相似三角形的性质定理
几何中的相似三角形定理
几何中的相似三角形定理相似三角形定理是几何中的重要概念，它用于描述在两个三角形中，若它们的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
在本文中，我们将深入探讨相似三角形定理及其应用。
1. 定义相似三角形是指两个三角形具有相同的形状，但尺寸可以不同。
当两个三角形的对应角度相等时，我们可以得出它们相似的结论。
2. 相似三角形定理相似三角形定理包括三个方面：AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理。
2.1 AA相似定理AA相似定理是指如果两个三角形的两个对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。
看图1，其中∠A = ∠D、∠B = ∠E。
根据AA相似定理，可以得出△ABC ~ △DEF。
2.2 SAS相似定理SAS相似定理是指如果两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。
看图2，其中∠A = ∠D、AB/DE = BC/EF。
根据SAS相似定理，可以得出△ABC ~ △DEF。
2.3 SSS相似定理SSS相似定理是指如果两个三角形的三个对应边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。
看图3，其中AB/DE = BC/EF = AC/DF。
根据SSS相似定理，可以得出△ABC ~ △DEF。
3. 相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质，其中最为常用的有比例性质和三角形内部对应角度相等的性质。
3.1 比例性质相似三角形的对应边的比值相等，即∆ABC相似于∆DEF时，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3.2 角度性质相似三角形的对应角度相等，即∆ABC相似于∆DEF时，有∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠F。
4. 相似三角形的应用相似三角形定理在实际问题中具有广泛的应用，比如测量高楼的高度、计算难以直接测量的距离等。
4.1 间接测量当无法直接测量物体的高度时，可以利用相似三角形定理进行间接测量。
例如，通过测量一个人的身高及其在阴影下的影子长度，可以利用相似三角形定理计算出高楼的高度。
三角形的相似公式
三角形的相似公式以三角形ABC和三角形DEF为例，如果它们的对应角度相等，则可以判断它们相似。
相似三角形的对应边长之比可以通过相似三角形的对应边的长度比来表示。
下面是三角形的相似公式及其证明：1.AA相似定理（角-角-相似定理）如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
具体可以表示为：∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC~△DEF。
证明：根据角的等量可知，∠A=∠D，∠B=∠E。
由于角度之和为180°，可推导出∠C=∠F。
所以，根据角-角-角相似性质，得出△ABC~△DEF。
2.SS相似定理（边-边-边相似定理）如果两个三角形的两对边之比相等，则这两个三角形相似。
具体可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC~△DEF。
证明：根据边的比例可知，AB/DE=BC/EF=AC/DF。
由于两个角之和也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E。
所以，根据边-角-边相似性质，得出△ABC~△DEF。
3.SAS相似定理（边-角-边相似定理）如果两个三角形的一对相对应的边之比相等，并且这两个边之间的夹角也相等，则这两个三角形相似。
具体可以表示为：AB/DE=BC/EF，∠B=∠E，则△ABC~△DEF。
证明：根据边的比例可知，AB/DE=BC/EF。
由于两个夹角也相等，即∠B=∠E。
所以，根据边-角-边相似性质，得出△ABC~△DEF。
通过上述相似公式，我们可以判断两个三角形是否相似，以及计算两个相似三角形的对应边长比例。
对于给定的相似三角形，我们可以根据已知的边长比例求解未知边长，或者根据已知的边长计算出未知角度。
需要注意的是，相似三角形的边长比例只与角度有关，而与具体的边长无关。
所以，在判断两个三角形相似时，只需要比较它们的角度是否相等，而不必考虑具体的边长。
另外，相似三角形的角度相等是相似的必要条件，但不是充分条件。
也就是说，如果两个三角形的角度相等，它们不一定是相似的。
通过相似公式，我们可以更好地理解三角形的形状和性质，并在实际问题中应用。
三角形的相似定理
三角形的相似定理相似三角形是在几何学中经常遇到的概念，它们有着相似的形状但可能不同的尺寸。
相似性质可以用来解决各种涉及比例和比较长度的几何问题。
在本文中，我们将介绍三角形的相似定理及其应用。
相似三角形的定义相似三角形指的是具有相似形状但不同尺寸的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边长度之间满足一定的比例关系。
AA相似定理AA相似定理是指，如果两个三角形的两个角分别相等（对应角度相等），那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果两个三角形的角度分别是A、B、C和A'、B'、C'，且∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则可以推断出这两个三角形是相似的。
SAS相似定理SAS相似定理是指，如果两个三角形的一边与另一个相似三角形的两边成比例，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果两个三角形的边长分别是AB/CD，BC/DE，CA/EA，且∠ABC = ∠CDE，则可以推断出这两个三角形是相似的。
SSS相似定理SSS相似定理是指，如果两个三角形的三边比例相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果两个三角形的边长分别是AB/CD，BC/DE，CA/EA，则可以推断出这两个三角形是相似的。
相似三角形的性质与应用相似三角形具有一些重要的性质，可以应用于解决各种几何问题。
1. 对应边的比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比例是相等的。
例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么AB/DE = BC/EF = CA/FD。
2. 高度的比例如果两个三角形相似，那么它们的相应高度也成比例。
例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么对应高度h₁/h₂ = AB/DE =BC/EF = CA/FD。
3. 相似三角形的面积比如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于边长之比的平方。
例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么S₁/S₂ = （AB/DE）²= （BC/EF）² = （CA/FD）²。
三角形的相似性质和判定
三角形的相似性质和判定三角形是几何中最基础的图形之一，具有广泛的应用价值。
在研究三角形的性质时，相似性质和判定是我们需要重点关注的内容。
本文将介绍三角形的相似性质和判定方法，帮助读者深入理解和应用这一重要概念。
一、相似三角形的定义和特点相似三角形指的是具有相同形状但可能不相等的三角形。
相似三角形的定义可以由以下两个条件来表示：1. 对应角相等：两个三角形的对应角度相等，即对应角度的度数相同。
2. 对应边成比例：两个三角形的对应边的比例相等，即两边的长度之比相同。
相似三角形具有以下重要的特点：1. 全等三角形是相似三角形的一个特例，全等三角形的对应边和角都相等。
2. 相似三角形的形状相似，但大小可能不同。
3. 当两个三角形相似时，它们的各个对应角度的度数相等，对应边长的比例相等。
二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似有多种方法，以下是常用的两种判定方法：1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
这个定理又称为“角-角相似定理”。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的三个对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
这个定理又称为“边-边-边相似定理”。
需要注意的是，在使用相似三角形判定时，要保证对应角和对应边是正确对应的，否则可能会得出错误的结论。
三、相似三角形的应用相似三角形的概念在几何学和实际应用中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.解决实际测量问题：通过观察和测量，我们可以利用相似三角形的性质来计算无法直接测量的长度和距离。
2.设计和建筑：在建筑和设计领域，相似三角形的概念被广泛用于绘制和设计建筑物、家具、道路等的比例。
3.地图和导航：地图中的比例尺就是通过相似三角形的概念来确定的。
通过相似三角形，我们可以在地图上测量出实际距离。
4.影子和高度测量：在日常生活中，我们可以利用相似三角形的性质来测量高楼、树木等的高度，以及计算无法直接测量的距离。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等的情况。
在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和定理。
本文将介绍相似三角形的性质，并探讨与之相关的定理。
一、1. 对应角相等：当两个三角形的对应角分别相等时，它们是相似三角形。
对应角是指在两个三角形中，两个相对的角。
2. 对应边比值相等：相似三角形的边长之比等于它们的对应边长之比。
即若两个三角形ABC和DEF是相似三角形，那么有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3. 角相等：若两个三角形的一个角分别相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形也是相似三角形。
4. 边长比值：在相似三角形中，对应边的比值等于任意两边的比值。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，有AB/DE=BC/EF=AC/DF，同时也有AB/BC=DE/EF=AC/DF。
二、相似三角形的重要定理1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果∠A=∠D，且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. SAS相似定理：如果两个三角形的一对对边成比例，且这两条对边之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果AB/DE=BC/EF且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. SSS相似定理：如果两个三角形的对边比值相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC 与三角形DEF是相似的。
三、使用相似三角形的方法和应用1. 比例求解：根据相似三角形的性质，我们可以利用已知条件和未知数来求解未知边的长度或者未知角的度数。
通过建立各边之间的比例关系，可以使用正比例求解法来解决各种几何问题。
2. 测量不可达距离：在实际应用中，有时我们无法直接测量两点之间的距离，但可以利用相似三角形的性质来间接求解。
通过测量一个已知距离和相关角度，可以建立相似三角形的比例关系，从而求解不可达距离。
相似三角形的正弦定理与余弦定理
相似三角形的正弦定理与余弦定理相似三角形是初中数学中的重要的概念，它在实际应用中也具有广泛的应用。
本文将详细介绍相似三角形中的正弦定理和余弦定理，旨在帮助读者加深对这两个重要定理的理解。
一、相似三角形的基本概念相似三角形是指两个三角形形状相似，但大小不同的三角形。
形似三角形有以下性质：1. 对应角相等。
2. 相应边的比例相等。
3. 周长比例相等。
基于相似三角形的这些性质，可以很容易地得出相似三角形的正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理正弦定理是相似三角形中最基本的定理之一。
它描述了三角形的任何两个角度和它们对应的两条边的比例之间的关系。
具体表达式如下：（a/sinA）= (b/sinB)=(c/sinC)其中，a、b、c分别为三角形的三边的长度，A、B、C分别为相应角的度数。
例如，对于一个三角形ABC，其三条边的长度为a、b、c，角A、B、C的度数分别为α、β、γ，则正弦定理可以表述为：（a/sinα）= (b/sinβ) = (c/sinγ)正弦定理揭示了三角形内部角度和长度之间的关系，其中正弦函数为比值函数，表述了一个角的对边与斜边长度的比值。
对于三角形中的每个角，公式都会生成一个恒定的比率，这个比率告诉我们该角的对边与斜边之间的关系。
三、余弦定理余弦定理是另一种用于计算三角形边长和角度之间关系的方法。
与正弦定理不同，余弦定理描述的是三角形内部的任意两个角之间的余弦值和长度之间的关系。
具体的表达式如下：a² = b² + c² - 2bc*cosAb² = a² + c² - 2ac*cosBc² = a² + b² - 2ab*cosC其中，a、b、c分别为三角形的三边的长度，A、B、C分别为相应角的度数，cos表示余弦函数。
相对于正弦定理，余弦定理可以使用更多的信息来计算三角形的各个方面。
即使不能在三角形中找到与给定角度匹配的对边，我们也可以使用余弦定理来计算三角形的长度和角度。
初中相似三角形知识点
初中相似三角形知识点一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边长成比例的三角形。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，并且边AB与边DE、边BC与边EF、边CA与边DF之间的长度成同一比例。
二、相似三角形的标记在标记相似三角形时，我们通常使用一个字母来表示一个三角形，例如三角形ABC。
如果两个三角形相似，我们可以用一个比例系数（通常用字母k表示）来标记它们的对应边。
例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，那么我们说三角形ABC与三角形DEF相似，并且边长比例为k。
三、相似三角形的性质1. 角的对应性：相似三角形的对应角相等。
2. 边的成比例性：相似三角形的对应边成比例。
3. 面积的比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
即，如果三角形ABC与三角形DEF相似，且边长比为k，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k^2。
4. 周长的比例：相似三角形的周长比也等于它们边长的比例。
四、相似三角形的判定1. 三角形相似判定定理：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
2. 边角边（SAS）判定定理：如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形相似。
3. 边边边（SSS）判定定理：如果两个三角形的所有对应边分别成比例，那么这两个三角形相似。
五、相似三角形的应用相似三角形的概念在解决实际问题中非常有用，例如在测量、建筑、设计和其他领域。
通过使用相似三角形的性质，我们可以解决涉及长度、面积和角度的问题，尤其是在没有直接测量工具的情况下。
六、练习题1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm，DE = 3cm，求EF的长度。
2. 如果三角形PQR的面积是24平方厘米，并且与三角形ABC相似，且三角形ABC的面积是144平方厘米，求三角形PQR的边长。
22.3 相似三角形的性质定理
22.3 相似三角形的性质
相似三角形的性质定理
导入新课
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
新课讲授
相似三角形对应高的比等于相似比
合作探究 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k， 它们对应高的比各是多少？
D
C
A'
AB BD . A'B' B'D'
∴ △ABD∽△A′B′D′.
AD
AB
B'
D'
k. 三角形对应中线的比等于相似比
C'
A'D' A'B'
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的
A
相似比为k，AD，A′D′是对应的角平分线.
求证： AD AB k. AD AB
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′，
如图，分别作出 △ABC 和 △A′B′C′ 的高
AD 和 A′D′.
BD C
∵△ABD 和 △A′B′D′ 都是直角三角形，
并且∠B =∠B′，
A′
∴△ABD∽△A′B′D′.
AD AD
AB . AB
∵△ABC∽△A′B′C′. AB BC . AD k.
S△ABC S△A B C
1 BC • 2 1 BC •
1
1 4
，
则对应高的比为__4____ .
4 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个 小三角形与原三角形的周长比等于__1_:_2__，面积 比等于_1__: _4_.
课堂小结
三角形的相似性质
三角形的相似性质三角形是几何学中的重要概念，研究三角形的性质是几何学的基础内容之一。
其中，相似性质是三角形性质中的重要组成部分。
本文将介绍三角形的相似性质及其相关定义、定理和证明。
一、相似三角形的定义两个三角形如果对应的角相等，对应的边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
其中，“对应的角相等”指的是两个三角形的三个内角分别相等，“对应的边成比例”指的是两个三角形的对应边的长度比例相等。
相似三角形的定义提供了研究相似性质的基础，让我们能够通过已知条件来推导出其他未知性质。
二、相似三角形的性质1. 全等三角形的相似性质全等三角形是特殊的相似三角形，其对应边的比例为1：1。
当两个三角形全等时，它们的所有对应边都相等。
2. AAA相似判定定理如果两个三角形的对应角分别相等，那么它们是相似的。
这是三角形相似性质中最重要的一个定理，也是推导其他相似性质的基础。
3. AA相似判定定理如果两个三角形的一个角相等，且它们有一个对应边成比例，那么它们是相似的。
4. SSS相似判定定理如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
通过以上相似性质的定理，我们可以判断两个三角形是否相似，从而推导出其他未知性质。
三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 测量高度当无法直接测量高塔、电线杆等高度时，可以利用相似三角形的性质通过测量阴影或其他已知长度来计算其高度。
2. 直角三角形的性质在直角三角形中，根据相似性质可以推导出勾股定理，从而应用于解决各种实际问题。
3. 尺规作图在尺规作图中，可以利用相似三角形的性质通过已知长度来构造出相似的三角形，进而构造出所需的图形。
四、相似三角形的证明相似三角形的性质可以通过数学证明进行验证。
数学证明可以使用各种方法，如数学归纳法、反证法等。
以证明AAA相似判定定理为例，假设有两个三角形ABC和DEF，设∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
1.1.2相似三角形的性质
根据以上可得出结论
知识要 点 结论：
1.相似三角形外接圆的直径比、周长比 等于相似比. 2.相似三角形外接圆的面积比等于相似 比的平方.
课堂小结
1.预备定理
平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边 （或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三 角形相似. 为判定定理 做准备！
2.判定定理
定理1：如果一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似.可以简单说成： 两角对应相等，两三角形相似 . 定理2： 对于任意两个三角形，如果一个三 角形的两边和另一个三角形的两边对应成 比例，并且夹角相等，那么这两个三角形 相似．即两边对应成比例，且夹角相等， 两三角形相似 .
1.下列各对三角形中一定不相似的是 （ D） A.△ABC中， ∠A=54°， ∠B = 78° △A ' B ' C '中,∠C ' =48°，∠B ' = 78° B.△ABC中， ∠C=90°，AC=4，BC=3 △A ' B ' C '中, ∠C ' =90°，A ' C ' =12，B ' C ' =15 C.△ABC中,∠B=90°，AB=5，AC=13 △A ' B ' C '中, ∠B′=90°，A ' B ' =2.5，B ' C ' =6 D.△ABC中, ∠C=90°，∠A=45°,AB=5 △A ' B ' C '中, ∠A ' =45°，A ' B ' =5
2. 在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，则图中 共有（ B ）对相似三角形.
三角形与三角形的相似性质
三角形与三角形的相似性质三角形是几何学中的基本形状之一，由于其独特的性质，不同的三角形之间存在着相似性质。
本文将探讨三角形与三角形之间的相似性质，以及相关的定理和推论。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。
具体而言，若三角形ABC与三角形DEF满足∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则称三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。
二、三角形的相似性质1. AAA相似定理若两个三角形的对应角度完全相等，则它们是相似的。
具体而言，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC与三角形DEF 相似。
2. SAS相似定理若两个三角形的两个对应边的比值相等，且两个对应边夹角相等，则它们是相似的。
具体而言，若AB/DE = AC/DF，且∠A = ∠D，则三角形ABC与三角形DEF相似。
3. SSS相似定理若两个三角形的三边各自比值相等，则它们是相似的。
具体而言，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。
三、相似三角形的推论1. 相似三角形的比例关系在相似三角形ABC与DEF中，对应边的比值相等。
具体地，AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 切比雪夫定理对于两个相似三角形ABC与DEF，其中一个内角的余弦等于另一个内角的余弦的比值。
具体而言，cosA = cosD。
3. 相似三角形的高线比值在相似三角形ABC与DEF中，对应边的高线比值等于对应边的边长比值。
具体而言，h₁/h₂ = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
四、实例验证例如，我们有一个边长为3的三角形ABC和边长为6的三角形DEF，其中∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 45°，∠C = ∠F = 75°。
根据相似三角形的定义和AAA相似定理，我们可以得出这两个三角形是相似的。
相似三角形的性质(经典全面)
相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。
相似图形之间的互相变换称为相似变换。
二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。
三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。
2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。
3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。
如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。
如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。
4.相似三角形周长的比等于相似比。
如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。
ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。
这种方法被称为等量代换法。
在证明比例式时，常常会用到中间比。
证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。
证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。
相似三角形的性质-性质定理1,2,3
在无法直接过河测量宽度的情况下，可以在河的一侧选择两个点，并在另一侧 选择一个点，使得这三个点构成的两个三角形相似。通过测量已知距离和角度 ，可以计算出河的宽度。
解决实际问题
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形的性质来测量海上目标物（ 如岛屿）的距离和方位。通过观察目标物和两个已知点构成 的三角形，可以计算出目标物的距离和方位角。
证明过程
在 ΔABC 和 ΔDEF 中，分别作 AM 和 DN 垂直于 BC 和 EF，垂 足分别为 M 和 N。
又因为 SΔABC = (1/2) × BC × AM, SΔDEF = (1/2) × EF × DN ，代入上式得 (AM/DN)^2 = (AB/DE)^2。
由于 ΔABC ∽ ΔDEF，根据相似三 角形的定义，我们有 ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
军事应用
在军事领域，相似三角形的性质可以用于计算炮弹的射程和 落点。通过测量炮弹的初速度和发射角度，可以预测炮弹的 飞行轨迹和落点位置。
建筑设计中的应用
建筑设计比例
在建筑设计中，相似三角形的性质可 以帮助建筑师保持建筑物的比例和美 感。通过相似三角形的缩放性质，建 筑师可以轻松地按比例放大或缩小建 筑物的设计。
例如，在 ΔABC 和 ΔDEF 中，如果已知 AB = 6, DE = 3, AC = 8, 那么根据性质定理2，我 们可以直接得出 DF = 4。
另外，性质定理2也可以用于证明其他几何定理或解决复杂的几何问题。例如，在证明勾股 定理时，可以通过构造相似三角形并应用性质定理2来证明。
04
性质定理3：相似三角形的面积比等于相 似比的平方
∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，并且AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'，则称这两个三角形相似。
相似三角形的性质定理(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
相似三角形的性质定理（3种题型）【知识梳理】一、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 二、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比． 三、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【考点剖析】题型一：相似三角形性质定理1例1.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长． 【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BEA B E B ∴=即11362E B =，114E B =【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．例2.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长． 【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD A C A D ∴=即1296AD =，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 例3.求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADkA D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高，11190BDA B D A ∴∠=∠=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 例4.求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的 中线．求证： 11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，1111AB CBkA B C B ==；又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D B C =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADkA B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．例5.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠ 的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，111BAC B A C ∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B A C ∴∠=∠∠=∠，111BAD B A D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例 6.如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =． 求证：1111AD BEA DB E =【解析】AB C D EA 1E 1D 1 C 1B 1证明：1111AB ADA B A D =，又111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，111ABD A B D ∴∠=∠，又1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例7.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】解：BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE ∴=，又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例8.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．AB C DEFABC D EFGH K【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=−矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，，GF AGBC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例9.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD APBC AB AH ∴==．406040x x −∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系． 例10.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．ABCDEF GH P【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图， 矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=． DEC AHC ∴∠=∠， //DE AH ∴，DE BDAH AB ∴=， 1DG DEBC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．题型二：相似三角形性质定理2例11.若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( )（A ）1:4 （B ）1:2 （C ）2:1 （D ）1:2【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例12.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【答案】112015BC A B ==，．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==；又111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==．【总结】本题考查相似三角形的性质．例13.如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三 角形周长为2acm ，则5260a a −=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ． 【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例14.如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC ∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，AD 是BC 上的高，ABCD EF//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=，312AEF C ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例15.如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【答案】152cm ．【解析】解：梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+−梯形， 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+−，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例16.如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【答案】247．【解析】解：CPQ PABQC C ∆=四边形，ABCD PABCPQCP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=−+−+， 5AB =，3BC =，90C ∠=，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=−+−+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB ，CP CQCA CB ∴=，∴643CP CP −=，247CP =． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．题型三：相似三角形性质定理3例17.（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【答案】（1）10000；（2）10．【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．例16.两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2，则它们的对应角的平分线的比为（ ）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对．【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方． 【总结】本题考查相似三角形的性质．例18.如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【答案】36．ABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例19.如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又28ACD S cm ∆=，218ABC S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例20.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED 的面积相等，求AD :BD 的值．【答案】21+．ABCDABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCEDS S ∆=四边形，12ADE ABC S S ∆∆∴=，12AD AB ∴=，12121AD DB ∴==+−．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例21.如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3． 【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=， 30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．例22.如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ， 交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CFAD的值．A B CDEF【答案】21．【解析】解：//EF BD ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD ∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEG EBCGS S ∆=四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆，90ACD ACB ∴∠=∠=，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，则它们的周长比为（ ） A ．1:4 B ．1:2C ．1:16D ．以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，∴两个相似三角形的相似比为1:4， ∴周长的比为1:4．ABCDEFG故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．在ABC 的边，ABC 的面积是A ．4B ．8【答案】A【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =， ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−， ∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽， ∴GF AMBC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4． 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）已知两个相似三角形的相似比为49：，那么它们的面积比为（ ） A ．23： B ．818：C ．49：D ．1681：【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为49：， ∴它们的面积比1618：故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 九年级统考期中）已知ABC 的三边长分别为，DEF 的一边长，如果这两个三角形相似，那么DEF 的另两边长可能是（【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意DEF 中为5cm 边长的对应边可能是6cm 或7.5cm 或9cm ，所以有三种情况．【详解】解：设DEF 的另两边为cm,cm x y ， 若DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm ， 则：567.59x y==，解得：254x =，152y =； 若DEF 中为5cm 边长的对应边为7.5cm ，则：57.569x y ==，解得：4x =，6y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为9cm ， 则：5967.5x y ==，解得：103x =，256y =； 结合选项可得B 选项可选． 故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意DEF 中为5cm 边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在ABC 中，:ADEABCSS为（A ．3:5 【答案】C【分析】根据DE BC ∥可知ADEABC ，由:3:2AD DB =可知:3:5AD AB =,即相似比为3:5,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解． 【详解】解：∵DE BC ∥， ∴ADEABC ，∵:3:2AD DB =， ∴:3:5AD AB =，2239525ADE ABCSAD SAB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．DEF 的最短边长为，那么DEF 的周长等于（126【答案】D【分析】由相似三角形的性质：周长的比等于相似比，求出相似比即可求得结果． 【详解】ABC DEF ∽，∴相似比为3193k ==，13ABC DEFC C∴=，33(356)42DEFABCCC ∴==⨯++=；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是关键．是ABC 的重心，四边形与ABC 面积的比值是（【答案】B【分析】连接DE ，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，从而得到ADE ACB △△∽，进而得到221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，继而得到13DEGBDESS =，14ADEABCSS =，可得1116212DEGABCABCSS S =⨯=，再由ADEDEGAEGD S SS=+四边形，即可．【详解】解：如图，连接DE ，∵点G 是ABC 的重心，∴点D ，E 分别为,AC AB 的中点，∴1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，∴ADE ACB △△∽， ∴12DG EG DE BG CG BC ===， ∴221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， ∴13DEGBDES S =，14ADE ABCSS =，∴111326DEGABDABDS S S =⨯=， ∴1116212DEG ABCABCSS S =⨯=，∴1114123ADEDEGABCABCABCAEGD S SS S S S =+=+=四边形，即四边形AEGD 与ABC 面积的比值是13．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键． 二、填空题8．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知ABC 与DEF 相似，且ABC 与DEF 的面积比为1:4，若DEF 的周长为16，那么ABC 的周长等于________．【答案】8【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC 与DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形ABC 与DEF 面积的比为1:4， ∴它们的相似比为1:2，∴ABC 与DEF 的周长比为1:2， ∵DEF 的周长为16， ∴ABC 的周长等于8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知ABC ∽111A B C △，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，AB ：113A B =：4，BE 、11B E 分别是它们的对应角平分线，则BE ：11B E =______． 【答案】3：4【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可． 【详解】解：ABC ∽111A B C △，BE ∴：11B E AB =：113A B =：4，故答案为：3：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，DE BC ∥，:2:3AE EC =，则:OE OB =________．【答案】2:5【分析】根据:2:3AE EC =可求出:2:5AE AC =，再根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：∵:2:3AE EC =，∴25AE AC =，∵DE BC ∥，∴25DE AE BC AC ==，且DEO CBO △∽△， ∴25OE DE OB CB ==， 故答案为：2:5．【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．11．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4，如果DEF 的周长为24，那么ABC 的周长是___________．【答案】18【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得:3:4ABCDEFCC=，又因为DEF 的周长是24，再建立方程即可．【详解】解：∵ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4， ∴:3:4ABCDEFCC=，∵DEF 的周长是24， ∴:243:4ABCC=∴ABC 的周长是18， 故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 12．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案． 【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上， 90A B ∴∠+∠=， 90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽， =24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．，如果ABC 三边长分别是DEF 的两边长为【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：∵ABC DEF △△∽，∵ABC ，2，2，DEF 的两边长为1x∴21x ==，解得：x所以DEF ．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．14．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）已知111ABC A B C :△△，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，11:3:5AB A B =，E 、1E 分别是边AC 、11AC 的中点，如果1BE =，那么11B E 的长为________． 【答案】53/213【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．【详解】解答：解：∵11111:35ABC A B C AB A B =∽，:，∴对应中线BE 、11B E 的比值为35:，∴11135B E =::， ∴1153B E =． 故答案为：53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比． 15．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如果两个相似三角形的面积比为3:4，那么它们对应高之比为__________．2 【分析】根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似三角形的面积比为3:42；再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴2，∴2，2．【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键． 16．（2023·上海·一模）如果ABC ∽DEF ，且ABC 的三边长分别为3、4、5， DEF 的最短边长为6，那么DEF 的周长等于________．【答案】24【分析】先设DEF 的周长等于c ，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c 的值．【详解】解；设DEF 的周长等于l ，∵ABC ∽DEF ，ABC 的三边长分别为3、4、5，DEF 的最短边长为6， ∴33546c ++=，解得24c = ．故答案为：24．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比． 17．（2023·上海黄浦·统考一模）已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12 【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案． 【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶， ∴ABC 与DEF 的相似比为16∶， 设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．18．（2023·上海宝山·一模）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为 _____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键． 19．（2022·上海·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比是 9:25， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．【答案】3【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设：另一三角形对应边上的高为x∴355x =，解得x=3 故答案为：3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 20．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．【答案】【分析】过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，首先由勾股定理得出AB 的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，AB ∴，1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△，∴AC BC CM AB ⋅∴===， ∵正方形DEFG 内接于ABC ，GF EF MN ∴==，GF AB ∥，CGF CAB ∴△∽△，CN GF CM AB ∴=，EF −=，解得：EF =，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC AC 、上，ABE C ∠=∠，DE AB ∥，如果6AB =，9AC =，那么:BDE CDE S S △△的值是______．【答案】4:5【分析】根据已知证明ABE ACB ∽，得出4AE =，进而得出5EC =，根据DE AB ∥，根据平行线分线段成比例，得出45AE BD EC DC ==，即可求解． 【详解】解：∵BAE CAB ∠=∠，ABE C ∠=∠，∴ABE ACB ∽，∵6AB =，9AC =，∴AB AE AC AB =∴24AB AE AC ==，∴945EC AC AE =−=−=，∵DE AB ∥，∴45AE BD EC DC == ∴:BDE CDE S S △△=::4:5BD DC AE EC ==，故答案为：4:5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·上海·一模）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为______．【答案】8+8【分析】根据 “优美梯形”的定义，得到ABD BDC ∽△△，从而得到90CBD BAD ∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，推出2BD AB CD =⋅，算出BD =再根据勾股定理，得到AD 、BC 的长，即可得到该直角梯形的周长．【详解】解：根据题意，作图如下，ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，90ADB BDC ∠+∠=︒，ABD BDC ∴∠=∠，直角梯形ABCD 是“优美梯形”，ABD BDC ∴∽，90CBD BAD ∴∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，2BD AB CD ∴=⋅，2AB =，4CD =，BD ∴，在Rt ABD 中，2AD ，在Rt BCD △中，BC =∴该梯形的周长2428AB BC CD DA =+++=++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 23．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于点O ，如果2ABC ACD S S =，那么COD S △：ABC S =______．【答案】1：3/13【分析】首先根据2ABC ACD S S =，可得AD ：1BC =：2；然后根据AOD ∴∽COB ，可得AO ：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，进而可得AOD S：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k =，分别表达OCD S 和ABC S 进而可得结论．【详解】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC ACD S S =，AD ∴：1BC =：2；//AD BC ，AOD ∴∽COB ，AO ∴：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，AOD S∴：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2， 设AOD S k=，则4BOC S k =，2AOB OCD S S k ==， 6ABC AOB BOCS S S k ∴=+=， COD S ∴：2ABC S k =：61k =：3．故答案为：1：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．三、解答题24．（上海·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB ＝7，求CD 的长．【答案】143【详解】试题分析：由题意易得△COD ∽△AOB ，由此可得：CD DO AB BO =；由△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可得：23DO BO =，再结合AB=7即可求得CD 的长.试题解析：∵AB ∥DC ，∴△COD ∽△AOB ， ∴CD DO AB BO =，∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴23DO BO =， ∴23CD DO AB BO ==， 又∵AB ＝7， ∴273CD =， ∴CD ＝143.【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．26．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．【答案】6，36【分析】由正方形的性质可得DG //BC ，不难证明ADG △∽ABC ，即DG AM BC AH =，设正方形的边长为x ，分别表示出对应边的长度并代入DG AM BC AH =求解，即可得出正方形的边长，即可得出正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x ，正方形DEFH ，AH ⊥BC ，∴DG=GF=MH=x ，DG //BC ，∴ADG=B ∠∠，AM=10－x ，在ADG △与ABC 中，ADG=BAC BAC B ∠=∠⎧⎨∠∠⎩，∴ADG △∽ABC ，∴DG AM BC AH =，∴101510x x −=， 解得：x=6，S=6×6=36．答：正方形的边长为6，面积为36．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，设正方形的边长为x ，根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键．27．（上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式EF AIBC AD=，代入计算即可．【详解】∵四边形EFHG是正方形，AD是高，∴ EF∥BC，四边形EGDI是矩形，∴ EG=ID，设正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴EF AI BC AD=，∵ BC＝120mm，高AD＝80mm，∴80 12080x x−=，解得x=48，故正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．。
相似三角形判定定理1
相似三角形判定定理1
（原创版）
目录
1.相似三角形的定义和性质
2.相似三角形的判定定理及其证明方法
3.判定定理在实际问题中的应用
4.总结和展望
正文
一、相似三角形的定义和性质
相似三角形是指形状相同但大小不一定相等的三角形。
它们具有以下性质：
1.相似三角形的对应角度相等。
2.相似三角形的对应边长成比例。
二、相似三角形的判定定理及其证明方法
判定定理 1：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
判定定理 2：如果两个三角形的两边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
判定定理 3：如果两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
这些判定定理可以通过三角形全等、特殊三角形、比例的应用等知识进行证明。
三、判定定理在实际问题中的应用
相似三角形的判定定理在解决实际问题中具有重要作用，例如在解决
图形的放大和缩小问题、计算三角形的相似比、判断两个三角形是否相似等问题中都会用到。
四、总结和展望
相似三角形的判定定理是三角形相似性研究的基础，掌握这些定理对于解决实际问题和深入研究三角形的性质具有重要意义。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些定理，结合其他数学知识，解决实际问题。
初中数学公式定理：相似三角形定理
初中数学公式定理：相似三角形定理
相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA）
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比
性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的性质与定理
相似三角形的性质与定理相似三角形是几何学中重要的概念，它们在许多问题的解决中起着重要作用。
本文将讨论相似三角形的性质与定理，并探索它们的应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相等角度的三角形。
设有两个三角形ABC和DEF，若它们的对应角度相等，则它们是相似三角形。
通常用符号∆ABC ∽ ∆DEF来表示。
二、相似三角形的性质1. 边比例性质在相似三角形中，对应边的长度比例相等。
即若∆ABC ∽ ∆DEF，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
2. 角度对应性质在相似三角形中，对应角度相等。
即若∆ABC ∽ ∆DEF，则∠A =∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 周长比例性质在相似三角形中，对应边的长度比例等于对应角度的边长比例。
即若∆ABC ∽ ∆DEF，则AB+BC+AC/DE+EF+DF=AB/DE=BC/EF=AC/DF。
4. 高度比例性质在相似三角形中，对应边的高度比例等于对应边的长度比例。
即若∆ABC ∽ ∆DEF，则hA/hD=hB/hE=hC/hF，其中hA、hB、hC为三角形ABC的高度，hD、hE、hF为三角形DEF的高度。
三、相似三角形的定理1. AAA相似定理若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
即若∆ABC与∆DEF的∠A=∠D，∠B=∠E，∠C = ∠F，则∆ABC ∽ ∆DEF。
2. 底角定理若两个三角形的边长成比例，且包含某个共同顶点的两个角相等，则它们是相似的。
即若∆ABC与∆DEF的AB/DE=AC/DF，且∠B = ∠E，则∆ABC ∽ ∆DEF。
3. 直角边定理若一个直角三角形的两个直角边分别与另一个三角形的两条边成比例，则它们是相似的。
即若∆ABC为直角三角形，且AB/DE=AC/DF=BC/EF，则∆ABC ∽ ∆DEF。
四、相似三角形的应用相似三角形的性质与定理在实际问题的解决中有广泛的应用，以下举例说明：1. 测量高度利用相似三角形的高度比例性质，可以通过测量已知高度的物体的阴影长度和未知高度物体的阴影长度来计算未知物体的高度。
几何中的相似三角形与勾股定理
几何中的相似三角形与勾股定理相似三角形和勾股定理是几何中基础而重要的概念，它们在解决实际问题和证明几何定理时都起到至关重要的作用。
本文将深入探讨相似三角形和勾股定理的概念、性质及应用。
一、相似三角形相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
两个相似三角形的对应角度相等，对应边长成比例关系。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有下列比例关系：AB/DE = AC/DF = BC/EF相似三角形的性质有很多，其中一些重要的性质如下：1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边分别成比例，则它们是相似的。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边成比例，则它们是相似的。
相似三角形的应用非常广泛，例如在测量不便的情况下，可以利用相似三角形求出难以测量的距离。
此外，在建筑、地理、光学等领域也经常运用相似三角形的性质进行计算和判断。
二、勾股定理勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方等于其余两边平方和的定理。
设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则有勾股定理：a² + b² = c²勾股定理是几何中最基本的定理之一，它的应用非常广泛。
特别是在解决与长度、角度、面积等问题有关的实际情况时，勾股定理经常被使用。
三、相似三角形与勾股定理的关系相似三角形和勾股定理有紧密的联系。
事实上，勾股定理的证明中大量运用了相似三角形的性质。
相似三角形的比例关系也常用于推导勾股定理。
在解决实际问题时，我们通常将复杂的问题简化为相似三角形，通过比例关系求解。
利用勾股定理和相似三角形的知识，可以解决一些棘手的几何问题，同时也可以应用于各种实际场景中，如测量、建模、导航等。
结论通过本文的讨论，我们了解到相似三角形和勾股定理在几何中扮演着重要的角色。
它们不仅帮助我们理解和解决几何问题，还有许多实际应用。
平面几何中的相似三角形与正弦定理应用
平面几何中的相似三角形与正弦定理应用平面几何是几何学的一部分，研究平面上的点、线、面及其关系。
其中，相似三角形和正弦定理是平面几何中常见且重要的概念与定理。
在本文中，我们将深入探讨相似三角形的性质以及正弦定理的应用。
一、相似三角形相似三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角度相等，即对应角度的比值相等。
1. 三角形的比例设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
若它们的对应边长的比值相等，即AB/DE = BC/EF =AC/DF，我们可以说这两个三角形是相似的。
2. 相似三角形的性质(1) 两对对应角度相等的三角形是相似的。
(2) 相似三角形的对应边长的比值相等。
(3) 相似三角形的各对应角度的正弦、余弦和正切值相等。
二、正弦定理的应用正弦定理是平面几何中的一项重要定理，它用于计算三角形的边长或角度。
该定理适用于任意三角形。
设三角形ABC中，∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。
则有以下公式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C = 2R其中，R表示三角形的外接圆的半径。
正弦定理的应用场景种类繁多，以下介绍其中几个常见的应用情况：1. 已知两边和夹角，求第三边的长度根据正弦定理的公式，我们可以通过已知两边和夹角来计算第三边的长度。
2. 三角函数的运用正弦定理可以用于计算三角函数的值。
例如，已知一条边的长度和角度，可以利用正弦定理求出任意角的正弦值。
3. 测量不可直接测量的距离在实际应用中，有时我们需要测量一些不方便直接测量的距离。
通过建立合适的三角形，利用正弦定理可以计算出所需距离的值。
总结：在平面几何中，相似三角形和正弦定理是两项重要的概念与定理。
相似三角形的性质使得我们能够推导出各种几何关系，而正弦定理则为我们提供了计算三角形边长和角度的有力工具。
在实际应用中，我们可以利用相似三角形和正弦定理解决各种几何问题，计算并测量出需要的数值。
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相似三角形的性质定理（2、3）
一、教学目标
1．掌握相似三角形的性质定理2、3．
2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想．
4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教，达标导学
三、重点及难点
1．教学重点：是性质定理的应用．
2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具．
六、教学步骤
［复习提问］
叙述相似三角形的性质定理1．
［讲解新课］
让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2．
性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．
∽，
同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题．
“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象．
性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方．
∽，
注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．
（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周
长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题．
例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，
且AB=15cm，，求BC、AB、、．
此题学生一般不会感到有困难．
例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比．
教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法．解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为．∽∽且，．
．
学生在运用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而
［小结］
1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3．
2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题．
七、布置作业
教材P247中A组4、5、7．
八、板书设计
教学反思：
作为教师怎么处理教材为好？怎么引入新课？怎么展开课堂教学？等等一系列问题，人人都在不断的思考中追求完美，努力求得效果最好。
这节课基本上做到了㈠目标定位准确，较好地完成教学任务。
目标是教学的导向轮、风向标。
这节课目标明确，围绕教学任务逐层深入，提起学生思维兴趣，师生配合默契。
㈡教学过程流畅，教学设计环环紧扣，把学生思维一步步推向高潮，有效提高学生的思维品质，达到课前预设的“思维步步高”的效果。
教学过程的实施阶段，从类比“全等三角形的性质”入手，进行横向类比，纵向类比，让学生明确新知识的来源。
在操作、猜想、证明、运用各阶段，提高了学生的参与性，让人感觉如沐春风，一气呵成，自然流畅。
㈢细节很完美。
在定理证明、强调注意点、关键点时，言简意赅，表达到位，课堂及时反馈。
同时也看到自己的不足，本节课在定理的证明阶段，本来是计划教师证明一个，剩下两个由学生说思路，课后完成证明过程，起到复习巩固的目的。
但是由于自己放不开手，怕学生不会，在学生说时一再仔细强调导致最后时间不充分。
其实回头想想：应该更大胆一些，放开一些，让学生有更大的思维空间；达到“授之以渔”的目的。