背包问题求解方法综述
背包问题的算法研究及应用
背包问题的算法研究及应用背包问题是一种经典的组合优化问题，常常被用来研究在有限的空间下如何使价值最大化。
背包问题可以分为 01 背包问题、完全背包问题、多重背包问题和混合背包问题等多种类型。
这些问题的求解方法也各有特点，需要根据具体问题进行选择。
本文主要介绍 01 背包问题和完全背包问题的求解算法及应用。
一、01 背包问题01 背包问题指的是在一个容量为 V 的背包中装入物品，每件物品都有自己的体积 vi 和价值 wi，问怎样装能使背包价值最大化，且物品不能重复使用。
01 背包问题可以用贪心算法或动态规划算法进行求解。
贪心算法的思想是每次选择当前最优的物品，直到背包无法继续装下为止。
但是贪心算法不能保证一定能获得最优解。
动态规划算法则是将问题分解为子问题，并通过递推关系式来求解。
具体来说，我们定义一个 dp[i][j] 表示将前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值，则有：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-vi]+wi)其中 max 表示取两者中的最大值，dp[i-1][j] 表示不选择第 i 件物品，dp[i-1][j-vi]+wi 表示选择第 i 件物品放入背包中。
根据递推关系式，我们可以得到目标值为dp[n][V]，其中 n 表示物品个数。
二、完全背包问题完全背包问题指的是在一个容量为 V 的背包中装入物品，每件物品都有自己的体积 vi 和价值 wi，问怎样装能使背包价值最大化，且每件物品可以无限使用。
完全背包问题和 01 背包问题类似，也可以用贪心算法或动态规划算法进行求解。
贪心算法的思想是每次选择当前最优的物品，并一直选择直到不能再在背包中装入为止。
但是贪心算法仍然不能保证获得最优解。
动态规划算法则是将问题分解为子问题，并通过递推关系式来求解。
与 01 背包问题相比，完全背包问题的递推关系式与之略有不同，具体来说，我们定义一个 dp[i][j] 表示将前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值，则有：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*vi]+k*wi)其中 max 表示取两者中的最大值，k 表示第 i 件物品中的物品数量。
背包问题九讲(很详细)
P01: 01背包问题题目有N件物品和一个容量为V的背包。
第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。
则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。
如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。
那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是计算机科学中的一个经典问题，主要涉及到如何在给定的背包容量下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
在这个问题中，每个物品有两个属性：重量和价值，背包有一个固定的容量限制。
为了解决背包问题，我们可以使用动态规划算法。
下面是一个标准格式的文本，详细描述了背包问题及其解决方法：一、问题描述：背包问题是在给定的背包容量下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
二、输入：1. 物品列表：包含n个物品，每个物品有两个属性：重量和价值。
2. 背包容量：背包可以容纳的最大重量。
三、输出：1. 最大总价值：背包中物品的最大总价值。
2. 最优解：选择的物品组合。
四、解决方法：1. 动态规划算法：a. 创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大总价值。
b. 初始化dp数组的第一行和第一列为0，表示背包容量为0或者没有物品可选时，最大总价值为0。
c. 对于每个物品i，遍历背包容量j：- 如果物品i的重量大于背包容量j，则dp[i][j]等于dp[i-1][j]，即不选择物品i。
- 如果物品i的重量小于等于背包容量j，则dp[i][j]等于max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-物品i的重量] + 物品i的价值)，即选择物品i或不选择物品i的最大总价值。
d. 最终，dp[n][背包容量]即为问题的最大总价值。
2. 最优解的构造：a. 从dp数组的右下角开始，依次判断每个物品是否被选择：- 如果dp[i][j]等于dp[i-1][j]，表示物品i没有被选择。
- 如果dp[i][j]等于dp[i-1][j-物品i的重量] + 物品i的价值，表示物品i被选择。
b. 根据选择结果，构造最优解的物品组合。
五、示例：假设有以下输入：物品列表：[{重量: 2, 价值: 3}, {重量: 3, 价值: 4}, {重量: 4, 价值: 5}, {重量: 5, 价值: 8}, {重量: 9, 价值: 10}]背包容量：10应用动态规划算法，可以得到以下结果：最大总价值：15最优解：选择第1、2、4个物品，总重量为10，总价值为15。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题引言概述：数据结构是计算机科学中非常重要的一个领域，它涉及到如何组织和存储数据，以便能够高效地进行操作和处理。
背包问题是一个经典的计算机科学问题，它涉及到如何在给定的背包容量下，选择一些物品放入背包中，使得背包的总价值最大化。
本文将从五个大点来详细阐述背包问题的相关内容。
正文内容：1. 背包问题的定义与分类1.1 背包问题的定义：背包问题是指在给定的背包容量和一组物品的重量和价值下，如何选择物品放入背包中，使得背包的总价值最大化。
1.2 背包问题的分类：背包问题可以分为0/1背包问题、分数背包问题和多重背包问题。
0/1背包问题要求每个物品只能选择放入背包一次或不放入；分数背包问题允许物品被分割成若干部分放入背包；多重背包问题允许每个物品有多个可选的数量。
2. 背包问题的解决方法2.1 动态规划法：动态规划是解决背包问题的常用方法。
它将问题划分为子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
通过构建一个二维数组来保存每个子问题的解，可以逐步求解出整个问题的最优解。
2.2 贪心算法：贪心算法是一种简单而高效的解决背包问题的方法。
它通过每次选择当前最优的物品来构建解决方案。
贪心算法的优势在于其计算速度快，但可能无法得到全局最优解。
2.3 回溯算法：回溯算法是一种通过试探和回溯的方式来解决问题的方法。
它通过遍历所有可能的解决方案来找到最优解。
回溯算法的优势在于可以找到全局最优解，但计算速度较慢。
3. 背包问题的优化3.1 剪枝策略：剪枝策略是一种通过提前终止无效的搜索分支来减少计算量的方法。
通过判断当前路径是否有可能达到更优解，可以避免无效的搜索。
3.2 近似算法：近似算法是一种通过近似解来求解问题的方法。
它可以在较短的时间内得到一个接近最优解的解决方案，但无法保证其准确性。
3.3 动态规划的优化：动态规划法可以通过一些优化技巧来提高算法的效率，如使用滚动数组来减少空间复杂度，或者使用一些启发式规则来提前终止无效的计算。
背包问题的算法
背包问题是一种经典的优化问题，通常用于解决在给定一组物品和它们的重量、价值等信息的情况下，如何选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大或总重量最小等问题。
以下是背包问题的一种经典算法——动态规划法：
1. 定义状态：设f[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值或最小重量。
2. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f[i][j]=f[i-1][j]；
- 放入背包中，此时f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分别表示第i 个物品的重量和价值。
3. 初始化：f[0][0]=0。
4. 计算最优解：根据状态转移方程，从上到下依次计算每个物品的状态值，最终得到f[n][m]即为所求的最优解。
时间复杂度：O(n*m)，其中n为物品数量，m为背包容量。
空间复杂度：O(n*m)。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是数据结构中一个经典的算法问题，它涉及到在给定的背包容量下，如何选择物品使得背包中的总价值最大化。
在本文中，我将详细介绍背包问题的定义、解决方法以及相关的算法和实例。
一、背包问题的定义：背包问题是指在给定的背包容量和一组物品的重量和价值下，如何选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化。
背包问题可以分为0/1背包问题和分数背包问题两种类型。
1. 0/1背包问题：0/1背包问题是指每个物品要么放入背包中，要么不放入背包中，不能选择部分物品放入。
每个物品有一个固定的重量和价值，背包有一个固定的容量。
目标是选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时不能超过背包的容量。
2. 分数背包问题：分数背包问题是指每个物品可以选择部分放入背包中，可以按照比例放入。
每个物品有一个固定的重量和价值，背包有一个固定的容量。
目标是选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时不能超过背包的容量。
二、背包问题的解决方法：背包问题可以使用动态规划算法来解决。
动态规划算法的基本思想是将问题划分为多个子问题，并保存子问题的解，以便在需要时进行查找。
背包问题的动态规划算法可以分为两种类型：0/1背包问题和分数背包问题的解法略有不同。
1. 0/1背包问题的解决方法：0/1背包问题可以使用二维数组来表示状态转移方程。
假设dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值，那么状态转移方程可以定义为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
通过遍历所有物品和背包容量的组合，可以求得dp[n][C]，即前n个物品放入容量为C的背包中的最大价值。
2. 分数背包问题的解决方法：分数背包问题可以使用贪心算法来解决。
贪心算法的基本思想是每次选择当前最优的解，然后将问题规模缩小，继续求解子问题。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题【数据结构背包问题】【背景介绍】背包问题是一类经典的组合优化问题，通过在给定的一组物品中选择一些物品放入背包，以使得放入背包的物品总价值最大或总重量最小。
【问题描述】给定一个背包，它能够容纳一定重量的物品。
再给定一组物品，每个物品有自己的重量和价值。
要求在不超过背包容量的情况下，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
【算法及解决思路】⒈0 背包问题:⑴动态规划法：使用一个二维数组dpij表示前i个物品在背包容量为j时的最大总价值。
dpij的计算方法是在考虑第i个物品时，如果将其放入背包，则总价值为dpi-1j-wi + vi，如果不放入背包，则总价值为dpi-1j。
则dpij的值为这两种情况中的较大值。
⑵贪心算法：按物品的单位重量价值进行排序，然后依次选择单位重量价值最大的物品放入背包，直至放满或者无法再放入为止。
⒉0 背包问题的变体:⑴ 01背包问题：每个物品要么放入背包，要么不放入，无法进行分割。
⑵完全背包问题：每个物品可以无限次地放入背包，相当于01背包问题的物品数量为无穷。
⑶多重背包问题：每个物品有有限个数的可选择，相当于01背包问题的物品数量有限。
【算法复杂度】⒈0 背包问题：⑴动态规划法：时间复杂度为O(nW)，空间复杂度为O(nW)，其中n为物品数量，W为背包容量。
⑵贪心算法：时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1）⒉0 背包问题的变体：⑴ 01背包问题：时间复杂度同⒈0。
⑵完全背包问题：时间复杂度同⒈0。
⑶多重背包问题：时间复杂度同⒈0。
【附件】：本文档不涉及附件。
【法律名词及注释】：本文档不涉及法律名词及注释。
背包问题解题方法总结
背包问题解题⽅法总结最近在⽜客刷题遇到好⼏道背包问题，索性这两天集中⽕⼒刷了⼀些这类的题。
这⾥总结⼀下0-1背包、完全背包和多重背包三种基本的背包问题的解题套路。
(均基于动态规划的思想)0-1背包题⽬：有 N 件物品和容量为 W 的背包。
第 i 件物品的重量为 w_i，价值为 v_i，求将不超过背包容量的物品装⼊背包能得到的最⼤价值。
特点，每件物品的数量只有⼀个，可以选择放或不放某件物品。
⽤dp[i][j]表⽰将前 i+1 件总重量不超过 j 的物品放⼊背包能获得的最⼤价值，则可以⽤以下的转移⽅程来表⽰这个过程：\[dp[i,j] = max(dp[i - 1, j], dp[i-1, j-w[i]] + v[i]) \]注意到dp数组第i⾏的值更新只跟 i-1 ⾏有关，因此可以通过滚动数组或者反向更新的⽅式优化⼀下空间复杂度，在动态规划解题的时候这是⼀种常⽤的空间复杂度优化⽅式。
优化后的代码如下：for(int i = 0; i < N; i++){// 注意到这⾥dp需要从后往前更新，避免更新前就把旧值覆盖// 从实际意义上来说，因为每件物品只有⼀个，从后向前更新保证了更新是在还没放⼊过当前物品的前提下进⾏的for(int j = W; j >= w[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}完全背包题⽬：有 N 种物品和容量为 W 的背包。
第 i 种物品的重量为 w_i，价值为 v_i，每种物品的数量⽆限。
求将不超过背包容量的物品装⼊背包能得到的最⼤价值。
特点：每种物品的数量⽆限多。
考虑到每种物品的数量⽆限。
⽤dp[j]表⽰在重量不超过 j 的情况下背包中物品可以达到的最⼤价值，则转移⽅程如下：\[dp[j]=max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]) \]核⼼代码如下：for(int i = 0; i < N; i++){for(int j = w[i]; j <= W; j++){ // 这⾥和0-1背包不同dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}注意内层for循环是从前向后更新dp数组的，这是唯⼀和上⾯的0-1背包问题区别的地⽅。
背包问题
（0-1）背包问题的解法小结1．动态规划法递推关系：– 考虑一个由前i 个物品(1≤i ≤n )定义的实例，物品的重量分别为w 1,…,w i ，价值分别为v 1，…，v i ，背包的承重量为j (1≤j ≤W )。
设V [I,j]为该实例的最优解的物品总价值– 分成两类子集：• 根据定义，在不包括第i 个物品的子集中，最优子集的价值是V [i -1,j ]• 在包括第i 个物品的子集中(因此，j －w ≥0)，最优子集是由该物品和前i -1个物品中能够放进承重量为i －w j 的背包的最优子集组成。
这种最忧子集的总价值等于v i +V [i -1,j -w i ].0]0,[时，0 当0;][0,时，0初始条件：当],1[}],1[],,1[max{],[=≥=≥<≥⎩⎨⎧-+---=i V i j V j w j w j j i V v w j i V j i V j i V i i i i以记忆功能为基础的算法：用自顶向下的方式对给定的问题求解，另外维护一个类似自底向上动态规划算法使用的表格。
一开始的时候，用一种“null”符号创始化表中所有的单元，用来表明它们还没有被计算过。
然后，一旦需要计算一个新的值，该方法先检查表中相应的单元：如果该单元不是“null ”，它就简单地从表中取值；否则，就使用递归调用进行计算，然后把返回的结果记录在表中。
算法 MFKnapsack(I,j)//对背包问题实现记忆功能方法//输入：一个非负整数i 指出先考虑的物品数量，一个非负整数j 指出了背包的承重量 //输出：前i 个物品的最伏可行子集的价值//注意：我们把输入数组Weights[1..n],Values[1..n]和表格V[0..n,0..W]作为全局变量，除了行0和列0用0初始化以外，V 的所有单元都用-1做初始化。
if V[I,j]<01if j<Weights[i]value ←MFKnapsack(i-1,j)elsevalue ←max(MFKnapsack(i-1),j), Value[i]+MFKnapsack(i-1,j-eights[i]))V[I,j]←valuereturn V[I,j]2．贪心算法1) 背包问题基本步骤：首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi ，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。
算法背包问题的五种方法
算法背包问题的五种方法1. 动态规划背包问题是一种经典的组合优化问题，动态规划是解决背包问题的常用方法之一。
动态规划将问题分解为子问题，并利用已解决子问题的结果来求解更大规模的问题。
对于背包问题，动态规划算法的基本思想是创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
通过填表格的方式，从子问题逐步求解到原问题，最终得到最优解。
2. 贪心算法贪心算法是另一种解决背包问题的方法。
它的基本思想是每一步都选择当前看起来最好的选择，而不考虑之前的选择对后续步骤的影响。
在背包问题中，贪心算法通常是按照物品的价值密度（价值与重量的比值）进行排序，然后依次选择价值密度最高的物品放入背包，直到背包容量不足为止。
贪心算法的优势在于其简单性和高效性，但它并不一定能得到最优解。
3. 分支定界法分支定界法是一种通过搜索方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是通过搜索可能的解空间，并根据当前搜索路径的特性进行剪枝操作，从而减少搜索的时间和空间复杂度。
在背包问题中，分支定界法通常根据当前节点的上界（通过松弛问题得到）与当前最优解进行比较，如果上界小于当前最优解，则该节点不再继续拓展，从而减少搜索空间的大小，提高求解效率。
4. 回溯算法回溯算法是一种通过不断试探和回退的方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是从问题的初始状态开始，不断地尝试不同的决策，并根据约束条件判断该决策是否可行。
如果决策可行，则继续尝试下一步决策；如果不可行，则回退到上一步并尝试其他决策。
在背包问题中，回溯算法通过递归的方式依次尝试每个物品的放入与不放入两种选择，直到找到满足约束条件的解或者穷尽所有可能。
5. 近似算法近似算法是一种通过快速求解背包问题的“近似”解来减小计算复杂度的方法。
它的基本思想是用一种简单而快速的策略求解背包问题，并且能够保证求解结果的近似程度。
在背包问题中，常见的近似算法有贪心算法和启发式算法。
背包问题总结
背包问题总结背包问题总结01背包问题01背包问题解决⼀个这样的问题，即在付出的代价有限，选取的物品也有限的条件(拿与不拿）下如何达到最优解的问题。
⾯临的棘⼿情况是，并不是代价可以承受的情况下总是选择拿取物品，所获得的价值会达到最⼤，可能出现由于⾸先拿取⼀个低价值的物品导致⽆法后续⾼价值的物品⽆法拿取错失最优价值的情况。
解决办法：如果我们遍历所有可能，通过⽐较那么我们⼀定可以得到最优解，但是代价过于⾼昂，存在许多⼦问题的冗余计算的过程，若要解决⼦问题的冗余，能否将⼦问题的状态保存，之后再在需要时找出，这样就能避免⼤量的计算。
动态规划将⼤问题分解为⼀个个⼦问题，⽗问题的最优解有赖于⼦问题最优解的来实现，譬如：如果我们拥有 i- 1种物品在0n**种代价限n情况的最优解呢？制的情况下的最优解，我们能否找出**i**种物品**0在是否选择第i件物品的当⼝，我们有两种选择：不选择：直接继承i-1在代价限制条件下的最优解选择：那么在付出代价之后我们可以将付出代价后的最优解与i物品的价值组合获得最优解⽬标是获得选择/不选择情况下的最优解，所以可以选择其中的最⼤值代码实现：if(j<space[i])dp[i][j]=dp[i-1][j];elsedp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-space[i]]+val[i]);空间优化：如⽤⼀个⼀维数组记录，通过逆序遍历，通过⽐较dp[i]与dp[i - w] + v(倒序情况下dp[i-w]没有被更新)既可以获得最优解代码实现：for(i=1;i<=N;i++)//遍历n种物品选择情况{for(j=C;j>=space[i];j--)//倒序同时保证代价能够承受{dp[j]=max(dp[j],dp[j-space[i]]+val[i]);}}实际问题分析这是⼀个典型的01背包问题，在背包体积有限为V的情况下有N件物品进⾏选择，每件物品都有相应的价值与代价⼀个有趣的问题这个问题需要解决如何将物品分割，使得物品分隔相对均匀且A堆不⼩于B堆这同样是01背包问题，01背包问题可解决的是背包空间有限的情况下，所能获取到的最⼤资源的问题。
背包问题问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解背包问题的基本概念和分类。
2. 掌握不同背包问题的解决算法，如0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
3. 分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率。
4. 通过实验验证算法的正确性和实用性。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm4. 实验数据：随机生成的背包物品数据三、实验内容1. 0-1背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j 的背包中的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值计算dp值。
c. 返回dp[n][C]，即为最大价值。
2. 完全背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大，且每个物品可以重复取。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
3. 多重背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
每个物品有无限个，求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
四、实验结果与分析1. 0-1背包问题实验结果显示，在背包容量为100时，最大价值为298。
背包问题系列算法详解
背包问题系列算法详解背包问题是一个关于最优解的经典问题。
通常被讨论的最多的，最经典的背包问题是0-1背包问题(0-1 Knapsack Problem)。
它是一切背包问题及相关背包问题的基础。
本篇博文将详细分析0-1背包问题，并给出0-1背包问题的几种解法，同时也对0-1背包问题的内涵进行延伸，丰富其外延至完全背包问题和多重背包问题，并给出背包问题的算法实现过程，希望对大家有帮助。
一、0-1背包问题有N件物品和一个容量为V的背包。
第i件物品（每个物品只有一件）的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
（1）递归求解算法如下：#include "iostream"#define CAPACITY 10#define GOODSNUM 6using namespace std;int nVol[GOODSNUM];int nValue[GOODSNUM];int knapsack(int itemIndex,int vol);void main(){int i=0,j=0;while(i<GOODSNUM){cout<<"input the "<<i+1<<"th item(volume and value):";cin>>nVol[i]>>nValue[i];i++;}cout<<"The max value is: "<<knapsack(GOODSNUM,CAPACITY)<<endl;}int knapsack(int itemIndex,int vol){if (itemIndex==0||vol==0){return 0;}else if (vol>=nVol[itemIndex] &&knapsack(itemIndex-1,vol)<knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex ]){return knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex];}elsereturn knapsack(itemIndex-1,vol);}分析：递归求解，求解过程中的绝大部分变量存在重复求解的过程，算法的效率较低，有待改进；那怎么改进呢？最有效的是用数组保存每次计算的结果，不用重复计算，于是有二维数组求解。
背包问题求解方法综述
可编写可改正算法剖析与设计大作业实验题目： 0-1 背包问题求解方法综述组员：班级：指导老师：可编写可改正0-1 背包问题求解方法综述【纲要】：0-1 背包问题是一个经典的NP-hard 组合优化问题，现实生活中的好多问题都能够以它为模型。
本文第一对背包问题做了阐述，而后用蛮力解法、动向规划算法、贪婪算法和回溯解法对背包问题进行求解，剖析了0-1 背包问题的数学模型 , 刻划了最优解的结构特色 , 成立了求最优值的递归关系式。
最后对四种算法从不一样角度进行了对照和总结。
【重点词】：0-1 背包问题；蛮力解法；动向规划算法；贪婪算法；回溯解法。
0.前言0-1 背包问题是指给定 n 个物品 , 每个物品均有自己的价值 vi 和重量 wi(i=1,2, ,n),再给定一个背包 , 其容量为 W。
要求从 n 个物品中选出一部分物品装入背包 , 这部分物品的重量之和不超出背包的容量 , 且价值之和最大。
单个物品要么装入 , 要么不装入。
好多问题都能够抽象成该问题模型, 如配载问题、物质调运 [1] 问题等 , 所以研究该问题拥有较高的实质应用价值。
目前, 解决 0-1 背包问题的方法有好多 , 主要有动向规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜寻算法等。
此中动向规划、回溯法、分支限界法时间复杂性比较高, 计算智能算法可能出现局部收敛 , 不必定能找出问题的最优解。
文中在动向规划法的基础长进行了改良,提出一种求解0-1 背包问题的算法 , 该算法每一次履行总能获取问题的最优解,是确立性算法 , 算法的时间复杂性最坏可能为O(2n) 。
背包问题描绘0-1 背包问题 (KP01) 是一个有名的组合优化问题。
它应用在很多实质领域,如项目选择、资源散布、投资决议等。
背包问题得名于如何选择最适合的物品放置于给定背包中。
本文主要研究背包问题中最基础的 0/1 背包问题的一些解决方法。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是数据结构中的一个经典问题，它在计算机科学和算法设计中有着广泛的应用。
本文将详细介绍背包问题的定义、解决思路以及常见的解决方法。
一、背包问题的定义背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时受到背包的容量限制。
每一个物品都有自己的分量和价值，背包的容量是事先确定的。
二、解决思路背包问题可以使用动态规划的思想进行求解。
具体来说，可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时所能获得的最大价值。
然后根据状态转移方程进行递推求解。
三、常见的解决方法1. 0-1背包问题0-1背包问题是最基本的背包问题，每一个物品要末完整地放入背包中，要末不放入。
具体的解决方法是使用动态规划，根据状态转移方程进行递推计算。
2. 彻底背包问题彻底背包问题相较于0-1背包问题，每一个物品可以无限次地放入背包中。
同样使用动态规划进行求解，但在状态转移方程中需要进行一些调整。
3. 多重背包问题多重背包问题是在彻底背包问题的基础上，对每一个物品的数量进行了限制。
可以将多重背包问题转化为0-1背包问题进行求解。
4. 分组背包问题分组背包问题是在背包问题的基础上，将物品进行了分组。
每一个组内的物品只能选择一个放入背包中。
可以使用动态规划进行求解，需要对状态转移方程进行一些修改。
四、示例假设有一个背包的容量为10，有以下物品可供选择：物品1：分量3，价值4物品2：分量4，价值5物品3：分量5，价值6物品4：分量2，价值3我们可以使用动态规划来解决这个问题。
首先初始化一个二维数组dp，大小为(n+1)×(W+1)，其中n为物品的个数，W为背包的容量。
然后根据状态转移方程进行递推计算，最终得到dp[n][W]即为所求的最大价值。
具体的计算过程如下：1. 初始化dp数组，dp[0][j]和dp[i][0]均为0，表示背包容量为0或者没有物品可选时的最大价值为0。
背包问题的解决算法
背包问题的解决算法在日常生活中，我们常常会遇到背包问题。
比如说，你需要出门远足，但是又不想背太多的东西，怎么办？这时候，你就需要一种背包算法，用以帮助你选出最好的装备。
当然，背包算法不仅仅局限于这种场景，还可以应用于计算机科学等领域。
背包问题可以定义为：在限定容量下，找到能够装下最大价值物品的选择方案。
在计算机科学中，背包问题又分为0/1背包和无限背包两种类型。
0/1背包指的是在数量有限的情况下，每种物品只能选择一次；无限背包则意味着每种物品可以重复选择。
现在，我们来讨论一下几种常见的背包算法。
1. 贪心算法贪心算法是一种常见的解决背包问题的方法。
首先，根据每个物品的价值大小来求解。
然后，将每个物品按照其价值排序。
按照顺序，从价值最高的开始选择，在能够装下的情况下，尽量选择多的物品。
这种方法容易理解，但是它并不一定能够获得最优解。
2. 动态规划算法动态规划是解决背包问题最常用的算法。
它将问题分解成多个子问题，并且利用已经求解过的子问题来递推求解更大的问题。
具体来说，动态规划算法需要在每个状态中维护当前已经选择的物品，以及它们的价值和总重量。
然后，根据每个物品的价值，计算出在当前重量下选择这个物品的最大价值，同时比较这个价值和不选择这个物品的价值大小，最终得出最优解。
3. 回溯算法回溯算法也是一种解决背包问题的方法。
它的基本思想是，从初始状态开始，考虑每种可能的选择，最终找到最优解。
相比其他算法，回溯算法需要考虑所有可能的解，因此在问题较大的时候，它的时间复杂度可能较高。
但是，回溯算法通常能够得到最优解。
4. 分支定界算法分支定界算法也是一种解决背包问题的方法。
它通过确定每种物品能否被选择，来缩小解空间并加速搜索。
具体来说，它会根据价值和重量来对物品进行排序，并尝试从价值最高的物品开始选择。
然后，将剩余的物品按选择顺序进行排序，并对每个物品进行深度优先搜索，直到搜索到了可行解或者不可行解为止。
在实际应用中，以上几种算法都有其优缺点。
背包问题的各种求解方法
背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述： 给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。
因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述 顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。
则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。
如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。
这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。
1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构 顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。
则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。
由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。
因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。
智能控制作业遗传算法求解背包问题
智能控制作业遗传算法求解背包问题智能控制遗传算法求解背包问题——16组遗传算法求解背包问题摘要：遗传算法是在分析遗传个体进化机制基础上提出的一种新型优化算法。
本论文根据0-1 背包问题的特点，提出用于求该问题的遗传算法及相关的解决方案，阐明算法的具体实现过程。
通过对其他文献中仿真实例的计算和结果比较，表明应用该算法求解背包问题取得了良好的效果。
该算法同样可以应用于其他组合优化题。
关键词：背包问题；遗传算法一．概述背包问题(knapsack problem) 是运筹学中一个典型的优化难题，有着广泛的实际应用背景，如管理中的资源分配、投资决策、预算控制等问题，并且经常作为其他问题的子问题被研究。
研究背包问题的求解算法在理论上和实践中都具有一定的意义。
从计算复杂性理论来看，背包问题是个NP 完全问题，该问题的求解方法主要有启发式算法，如贪心算法、遗传算法、粒子群算法。
以遗传算法为代表的生物进化算法建立在达尔文自然选择学说的基础上，是对生物进化过程的模拟，是人们对从自然演化过程中抽象出的概念、原则和机制的类比应用，被广泛用于解决复杂的计算问题。
其主要特点是直接对结构对象进行操作，不存在求导和函数连续性的限定；具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力；采用概率化的寻优方法，能自动获取和指导优化的搜索空间，自适应地调整搜索方向，不需要确定的规则。
遗传算法的这些性质，已被人们广泛地应用于组合优化、机器学习、信号处理、自适应控制和人工生命等领域。
它是现代有关智能计算中的关键技术。
本文在分析遗传算法的基础上，提出了将贪婪修复方法与遗传算法相结合，构成混和遗传算法，并应用于求解经典背包问题。
它是可以解决复杂问题的新方法。
本论文系统的介绍背包问题的遗传算法解决方案。
二．背包问题的数学模型背包问题的定义：我们有n 种物品，物品j 的重量为wj ，价格为pj 。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。
背包所能承受的最大重量为W 。
背包问题贪心法和动态规划方案法求解
背包问题贪心法和动态规划方案法求解嘿，大家好！今天咱们来聊聊那个让人又爱又恨的背包问题。
这个问题可是算法领域的经典难题，不过别怕，今天我会用贪心法和动态规划两种方法帮你轻松搞定它！来个简单直接的背景介绍。
背包问题，简单来说，就是给定一组物品，每个物品都有一定的价值和重量，你需要在不超过背包承载重量的前提下，挑选出价值最大的物品组合。
听起来是不是有点像生活中的购物决策？哈哈，没错，这就是背包问题的魅力所在。
好，下面咱们直接进入主题。
一、贪心法贪心法，顾名思义，就是每一步都选择当前看起来最优的方案。
对于背包问题，贪心法的核心思想就是：每次都选取价值密度最大的物品。
1.计算每个物品的价值密度，即价值除以重量。
2.然后，按照价值密度从大到小排序。
3.从排序后的列表中依次选取物品，直到背包装满或者没有物品可选。
二、动态规划法动态规划，这是一种更加严谨、也更复杂的方法。
它的核心思想是：通过把大问题分解成小问题，逐步求解，最终得到最优解。
1.定义一个二维数组dp[i][j]，表示在前i个物品中选择，背包容量为j时的最大价值。
2.我们考虑第i个物品是否放入背包。
如果放入，则前i-1个物品在容量为j-w[i]时的最大价值加上w[i]的价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+w[i]。
如果不放入，则前i-1个物品在容量为j时的最大价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j]。
3.通过比较这两种情况，取最大值作为dp[i][j]的值。
整个过程中，我们需要遍历所有物品和所有可能的背包容量，最终得到dp[n][W]就是我们要找的最大价值。
现在，让我们用一段代码来具体实现一下动态规划法：defknapsack(W,weights,values):n=len(values)dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=50weights=[10,20,30]values=[60,100,120]print(knapsack(W,weights,values))怎么样？是不是觉得动态规划法虽然复杂，但逻辑清晰，更容易找到最优解？通过上面的分析，我们可以看到，贪心法简单高效，但有时候并不能得到最优解；而动态规划法虽然计算复杂度较高，但可以得到最优解。
背包问题算法描述
背包问题问题描述设有m 种物品，每种物品都有一个重量及一个价值，同时有一背包，其容量为c 。
现从m 种物品中选取若干件，使其重量之和小于等于背包的容量，且价值和为最大。
0-1背包问题(0-1 Knapsack Problem )的定义为：设集合A ＝{a 1, a 2,…, a m }代表m 件物品，正整数p i , w r ，分别表示第i 件物品的价值与重量，那么0-1背包问题KNAP （A ，c ）定义为求A 的子集，使得重量之和小于背包的容量c ，并使得价值和最大。
也就是说求： ∑=m i i i x p 1max ,满足c x w mi i i ≤∑=1其中x i ∈[0，1]。
在这个表达式中，需求出x i 的值。
x i = 1表示物品i 装入背包中，x i =0 表示物品i 不装入背包。
0-1背包问题是一个一般化的货箱装载问题，即每个货箱所获得的价值不同。
货箱装载问题转化为背包问题的形式为：船作为背包，货箱作为可装入背包的物品。
背包问题属于著名的NP 完全问题，在信息密码学领域和数论研究中具有极重要的应用。
分枝限界算法对于某些背包实例的求解表现了较好的性能，但其最坏情形下的时间复杂性为。
Horowitz 和Sahni 利用分治方法，提出了著名的二表算法，算法的时间和空间复杂性被分别降至和，虽然二表算法是至今为止串行求解背包问题最有效的算法，但对于实践应用中维数稍大的问题实例，该算法仍难在合理的时间内对其求解。
1、0-1背包问题的串行动态规划算法解决0-1背包问题的最简单的方法是动态规划算法。
先来看KNAP(A, c)的一个子问题KNAP(A j , y)，其中A j ＝|a 1, a 2,···, a m |，y ≤c 。
显然，若a j 并不在最优解中，那么KNAP(A j－1, y)的解就是KNAP(A j , y)的解。
否则，KNAP(A j －1, j- w i )就是KNAP(A j , y)的解。
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背包问题求解方法综述 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】算法分析与设计大作业实验题目：0-1背包问题求解方法综述组员：班级：指导老师：0-1背包问题求解方法综述【摘要】：0-1背包问题是一个经典的NP-hard组合优化问题，现实生活中的很多问题都可以以它为模型。
本文首先对背包问题做了阐述，然后用蛮力解法、动态规划算法、贪心算法和回溯解法对背包问题进行求解，分析了0-1背包问题的数学模型,刻划了最优解的结构特征,建立了求最优值的递归关系式。
最后对四种算法从不同角度进行了对比和总结。
【关键词】：0-1背包问题；蛮力解法；动态规划算法；贪心算法；回溯解法。
0.引言0-1背包问题是指给定n个物品,每个物品均有自己的价值vi和重量wi(i=1,2,…,n),再给定一个背包,其容量为W。
要求从n个物品中选出一部分物品装入背包,这部分物品的重量之和不超过背包的容量,且价值之和最大。
单个物品要么装入,要么不装入。
很多问题都可以抽象成该问题模型,如配载问题、物资调运[1]问题等,因此研究该问题具有较高的实际应用价值。
目前,解决0-1背包问题的方法有很多,主要有动态规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。
其中动态规划、回溯法、分支限界法时间复杂性比较高,计算智能算法可能出现局部收敛,不一定能找出问题的最优解。
文中在动态规划法的基础上进行了改进,提出一种求解0-1背包问题的算法,该算法每一次执行总能得到问题的最优解,是确定性算法,算法的时间复杂性最坏可能为O(2n)。
背包问题描述0-1背包问题(KP01)是一个着名的组合优化问题。
它应用在许多实际领域,如项目选择、资源分布、投资决策等。
背包问题得名于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
本文主要研究背包问题中最基础的0/1背包问题的一些解决方法。
为解决背包问题，大量学者在过去的几十年中提出了很多解决方法。
解决背包问题的算法有最优算法和启发式算法[2]，最优算法包括穷举法、动态规划法、分支定界法、图论法等，启发式算法包括贪心算法、遗传算法、蚁群算法、粒子算法等一些智能算法。
0-1背包问题一般描述为：给定n 种物品和一个背包。
物品i 的重量是w(i)，其价值为v(i)，背包的容量为c 。
问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。
不能将物品i 装入背包多次，也不能只装入部分的物品i 。
因此，该问题称为0-1背包问题。
此问题的形式化描述是，给定n i v w c i i ≤≤>>>1000，，，，要求找出一个n 元0-1向量n i x x x x i n ≤≤∈1}1,0{21，），，，，（ ，使得cx w i i i ≤∑=n1，而且i ni i x v ∑=1达到最大。
数学模型：∑=ni i i x v 1max约束条件：c x w i i i ≤∑=n1， n i x i≤≤∈1},1,0{背包问题的求解算法蛮力算法（brute force method ）对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; #define N 100 <=C){for (int k=0;k<n;k++) X[k]=cx[k];; cp=cp+a[i].p; cx[i]=1; ; cp=cp-a[i].p;cx[i]=0; ,&a[i].p); b[i]=a[i]; }int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);i v i w i v i w i r i v i w 时，在步骤（3）中计算最优解时，通常需记录更多的信息，以便在步骤（4）中，根据所记录的信息，快速构造出一个最优解。
使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划3要素：（1）问题的阶段；（2）每个阶段的状态；（3）从前一个阶段转化后一个阶段之间的递推关系[4]。
——最优子结构性质分析设），，，（n x x x 21所给0-1背包问题的一个最优解，则），，（n x x x 32是下面相应子问题的一个最优解： 目标函数：ini i x v ∑=2max约束条件：)2}(1,0{,112n i x x w c xw i ni ii ≤≤∈-≤∑=证明：若），，（n x x x 32不是上述子问题的一个最优解，而），，，（n 32y y y 是他的最优解。
由此可知，i i i n i i x v y v ∑∑>=n2且c y w x w i ni i ≤+∑=211。
因此这说明），，，（n y y x 21是原问题的一个更优解，从而），，，（n y y y 21不是所给原问题的最优解，产生矛盾。
所以），，（n x x x 32是上述子问题的一个最优解。
由于0-1背包问题的解是用向量），，，（n x x x 21来描述的。
因此，该问题可以看做是决策一个n 元0-1向量），，，（n x x x 21。
对于任意一个分量i x 的决策是“决定i x =1或i x =0，i=1,2,…,n 。
对1-i x 决策后，序列)(121-i x x x ，，， 已被确定，在决策i x 时，问题处于下列两个状态之一：（1）背包容量不足以装下物品i ，则=0，装入背包的价值不增加； （2）背包容量足以装入物品i,则=1，装入背包的价值增加i v 。
在这种情况下，装入背包的价值最大化应该是对决策后的价值。
设所给0-1背包问题的子问题的最优值为m(i,j),即m(i,j)是背包容量为j ，可选择的物品为i,i+1,…,n 时0-1背包问题的最优值。
由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m （i,j ）的递归式为：基于上面的讨论，求解0-1背包的动态规划算法步骤如下：步骤1：当)1(n i w i ≤≤为正整数时，用数组w[n]来存放n 个物品的重量；数组v[n]来存放n 个物品的价值，背包容量为c ，数组M[n+1][c+1]来存放每一次迭代的执行结果；数组x[n]用来存储所装入背包的物品状态； 步骤2：初始化。
数组M 的第0行第0列全部设置为0；步骤3：循环阶段。
按式（5）确定前i 个物品能够装入背包的情况下得到的最优值；步骤3-1：i=1时，求出M[1][j],1≤j ≤c ； 步骤3-2：i=2时，求出M[2][j],1≤j ≤c ； ……步骤3-n:i=n 时，求出M[n][c]。
此时，M[n][c]便是最优值；步骤4：确定装入背包的具体物品。
从M[n][c]的值向前推，如果M[n][c]>M[n-1][c]，表明第n 个物品被装入背包，则n x =1，前n-1个物品没有被装入背包，则n x =0，前n-1个物品被装入容量为c 的背包中。
以此类推，知道确定第1个物品是否被装入背包为止。
由此，得到下面的关系式：如果M[i][j]=M[i-1][j],说明第i 个物品没有被装入背包，则i x =0； 如果M[i][j]>M[i-1][j],说明第i 个物品被装入背包，则i x =1，j=j-i w 。
按照上述关系式，从M[n][c]的值向前倒推，即j 初始为c ，i 初始为n,即可确定装入背包的具体物品。
上述算法需要O （nc ）时间计算时间。
不过上述算法有2个明显的确点。
一是算法要求所给物品的重量i w （1≤i ≤n ）是整数；二是当背包容量c 很大时，算法需要的计算时间较多。
贪心算法求解0/1背包问题的时间复杂度为：O（nm）回溯法（Backtracking）回溯法是一种系统地搜索问题解答的方法。
为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间，这个解空间必须至少包含问题的一个解(可能是最优的)。
一旦定义了解空间的组织方要选择一个对象的子集，将它们装人背包，以便获得的收益最大，则解空间应组织成子集树的形状。
首先形成一个递归算法，去找到可获得的最大收益。
然后，对该算法加以改进，形成代码。
改进后的代码可找到获得最大收益时包含在背包中的对象的集合。
左子树表示一个可行的结点，无论何时都要移动到它，当右子树可能含有比当前最优解还优的解时，移动到它。
一种决定是否要移动到右子树的简单方法是r为还未遍历的对象的收益之和，将r加到cp(当前节点所获收益)之上，若( r+cp)<=bestp(目前最优解的收益)，则不需搜索右子树。
一种更有效的方法是按收益密度vi/wi对剩余对象排序，将对象按密度递减的顺序去填充背包的剩余容量。
编程实现如下#include""#include<iostream>#include<algorithm>#include<>#include<>using namespace std;#defineN 100 <=W){ ;cp=cp+a[i].p;cx[a[i].sign]=1; ;cp=cp-a[i].p; ign]=0;ign=i;}sort(a,a+n,m); ;cout<<b[i].w<<"\t";cout<<b[i].p<<endl;}}cout<<"放入背包的物品总重量为："<<totalW;cout<<endl;cout<<"放入背包的物品总价值为："<<bestP<<endl;}int main() =rand()%1000;a[i].p=rand()%1000;b[i]=a[i];}cout<<"物品的重量和价值分别如下："<<endl;for (inti=0;i<n;i++) ;cout<<"\t";cout<<a[i].p<<endl;}QueryPerformanceCounter(&begin);KnapSack3(n,a,W,X); 3 运行结果回溯法法的时间复杂度为分枝-限界法（Branch - threshold method）分枝-限界法的基本原理与分析分枝限界法是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-结点的扩充方式。