDE ∠Rt ∠BDE （HL ），∠ME =BE ，∠AF =AM ，且AF =1.4，∠AM =1.4，∠AB =7.4，∠MB =AB -AM =7.4-1.4=6，∠BE ＝12BM ＝3，即BE 的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明∠F AD ∠∠MAD 和Rt ∠MDE ∠Rt ∠BDE 是解题的关键．14．（1）如图1，射线OP 平分∠MON ，在射线OM ，ON 上分别截取线段OA ，OB ，使OA ＝OB ，在射线OP 上任取一点D ，连接AD ，BD ．求证：AD ＝BD ．（2）如图2，在Rt ∠ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，CD 平分∠ACB ，求证：BC ＝AC +AD ．（3）如图3，在四边形ABDE 中，AB ＝9，DE ＝1，BD ＝6，C 为BD 边中点，若AC 平分∠BAE ，EC 平分∠AED ，∠ACE ＝120°，求AE 的值．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证∠AOD∠∠BOD，进而问题可求证；（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有∠ACD∠∠ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证∠ABC∠∠AFC，∠CDE∠∠CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得∠CFG是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：（1）∠射线OP平分∠MON，∠∠AOD=∠BOD，∠OD=OD，OA＝OB，∠∠AOD∠∠BOD（SAS），∠AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∠∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∠∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∠CD=CD，∠∠ACD∠∠ECD（SAS），∠∠A=∠CED=60°，AD=DE，∠∠B+∠EDB=∠CED，∠∠EDB=∠B=30°，∠DE=BE，∠AD=BE，∠BC=CE+BE，∠BC＝AC+AD．（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理（1）（2）可得：∠ABC∠∠AFC，∠CDE∠∠CGE，∠∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∠C为BD边中点，∠BC=CD=CF=CG=3，∠∠ACE＝120°，∠∠ACB+∠DCE=60°，∠∠ACF+∠GCE=60°，∠∠FCG=60°，∠∠CFG是等边三角形，∠FG=CF=CG=3，∠AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．15．如图，已知∠ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+CD．【答案】证明见解析【分析】在BC上截取点E，并使得BE=BA，连接DE，证明∠ABD∠∠EBD，得到∠DEB=∠BAD=108°，进一步计算出∠DEC=∠CDE=72°得到CD=CE即可证明．【详解】证明：在线段BC 上截取BE =BA ，连接DE ，如下图所示：∠BD 平分∠ABC ，∠∠ABD =∠EBD ，在∠ABD 和∠EBD 中：AB BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABD ∠∠EBD (SAS )，∠∠DEB =∠BAD =108°，∠∠DEC =180°-108°=72°，又AB =AC ，∠∠C =∠ABC =(180°-108°)÷2=36°，∠∠CDE =180°-∠C -∠DEC =180°-36°-72°=72°，∠∠DEC =∠CDE ，∠CD =CE ，∠BC =BE +CE =AB +CD ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰BC 上截取BE ，并使得BE =BA ，这是角平分线辅助线和全等三角形的应用的一种常见作法．16．如图，ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD∠AB 于D ，PE∠AC 于E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）连接BP 、CP ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP =，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DP EP =，然后利用“HL ”证明Rt BDP ∆和Rt CEP 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL ”证明Rt ADP ∆和Rt AEP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD AE =，再根据AB 、AC 的长度表示出AD 、CE ，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP 、CP ，点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP ∴=， AP 是DAC ∠的平分线，DP EP ，在Rt BDP ∆和Rt CEP 中，BPCP DP EP ，Rt BDPRt CEP(HL)， BD CE ∴=；（2）解：在Rt ADP ∆和Rt AEP 中，APAP DP EP ，Rt ADPRt AEP(HL)， AD AE ∴=，6AB cm =，10AC cm =，610AD AE ，即610AD AD ，解得AD 2cm =．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．17．如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，求CAP ∠的度数．【答案】50°【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得出答案．【详解】延长BA ，作PN∠BD ，PF∠BA ，PM∠AC ，设∠PCD=x°，∠CP 平分∠ACD ，∠∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN ，∠BP 平分∠ABC ，∠∠ABP=∠PBC ，PF=PN ，∠PF=PM ，∠∠BPC=40°，∠∠ABP=∠PBC=∠PCD -∠BPC=(x -40)°，∠∠BAC=∠ACD -∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∠∠CAF=100°，在Rt∠PFA 和Rt∠PMA 中，PA PA PM PF =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠PFA∠Rt∠PMA(HL)，∠∠CAP=∠FAP ，又∠∠CAP+∠PAF=∠CAF ，∠∠CAP =50°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF 是解决问题的关键．18．四边形ABCD 中，DA DC =，连接BD ．（1）如图1，若BD 平分ABC ∠，求证：180A C ∠+∠=︒．（2）如图2，若BD BC =，150=︒∠BAD ，求证：2DBC ABD ∠=∠．（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，若DA DC ⊥，2BC =，求DE 的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【分析】（1）过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，根据角平分线的性质可得ED FD =，结合已知条件HL 证明Rt DAE ≌Rt DCF △，继而可得C EAD ∠=∠，根据平角的定义以及等量代换即可证明180BAD BCD ∠+∠=︒；（2）过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG DC ⊥，根据含30度角的直角三角形的性质可得12ED AD =，根据三线合一，可得12DG DC =，进而可得DE DG =，根据角平分线的判定定理可推出12ABD DBG DBC ∠=∠=∠，进而即可证明2DBC ABD ∠=∠；（3）先证明四边形DMEF 是矩形，证明△MAD ≌FCD ，进而证明四边形DMEF 是正方形，设ABD α∠=，根据（2）的结论以及三角形内角和定理，求得15α=︒，进而求得30DBC ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得EF ，进而在Rt DEF △中，勾股定理即可求得DE 的长．【详解】（1）如图，过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，BD 平分ABC ∠，ED FD ∴=DA DC =，在Rt DAE 与Rt DCF △中AD DC ED FD =⎧⎨=⎩∴Rt DAE ≌Rt DCF △（HL ）C EAD ∴∠=∠180DAB EAD DAB C ∴∠+∠=∠+∠=︒即180BAD BCD ∠+∠=︒（2）如图，过点D 作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG DC ⊥，BD BC =11,22DG GC DC DBG CBG DBC ∴==∠=∠=∠150=︒∠BAD，18015030EAD∴∠=︒-︒=︒12ED AD∴=DA DC=ED DG∴=,ED BE DG BG⊥⊥EBD GBD∴∠=∠12ABD DBC∴∠=∠即2DBC ABD∠=∠（3）如图，过点D分别作DF BC⊥于点F，DM EA⊥交EA的延长线于点M，AE BC⊥，,DM ME DF FE⊥⊥∴四边形DMEF是矩形90MDF∴∠=︒90MDA ADF∴∠+∠=︒DA DC⊥90ADC∴∠=︒90ADF FDC∴∠+∠=︒FDC MDA∴∠=∠在△MAD与FCD中MDA FDCDMA DFCDA DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MAD≌FCDDM DF∴=，MDA FDC∠=∠∴四边形DMEF是正方形DF EF∴=设ABDα∠=∴22DBC ABD α∠=∠=BD BC =()11802902BDC BCD αα∴∠=∠=︒-=- 90MDA FDC BCD α∴∠=∠=︒-∠=90DAE M MDA α∴∠=∠+∠=︒+150BAD ∠=︒60BAE α∴∠=-在BAE 中9030ABE BAE α∠=︒-∠=︒+23ABE ABD DBC ααα∠=∠+∠=+=15α∴=︒230DBC α∴∠==︒2BD =112122DF BD ∴==⨯= 在Rt DEF △中，1EF DF ==DE ∴==【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．19．在∠ABC 中，AD 为∠ABC 的角平分线，点E 是直线BC 上的动点．（1）如图1，当点E 在CB 的延长线上时，连接AE ，若∠E ＝48°，AE ＝AD ＝DC ，则∠ABC 的度数为 ．（2）如图2，AC ＞AB ，点P 在线段AD 延长线上，比较AC +BP 与AB +CP 之间的大小关系，并证明．（3）连接AE ，若∠DAE ＝90°，∠BAC ＝24°，且满足AB +AC ＝EC ，请求出∠ACB 的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．【答案】（1）108︒；（2）AC BP AB PC +>+，见解析；（3）44°或104°；详见解析．【分析】（1）根据等边对等角，可得E ADE ∠=∠，DAC C ∠=∠，再根据三角形外角的性质求出=2=48ADE DAC ∠∠︒，由此即可解题；（2）在AC 边上取一点M 使AM =AB ，构造ABP AMP ≅，根据MP MC PC +>即可得出答案；（3）画出图形，根据点E 的位置分四种情况，当点E 在射线CB 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，可得GC EC =，可得G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则=90G GEC x ∠=∠︒-；根据∠BAC ＝24°，AD 为∠ABC 的角平分线，可得=12BAD DAC ∠∠=︒，可证AGE ABE ≅（SAS ），得出=90ABE G x ∠=∠︒-，利用还有 242ABE x ∠=︒+，列方程90242x x ︒-=︒+；当点E 在BD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；当点E 在CD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；当点E 在BC 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ， 可得GC EC =，得出G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则G GEC x ∠=∠=；∠BAC ＝24°，根据AD 为∠ABC 的角平分线，得出=12BAD DAC ∠∠=︒，证明AGE ABE ≅（SAS ），得出=ABE G x ∠=∠，利用三角形内角和列方程242180x x +︒+=︒，解方程即可．【详解】解：（1）∠AE ＝AD ＝DC ，∠E ADE ∠=∠，DAC C ∠=∠，∠48E ∠=︒，=ADE DAC C ∠∠+∠，∠=2=48ADE DAC ∠∠︒，∠AD 为∠ABC 的角平分线，即=2BAC DAC ∠∠，∠48BAC ∠=︒；∠1804824108ABC ∠=︒-︒-︒=︒（2）如图2，在AC 边上取一点M 使AM =AB ，连接MP ，在ABP 和AMP 中，AB AM BAP MAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABP AMP ≅（SAS ），∠BP M P =，∠MP MC PC +>，MC AC AM =-，∠AC AB BP PC -+>，∠AC BP AB PC +>+；（3）如图，点E 在射线CB 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，∠AB +AC ＝EC ，∠AG +AC ＝EC ，即GC EC =，∠G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则=90G GEC x ∠=∠︒-；又∠BAC ＝24°，AD 为∠ABC 的角平分线，∠=12BAD DAC ∠∠=︒，又∠90DAE ∠︒＝，∠9078BAE BAD ∠︒-∠=︒＝，9078GAE DAC ∠=︒-∠=︒，∠BAE GAE ∠∠＝，在AGE 和ABE △中，AE AE GAE BAE AG AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠AGE ABE ≅（SAS ），∠=90ABE G x ∠=∠︒-，又∠242ABE BAC ACB x ∠=∠+∠=︒+，∠90242x x ︒-=︒+，解得：22x =︒，∠=2=44ACB x ∠︒；当点E 在BD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；当点E 在CD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；如图，点E 在BC 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，∠AB +AC ＝EC ，∠AG +AC ＝EC ，即GC EC =，∠G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则G GEC x ∠=∠=又∠∠BAC ＝24°，AD 为∠ABC 的角平分线，∠=12BAD DAC ∠∠=︒，又∠90DAE ∠︒＝，∠90102BAE BAD ∠︒+∠=︒＝，90102GAE DAC ∠=︒+∠=︒，∠BAE GAE ∠∠＝，在AGE 和ABE △中，AE AE GAE BAE AG AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠AGE ABE ≅（SAS ），∠=ABE G x ∠=∠，∠242180x x +︒+=︒，解得：52x =︒，∠=2=104ACB x ∠︒．∠∠ACB 的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．20．如图，已知在四边形ABCD 中，BD 是ABC ∠的平分线，AD CD =．2 求证：180A C ∠+∠=︒．【答案】见解析【分析】方法一，在BC 上截取BE ，使BE AB =，连接DE ，由角平分线的定义可得ABC DBC ∠=∠，根据全等三角形的判定可证ABD △和EBD △全等，再根据全等三角形的性质可得A BED ∠=∠，AD DE =，由AD =CD 等量代换可得DE DC =，继而可得C DEC ∠=∠，由于180BED DEC ∠+∠=︒，可证180A C ∠+∠=︒；方法2，延长BA 到点E ，使BE BC =，由角平分线的定义可得ABD DBC ∠=∠，根据全等三角形的判定可证EBD △和CBD △全等，继而可得E C ∠=∠，DC DE =．由AD CD =，可得DE AD =，继而求得E EAD ∠=∠，由180EAD BAD ∠+∠=︒，继而可得180BAD C ∠+∠=︒；方法3， 作DE BC ⊥于点E ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点F ，由角平分线的定义可得，由DE BC ⊥，DE BA ⊥，可得90F DEB ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定可证FBD 和EBD △全等，继而可得DF DE =，再根据HL 定理可得可证180BAD C ∠+∠=︒．【详解】解：方法1 截长如图，在BC 上截取BE ，使BE AB =，连接DE ，因为BD 是ABC ∠的平分线，所以ABC DBC ∠=∠．在ABD △和EBD △中，因为AB EB ABD DBC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以ABD EBD ≅，所以A BED ∠=∠，AD DE =．因为AD CD =，所以DE DC =，所以C DEC ∠=∠．因为180BED DEC ∠+∠=︒，所以180A C ∠+∠=︒．方法2 补短如图，延长BA 到点E ，使BE BC =．因为BD 是ABC ∠的平分线，所以ABD DBC ∠=∠在EBD △和CBD △中，因为BC BE EBD DBC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以EBD CBD ≅，所以E C ∠=∠，DC DE =．因为AD CD =，所以DE AD =，所以E EAD ∠=∠．因为180EAD BAD ∠+∠=︒，所以180BAD C ∠+∠=︒．方法3 构造直角三角形全等作DE BC ⊥于点E ．DE BA ⊥交BA 的延长线于点F因为BD 是ABC ∠的平分线，所以ABD DBC ∠=∠．因为DE BC ⊥，DE BA ⊥，所以90F DEB ∠=∠=︒，在FBD 和EBD △中，因为F DEB ABD DBC BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBD EBD ≅，所以DF DE =．在Rt FAD △和Rt ECD △中，因为DF DE AD DC =⎧⎨=⎩， 所以Rt Rt FAD ECD ≅，所以FAD C ∠=∠．因为180FAD BAD ∠+∠=︒，所以180BAD C ∠+∠=︒．21．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，∠ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE∠BC 交BC 于点E ：(1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________.(2)如图二，∠ABC 中，∠A=120°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，∠ABC 中，∠A=100°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想.【答案】（1）AD ；（2）；（3）BC=AD+BD.【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE ，根据∠A=90°，AB=AC ，可得∠C=45°，由DE∠BC 可得∠DEC 是等腰直角三角形，可得，进而可得答案；（2）在BC 上截取BE=AB ，连接DE ，利用SAS 可证明∠ABD∠∠EBD ，可得AD=DE ，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC 上取一点E ，使BE=BD ，作DF∠BA 于F ，DG∠BC 于G ，由角平分线的性质就可以得出DF=DG ，利用AAS 可证明∠DAF∠∠DEG ，可得 DA=DE ，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE ，即可得出结论．【详解】（1）∠∠A=90°，BD 平分∠ABC ，DE∠BC ，∠DE=AD，∠∠A=90°，AB=AC，∠∠C=45°，∠∠CDE是等腰直角三角形，AD，故答案为（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∠BD平分∠ABC，∠∠ABD=∠DBE，在∠ABD和∠EBD中，AB BEABD DBE BD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠EBD，∠DE=AD，∠BED=∠A=120°，∠AB=AC，∠∠C=∠ABC=30°，∠∠CDE=∠BED-∠C=90°，（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF∠BA于F，DG∠BC于G，∠∠DFA=∠DGE=90°．∠BD平分∠ABC，DF∠BA，DG∠BC，∠DF=DG．∠∠BAC=100°，AB=AC，∠∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∠∠DBC=20°，∠BE=BD，∠∠BED=∠BDE=80°，∠∠FAD=∠BED．在∠DAF和∠DEG中，DFA DGEFAD BED DF=DG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，∠∠DAF∠∠DEG（AAS），∠AD=ED．∠∠BED=∠C+∠EDC，∠80°=40+∠EDC，∠∠EDC=40°，∠∠EDC=∠C，∠DE=CE，∠AD=CE．∠BC=BE+CE，∠BC=BD+AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．。

全等三角形及角平分线难题ppt解答

全等三角形及角平分线难题ppt解答

1 这样的点共有_________ 个。 9、如图所示，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别 是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC， 5 则△PDE的周长是_________________ cm。 10、在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD： 6cm DB=3：5，则D到AB的距离等于_________ 。
（二）填空题 6、如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE， 55O ∠1=250，∠2=300，则∠3=________________
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7、如图所示，DA⊥AB，EA⊥AC，AB=AD，AC=AE， 90O BET和CD相交于O，则∠DOE的度数是_______________. 角平分线 8、到三角形三边距离相等的点是三角形的___________ 交点，
∴△ADE≌△BCF(SAS) ∴∠E=∠F ∴DF∥BF 例2、如图所示，AD=BC，FD=EB，AB=CD，求证∠E=∠F. 证明：易证：△ADB≌△BCD(SSS) ∴ ∠ABD=∠CDB ∴ ∠BDF=∠EBD 又BE=DF,BD=BD ∴ △EDB≌△BFD(SAS)
例3、如图所示，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F， 使DF=BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG=CE，求证： AF=AG. 证明：∵AE=BE,GE=CE, ∠AEG=∠CEB ∴ △ECB≌△GAE(SAS) 同理AF=BC ∴AG=AF
∴∠EDC=∠C=40O
易证△AEB≌△FEB(SAS),∴∠EFB=∠A=100O ∴ED=EF
∴BC=BD+DC=BE+AE.
例7、已知：如图所示PA、PC分别是△ABC的外角∠MAC、∠NCA的平分 线，它们交于P；PD⊥BM于D，PF⊥BN于E，则BP是∠MBN的平分线吗？ 说明理由。 是。 ∵PA、PC分别是△ABC的外角∠MAC、∠NCA的平分线 又∵PD⊥BM，PF⊥BN ∴PM=PE=PF, ∴BP是∠MBN的平分线。

第五讲-全等三角形与角平分线(综合、拔高)

第五讲-全等三角形与角平分线(综合、拔高)

第五讲全等三角形与角平分线(综合与拔高)一．选择题（共10小题）1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD 上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（）A．B．C．D．2．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON 的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．604．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．55．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC 的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP8．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处9．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正确B．仅①和②正确C．仅①正确D．仅①和③正确10．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD 等于（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（共10小题）11．如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2=度．12．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．13．AB是四边形ACBE的对角线，AB=AC，过点C作CD∥AE交BE于D．若AE=DE，∠ACD=45°，BD=1，CD=5，则AE=．14．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中所有正确结论的序号是．15．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动．分钟后△CAP与△PQB全等．16．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG ⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．17．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为cm．18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是．19．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠1=20°，则∠B的度数是．20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A﹣C 路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q 分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为时，△PEC与△QFC全等．三．解答题（共15小题）21．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图l），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段（不需要添加辅助线），并说明理由．22．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP 是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？23．已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC 的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．24．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．25．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．26．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．27．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是、．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是、．（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．28．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．29．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．30．问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．31．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD ⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．32．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线．33．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．34．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．35．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF =S△BDE，请直接写出相应的BF的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD 上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH ⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．∵BC∥AG，∴∠BCF=∠FDG，∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，∴△BCF≌△GDF，∴BC=DG，BF=FG，∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，∴AB=AG，∵BF=FG，∴BF⊥AF，∠ABF=∠G=∠CBF，∵FH⊥BA，FC⊥BC，∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，∴BC=BH，AD=AH，由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，∴（x+4）2=42+（4﹣x）2，∴x=1，∴BC=BH=TD=1，AB=5，设AK=EK=y，DE=z，∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，∴42+z2=2y2①，（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②由②得到25﹣10y+2y2=5﹣8z+z2③，①代入③可得z=④④代入①可得y=（负根已经舍弃），∴S=×5×=，△ABE故选D．2．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON 的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在△POE和△POF中，，∴△POE ≌△POF ，∴OE=OF ，在△PEM 和△PFN 中，，∴△PEM ≌△PFN ，∴EM=NF ，PM=PN ，故（1）正确，∴S △PEM =S △PNF ，∴S 四边形PMON =S 四边形PEOF =定值，故（3）正确，∵OM +ON=OE +ME +OF ﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，MN 的长度是变化的，故（4）错误，故选B ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60 【解答】解：由题意得AP 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB 于E ， 又∵∠C=90°，∴DE=CD ，∴△ABD 的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B ．4．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC =S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．5．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC 的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=（180°﹣60°）=60°，∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=（180°﹣70°）=55°，故D选项正确．故选：B．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．（故①正确）；②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CEDF是正方形（故②错误）；③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变（故③错误）；④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EF∥AB时，∵AE=CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值=2 ，∵CE=CF=2，∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．（故④正确）；故正确的有2个，故选：B．7．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB∴PA=PB∴△OPA≌△OPB∴∠APO=∠BPO，OA=OB∴A、B、C项正确设PO与AB相交于E∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE∴△AOE≌△BOE∴∠AEO=∠BEO=90°∴OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选D．8．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．9．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正确B．仅①和②正确C．仅①正确D．仅①和③正确【解答】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP∴△ARP≌△ASP（HL）∴AS=AR，∠RAP=∠SAP∵AQ=PQ∴∠QPA=∠SAP∴∠RAP=∠QPA∴QP∥AR而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP故本题仅①和②正确．故选B．10．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD 等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：过P作PE⊥OA于点E，则PD=PE，∵PC∥OB∴∠OPC=∠POD，又∵OP平分∠AOB，∠AOB=30°，∴∠OPC=∠COP=15°，∠ECP=∠COP+∠OPC=30°，在直角△ECP中，PE=PC=3，则PD=PE=3．故选B．二．填空题（共10小题）11．如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2=20度．【解答】解：∵∠AME=∠CMD=70°∴在△AEM中∠1=180﹣90﹣70=20°∵△ABE≌△ACF，∴∠EAB=∠FAC，即∠1+∠CAB=∠2+∠CAB，∴∠2=∠1=20°．故填20．12．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为：7．13．AB是四边形ACBE的对角线，AB=AC，过点C作CD∥AE交BE于D．若AE=DE，∠ACD=45°，BD=1，CD=5，则AE=．【解答】解：连接AD，过A分别作DC、BE的垂线，垂足分别为F、G，过E作EH⊥AD于H，∵AE=DE，∴∠ADE=∠DAE，∵CD∥AE，∴∠CDA=∠DAE，∴∠ADE=∠CDA，∵AG⊥BE，AF⊥CD，∴AG=AF，∵∠AGD=∠AFD=90°，AD=AD，∴△AGD≌△AFD，∴DG=FD，∵∠AGB=∠AFC=90°，AB=AC，∴△AGB≌△AFC，∴∠ABG=∠ACD=45°，∴∠FAC=45°，∴∠FAC=∠ACF，∴AF=CF，∵DC=DF+CF=DF+AF=DG+AG=5，设DG=t，则AG=5﹣t，AG=BG=5﹣t，∵BG=BD+DG=1+t，5﹣t=1+t，t=2，∴DG=2，AG=3，∴AD===，在△ADE中，AE=DE，EH⊥AD，∴AH=AD=，在Rt△AEH中，cos∠DAE=，在Rt△ADG中，cos∠ADE=，∴，∴，AE=．14．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，∴AC⊥BD，故①正确；∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴∠COB=∠COD=90°，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确∴BC=DC，故②正确；故答案为①②③．15．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后△CAP与△PQB全等．【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．16．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG ⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=4cm．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．17．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则△DEB的周长为15cm．【解答】解：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠ECD∵DE⊥BC于E∴∠DEC=∠A=90°∵CD=CD∴△ACD≌△ECD∴AC=EC，AD=ED∵∠A=90°，AB=AC∴∠B=45°∴BE=DE∴△DEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm．18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是6．【解答】解：∵BC=15，BD：DC=3：2∴CD=6∵∠C=90°AD平分∠BAC∴D到边AB的距离=CD=6．故答案为：6．19．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠1=20°，则∠B的度数是65°．【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEC，∴AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠DEC=∠1+∠CAD=20°+45°=65°，由Rt△ABC≌Rt△DEC的性质得∠B=∠DEC=65°．故答案为：65°．20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A点出发沿A﹣C 路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q 分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为1或时，△PEC与△QFC全等．【解答】解：如图1所示；∵△PEC与△QFC全等，∴PC=QC．∴6﹣t=8﹣3t．解得：t=1．如图2所示：∵点P与点Q重合，∴△PEC与△QFC全等，∴6﹣t=3t﹣8．解得：t=．故答案为：1或．四．解答题（共15小题）21．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图l），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段（不需要添加辅助线），并说明理由．【解答】解：（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；（2）BE=CM．理由：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．22．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP 是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【解答】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，∵△ABC中，AB=AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．23．已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC 的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠FAC=90°，∴∠DEC=∠BAC，∠DEC+∠BEC=180°，∴∠BAC+∠BEC=180°；（2）∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBC=ABC，∠ECB=ACB，∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90°∠BAC；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，∵∠BAC=60°，∴∠BEC=90°+BAC=120°，∴∠FEB=∠DEC=60°，∵EM平分∠BEC，∴∠BEM=60°，在△FBE与△EBM中，，∴△FBE≌△EBM，∴EF=EM，同理DE=EM，∴EF=DE．24．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．25．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【解答】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．26．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．【解答】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，∵∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，则∠MAC=∠OBA，在△MAC和△OBA中∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM=OA=2，MA=OB=4，∴OM=OA+AM=2+4=6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）．（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ∴OP﹣DE=OP﹣OQ=PQ，∵∠APO+∠QPD=90°，∠APO+∠OAP=90°，∴∠QPD=∠OAP，在△AOP和△PQD中，，∴△AOP≌△PQD（AAS）．∴PQ=OA=2．即OP﹣DE=2．27．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是AB=AP、AB⊥AP．（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是BQ=AP、BQ⊥AP．（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）BQ=AP，BQ⊥AP；（3）成立．证明：如图，∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°．∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ，CQ=CP．在Rt△BCQ和Rt△ACP中，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）∴BQ=AP；延长QB交AP于点N，∴∠PBN=∠CBQ．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC=∠APC．在Rt△BCQ中，∠BCQ+∠CBQ=90°，∴∠APC+∠PBN=90°．∴∠PNB=90°．∴QB⊥AP．28．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．【解答】（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF=AF=EF，又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF，在△DFC和△AFM中，，∴△DFC≌△AFM（AAS），∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM；（2）AD⊥MC，理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC．29．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，又∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC，在△ADE和△CDN中，，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN．30．问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．31．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD ⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，∴∠ACG=∠BCG=45°，又∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF=∠CBF=45°，∴∠CAF=∠BCG，在△AFC与△CGB中，，∴△AFC≌△CBG（ASA），∴AF=CG；（2）延长CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH⊥AB，CH平分AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，在△ADE与△CGE中，，∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE=GE，即DG=2DE，∵AD∥CG，CH平分AB，∴DG=BG，∵△AFC≌△CBG，∴CF=BG，∴CF=2DE．32．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线．【解答】证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC；（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC（AAS），∴OC=OD；（3）∵OC=OD，且DE=EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．33．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．【解答】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．34．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．【解答】证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD35．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF =S△BDE，请直接写出相应的BF的长．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．。

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.3角的平分线性质(含解析)

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.3角的平分线性质(含解析)

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.3 三角的平分线性质一：考点归纳考点一、角平分线的定义把一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。

考点二、三角的平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）考点三、三角的平分线判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

考点四、角平分线的尺规作图已知： ∠AOB ,求作： ∠AOB 的角平分线作法：（1）以顶点 O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角两边于点 M 、N ；（2）分别以点 M 、N 为圆心，以大于21 MN 的长度为半径画弧，两弧交与点 P ；（3）连接顶点 O 和点 P ，则射线即 OP 为∠AOB 的角平分线。

如图所示：二：【题型归纳】题型一：角平分线的判定1．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC 的平分线；题型二：、三角的平分线性质2．已知：如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，BD＝FD．求证：BE＝FC．考点三、角平分线的尺规作图3．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°．（1）作∠B的平分线BM，交AC于点M(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）若CM=5，AB=12，求△ABM的面积．三：基础巩固和培优一、单选题1．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，则MAB ∠的度数为（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒2．如图，在ABC ∆中，50,60ABC ACB ∠=︒∠=︒，点E 在BC 的延长线上，ABC ∠的平分线BD 与ACE ∠的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论中不正确的是（ ）A ．70BAC ∠=︒B ．35BDC ∠=︒ C ．70ADC ∠=︒D ．55DAC ∠=︒3．如图，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，OA ＞OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC=BD ；②∠AMB=40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．如图，已知AB=AC ，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE 与CF 交于点D ，则下列结论中错误的是（ ）A ．△ABE ≌△ACFB ．△BDF ≌△CDEC ．点D 是BE 的中点 D ．点D 在∠BAC 的平分线上5．如图，AB=AD ，AC=AE ，∠DAB=∠CAE=50°，以下四个结论：①△ADC ≌△ABE ；②CD=BE ；③∠DOB=50°；④点A 在∠DOE 的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在ABC 中， ∠ C=90 ° ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，BC ＝7，DE ＝3．则BD 的长（ ）A ．4B ．5C ．6D ．107．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AO ，BO 分别平分BAC ∠和ABC ∠，若10AB =，8AC =，6BC =，则点O 到AB 的距离为（ ）A．2B．1.5C．1D．0.58．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC，连接AB．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为（）A．4.8B．4C．2.4D．59．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3，S△ACD=3，则S△ABD=（）A．3B．4C．9D．1210．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．75°二、填空题 11．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为点F ，DE=DG ,若△ADG 和△AED 的面积分别为50和30，则△EDF 的面积为_________．12．如图，∠B =90°，AD 平分∠BAC ，DB =3，则点D 到AC 的距离是________．13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BC 10cm =，6BD cm =，则点D 到AB 的距离是___________．14．如图，O 是△ABC 内一点，且O 到三边AB ，BC ，CA 的距离OF ＝OD ＝OE ，若∠BAC ＝80°，则∠BOC的度数为_________．15．如图，ABC 中，A 60∠=︒，AB>AC ，两内角的平分线CD 、BE 交于点O ，OF 平分BOC ∠交BC 于F ，（1）BOC 120∠=︒；（2）连AO ，则AO 平分BAC ∠；（3）A 、O 、F 三点在同一直线上；（4）OD=OE ；（5）BD+CE=BC ． 其中正确的结论是__________．（填序号）三、解答题16．已知如图，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE ，CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，求证：AE ＝DE17．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）求证AM⊥DM．18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．求证：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF＋2EB．19．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s 的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．（1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED＝2S△DGC；（2）当取何值时，△DFE与△DMG全等；（3）在（2）的前提下，若119126BDDC=，228AEDS cm∆=，求S△BFD．参考答案题型归纳1．证明：∵D是BC 的中点，∴BD=DC，∵DE⊥AB于E ，DF⊥AC于F ，∴△BED与△CFD都是直角三角形，又BE=CF ，∴RT△BED≌RT△CFD（HL ），∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．2．解：∵∠1＝∠2，∴AD 是BAC ∠的角平分线，∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DE CD =，在Rt BDE △和Rt FDC 中，BD FD DE DC=⎧⎨=⎩， ∴Rt BDE △≌Rt FDC ，∴BE FC =．3．解：（1）∠B 的平分线BM 如图所示：∵BM 平分∠ABC ，∠C=90°，∴MC=MH ，∵CM=5，AB=12，∴MH=5， ∴111253022ABM S AB MH =⋅=⨯⨯=．三：基础巩固和培优1．A解：作MN AD ⊥于N ，90B C ∠=∠=︒，//AB CD ∴，又120ADC ∠=︒，18060DAB ADC ∴∠=︒-∠=︒， DM 平分ADC ∠，MN AD ⊥，MC CD ⊥，MN MC ∴=， M 是BC 的中点，MC MB ∴=，MN MB ∴=，又MN AD ⊥，MB AB ⊥，1302MAB DAB ∴∠=∠=︒， 故选：A ．2．C解：A 选项:在ABC ∆中，50,60ABC ACB ︒︒∠=∠=，18070BAC ABC ACB ︒︒∴∠=-∠-∠=，故A 选项不符合题意;B 选项:60ACB ︒∠=，18060120ACE ︒︒︒∴∠=-=， CD 平分ACE ∠，BD 平分ABC ∠，1602DCE ACE ︒∴∠=∠=，1252DBC ABC ︒∠=∠= 602535BDC DCE DBC ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=故B 选项不符合题意;C 选项:在ADC ∆中，1801805560ADC DAC ACD ︒︒︒︒∠=-∠-∠=--故C 选项符合题意;D 选项:,BD CD 分别是ABC ∠和ACE ∠的平分线D ∴到AB AC BC ，，的距离相等，AD ∴是ABC ∆的外角平分线，118070552()DAC ︒︒︒∴∠=⨯-=， 故D 选项不符合题意．故选C ．3．A【详解】∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，即∠AOC=∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA=∠ODB ，∠OAC=∠OBD ，AC=BD ，①正确；由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图2所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中，90OGC OHDOCA ODBOC OD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵OA＞OC，∴∠OAC<∠OCA，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD<∠OCA，∵MO平分∠BMC，∴∠OMC=∠OMB，∵∠OMC+∠OCA +∠COM =∠OMB+∠OBD+∠BOM=180︒，∴∠COM<∠BOM，∴MO并不平分∠BOC，③错误；综上，正确的是：①②④；故选：A．4．C解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；C、无法判定，错误；D、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；故选：C．5．D【详解】∵∠DAB=∠CAE∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC∴∠DAC=∠EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正确；∵△ADC≌△ABE∴∠ADC =∠ABE设AB与CD交于G点，∵∠AGD =∠BGC∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正确；过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴点A在∠DOE的平分线上，④正确故选D．6．A【详解】解：∵∠ C=90 °，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ， ∴3DE CD ==，∴734BD BC CD =-=-=，故选：A ．7．A解：过点O 分别作AC 、BC 、AB 的垂线分别交于点F 、D 、E ； AO 平分BAC ∠，CAO BAO ∴∠=∠OF AC ⊥，OE AB ⊥OE OF ∴= BO 平分ABC ∠，ABO CBO ∴∠=∠，OD BC ⊥，OE AB ⊥OD OE ∴=OD OE OF ∴==，ABC ACO BCO ABO S S S S ∆∆∆∆=++111222AC OE BC OE AB OE =⋅+⋅+⋅1()2OE AC BC AB =⋅++，8AC =，6BC =，10AB =，1(8610)2ABC S OE ∆∴=⨯++12OE =⋅，90C ∠=︒，11862422ABC S AC BC ∆∴=⋅=⨯⨯=1224OE ∴⋅=，2OE ∴=，∴点O 到AB 的距离为2故选A ．8．A解：由题意可得，OC 为∠MON 的角平分线，∵OA ＝OB ，OC 平分∠AOB ，∴OC⊥AB，设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，∵AB＝6，OA＝5，AC＝OA，OC⊥AB，∴AC＝5，∠ADC＝90°，AD＝3，∴CD＝4，∵•2AB CD＝•2AC BE，∴624⨯＝52BE⨯，解得，BE＝4.8，故选：A．9．B解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=DF∴S△ABD：S△ACD=12AB•DE：12AC•DF=AB：AC=4：3∵S△ACD=3∴S△ABD=4．故选：B．10．C【解析】试题分析：由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选C．二：填空题11．10解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中DE DG DF DH⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，同理Rt △ADF ≌Rt △ADH ，∴S △ADF ＝S △ADH ，即30＋S ＝50−S ，解得S ＝10．12．3.解：如图，过D 作DH AC ⊥于H ， AD 平分90BAC B ∠∠=︒，，DH DB ∴=，3DB =，3DH ∴=，即D 到AC 的距离是3.故答案为：3.13．4cm解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，AD 平分∠CAB ，∴DE=CD ，∵BC=10cm ，BD=6cm ，∴CD=BC-BD=10-6=4cm ，∴DE=4cm ．故答案为：4cm ．14．130°解：∵O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，∴点O 是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12×100°=50°， 在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-50°=130°．故答案为：130°．15．①②④⑤．解：∵∠A=60°，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∴ ()1602ABC ACB ∠+∠=︒， ∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ， ∴1122EBC ABC DCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()1602EBC DCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴()180120BOC EBC DCB ∠=︒-∠+∠=︒，∴①正确；过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，∴OM=ON，ON=OQ，∴OQ=OM，∴O在∠A平分线上，∴②正确；A O F三点共线，如图，若,,，，∴∠=∠+∠∠=∠+∠BOF BAO ABO COF OAC OCA，，BOF COF BAO CAO∠=∠∠=∠∴∠=∠，ABO ACO∴∠=∠，ABC ACB∵AB＞AC，∴∠ABC＜∠ACB，所以：A、O、F不在同一直线上，∴③错误；∵120BOC ∠=︒，∴120DOE ∠=︒，OM ⊥AB ，OQ ⊥AC ，ON ⊥BC ，∴∠AMO=∠AQO=90°，∵∠A=60°，∴∠MOQ=120°，∴∠DOM=∠EOQ ，在OMD 和OQE 中，MOD EOQOMD OQE OM ON∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OMD OQE ≌（AAS ），∴OE=OD ，∴④正确；在Rt BNO 与Rt BMO 中，BO BOON OM =⎧⎨=⎩∴()Rt BNO Rt BMO HL ≌，BN BM BD DM ∴==+同理，Rt CNO Rt CQO ≌，CN CQ CE EQ∴==-，∴BN CN BD DM CE EQ+=++-，∵DM=EQ，∴BC=BD+CE，∴⑤正确；故答案为：①②④⑤．16证明：如图，过点P作PH⊥AB于H，∵BP平分∠ABC，PD⊥BC，∴PD＝PH，在Rt△BDP和Rt△BHP中BP BP PD PH⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△BDP≌Rt△BHP（HL），∴BD＝BH，∵BF＋BE＝2BD，∴BD−BF＝BE−BD，即BH−BF＝BE−BD，∴FH＝DE，在△ODE 和△PHF 中FH DE PDE PHF PD PH ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ODE ≌△PHF （SAS ），∴∠BEP ＝∠PFH ，∵∠BFP ＋∠PFH ＝180°，∴∠BFP ＋∠BEP ＝180°．17.证明：过点E 分别作EG ⊥BC 于G ，EH ⊥CD 于H ，EF ⊥BA 交BA 延长线于F ， 则∠AFE=∠DHE=90°，∵BE ，CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，EG ⊥BC ， EH ⊥CD ，EF ⊥BA∴EF=EG ，EG=EH ，∴EF=EH ，∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ，在△AFE 和△DHE 中，AFE DHE FAE DEF EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFE ≌△DHE （AAS ），∴AE=DE ．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．（1）证明：如图：过M作ME⊥AD于E∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD∴MC=ME∵MB=MC∴MB=ME∵∠B＝90°，ME⊥AD∴AM平分∠DAB；（2）证明：∵∠B＝∠C＝90°∴DC//AB∴∠BAD+ ∠ADC=180°∵DM平分∠ADC，AM平分∠DAB∴∠DAM=12∠BAD,∠ADM=12∠ADC,∴∠ADM+∠MAD=12（∠BAD+ ∠ADC）=90°∴∠AMD=90°，即AM⊥DM．19证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC ，在Rt △CFD 和Rt △EBD 中，,DF BD CD ED =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CFD ≌Rt △EBD （HL ），∴CF=EB ；（2）在△ACD 和△AED 中，90,,CAD EAD ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC=AE ，∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB ．20.（1）证明：∵∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，∴DF ＝DM ，∵S △AED ＝12AE •DF ，S △DGC ＝12CG •DM ， ∴ADE DGCS S ∆∆＝AE CG ， ∵点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动， ∴AE ＝2tcm ，CG ＝tcm ， ∴AE CG＝2， 即ADE DGCS S ∆∆＝2， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S △AED ＝2S △DGC ．（2）解：①当0＜t ＜4时，点G 在线段CM 上，点E 在线段AF 上．EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t，∴t＝6（不合题意，舍去）；②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，∴10﹣2t＝t﹣4，∴t＝143；综上，t＝143．综上所述当t＝143时，△DFE与△DMG全等．（3）解：∵t＝143，∴AE＝2t＝283（cm），∵DF＝DM，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，∵AC＝14cm，∴AB＝1199（cm），∴BF＝AB﹣AF＝1199﹣10＝299（cm），∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝283：299，S△AED＝28cm2，∴S△BDF＝293（cm2）．。

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全等三角形与角平分线
一、知识概述
1、角的平分线的作法
（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.
（2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C.
（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）
指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.
（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.
2、角平分线的性质
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.
（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形.
（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.
3、角平分线的判定
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.
（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么
过角的顶点和该点的射线必平分这个角.
4、三角形的角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.
指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.
（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析
例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.
例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC.
例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）
A．大于EF B．小于EF
C．等于EF D．与EF的大小无法比较
例4、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．
例5、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分
．求证：AD=CD．
例6、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O 点，求证：AE＋CD=AC.
三、中考解析
1、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）
A．6cm B．7cm
C．8cm D．9cm
2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC<DB＋DC.
3、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.
4、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且
BE⊥AC于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．
(1)求证：BF=AC；
(2)求证：CE=BF；
(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．
5、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°
6、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：
7、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.
求证：BD=2CE.。

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