第四章解析数的级数表示

第四章 解析函数的级数表示

4.1.下列序列是否有极限?如果有极限，求出其极限。

（1）1n

n z i n =+；（2）!n n n n z i n =（3）n

n z z z ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

；

解：

（1）当n →∞时，n i 不存在极限，故n z 的极限不存在。 （2） ()!

||0n n

n z n n =

→→∞,故lim 0n n z →∞=。

（3）n

n z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭

=22||n n z z （令i z re θ

=）=222n i n n

r e r θ=cos2sin 2n i n θθ+，n →∞时，cos 2,sin 2n n θθ的极限都不存在，故n

n z z z ⎛⎫

= ⎪⎝⎭无极限。

4.2.下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

（1）112n n i n ∞

=⎛⎫

+ ⎪⎝⎭∑；（2）1!n n i n ∞=∑；（3）()0

1n n i ∞

=+∑。

解：

（1）因1111n n n n ∞

∞===∑∑发散。故112n n i n ∞=⎛⎫

+ ⎪⎝⎭∑发散。

（2）111

||!!

n n n i n n ∞

∞

===∑∑收敛；故（2）绝对收敛。

（3）(

)4

lim 1lim

0n n

i n

n n i e

π

→∞

→∞+=→不成立，故发散。

4.3.试证级数()1

2n

n z ∞

=∑当1

||2

z <

时绝对收敛。 证明： 当1||2z <

时，令1||2

z r =<， ()|2|2||1n

n n z z =<，且()()|2|21n

n

z r =<。

()

1

2n

n r ∞

=∑收敛，故()1

2n

n z ∞

=∑绝对收敛。

4.4.试确定下列幂级数的收敛半径。

（1）1

1n n nz ∞

-=∑；（2）2111n n n z n ∞

=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；（3）()1

1!n

n n z n ∞

=-∑

。 解： （1）11

lim |

|lim 1n n n n c n c n

+→∞

→∞+==，故1R =。 （2

）1lim 1,n

n n n e n →∞⎛⎫

==+= ⎪⎝⎭

故1R e =。 （3）()1!1

lim |

|lim lim 01!

1n n n n n c n c n n +→∞

→∞→∞===++，故R =∞。 4.5.将下列各函数展开为z 的幂级数，并指出其收敛区域。

（1）3

1

1z +；（2）1(0,0)()()a b z a z b ≠≠--；（3）()

2211z +；（4）chz ；（5）2sin z ；（6）1

z

z e -。

解：

（1）311z +=()311z --=()()3300

1n

n n n n z z ∞∞

==-=-∑∑，原点到所有奇点的距离最小值为1，故||1z <. (2)

1111()()z a z b a b z a z b ⎛⎫=- ⎪-----⎝⎭()a b ≠=111b a a z b z ⎛⎫

- ⎪---⎝⎭

=

111

11z z b a a b a b ⎛⎫

⎪ ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭=11001n n n n n n z z b a a b ∞∞

++==⎛⎫- ⎪-⎝⎭∑∑,||1z a <,且||1z b <， 即||min{||,||}z a b <。 若a b =则

1

()()

z a z b --

()

2

1

11z a a z z a ''⎛⎫⎛⎫=

=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

-=

()11111

1/n n n n n n z z a z a a a ∞∞++=='''⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

⎝⎭∑∑=

1

1

1,||||.n n n nz z a a

-∞

+=<∑

（3）

()

2

21

1z +

()220111212n n z z z z ∞=''⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

∑()21

11122n n n nz z ∞-==--∑()12211,|| 1.n n n nz z ∞

--==-<∑ （4）101()22!!z z n n n n e e z z chz n n -∞∞==⎛⎫+-==+ ⎪⎝⎭∑∑()21,||.2!

n n z z n ∞==<∞∑ （5）()()()2

0211cos 211sin 2222!n

n

n z z z n ∞=--=

=-∑()()1121,||22!

n

n n

n z

z n ∞=-=-<∞∑ （6） 令()1

,(0)1,z

z f z e

f -==

()1

1

211(1)z z z z z f z e

e z z --'⎛⎫⎛⎫'==- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()

()()2

1,011f z f z '=-=-- ()()

()()

()

()3

4

2

,011f z f z f z f z z '''''=-=--- 1 ()()

()()

()

()

()

4

3

2

46

111f z f z f z f z z z z '''-'''=

+

-

---，()01f '''=

M

()23

1.2!3!

z z f z z =----L

1为()f z 的唯一奇点，原点到1的距离为1，故收敛半径 1.R < 4.6.证明对任意的z ，有|||||1|1||.z z z e e z e -≤-≤

证明： 因为0,||!n z

n z e z n ∞

==<+∞∑所以||011|||1||1|||1!!!

n n n z

z n n n z z z e e n n n ∞∞∞

===-=-=≤=-∑∑∑

又因为：

||11

1||||||2!!

z n e z z z n -=+

+++L L =111||1||||2!!n z z z n -⎛

⎫

++++ ⎪⎝⎭

L L

21||1||||2!z z z ⎛

⎫≤+++ ⎪⎝

⎭

L

=||

||.z z e