数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算
等差数列与等比数列的基本量运算
等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导： 由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=． 由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-． （2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ， 所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ， 当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。
数列的基本概念和规律
数列的基本概念和规律数列是数学中常见的概念之一，是一种按照一定规律排列的数的集合。
它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍数列的基本概念和规律，并举例说明其在不同领域的具体应用。
一、数列的定义和表示方式数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。
一般地，数列可以用下标表示，如a₁、a₂、a₃，也可以用公式表示，如an=n²。
其中，a₁、a₂、a₃是数列的前三项，an是数列的第n项。
二、数列的分类根据数列的规律性质不同，我们可以将数列分为等差数列、等比数列和斐波那契数列三种常见类型。
1. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值相等的数列。
其通项公式一般为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如计算机科学中的循环语句、物理学中的匀速直线运动等。
2. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值相等的数列。
其通项公式一般为an=a₁*q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比。
等比数列在金融和经济学中有着重要的应用，比如复利计算、人口增长预测等。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和的数列。
其通项公式一般为an=an-1+an-2，其中a₁=a₂=1。
斐波那契数列在自然界中随处可见，比如植物叶子的排列、螺旋线的形成等。
三、数列的求和公式在某些情况下，我们需要求解数列的前n项和。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式快速计算出结果。
1. 等差数列的求和公式对于公差为d的等差数列，其前n项和公式为Sn=(n/2)(a₁+an)。
2. 等比数列的求和公式对于公比为q且q≠1的等比数列，其前n项和公式为Sn=a₁*(1-q^n)/(1-q)。
四、数列的应用举例数列在不同领域都有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子。
1. 自然科学领域数列在物理、化学和生物学等自然科学领域中有着重要的应用。
比如在物理学中，等差数列可以用来描述匀速直线运动中物体的位移随时间的变化；等比数列可以用来描述指数增长或衰减的过程。
整理等差数列、等比数列相关性质和公式及数列求和方法
等差、等比的公式性质以及数列的乞降方法第一节：等差数列的公式和有关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，假如它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：a n a n 1 d （d 为公差）（ n 2 ， n N *）注：下边全部波及n ，n N *省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：a n a1( n1)d ， a1为首项，d为公差推行公式：a n a m(n m) d变形推行：d a n a mn m3、等差中项（ 1）假如a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A a b或2 A a b2（ 2）等差中项：数列a n是等差数列2anan -1a n 1 (n 2)2a n 1a nan 24、等差数列的前 n 项和公式：n(a1a n )na1n(n 1)dS n22d n2(a11d) n An 2Bn22（此中 A、B是常数，所以当 d≠0时， S n是对于 n的二次式且常数项为 0）特别地，当项数为奇数2n1 时，a n1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项2n 1a1a2n 12n 1 a n 1（项数为奇数的等差数列的各项S2 n 12和等于数乘以中）5、等差数列的判断方法（ 1）定法：若a n a n1 d 或 a n 1a n d (常数n N)a n是等差数列．（ 2）等差中：数列a n是等差数列2an an-1a n 1 (n 2)2a n 1anan 2（3）数列a n是等差数列（4）数列a n是等差数列6、等差数列的明方法a n kn b （此中k,b是常数）。
S n An2Bn ,（此中A、B是常数）。
定法：若 a n a n 1 d 或 a n 1 a n d (常数n N)a n是等差数列．7、等差数列有关技巧：（ 1）等差数列的通公式及前n和公式中，波及到 5 个元素：a1、d 、n、a n及S n，此中a1、d 称作基本元素。
数列的概念和计算
数列的概念和计算数列是数学中常见的概念，它由一系列有序的数字组成。
数列的概念与计算对于数学的学习和应用都具有重要的意义。
本文将介绍数列的定义、常见类型和计算方法。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为这个数列的项，用a₁，a₂，a₃，……表示。
数列中的每个项之间有着特定的关系，这种关系可以用公式、递推公式、递归式等形式来表示。
二、常见类型的数列1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差等于同一个常数的数列。
设数列为{a₁，a₂，a₃，……}，公差为d，那么有 a₂ - a₁ =a₃ - a₂ = d。
等差数列的通项公式为 an = a₁ + (n-1)d，其中n表示项数。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与前一项的比等于同一个常数的数列。
设数列为{a₁，a₂，a₃，……}，公比为r，那么有 a₂/a₁ = a₃/a₂ = r。
等比数列的通项公式为 an = a₁ * r^(n-1)，其中n表示项数。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和的数列。
斐波那契数列的前两项通常为1，1或0，1，根据定义可以得到后续项。
斐波那契数列的递推公式为 an = a(n-1) + a(n-2)，其中n表示项数。
三、数列的计算1. 求和求和是数列计算中经常遇到的问题之一。
在数列求和时，常用的方法有以下几种：- 等差数列求和公式：Sn = n/2 * (a₁ + an)，其中Sn表示前n个项的和。
- 等比数列求和公式：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n 个项的和。
- 斐波那契数列求和：Sn = a(n+2) - 1，其中Sn表示前n个项的和。
2. 项数计算在一些问题中，我们需要求解数列的项数。
常用的计算方法如下：- 等差数列的项数：n = (an - a₁) / d + 1，其中n表示项数。
数列知识点归纳总结讲义
数列知识点归纳总结讲义数列是数学中常见的一个概念，它在各个领域都有广泛的应用。
正如其名称所示，数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。
在学习和应用数列时，我们需要了解一些基本概念和常见的数列类型。
本文将对数列的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握相关概念。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一组数，用字母表示为{a₁，a₂，a₃，...}。
2. 项与序号：数列中的每个数称为项，对应的位置称为序号。
第一项为a₁，第二项为a₂，以此类推。
3. 通项公式：数列中每个项与它所在的序号之间存在着一定的关系，这种关系用通项公式来表示，通常用aₙ表示第n个项的值。
4. 数列的有穷与无穷：当数列中的项有限个时，称其为有穷数列；当数列中的项无限多时，称其为无穷数列。
二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是一种最为常见的数列类型，其特点是每个项之间的差值相等。
通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。
例如：2，5，8，11，14...就是一个以3为公差的等差数列。
2. 等比数列：等比数列是指数列中每个项与它前一项的比值相等的数列。
通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。
例如：1，2，4，8，16...就是一个以2为公比的等比数列。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第3项开始，每个项都是前两项的和。
通项公式：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁其中，a₁和a₂为斐波那契数列的前两项。
例如：1，1，2，3，5，8，13...就是一个斐波那契数列。
4. 平方数列：平方数列是指数列中每个项都是某个整数的平方。
通项公式：aₙ = n²其中，n表示项数。
例如：1，4，9，16，25...就是一个平方数列。
5. 等差数列与等比数列混合：有时数列中既存在等差关系，又存在等比关系，称其为等差数列与等比数列混合数列。
数列的基本概念和求和公式
数列的基本概念和求和公式数列是数学中一个非常基础的概念，涉及到数学中的序列和求和等知识。
本文将介绍数列的基本概念、常见数列的求和公式以及一些数列应用的例子。
一、数列的概念数列是按照一定规律排列的一列数，数列中的每个数称为数列的项。
我们通常用一般项公式来表示数列的规律，一般项公式为an = f(n)，其中an表示数列的第n项，f(n)表示与n相关的函数表达式。
例如，等差数列的一般项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列和斐波那契数列。
下面将分别介绍这些数列及其求和公式。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定。
也就是说，等差数列中每一项与前一项的差等于一个常数d，这个常数称为公差。
等差数列的一般项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
求等差数列的前n项和的公式为Sn = (a1 + an)n/2，其中a1为首项，an为第n项。
应用举例：例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和Sn。
解：根据求和公式Sn = (a1 + an)n/2，代入a1 = 3，an = 3 + (10 - 1)2 = 20。
则Sn = (3 + 20)10/2 = 115。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定。
也就是说，等比数列中每一项与前一项的比等于一个常数q，这个常数称为公比。
等比数列的一般项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
求等比数列的前n项和的公式为Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，其中a1为首项，q为公比。
应用举例：例如，已知等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和Sn。
解：根据求和公式Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，代入a1 = 2，q = 3，n = 5。
则Sn = (2 * (3^5 - 1)) / (3 - 1) = 242。
近6年来高考数列题分析(以全国卷课标Ⅰ为例)
近5年来高考数列题分析（以全国卷课标Ⅰ为例）单的裂项相消法和错位相减法求解数列求和即可。
纵观全国新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷的数列试题，我们却发现，新课标卷的数列题更加注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法。
尤其在选择、填空更加突出，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点.从2011年至2015年，全国新课标Ⅰ卷理科试题共考查了8道数列题，其中6道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。
而文科试题共考查了9道数列题，其中7道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。
1．从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。
2．从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。
3．从文理试卷角度看，尊重差异，文理有别，体现了《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念之一“不同的学生在数学上得到不同的发展”。
以全国新课标Ⅰ卷为例，近五年理科的数列试题难度整体上要比文科的难度大一些。
如2012年文科第12题“数列 满足 ，求的前60项和”是一道选择题，但在理科试卷里这道题就命成了一道填空题，对考生的要求自然提高了。
具体来看，全国新课标卷的数列试题呈现以下特点：●小题主要考查等差、等比数列的基本概念和性质以及它们的交叉运用，突出了“小、巧、活”的特点，难度多属中等偏易。
●大题则以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质，难度多属中等以上，有时甚至是压轴题，难度较大。
（一）全国新课标卷对数列基本知识的考查侧重点1．考查数列的基本运算，主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式。
数列的基本概念与性质知识点总结
数列的基本概念与性质知识点总结数列是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域。
本文将对数列的基本概念和性质进行总结，帮助读者更好地理解和运用数列知识。
1. 数列的基本概念数列是按照一定规律排列的一组数的有序集合。
通常用字母表示，例如a₁，a₂，a₃，...，aₙ。
其中，a₁为首项，a₂为第二项，aₙ为第n项。
2. 等差数列等差数列是一种常见的数列，其中任意两项之差都相等。
这个公差用字母d表示。
可表示为a₁，a₁+d，a₁+2d，...，a₁+(n-1)d。
等差数列的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d。
3. 等差数列的性质（1）求和公式：等差数列的前n项和可以用求和公式来表示，即Sn=(a₁+aₙ)/2×n。
（2）首项与末项的关系：可以通过首项和末项的和与项数的关系求得，即a₁+aₙ=a₁+a₁+(n-1)d=2a₁+(n-1)d。
（3）等差数列的对称性：等差数列中，第k个数和第(n-k+1)个数之和等于第(n+1)/2个数和第(n+1)/2个数的平均数。
4. 等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中任意两项的比值都相等。
这个比值用字母q表示。
可表示为a₁，a₁q，a₁q²，...，a₁q^(n-1)。
等比数列的通项公式为aₙ=a₁q^(n-1)。
5. 等比数列的性质（1）求和公式：等比数列的前n项和可以用求和公式来表示，即Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)，其中q≠1。
（2）首项与末项的关系：可以通过首项和末项的比与项数的关系求得，即aₙ=a₁q^(n-1)。
（3）等比数列的倒数性质：等比数列的倒数仍然是等比数列。
6. 通项公式的推导与应用对于不同的数列，可以通过观察列项之间的关系来推导出通项公式。
通项公式的推导可以帮助我们更方便地计算数列中的任意一项。
在实际应用中，通项公式可以帮助我们更好地分析和解决问题。
7. 数列的应用领域数列广泛应用于各个领域，例如经济学、物理学、计算机科学等。
数列求和的知识点总结
数列求和的知识点总结一、数列求和的基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的规律排列的一组数，数列中的每个数被称为该数列的项。
数列一般用{}表示，其中n是数列的下标，表示数列的第n个项。
2. 数列的性质（1）有限项数列和无限项数列数列的项的个数有限时，称为有限项数列，否则称为无限项数列。
（2）等差数列和等比数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差是常数的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d。
等比数列是指数列中相邻两项之间的比是常数的数列，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
3. 数列求和的基本概念数列求和指的是将数列的各项相加的操作，可以分为有限项求和和无限项求和。
有限项数列的求和可以用公式进行计算，而无限项数列的求和需要通过取极限的方法进行求解。
二、数列求和的常用公式1. 等差数列求和公式在等差数列an=a1+(n-1)d中，前n项和Sn的计算公式为Sn=n/2*(a1+an)。
2. 等比数列求和公式在等比数列an=a1*q^(n-1)中，前n项和Sn的计算公式为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。
3. 平方和与立方和公式在数列1,2,3,4,...,n中，平方和S(n^2)=n*(n+1)*(2n+1)/6，立方和S(n^3)=[n*(n+1)/2]^2。
4. 斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列的每一项是前两项之和的数列，其前n项和Sn的计算公式为Sn=F(n+2)-1，其中F(n)表示斐波那契数列中的第n项。
5. 其他数列求和公式在一些特殊的数列中，如等差中项数列、调和数列等，也可以根据数列的特性推导出对应的求和公式。
三、数列求和的运算方法1. 直接求和法在有限项数列的求和中，可以直接将数列的各项相加得到结果。
这种方法适用于项数较少或者数列的规律明显的情况。
2. 差分法对于一些复杂的数列，可以通过差分的方法将其转化为等差数列或等比数列，然后利用相应的求和公式进行求解。
3. 递推法递推法是指通过给定的递推关系求解数列的前n项和，常用于斐波那契数列等递归定义的数列。
数列的定义与性质
第5章 数列知识点一、数列的通项公式 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)． 2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式． 4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．二、数列的性质 数列的分类三、等差数列基本量的计算 1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋(1)2n n −d ＝1()2n n a a +．四、等差数列的基本性质及应用 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d ．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12．五、等比数列基本量的计算 1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q ．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n -1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1. 六、等比数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *．特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *．对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a k a n －k ＋1＝…．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列． (4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n ．(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，其公比为q k ． (6)若a 1a 2…a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q ． 七、数列求和1．公式法与分组转化法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (2)分组转化法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050． 3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．第5章 数列（1）一、选择题1．在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝ ( ) A ．6116 B ．259 C ．2516 D ．31153．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．1304．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －15．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1413－a 1314＝( )A ．－27B ．27C ．－37D ．377．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n5．则b 10等于( )A ．15B ．17C ．19D ．218．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．⎣⎡⎭⎫83，3 C ．(2，3) D ．(1，3)9．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]10．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．λ＜45 B ．λ＜1 C ．λ＜32 D ．λ＜23二、填空题11．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．12．若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n >0，且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0．设M (x )表示整数x的个位数字，则M (a 2017)＝________．13．若数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 2016等于________．14．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k12＋n －2S n≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________．三、解答题15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式．16．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．第5章 数列（2）一、选择题1．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则a 10等于( ) A ．18 B ．20 C ．16 D ．222．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．33．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18 B ．20 C ．21 D ．254．已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．958 C ．948 D ．185．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A ．a 2a 3＝2B ．a 2a 3＝32C ．a 2a 3＝23D ．a 2a 3＝136．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0 D ．－507．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．40338．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115．146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130．0寸，夏至晷影长为14．8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸9．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n．若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4 二、填空题11．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 12．已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0，2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________． 14．已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________． 三、解答题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状． 16．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m20成立，求正整数m的最大值．第5章 数列（3）一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．272．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1C ．12D ．23．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．336．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．40327．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．1588．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A ．32B ．53C ．256 D ．不存在二、填空题11．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______． 13．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________．14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项． 三、解答题15．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1． (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．第5章 数列（4）一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋32．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．63．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A ．23 B ．278 C ．7 D ．2144．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．1025．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( ) A ．1512 B ．1513 C ．1513.5 D ．20186．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1) 7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A ．20142015B ．20152016C ．20162017D ．201720188．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．299．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>010．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( ) A ．1 B ．22 C ．－22D ．－3 二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________． 12．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n(n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________． 13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________．三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4．(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n ．16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n －1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ． 17．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3．(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ．已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ．18．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．。
人教课标版高中数学必修5《第二章数列》知识概述
1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。
教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。
作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。
等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。
与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。
最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。
2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。
教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。
随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。
通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。
三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。
教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。
通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。
教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。
小学数学知识点数列的概念与计算
小学数学知识点数列的概念与计算数列是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域的数学问题中。
在小学数学中，数列的概念与计算是基础内容之一。
本文将对小学数学中数列的概念与计算进行详细介绍。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以用字母a1, a2, a3, …, an表示，其中ai表示数列中的第i个数。
数列中的每个数都有一个特定的位置，这个位置用正整数表示。
例如，数列1, 2, 3, 4, 5可以表示为a1, a2, a3, a4, a5。
数列中的规律可以是加减乘除或其他复杂的运算关系。
二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持相等的数列。
等差数列是小学数学中最常见的数列之一。
设等差数列的第一项为a1，公差为d，则数列中的第n项an可以用以下公式计算：an = a1 + (n-1) * d其中，n为项数，an为第n项的值。
例如，给定等差数列的首项a1为3，公差d为4，我们可以使用上述公式计算出该等差数列的各项值。
三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持相等的数列。
等比数列在小学数学中也比较常见。
设等比数列的第一项为a1，公比为r，则数列中的第n项an可以用以下公式计算：an = a1 * r^(n-1)其中，n为项数，an为第n项的值。
举个例子，如果等比数列的首项a1为2，公比r为3，我们可以使用上述公式计算出该等比数列的各项值。
四、斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列，在小学数学中也有所涉及。
斐波那契数列的特点是，从第3项开始，每个数等于前两个数的和。
即f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n≥3)。
斐波那契数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...五、数列的计算在小学数学中，对数列进行计算主要包括求第n项的值以及求前n 项和两个方面。
对于等差数列，我们可以根据已知的首项和公差，使用公式an = a1 + (n-1) * d来求得第n项的值。
数列的概念与分类
数列的概念与分类数列是数学中的一个重要概念，它在不同领域的应用非常广泛。
本文将介绍数列的概念、分类以及一些相关的性质和应用。
一、数列的概念数列是由一串按照一定规律排列的数构成的序列。
这些数可以是整数、实数或者其他类型的数。
数列中的每个数称为数列的项，用An表示第n项。
二、数列的分类1.等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。
如果数列公差为d，则数列的通项公式可以表示为An = A1 + (n-1)d。
其中，A1为首项，n为项数。
等差数列的常用表示方法有递推公式和通项公式。
2.等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比保持恒定的数列。
如果数列公比为q，则数列的通项公式可以表示为An = A1 * q^(n-1)。
其中，A1为首项，n为项数。
等比数列的常用表示方法有递推公式和通项公式。
3.斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
即A1 = A2 = 1，An = An-1 + An-2 (n≥3)。
斐波那契数列在自然界中常常能够找到相应的规律。
4.调和数列调和数列是指数列中的每一项的倒数构成的数列。
调和数列的通项公式为An = 1/n。
5.等差-等比数列等差-等比数列是指数列中既有等差又有等比关系的数列。
它的通项公式可以表示为An = (A1 + (n-1)d) * q^(n-1)。
三、数列的性质和应用1.数列的递增和递减性质根据数列的定义，可以得出数列的递增和递减性质。
如果数列中的每一项都比前一项大，则该数列为递增数列；如果数列中的每一项都比前一项小，则该数列为递减数列。
递增和递减数列在求和、求极限等数学运算中有重要应用。
2.数列的求和公式对于一些特殊的数列，可以通过求和公式计算数列的前n项和。
例如等差数列的前n项和公式为Sn = (A1 + An) * n / 2；等比数列的前n项和公式为Sn = (A1 * (q^n - 1)) / (q - 1)。
数列的知识点
数列的知识点摘要：数列是数学中的一个重要概念，它涉及到一系列按照特定顺序排列的数。
本文旨在介绍数列的基本概念、类型、性质以及与之相关的数学运算。
通过对这些知识点的梳理，读者将能够更好地理解和应用数列理论。
1. 数列的定义数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的，通常用大写字母如 {a_n} 表示，其中 n 是序列中的项数，a_n 表示序列的第 n 项。
2. 数列的表示法数列可以通过多种方式表示，最常见的有：- 列表法：a_n = {a_1, a_2, a_3, ...}- 递推关系：a_n = f(a_(n-1))- 显式公式：a_n = g(n)3. 数列的类型根据数列的生成方式和特点，可以将数列分为以下几类：- 常数数列：所有项都相等的数列。
- 等差数列：相邻两项之差为常数的数列。
- 等比数列：相邻两项之比为常数的数列。
- 递增数列：每一项都大于前一项的数列。
- 递减数列：每一项都小于前一项的数列。
4. 数列的性质数列的性质通常与其类型有关，例如：- 等差数列的性质包括中项定理、等差中项等。
- 等比数列的性质包括几何平均、等比中项等。
5. 数列的极限极限是数列理论中的核心概念，它描述了数列在无限项时的趋势。
对于一个数列 {a_n}，如果存在一个数 L 使得当 n 趋向于无穷大时，a_n 趋向于 L，则称 L 为该数列的极限。
6. 数列的运算数列的运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于两个数列 {a_n} 和{b_n}，它们的运算规则如下：- 加法：{a_n} + {b_n} = {a_n + b_n}- 减法：{a_n} - {b_n} = {a_n - b_n}- 乘法：{a_n} * {b_n} = {a_n * b_n}- 除法：{a_n} / {b_n} = {a_n / b_n}（仅当b_n ≠ 0）7. 数列的应用数列在数学的许多领域都有应用，包括但不限于：- 级数求和- 函数逼近- 差分方程- 动态系统结论：数列是数学分析中的基础知识点，它不仅在理论上具有重要意义，而且在科学、工程和经济学等领域的实际问题中都有广泛的应用。
数列的规律与计算
数列的规律与计算数列是由一系列按照特定顺序排列的数字或者项组成的序列。
在数学中，研究数列的规律和计算是非常重要的。
本文将从数列的定义开始，探讨数列的规律性质以及如何进行数列的计算。
一、数列的定义数列是由一系列数字或者项组成的序列。
数列中的每个数字或者项称为数列的项。
通常用字母表示数列，比如a、b、c等。
二、数列的规律根据数列中项与项之间的关系，可以总结出数列的规律。
数列的规律可以是加减乘除运算、幂运算、递推关系等等。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值为常数的数列。
常数差值称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值为常数的数列。
常数比值称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，q表示公比。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项的和。
斐波那契数列的通项公式可以表示为an =an-1 + an-2，其中an表示第n项。
三、数列的计算对于给定的数列，有时我们需要求出数列的某一项或者计算数列的和。
下面将介绍数列的计算方法。
1. 求第n项要求数列的第n项，首先需要知道数列的规律。
对于已知的等差数列和等比数列，可以利用通项公式直接计算。
对于其他的数列，可能需要利用递推关系进行计算。
通过不断求解前一项和前两项的和或者积，可以逐步计算出所需的项。
2. 求和如果我们想要计算数列的和，通常使用求和公式。
对于等差数列的求和，有等差数列求和公式Sn = n/2 * (a1+an)，其中Sn表示前n项的和，n表示项数，a1表示第一项，an表示第n项。
对于等比数列的求和，有等比数列求和公式Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示前n项的和，a1表示第一项，q表示公比。
数列的概念与基本性质
数列的概念与基本性质数列是数学中的重要概念，它在不同领域中都有广泛的应用。
本文将介绍数列的概念与基本性质，帮助读者对数列有更深入的了解。
一、数列的概念数列是由一组有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列可以用符号表示为{an}，其中n表示项的位置，an表示该位置上的数。
常见的数列包括等差数列和等比数列。
等差数列中，相邻项之间的差是常数d，通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项。
而等比数列中，相邻项之间的比是常数q，通项公式可以表示为an =a1 * q^(n-1)，其中a1为首项。
二、数列的基本性质1. 通项公式：数列的通项公式是用来计算数列中任意一项的公式。
通过观察数列中的规律，可以得到通项公式。
对于等差数列和等比数列，上述已经介绍了其通项公式。
2. 首项和末项：数列中的第一项称为首项，而最后一项称为末项。
在等差数列中，末项可以通过首项和公差计算得到，即an = a1 + (n-1)d。
而在等比数列中，末项可以通过首项和公比计算得到，即an = a1 *q^(n-1)。
3. 公差和公比：在等差数列中，相邻项之间的差是常数，称为公差。
而在等比数列中，相邻项之间的比是常数，称为公比。
公差和公比可以描述数列中的增长规律，对于数列的计算和研究非常重要。
4. 前n项和：数列的前n项和是指数列中前n项的和。
根据数列的增长规律和通项公式，可以通过求和公式计算前n项和。
对于等差数列，前n项和可以用求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2计算；对于等比数列，前n项和可以用求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)计算。
5. 数列的性质：数列有许多重要的性质，例如有界性、单调性和有限性等。
有界性是指数列的数值都在一定范围内；单调性是指数列中的数值递增或递减；而有限性是指数列中的项数是有限的。
6. 递推关系：递推关系是指数列中的每一项可以通过前一项计算得到。
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地 若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解 思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注 求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析 因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析 设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和 思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析 由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析 若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。
数列的基本概念
数列的基本概念数列是数学中的一个重要概念，它在数学研究和实际应用中都具有广泛的应用价值。
本文将介绍数列的基本概念及其相关特性。
一、数列的定义数列是由一系列有序的数字所组成的集合，每个数字称为数列的项。
数列可以用一个通项公式来表示，并按照一定的规律排列，其中通项公式可以是一个递推公式或直接给出每一项的算式。
二、等差数列等差数列是一种常见的数列形式，其中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的通项公式通常表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
例如，1, 4, 7, 10, 13就是一个公差为3的等差数列，其中a1=1，d=3，可以通过通项公式an=1+(n-1)3计算出任意一项的值。
等差数列具有以下特性：1. 公差相等，每一项与前一项之差都为固定值。
2. 通项公式可以确定数列中任意一项的值。
3. 数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n/2[2a1+(n-1)d]计算，其中Sn表示前n项的和。
三、等比数列等比数列是一种特殊的数列形式，其中每一项与前一项之比都相等。
等比数列的通项公式通常表示为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
例如，2, 4, 8, 16, 32就是一个公比为2的等比数列，其中a1=2，r=2，可以通过通项公式an=2*2^(n-1)计算出任意一项的值。
等比数列具有以下特性：1. 公比相等，每一项与前一项之比都为固定值。
2. 通项公式可以确定数列中任意一项的值。
3. 数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)计算，其中Sn表示前n项的和。
四、斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列形式，其特点是每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式通常表示为an=an-1+an-2，其中a1和a2为给定的首项。
例如，1, 1, 2, 3, 5, 8就是一个斐波那契数列，可以通过通项公式递推计算出后续的项。
高中数学：《数列》知识要点梳理
《数列》知识梳理一、数列及其有关概念1．数列的概念按一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，．注意：数列与数集是两个不同的概念，数集中的元素具有无序性和互异性，而数列中的数是按一定顺序排列的，并且可以重复．2．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．注意：（1）有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个；（2）将12n =，，代入通项公式，可以求出这个数列的每一项．3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，其特殊性主要体现在它的定义域是正整数集*N （或它的有限子集{12}n ，，，）．这也决定了数列的图象是一群孤立的点，这些点可以有有限多个，也可以有无限多个．4．数列的分类（1）按数列的项数，可以将数列分为有穷数列和无穷数列．（2）按数列的项与项之间的大小关系，可以分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，第一项与它们的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差列的公差，通常用d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则它的通项公式为1(1)n a a n d =+-．由此可知，已知等差数列的首项和公差，就可以求出这个数列的任何一项，这个等差数列也就完全被确定了．通常称首项和公差是等差数列的两个基本量．3．等差数列与函数的关系（1）等差数列的通项公式与函数的关系由等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-可知：当0d ≠时，n a 可以看成是关于n 的一次函数；当0d =时，1n a a =，可知n a 是常数函数． 不论d 是否为0n a ，的图象都是在同一条直线上的一群孤立的点．（2）等差数列的前n 项和公式与函数的关系由等差数列的前n 项和公式2111(1)222n d d S na n n d n a n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭可知： 当0d ≠时，n S 可以看成是关于n 的二次函数（不含常数项，所以图象所在的抛物线过原点）；当0d =时，1n n S a n S =，可以看成是关于n 的一次函数（当10a ≠时），或为常数函数（当10a =时）．注意：解有关等数列的题时，要注意引用函数的性质．4．等差数列的充要条件数列{}n a 是等差数列1n n a a d +⇔-=（d 为常数，n *∈N ）n a pn q ⇔=+（p q ，为常数，n *∈N ）2122()n n n n a a a n S An Bn *++⇔=+∈⇔=+N （A B ，为常数n *∈N ，）． 5．等差数列的常用性质已知{}n a 是等差数列，公差为d ，则：（1）()n m n m a a a a n m d d n m --=-=-，；（2）若()m n p q m n p q *+=+∈Ν，，，，则m n p q a a a a +=+；（3）下标成等差数列的项2k k m k m a a a ++，，，组成的数列仍为等差数列，公差为md ；（4）232n n n n n S S S S S --，，，仍为等差数列；（5）数列{}n a b λ+（b λ，为常数）仍为等差数列，公差为d λ．三、等比数列1．等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q 表示．需要特别注意的是，等比数列的每一项及公比都不为0．2．等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项公式为11n n a a q -=．由此可知，已知等比数列的首项和公比，就可以求出这个数列的任何一项，这个等比数列也就是完全被确定了．通常称首项和公比是等比数列的两个基本量．3．等比数列的充要条件数列{}n a 是等比数列1n na q a +⇔=（q 为常数，n *∈N ）212n n n a a a ++⇔=，且0()n a n *≠∈N ．4．等比数列的常用性质已知{}n a 是等比数列，公比为q ，则：（1）n m n m n n m ma a a q q a --==，； （2）若()m n p q m n p q *+=+∈N ，，，，则m n p q a a a a =；（3）下标成等差数理的项2k k m k m a a a ++，，，组成的数列仍为等比数列，公比为m q ；（4）232n n n n n S S S S S --，，，（当各项均不为0时）为等比数列．四、几种重要的题型1．“知三求二”型在等差数列{}n a 中，若已知1n n a d a S n ，，，，五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n 项和公式，可以求出其余的两个量．同样地，在等比数列{}n a 中，若已知1n n a q a S n ，，，，五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n 项和公式，也可以求出其余的两个量．这所用的其实就是方程思想．2．求数列的通项公式（1）给出数列的前几项，写出该数列的一个通项公式解这个类题主要从以下几个方面考虑：①负号用(1)n -或1(1)n +-来调节．②公式形式的数列，分子、分母要分别找通项，要充分借助分子、分母的关系． ③对于比较复杂的数列，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．④有些数列，其构成规律较难发现，若我们能从给出的前面若干项，逐次求出它的差数列（后项减去它的前项所得之差构成的数列），最后得到一个等差或等比数列，则由此倒推回去，就能找到原数列的通项公式，这种方法称为逐差法．此类问题虽无固定模式，但也有章可循，主要靠观察（观察规律）、比较（与已知数列比较）、归纳、转化（转化为等差数列或等比数列）等方法．例1 求1361015，，，，，的一个通项公式． 解：设此数列为{}n a ，其差数列为{}n b ，则{}n b 为：2345，，，，…，即1n b n =+．又1n n n b a a +=-，所以11n n a a n +-=+．令n 取1231n -，，，…，，得1n -不等式，将它们相加，得1(1)(2)2342n n n a a n -+-=++++=， 而11a =，所以(1)(2)(1)122n n n n n a -++=+=． （2）已知n S ，求n a这类问题主要是利用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩， ，≥求通项公式．特别需注意的是，最后应验证分段表示的公式是否能合并，即验证2n ≥时的公式对1n =是否适用．（3）已知n S 和n a 的关系式求通项公式这类问题一般需要由已知关系式，将n 变为1n -或1n +再写出一个类似的关系式，将两个关系式的两边分别相减，从而将关系式中的和（如n S ）转化为项．例2 已知数列{}n a 中，12a =，且1()n n a S n *+=∈N ，求n a ．解：当2n ≥时，由1n n a S +=，得1n n a S -=，将两式相减，得11n n n n a a S S +--=-，即12n n a a +=．又2112a S a ===．1212 2.n n n a n -=⎧∴=⎨⎩ ， ≥。
等差数列与等比数列的概念与性质
等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。
它们在各个领域中都有广泛的应用，从金融到物理，从自然科学到社会科学。
本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。
一、等差数列的概念和性质1. 概念：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。
这个差被称为等差数列的公差，常用字母d表示。
2. 性质：- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ + (n-1)d 。
- 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
- 等差数列的性质：（1）若首项相同，公差不同的两个等差数列相交，其交点仍为等差数列。
（2）若两个等差数列的公差之比为整数，则其和仍为等差数列。
（3）等差数列的前n项和与项数n成正比，即Sₙ与n成一次函数关系。
二、等比数列的概念和性质1. 概念：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比相等。
这个比被称为等比数列的公比，常用字母q表示。
2. 性质：- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)。
- 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。
- 等比数列的性质：（1）若首项相同，公比不同的两个等比数列相交，其交点仍为等比数列。
（2）若两个等比数列的公比之比为整数，则其和仍为等比数列。
（3）等比数列的前n项和与项数n成正比，但比值不为常数。
三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用：（1）在金融领域中，等差数列用于计算复利的增长情况。
（2）在物理学中，等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。
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数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算一．解答题（共40小题）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和．2．已知数列{a n}前n项和，（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{|a n|}的前20项和T20；3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．4．若数列{a n}的前n项和S n，且S n＝n2+n，等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m （1）求{a n}和{b n}的通项公式（2）求数列{a n•b n}的前n项和Q n5．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n；6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）求a1，a2，a3的值；（2）证明{a n+2}是等比数列，并求a n；8．已如各项均为正数的数列{a n}的前项和为S n，且a1＝1，a n＝，（n∈N*，且n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：当n≥2时，．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，求数列的前n项和T n．10．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a+a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2；数列{b n}满足b1＝1，b n+1＝b n+3．n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n b n，n∈N*．求数列{c n}的前n项和T n．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，＝1（n≥2）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n}为等差数列，并求出其通项公式；13．己知函数f（x）＝，数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n≥2），b1＝3，S n＝b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立求最小正整数m．14．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1，n∈N+（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于∀n∈N+，有15．在数列{a n}中，（1）设，证明：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和．16．已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2n+2，a1＝3．（1）证明：数列{a n﹣2n}为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）令，求数列{b n}的前n项和S n．18．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；19．己知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．20．已知数列{a n}满足na n+1＝2a n（n+1），a1＝2，设．（1）证明数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝8，且．设b n＝a n+1﹣2a n，证明数列{b n﹣2}是等比数列，并求数列{a n}的通项．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n2﹣a n﹣1a n﹣6a n﹣12＝0（n≥2，且n∈N*）设b n＝log2a n．（1）求b1，b2b3；（2）判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；23．已知数列{a n}是等差数列，其公差d＞0，a2，a3是方程x2﹣8x+15＝0的两根．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，求{b n}的前n项和S n．24．已知公差大于零的等差数列{a n}满足：a3a4＝48，a3+a4＝14．（1）求数列{a n}通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．25．在等差数列{a n}中，已知a2＝3，a7＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，若S n＝，求n的值．26．在等比数列{a n}中，公比q∈（0，1），且满足a3＝2，a1a3+2a2a4+a3a5＝25．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当取最大值时，求n的值．27．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足（1）求数列{a n}的通项公式及S n（2）设数列的前n项和为T n，若，求正整数n的取值范围28．设等比数列{a n}满足a1+a3＝20，a2+a4＝10，（Ⅰ）令T n＝a1a2a3…a n，求T n的最大值；（Ⅱ）令b n＝log2a n，求数列{a n b n}的前n项和S n．29．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a2＝3，a1，a3，a7顺次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．30．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5＝18，S3+S5＝50．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，其前n项和为T n，求T n．31．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．32．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且为a2，a3的等比中项，a3+1为a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设b n＝a n+1+（﹣1）n，（n∈N*），数列{}的前项和为S n，求证：S n＜．33．已知数列{a n}为等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a5＝5，S3＝6，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n ﹣2）b n+2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令，证明：c1+c2+…+c n＜2．34．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}都是递增数列，且满足a3＝b3＝5，a1a5＝9，b1+b5＝2a7（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b2n﹣1，求数列|c n|的前n项和S n35．已知公差不为0的等差数列{a n}与等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设T n＝a1b n+a2b n﹣1+…+a n b1，求T n．36．等差数列{a n}中，公差d≠0，a5＝14，a32＝a1a11．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．37．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列b n的前n项和T n．38．在等差数列{a n}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n，并证明T n＜．39．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝5a22，且S1，S3，S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1﹣a2b2+a3b3﹣…+（﹣l）n+1a n b n＝10n﹣n2（n∈N*），记数列{b n}的前n项和为T n，求T n的最大值．40．已知等差数列{a n}满足a1＝1，a3+a5＝8．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．数列项与和的关系、等比等差数列定义、基本量运算参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和．【解】：（1），可得n＝1时，a1＝S1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，对n＝1也成立，则a n＝2n；（2）b n＝＝＝（﹣），可得数列{b n}的前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．2．已知数列{a n}前n项和，（1）求数列{a n}的通项公式（2）求数列{|a n|}的前20项和T20；【解】：（1）因为，所以数列{a n}是等差数列，n＝1时，数列的首项为a1＝﹣26，a1+a2＝﹣50，所以a2＝﹣24，所以公差：d＝2，∴a n＝2n﹣28．（2）当n＜14时，a n＜0；n≥14时；a n≥0；T20＝（|a1|+|a2|+…+|a13|）+（a14|+…+|a20|）＝﹣（a1+a2+…+a13）+a14+a15+…+a20＝﹣S13+S20﹣S13＝S20﹣2S13＝224．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．【解】：（1）S n＝n2+n﹣1，可得n＝1时，a1＝S1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣1﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1＝n+1，则a n＝；（2）b n＝a n•2n＝，当n＝1时，T1＝b1＝2；当n≥2时，T n＝2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n，2T n＝4+3×23+4×24+…+（n+1）•2n+1，相减可得﹣T n＝10+23+24+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝10+﹣（n+1）•2n+1，化简可得T n＝n•2n+1﹣2．（n≥2），上式对n＝1也成立，综上可得T n＝n•2n+1﹣2．4．若数列{a n}的前n项和S n，且S n＝n2+n，等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m（1）求{a n}和{b n}的通项公式（2）求数列{a n•b n}的前n项和Q n【解】：（1）S n＝n2+n，可得a1＝S1＝2；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，上式对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*；等比数列{b n}的前n项和T n，且T n＝2n+m，可得b1＝T1＝2+m，n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝2n+m﹣2n﹣1﹣m＝2n﹣1，由等比数列{b n}，可得2+m＝1，即m＝﹣1，则b n＝2n﹣1，n∈N*；（2）设c n＝a n•b n＝n•2n，前n项和Q n＝1•2+2•4+3•8+…+n•2n，2Q n＝1•4+2•8+3•16+…+n•2n+1，两式相减可得﹣Q n＝2+4+8+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1，化简可得Q n＝2+（n﹣1）•2n+1．5．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n；【解】：（1）点（a n，S n）都在函数f（x）＝2x﹣2的图象上，可得S n＝2a n﹣2，n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣2a n﹣1+2，化为a n＝2a n﹣1，可得a n＝2n，对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*；（2）b n＝（2n﹣1）a n＝（2n﹣1）•2n，前n项和T n＝1•2+3•4+5•8+…+（2n﹣1）•2n，2T n＝1•4+3•8+5•16+…+（2n﹣1）•2n+1，相减可得﹣T n＝2+2（4+8+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2•﹣（2n﹣1）•2n+1，化为T n＝6+（2n﹣3）•2n+1；6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解】：（Ⅰ）数列{a n}前n项和为S n，满足a2＝4，2S n＝（n+1）a n（n∈N*）．当n＝2时，2S2＝3a2，整理得a1＝2．所以2S n＝（n+1）a n，故2S n﹣1＝（n+1﹣1）a n﹣1，两式相减得（n﹣1）a n＝na n，所以＝2n（首项符合通项）．故a n＝2n．（Ⅱ）由于a n＝2n，所以b n＝＝．故T n＝b1+b2+…+b n＝＝4n+1﹣．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）求a1，a2，a3的值；（2）证明{a n+2}是等比数列，并求a n；【解】：（1），a1＝S1＝2a1﹣2，可得a1＝2；由a1+a2＝2a2﹣4，可得a2＝6；由a1+a2+a3＝2a3﹣6，可得a3＝14；（2）证明：n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2n﹣2a n﹣1+2n﹣2，化简可得a n＝2a n﹣1+2，则a n+2＝2（a n﹣1+2），可得{a n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，a n+2＝4•2n﹣1，则a n＝2n+1﹣2；8．已如各项均为正数的数列{a n}的前项和为S n，且a1＝1，a n＝，（n∈N*，且n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：当n≥2时，．【解答】解：（1）由，得，即（n≥2），所以数列{S n}是以为首项，以1为公差的等差数列，所以，即，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝1，也满足上式，所以a n＝2n﹣1；（2）证明：当n≥2时，，所以．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）由．可得a2＝S1＝a1＝，可得a n+1＝S n，又a n＝S n﹣1，n≥2，相减可得a n+1﹣a n＝（S n﹣S n﹣1）＝a n，即为a n+1＝a n，可得{a n}为从第二项起，公比q为的等比数列，可得a n＝a2q n﹣2＝（）n﹣1；可得a n＝；（2）＝log（）n＝n，可得＝＝﹣，则前n项和T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．10．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a+a n﹣2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a+a n﹣2．可得n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝2（﹣1舍去），n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣﹣，化为a n+a n﹣1＝a n2﹣a n﹣12＝（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1），由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝1，则a n＝2+n﹣1＝n+1；（Ⅱ）b n＝＝＝﹣，则数列{b n}的前n项和T n＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣2．【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2；数列{b n}满足b1＝1，b n+1＝b n+3．n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n b n，n∈N*．求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S n＝2a n﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，即a1＝2；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣2a n﹣1+2，化为a n＝2a n﹣1，可得a n＝2n，对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*，b1＝1，b n+1＝b n+3，可得b n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）c n＝a n b n＝（3n﹣2）•2n，前n项和T n＝1•2+4•4+7•8+…+（3n﹣2）•2n，2T n＝1•4+4•8+7•16+…+（3n﹣2）•2n+1，相减可得﹣T n＝2+3（4+8+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1＝2+3•﹣（3n﹣2）•2n+1，化简可得T n＝10+（3n﹣5）•2n+1．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，＝1（n≥2）．（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n}为等差数列，并求出其通项公式；【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，＝1（n≥2）．当n＝2时，，整理得：S2＝2（a1+1）＝8，所以a2＝S2﹣a1＝8﹣3＝5．当n＝3时，，整理得S3＝3（4+1）＝15，所以a3＝S3﹣a1﹣a2＝15﹣8＝7．证明：（2）由于，所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．则：，整理得①，当n≥2时②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1（首项符合通项）．故数列{a n}为等差数列，且a n＝2n+1．13．己知函数f（x）＝，数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n≥2），b1＝3，S n＝b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立求最小正整数m．【解答】解：（1）函数f（x）＝，数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（），可得a n+1＝＝a n+，则{a n}为公差为，首项为1的等差数列，可得a n＝1+（n﹣1）＝；（2）n≥2时，b n＝＝＝（﹣），b1＝3＝（1﹣），则S n＝b1+b2+…+b n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝，S n＜，即为＜对一切n∈N*成立，由（1﹣）＝递增，可得（1﹣）＜，则≥，可得m≥2010，可得m的最小整数为2010．14．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1，n∈N+（1）证明：数列{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于∀n∈N+，有【解】：（1）由a n+1＝3a n+1得a n+1+＝3（a n）．又a1+＝，所以{a n}是首项为，公比为3的等比数列，所以a n+＝，因此数列{a n}的通项公式为a n＝．（2）证明：由（1）知＝．因为当n≥1时，3n﹣1≥2×3n﹣1，所以，即＝≤．于是++…+≤1++…+＝（1﹣）＜．所以++…+＜．15．在数列{a n}中，（1）设，证明：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【解】：（1）证明：由，可得，∴数列{b n}是公差为2，首项为1的等差数列；（2）由（1）可知b n＝2n﹣1，，所以数列{a n}的前n项和，①，②由①+②，得．16．已知数列{a n}满足a n+1＝a n+2n+2，a1＝3．（1）证明：数列{a n﹣2n}为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解】：（1）证明：a n+1＝a n+2n+2，a1＝3．可得a n+1﹣2n+1＝a n﹣2n+2，即有数列{a n﹣2n}为首项为1，公差为2的等差数列；（2）a n﹣2n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即为a n＝2n+2n﹣1，可得前n项和S n＝（2+4+…+2n）+（1+3+…+2n﹣1）＝+n（1+2n﹣1）＝2n+1﹣2+n2．17．数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）令，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）证明：数列{a n}满足．可得＝+3，即﹣＝3，可得是以1为首项，3为公差的等差数列．∴＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，a n＝n（3n﹣2）；（2）b n＝﹣4n＝3n﹣2﹣4n＝﹣n﹣2，可得前n项和S n＝n（﹣3﹣n﹣2）＝﹣．18．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；【解】：（1）证明：∵a n+1＝（n∈N*），a1＝2，∴a n≠1，，∴＝，即，又a1＝2，∴，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）知，，∴，∴数列{a n}的通项公式为；19．己知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和．【证明】：（1）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝4a n+3n﹣1，b n＝a n+n．所以b n+1＝a n+1+n+1＝4a n+3n﹣1+n﹣1＝4（a n+n），故数列（常数），所以数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列．解：（2）由于数列{b n}是以b1＝a1+1＝2为首项，4为公比的等比数列，所以．所以，故T n＝a1+a2+…+a n＝（21+23+…+22n﹣1）﹣（1+2+…+n）＝＝．20．已知数列{a n}满足na n+1＝2a n（n+1），a1＝2，设．（1）证明数列{b n}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解】：（1）数列{a n}满足na n+1＝2a n（n+1），整理得，所以数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由于数列{}为等比数列，所以，所以，故①，②，①﹣②得．21．已知数列{a n}，a1＝1，a2＝8，且设b n＝a n+1﹣2a n，证明数列{b n﹣2}是等比数列，并求数列{a n}的通项；【解】：（1）证明：，而b1﹣2＝4∴{b n﹣2}是以4为首项2为公比的等比数列，即，累加法可求出∴；22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n2﹣a n﹣1a n﹣6a n﹣12＝0（n≥2，且n∈N*）设b n＝log2a n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；【解】：（1）a1＝1，2a n2﹣a n﹣1a n﹣6a n﹣12＝0，a n＞0，可得（2a n+3a n﹣1）（a n﹣2a n﹣1）＝0，则a n＝2a n﹣1，数列{a n}为首项为1，公比为2的等比数列，可得a n＝2n﹣1；b n＝log2a n＝n﹣1，b1＝0，b2b3＝1×2＝2；（2）数列{b n}为等差数列，理由：b n+1﹣b n＝n﹣（n﹣1）＝1，则数列{b n}为首项为0，公差为1的等差数列；23．已知数列{a n}是等差数列，其公差d＞0，a2，a3是方程x2﹣8x+15＝0的两根．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}是等差数列，其公差d＞0，a2，a3是方程x2﹣8x+15＝0的两根，可得a2＝3，a3＝5，即有d＝a3﹣a2＝2，a1＝1，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．24．已知公差大于零的等差数列{a n}满足：a3a4＝48，a3+a4＝14．（1）求数列{a n}通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【解】：（1）由设公差为d＞0的等差数列及a3a4＝48，a3+a4＝14．所以，解得a3＝6，a4＝8，所以d＝a4﹣a3＝2，所以通项公式为a n＝a3+（n﹣3）d＝2n．（2）由（1）有，所以数列{b n}的前n项和．25．在等差数列{a n}中，已知a2＝3，a7＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，若S n＝，求n的值．【解】：（1）设公差为d的等差数列{a n}中，已知a2＝3，a7＝8．所以a7﹣a2＝5d＝5，解得d＝1，由于a2＝a1+d，所以a1＝2．故a n＝n+1．（2）由于a n＝n+1，所以，则＝，整理得，解得n＝10．26．在等比数列{a n}中，公比q∈（0，1），且满足a3＝2，a1a3+2a2a4+a3a5＝25．（1）求数列{a n}通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}前n项和为S n，当取最大值时，求n值．【解】：（1）a1a3+2a2a4+a3a5＝25，可得a22+2a2a4+a42＝（a2+a4）2＝25，由a3＝2，即a1q2＝2，①，可得a1＞0，由0＜q＜1，可得a n＞0，可得a2+a4＝5，即a1q+a1q3＝5，②由①②解得q＝（2舍去），a1＝8，则a n＝8•（）n﹣1＝24﹣n；（2）b n＝log2a n＝log224﹣n＝4﹣n，可得S n＝n（3+4﹣n）＝，＝，则＝3++…+＝n（3+）＝＝﹣（n﹣）2+，可得n＝6或7时，取最大值．则n的值为6或7．27．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足（1）求数列{a n}的通项公式及S n（2）设数列的前n项和为T n，若，求正整数n的取值范围【解】：（1）等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，满足，则a1+a2＝3a1，即a2＝2a1，可得q＝2，＝15，解得a1＝1，则a n＝2n﹣1，S n＝＝2n﹣1；（2）＝＝2n﹣2﹣n，则T n＝（2+4+…+2n）﹣（2﹣1+2﹣2+…+2﹣n）＝﹣＝2n+1+2﹣n﹣3，若，则2n+1+2﹣n＞，即为22n+1＞32，解得n＞2，则正整数n的取值范围为n≥3，n∈N*．28．设等比数列{a n}满足a1+a3＝20，a2+a4＝10，（Ⅰ）令T n＝a1a2a3…a n，求T n的最大值；（Ⅱ）令b n＝log2a n，求数列{a n b n}的前n项和S n．【解】：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，a1+a3＝20，a2+a4＝10，可得q＝＝，由a1+a1q2＝20，可得a1＝16，则a n＝16•（）n﹣1＝25﹣n（n∈N*）；1≤n≤4时a n＞1，n＝5时a n＝1，n≥6时，0＜a n＜1，则n＝4或5时，T n＝a1a2…a n最大值为16×8×4×2＝1024；（Ⅱ）b n＝log2a n＝5﹣n，a n b n＝（5﹣n）•25﹣n，前n项和S n＝4•24+3•23+…+（5﹣n）•25﹣n，S n＝4•23+3•22+…+（5﹣n）•24﹣n，相减可得S n＝4•24﹣23﹣22…25﹣n﹣（5﹣n）•24﹣n＝64﹣﹣（5﹣n）•24﹣n，化简可得S n＝96+（n﹣3）•25﹣n．29．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a2＝3，a1，a3，a7顺次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，得，即（3+d）2＝（3﹣d）（3+5d），解得d（d﹣1）＝0，∵d≠0，∴d＝1．∴a n＝a2+（n﹣2）×d＝3+（n﹣2）×1＝n+1．即a n＝n+1．（2）．∴T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝＝．30．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5＝18，S3+S5＝50．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝，其前n项和为T n，求T n．【解】（1）：设等差数列{a n}的公差为d，根据条件，可列出方程组：；解得：；故数列{a n}的通项公式为：a n＝3+（n﹣1）×2＝2n+1（2）解：由（1）可得，；∴＝＝．31．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）设正项等差数列{a n}的公差为d，则d＞0．∵S3＝12，即a1+a2+a3＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4．又2a1，a2，a3+1成等比数列，∴，即42＝2（4﹣d）•（4+d+1），解得d＝3或d＝﹣4（舍去），∴a1＝a2﹣d＝1，故{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣2，且．（II）由（I）知，∴，且，∴数列{b n}是以b1＝1为首项，为公差的等差数列，∴数列{b n}的前n项和为．32．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且为a2，a3的等比中项，a3+1为a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设b n＝a n+1+（﹣1）n，（n∈N*），数列{}的前项和为S n，求证：S n＜．【解】（Ⅰ）：由题意，，即，解得q＝2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，则，当n＝1时，＜；当n≥2时，．故S n＜．综上，S n＜．33．已知数列{a n}为等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a5＝5，S3＝6，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n ﹣2）b n+2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令，证明：c1+c2+…+c n＜2．【解】：（1）设首项为a1，公差为d的数列{a n}为等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且a5＝5，S3＝6，则：，解得a1＝d＝1，所以a n＝1+n﹣1＝n，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n﹣2）b n+2．①所以当n≥2时a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝（2n﹣2﹣2）b n﹣1+2．②，①﹣②得（2n﹣4）b n﹣1＝（n﹣2）b n，整理得，当n＝1时，b1＝2，所以．证明：（2）由于，所以，故：①，②，①﹣②得，解得T n＝2﹣＜2．34．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}都是递增数列，且满足a3＝b3＝5，a1a5＝9，b1+b5＝2a7（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b2n﹣1，求数列|c n|的前n项和S n【解】：（Ⅰ）设公差为d的等差数列{a n}满足满足a3＝5，a1a5＝9，所以（a3﹣2d）（a3+2d）＝9，解得d＝2．所以a n＝a3+2（n﹣3）＝2n﹣1．（Ⅱ）设公比为q的等比数列{b n}是递增数列，所以q＞1．由于b1+b5＝2a7，所以，由于b3＝5，解得，所以＝．所以c n＝b2n﹣1＝，所以，故．35．已知公差不为0的等差数列{a n}与等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设T n＝a1b n+a2b n﹣1+…+a n b1，求T n．【解】（1）设公差为d且不为0的等差数列{a n}与公比为q的等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3．故a n＝a1+（n﹣1）d，，所以，解得d＝1，q＝2．故．（2）由于，所以①，②①﹣②得：＝．所以．36．等差数列{a n}中，公差d≠0，a5＝14，a32＝a1a11．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【解】：（1）∵{a n}是等差数列，公差d≠0，a5＝14，，可得a1+4d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+10d），解得a1＝2，d＝3，所以{a n}的通项公式；a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣1；（2）b n＝＝＝（），数列{b n}的前n项和S n＝＝＝．37．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列b n的前n项和T n．【解】：（1）等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1，可得1+q+q2＝2（1+q）+1，解得q＝﹣1或q＝2，则a n＝（﹣1）n﹣1；或a n＝2n﹣1；（2）数列{a n}为递增数列，可得a n＝2n﹣1，数列{b n}满足，即为b n＝（2n﹣1）•（）n，前n项和T n＝1•+3•+…+（2n﹣1）•（）n，T n＝1•+3•+…+（2n﹣1）•（）n+1，相减可得T n＝+2（++…+（）n）﹣（2n﹣1）•（）n+1＝+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，化为T n＝3﹣（2n+3）•（）n；38．在等差数列{a n}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n，并证明T n＜．【解】：（1）等差数列{a n}的公差设为d，2a9＝a12+13，a3＝7，可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）证明：S n＝n（3+2n+1）＝n（n+2），＝＝（﹣），前n项和T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜．39．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4＝5a22，且S1，S3，S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1﹣a2b2+a3b3﹣…+（﹣l）n+1a n b n＝10n﹣n2（n∈N*），记数列{b n}的前n项和为T n，求T n的最大值．【解】：（1）由S1，S3，S2成等差数列，得2S3＝S1+S2，∴a2+2a3＝0，即q＝﹣．由S4＝5a22，得，则．∴；（2）由a1b1﹣a2b2+a3b3﹣…+（﹣l）n+1a n b n＝10n﹣n2（n∈N*），可知n＝1时，a1b1＝9；当n≥2时，（﹣l）n+1a n b n＝（10n﹣n2）﹣[10（n﹣1）﹣（n﹣1）2]＝11﹣2n，将n＝1代入得a1b1＝11﹣2＝9成立，∴（﹣l）n+1a n b n＝11﹣2n，则．当n≤5时，b n＞0，当n≥6时，b n＜0．∴（T n）max＝T5＝166．40．已知等差数列{a n}满足a1＝1，a3+a5＝8．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解】：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，a1＝1，a3+a5＝8．可得2a1+6d＝8，即2+6d＝8，解得d＝1，可得；（Ⅱ），．。