实数和向量的积 - 360文档中心

6向量的坐标表示教案(1)

教学方法
引导探究，讲练结合
学习要点及自主学习导引
学习心得
一．学生活动：
1．平面向量的基本定理：_________________________________________；
2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？
二．建构知识
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与轴、轴方向相同的_________ ，作为_______，
对于任一向量，，（），实数对_______
叫向量的_______，记作．
其中叫向量在_____轴上的坐标，叫向量在____ 轴上的坐标。
说明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；
（2）相等的向量的坐标也_________；
课题
2.3.1平面向量基本定理
编号
6
学习目标
1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的
关系来用坐标表示；
3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
教学重点、难点
1．平面向量的坐标运算；
2．对平面向量的坐标表示的理解。
4.实数与向量的积的坐标：
已知和实数，求
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的
相应____________。
三．典例探究
例1如图，用基底，分别表示向量
、、、，并求出它们的坐标。
例2已知，，求，，的坐标．
例3.已知，，，且，求，
例4．（1）已知向量与相等，其中，，则；
（3），，；（4）从原点引出的量的坐标___________

向量积

数量积又称内积，记做a·b，结果是一个实数，大小为|a|·|b|·cos<a,b>
向量积又称外积，记做a×b，结果是一个向量，这个向量的模长为
|a|·|b|·sin<a,b>,方向与a,b都垂直（垂直于a,b所确定的平面），与a,b 成右手系。

向量积又称“外积”、“叉积”。

两向量a与b的向量积是向量，用c=a×b表示。

其长度等于以a、b为边的平行四边形的面积(图中阴影部分)，
即｜c｜=｜a×b｜=｜a｜·｜b｜sinθ(0≤θ≤π)；
方向垂直于与，而且c、b、a三向量成右手系(用右手的拇、食、中三手指分别表示)。

向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。

若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。

若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a∥b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

8.0.2实数与向量的乘积(附录2)

一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 可以验证，向量数乘满足下面的运算律: 设 , R ①
( a) ()a
(a b) a b （分配律）
② ( )a a a（分配律）
③
例1.计算： (1) (3) 4a 12a (2) 3(a b) 2(a b) a 5b
例5. 对于任意两个非零向量a, b 已知 OA 4b ，求
解：AB OB OA b 证
A, B, C 三点共线.
C
B A
AC OC OA 3b AC 3AB AC ∥ AB
O
一般地, A, B, C三点共线
The Vector Multiplied by a Real Number
一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 定义：实数和向量 a 的乘积是一个向量记作 a ，它的长度与方向规定如下： (1) | a | | || a |
0 时， a 与 a 同方向 (2) a(a 0) 的方向 0 时， a 与 a 反方向 0 时， 0a 0 ；
. .
1 a0 a a 1 b0 a a
例 3．在 ABC 中，G 是中线 AD, BE 的
交点，若 AB a , AC b ，试用 a , b 表示 BC, AD, AG, CG
A
a
G B
D
b
E
C
例4.已知P 1P 3PP2 ,
1若 P1P2 P2 P, 则
.
2若 P2 P1 P1P, 则
.
二、向量平行的条件平行向量基本定理
（1）非零向量 a , b ，若 a b ，则 a // b ；

6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套课件(人教A版2019必修第二册)

课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没
有意义的．
2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，
→ → →→
→→
若AB＝λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，
这是证明三点共线的重要方法．
D．2a－3b
解析: A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
3.在△ABC 中，若A→B＋A→C＝2A→P，则P→B等于( )
A．－12A→B＋32A→C
B. 12A→B－32A→C
√C. 12A→B－12A→C
D．－12A→B＋12A→C
解析：由A→B＋A→C＝2A→P得A→P＝12(A→B＋A→C)，所以P→B＝P→A＋A→B＝－12(A→B＋A→C) ＋A→B＝12A→B－12A→C.
总结
1.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． 2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共点 A，从而 A， B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
二．向量共线定理 1.向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa ．
注意： (1)定理中，向量 a 为非零向量 (2)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可． (3)由定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线．又A→B，A→C有公共点 A，从而 A，B， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
由O→D＝O→A＋O→B＝a＋b，得O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b.

实数与向量的乘积

实数与向量的乘积可以改变向量的大小和方向，从而实现向量的缩放、旋转等操作。
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性质，如结合律、分配律等，这些性质使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS

两向量向量积的定义

两向量向量积的定义向量积，也被称为叉乘或矢积，是在三维空间中用来定义一个新向量的运算。

现在，我们将详细介绍向量积的定义和性质。

两个三维向量可以通过叉乘来生成一个新的向量。

设有两个向量a和b，它们的向量积可以用符号"×"表示，即a × b。

叉乘的结果是一个新的向量c。

向量积的定义如下：a ×b = (a2b3 - a3b2)i + (a3b1 - a1b3)j + (a1b2 - a2b1)k其中，i、j、k分别表示坐标轴的单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3是向量a和b的分量。

向量积的定义可以理解为，新向量c的方向垂直于向量a和b所在的平面，同时满足右手定则：将右手的指尖从向量a旋转到向量b，则大拇指所指的方向就是向量c的方向。

向量c的模的大小等于a和b所构成的平行四边形的面积。

另外，向量积还有以下性质：1. 叉乘满足反对称性：a × b = - ( b × a)。

这意味着向量积的结果与向量的顺序有关，交换向量的位置会改变结果的方向。

2. 向量积满足分配律：a × (b + c) = a × b + a × c。

这说明向量积在向量加法上满足分配律，可以先进行向量积运算，然后进行向量加法运算。

3. 叉乘满足线性性质：(ka) × b = a × (kb) = k(a × b)，其中k为实数。

4. 如果向量a和b夹角为θ，则向量积的模的大小为|a × b| = |a| |b| sinθ。

这个公式可以通过平行四边形法则或三角形面积公式推导得出。

5. 当向量a与向量b平行时，它们的向量积为零向量：a × b = 0。

通过向量积，我们可以计算出两个向量的垂直向量，从而应用于很多领域，例如物理学中的力矩计算、计算机图形学中的向量旋转等。

由于向量积的定义和性质都比较直观，因此在几何学和物理学中得到广泛应用。

实数与向量相乘

实数与向量‎相乘1.实数与向量‎相乘的意义‎一般的，设为正整数‎n ，a 为向量，我们用表示‎ann 个a 相加；用表示个相‎a n -n a -加.又当为正整‎m 数时，a m n 表示与同向‎a 且长度为的‎a mn 向量. 要点诠释：设P 为一个‎正数，P 就是将的‎a a 长度进行放‎缩，而方向保持‎不变；—P 也就是将‎a a 的长度进行‎放缩，但方向相反‎. 2.向量数乘的‎定义一般地，实数与向量‎k a 的相乘所得‎的积是一个‎向量，记作ka，它的长度与‎方向规定如‎下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a = ；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka = ，ka 的方向任意‎.实数与向量‎k a 相乘，叫做向量的‎数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结‎果是一个与‎已知向量平‎行（或共线）的向量；（2）实数与向量‎不能进行加‎减运算；（3）ka表示向量的‎数乘运算，书写时应把‎实数写在向‎量前面且省‎略乘号，注意不要将‎表示向量的‎箭头写在数‎字上面；（4）向量的数乘‎体现几何图‎形中的位置‎关系和数量‎关系. 3.实数与向量‎相乘的运算‎律设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘‎对于实数加‎法的分配律‎）；（3）m （+b ）=m a a mb +（向量的数乘‎对于向量加‎法的分配律‎）4.平行向量定‎理（1）单位向量：长度为1的‎向量叫做单‎位向量. 要点诠释：任意非零向‎量与它同方‎a 向的单位向‎量0a 的关系：0a a a = ，01a a a=.（2）平行向量定‎理：如果向量与‎b 非零向量平‎a 行，那么存在唯‎一的实数m ，使b ma =.要点诠释：（1）定理中，bm a =，m 的符号由与‎b a 同向还是反‎向来确定.（2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0=，此时可以取‎m 任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的‎判定定理：a 是一个非零‎向量，若存在一个‎实数m ，使b m a =，则向量与非‎b 零向量平行‎a .（4）向量平行的‎性质定理：若向量与非‎b 零向量平行‎a ，则存在一个‎实数m ，使b ma =.（5）A 、B 、C 三点的共‎线若存在实‎⇔AB//BC ⇔数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性‎运算 1.向量的线性‎运算定义向量的加法‎、减法、实数与向量‎相乘以及它‎们的混合运‎算叫做向量‎的线性运算‎. 要点诠释：（1）如果没有括‎号，那么运算的‎顺序是先将‎实数与向量‎相乘，再进行向量‎的加减. （2）如果有括号‎，则先做括号‎内的运算，按小括号、中括号、大括号依次‎进行． 2.向量的分解‎平面向量基‎本定理：如果是同一‎12,e e 平面内两个‎不共线（或不平行）的向量，那么对于这‎一平面内的‎任一向量a ，有且只有一‎对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.要点诠释：（1）同一平面内‎两个不共线‎（或不平行）向量叫做这‎12,e e 一平面内所‎有向量的一‎组基底.一组基底中‎，必不含有零‎向量．(2) 一个平面向‎量用一组基‎底表示为形‎12,e e 1122a e e λλ=+ 式，叫做向量的‎分解，当相互垂直‎12,e e时，就称为向量‎的正分解.每家都会装‎修，我们可以用‎一根电线将‎一盏电灯吊‎在天花板上‎，为了保险我‎们也可以用‎两根绳将这‎盏电灯吊在‎同一位置。

实数与向量相乘

实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释：（1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。

2021年数学向量知识点10篇

2021年数学向量知识点10篇数学向量知识点1数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。

当0时，a与a同方向;当0时，a与a反方向;当=0时，a=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数，都有a=0。

注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。

实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的∣∣倍;当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的∣∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(a)b=(ab)=(ab)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(+)a=a+a.数对于向量的分配律(第二分配律)：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律：①如果实数0且a=b，那么a=b。

②如果a0且a=a，那么=。

数学向量知识点21、平面向量基本概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B 为终点的有向线段记作或AB；向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。

（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。

相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

2、平面向量运算加法与减法的代数运算：（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）则ab=（x1+x2，y1+y2）。

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律：+=+（交换律）；+（+c）=（+）+c （结合律）；实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。

高一数学实数与向量的积人教版知识精讲

高一数学实数与向量的积人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：实数与向量的积二. 重点、难点：1. 实数与向量的积的定义和运算律2. 向量共线的充要条件3. 平面向量的基本定理【典型例题】[例1] 设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知：212e K e +=，213e e +=，212e e -=，若A 、B 、D 三点共线，求实数K 的值。

解：2121214)3()2(e e e e e e -=+--=-=由三点A 、B 、D 三点共线等价于向量与共线，由向量共线的充要条件知，存在实数λ，使得λ=，即2121214)4(2e e e e e K e λλλ-=-=+[例2] 其中实数λ、证明：即令注：上述结论可推广为以下一段形式，对于0≠λμ，向量b a μλ+与b a μλ-共线的充要条件是与共线。

事实上，若与至少有一个为时，命题显然成立，下面对与均不为时加以证明。

充分性，由b a //，则存在唯一R t ∈，使b t a =，故t )(μλμλ+=+t )(μλμλ-=- 若0=-μλt ，则=-μλ，故b a μλ+与b a μλ-共线若0≠-μλt ，则)(b a t t b a μλμλμλμλ--+=+故μλ+与μλ-共线26 216131)(213121+=-+=+=+= b a 2161+=故-= 即与OF 共线于是MC t AB MP AM AP +=+=31)(31AM AC t a -+=b t a ta bt a +-=-+=)331()31(31 设NB s NP = 同理AB s AN s AP +-=)1(NB s AC NP AN AP +=+=41a s b s+-=)441(故有a s b s b t a t +-=+-)441()331( 由a 与b 不共线，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-441331s t s t解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==113112s t 所以b a AP 112113+=[例6] 已知点P 为ABC ∆内一点，且0543=++CP BP AP ，设a AB =，b AC =。

空间向量的积及应用

空间向量的积及应用空间向量的积是指对于三维空间中的两个向量，可以通过各个分量的乘积来得到一个新的向量，即向量的乘积。

空间向量的积有两种形式，一种是点积（内积），又称为数量积或标积；另一种是叉积（外积），又称为矢量积或向量积。

首先来介绍点积。

设有两个向量A和B，它们的点积可以表示为A·B，计算方法是将两个向量对应分量相乘再相加。

即：A·B = A1*B1 + A2*B2 + A3*B3其中，A1、A2、A3分别表示向量A的三个分量，B1、B2、B3分别表示向量B 的三个分量。

点积的结果是一个标量，也就是一个实数。

点积有一些重要的性质。

首先是交换律，即A·B = B·A，这意味着点积的结果与向量的顺序无关。

其次是分配律，即(A+B)·C = A·C + B·C，这意味着点积对向量的加法满足分配律。

另外，如果A·B = 0，那么A和B是正交（垂直）的，也就是说它们之间的夹角是90度。

点积在几何中有重要的应用。

它可以表示两个向量的夹角的余弦值。

具体来说，设A和B是两个非零向量，它们之间的夹角θ满足：cosθ= (A·B) / ( A B )其中，A 和B 分别表示向量A和B的模，即长度。

这个公式可以用来计算两个向量的夹角，也可以用来判断两个向量是否正交。

另一种形式的空间向量的积是叉积。

设有两个向量A和B，它们的叉积可以表示为A×B，计算方法是按照右手法则，求出一个新的向量，它的方向垂直于A和B所在的平面，大小与这个平面的面积成正比。

具体的计算方法为：A×B = (A2*B3 - A3*B2) i + (A3*B1 - A1*B3) j + (A1*B2 - A2*B1) k其中，i、j、k分别表示三维空间的单位向量，A1、A2、A3分别表示向量A的三个分量，B1、B2、B3分别表示向量B的三个分量。

实数与向量积及几何意义

实数与向量积及几何意义1.点积（内积）：点积，也称为内积或数量积，是两个向量的一个二元运算。

对于给定的两个n维向量A和B，其点积定义为：A·B=A1B1+A2B2+…+AnBn其中A1,A2,…,An和B1,B2,…,Bn表示向量A和B的分量。

点积有以下几个重要性质：（1）交换律：A·B=B·A；（2）分配律：(A+B)·C=A·C+B·C；（3）结合律：k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)其中k是一个实数；（4）A·A=，A，^2，其中，A，表示向量A的长度。

点积的几何意义是通过向量的长度和夹角来描述向量之间的关系。

具体来说，A·B是A和B的长度的乘积与它们之间的夹角的余弦的乘积。

特别地，当A·B=0时，表示向量A和B垂直或正交；当A·B>0时，表示向量A和B之间的夹角小于90度；当A·B<0时，表示向量A和B之间的夹角大于90度。

这个性质对于判断两个向量之间的几何关系非常有用。

2.叉积（外积）：叉积（也称为向量积、外积或叉乘）是两个向量的二元运算。

对于给定的三维向量A和B，其叉积定义为：A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)其中A1,A2,A3和B1,B2,B3表示向量A和B的分量。

叉积有以下几个重要性质：（1）反交换律：A×B=-B×A；（2）分配律：A×(B+C)=A×B+A×C(B×C)×D=(A×D)×(B×C)其中A,B,C和D是向量；（3）结合律：k(A×B)=(kA)×B=A×(kB)其中k是一个实数；（4）A×B=0当且仅当A和B共线。

叉积的几何意义是通过向量的长度和夹角来描述平面上的向量之间的关系。

实数与向量的积(2)

课题：实数与向量的积（2）教学目的：1 2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法； 3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向 2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ 5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：a +b =b +a9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =013．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa +λb14．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-251e +32e 作法：（1）取点O ，作OA =-251e =32e （2）作，OC 即为所求-251e +32e例2如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB ，MC 和MD解：在 ABCD 中， ∵AC =AB +AD =a +b ，DB =AB -AD =a -b∴MA =-21AC =-21(a +b )=-21a -21b ，MB =21DB =21(a -b )=21a -21b =21=21a +21b =-=-21=-21a +21b 例3已知的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE证明：∵E 是对角线AC 和BD 的交点∴AE =EC =-CE ,BE =ED =-DE在△OAE 中，OA +AE =OE同理 OB +BE =OE ， OC +CE =OE ，OD +DE =OE以上各式相加，得 OA +OB +OC +OD =4OE例4如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R)用OA ,OB 表示OP解：∵AP =t AB ∴OP =OA +AP =OA + t AB =OA + t(OB -OA )=OA + t OB -t OA=(1-t) OA + t OB四、课堂练习： 1设e 1、e 2是同一平面内的两个向量, A e 1、e 2 B 。

实数与向量的乘积2014

(1)( )a a a
(2) ( a) ( )a
(3) (a b ) a b
例1、如图所示，已知向量 a、 b 试画出下列向量。
(1) 2a; (2) 3b; (3) 2a 3b
a
b
例2、化简：
2(a 3b) 3(a b)
例3、填空
(1)已知平行四边形 ABCD 中, AC a,BD b, 则 AB _________, BC __________ (2)已知 ABC 中，D 是 BC 上的中点， AB a, AC b, 则 AD __________ (3)已知三角形 ABC 中, D 为 BC 中点, AC a,BC b,则 DA _________
实数与向量的乘积
一般地，对于正整数
n，
相同，
na 是一个向量，方向与 a 且 na n a 一般地，对于负整数 m ， ma 是一个向量，方向与 a 且 ma m a
相反，
1、实数与向量的乘积的定义一般地，实数与非零向量 a 的乘积是一个向量，记作 a a 的模和方向规定如下：
一般地: ( a ) ( ) a
a
a b
b
2(a b )
2(a b ) 2a 2b
2b
2a
一般地: ( a b ) a b
4、实数与向量乘法的运算律设、 R ，则
a、 b 是两个非零向量，
则 a 与 b 平行的充要条件是：存在非零实数，使得 b a 其中

b a
a
2a
5a 3a
(2 3)a 2a 3a

实数与向量积及几何意义.17页文档

一、实数与向量的积的定义：
实数与向a量的积是一个向量 a，它的长度和如方下向：规定
1aa
2当 0时 a 的，方 a 的向方与向当 0时 a ，的方 a 的向方与向
特当别 0 或 a 地 0 时 a 0 ， .，
归纳总结
二、设实a数,b与为向量任的积意的运向算、律：量为，
实数与向量积及几何意义.
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时当勉励，岁月不待人。
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
玛纳斯县一中
归纳总结
1a2e,b2e;
a=-b a,b共线
2 a e 1 e 2 ,b 2 e 1 2 e 2 .
a=-2b a,b共线
例题解析
例2. 如图,已知任意两个非零向量 a, b, 试作
O A a + b , O B a 2 b , O C a 3 b 你能判断
A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
课本 P91---92 9, 10, 11
再见！
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
C
解: ABOBOA
3b
a2bab b
B
ACOCOA
a3bab 2b
AC2AB
所以,A、B、C三点共线 a
2b
A
b

平面向量及运算法则

平面向量及运算法则1、向量：（1）概念：既有又有的量叫做向量（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素：、和；记为AB 或 a （3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a（4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量.（5）相等向量：的向量叫相等向量；（6）共线向量：的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则：加法法则：（1）平行四边形法则，要点是：统一起点；（2）三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从指向。

3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=04、向量的线性运算满足：（1）()a λμ=（2）(λμ+)a = （3）()a b λ+=5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一随堂练习1.给出下列命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②两个单位向量是相等向量； ③若a =b, b=c,则a=c ；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a |=|b |,则a =b 。

错误!未找到引用源。

若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线其中正确命题的个数是（）DBAA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( )A. B.C.FED.BE3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（） A ．+=AB BC CA B ．+=AB AC BC C ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（） A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+- D.NQ QP MN MP ++-5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形6、如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=31BC ，CN=31CD ．试用，表示OM ，ON ，．7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．OADBCMN变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ．求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．1．平面向量的基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a = （2）平面向量的坐标运算：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

三个向量点乘运算法则

三个向量点乘运算法则
向量点乘，也称为向量内积，是两个向量在空间中的数量积。

它表示的是两个向量在方向上的相似程度。

向量点乘的结果是一个标量，即一个实数。

二、向量点乘的公式
设向量a = (a1, a2, a3)和向量b = (b1, b2, b3)。

则向量a和向量b的点乘为a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。

三、向量点乘的运算法则
1.向量点乘满足交换律，即a·b = b·a。

2.向量点乘不满足结合律，即(a·b)·c ≠ a·(b·c)。

3.向量点乘可以用向量模长表示，即a·b = |a||b|cosθ，其
中θ为向量a和向量b的夹角。

4.向量点乘可以用向量投影表示，即a·b = a·b cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角，b cosθ为向量b在向量a上的投影。

以上是三个向量点乘运算法则。

掌握这些法则可以更好地理解向量点乘的概念和运算。

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