实数和向量的积

实数和向量的积

【基础知识精讲】

1.实数与向量的积的定义

实数λ与向量a 的积是一个向量，记λa ，它的长度与方向规定如下：

(1)｜λa ｜=｜λ｜·｜a ｜;

(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.

2.实数和向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμ

(2)(λ+μ) =λ+μ

(3)λ(+)=λ+λ

3.两个向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λ.

4.平面向量基本定理 如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使：

=λ11e +λ22e 其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.

(2)上面分解是唯一的.

向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.