量子算法

n
1,2,, n
(1.1-27)
利用量子的某一状态表示信息时，我们就说信息量子化了 并称为量子信息
由于信息载体（量子）的微观特性，量子信息就变的多姿多彩。 这些微观特性主要表现在： ① 量子态相干性：微观系统中量子间相互干涉的现象成为量子信息诸多不 可思议特性的重要物理基础； ② 量子态纠缠性：N(大于1)个量子在特定的(温度、磁场)环境下可以处于 较稳定的量子纠缠状态，对其中某个子系统的局域操作会影响到其余子系统 的状态； ③ 量子态叠加性：量子状态可以叠加，因此量子信息也是可以叠加的，所 以可以同时输入和操作N个量子比特的叠加态； ④ 量子不可克隆定律：量子力学的线性特性确保对任意量子态无法实现精 确的复制，量子不可克隆定律和测不准原理构成量子密码术的物理基础。
（1）信源编码定理也称无噪编码定理或香农第一编码定理，定量的 给出了用于存储从信源发出信息所需要的物理资源；
（2）信道编码定理也称含噪编码定理或香农第二编码定理，定量的 给出了有噪声的信道能可靠传输信息的量。
量子信息学 ——
一门新兴的、以量子力学与经典信息学理论为主干的 交叉性学科。
信息学 量子 信息学 量子力学
量 子 通 信 量 子 隐 形 传 态 量 子 密 钥 分 发 量 子 计 算 机
量 子 计 算 量 子 算 法
量子信息与量子计算的基本概念
§ 1.1 量子信息
§ 1.2 经典解读 § 1.3 量子逻辑门（量子逻辑电路）简介 § 1.4 图灵机、经典计算机与量子计算机 § 1.5 有关量子信息编码的基本概念
用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。 用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。 用量子比特存储量子态表示信息是量子信息的出发点。量
子力学理论描述量子信息演绎的行为。薛定谔方程制约着量子
态信息的每一步演变，线性代数的幺正变换约束着可逆的量子 态信息计算；量子信息的传输是由量子通道端点上量子纠缠集 合状态的变化（微观客体的关联具有非局域的性质，且可以延 伸到很远的距离），结果信息的获取便是在得到输出态之后， 量子计算机对输出态进行一定的测量后给出的结果。
信宿
1. 2.
信源 — 产生消息和消息序列的源 编码器 — 把信息转化为信号的设备 （1）信源编码器：提高信息传输的效率
（2）信道编码器：提高信息传输的可靠性
3. 4. 5. 信道 — 通信系统把载荷消息的信号从甲地传输 到乙地的媒介 译码器 — 对信道输出的编码信号进行逆变换的 设备 信宿 — 消息传送的对象
激光控制原子
§ 2.1 经典比特、量子比特及其叠加状态

记述经典信息的二进制存储单元称为经典比特(bit)，经典比特由经典 状态的1和0表示 记述量子信息的基本存储单元称为量子比特( qubit ) ，一个量子比特
◆围绕单一原子自旋的电子的两个状 态（如图1.1-1）等。
图1.1－1 具有两个电子层面的原子可以表示量子信息 Quantum represented by two electronic levels in an atom
三、量子信息的基本存储单元及其特性
经典信息的基本存储单元—— 比特（ bit ），可以由经典状态1和0（如电 压的高低）表示。 量子信息的基本存储单元——量子比特( qubit ) ，一个量子比特的状态是 一个二维复数空间的向量，它的两个极化状态 0 和 1 对应于经典状态的 0和1。
微观粒子的波函数也可用Dirac符号表示，即复矢量空间的右矢 也可用于 表示波函数。
叫做态矢量，它可以用n维复矢量空间的列矢量表示:
a1 a 2 an
a1 , a2 ,, an
为坐标矢量r,时间t 和自旋S的函数
(1.1-3)
利用Dirac符号，两个量子态 和 的叠加态可以表示为：
I i i
i
从而，态矢量 可以表示成基矢 i 的线性组合
i i
i
(1.1-8)
其中，基矢 i 满足正交、归一条件
i j ij
各种可观测量叫做作用于波函数上的算符。
(1.1-9)
任何一个物理量算符A的期待值或平均值为：
A A * r , t A r , t dr
(1.1-20)
或者
(1.1-21)
得到
a b
1 ( z z ) 2
(1.1-22)
从而有
x
(1.1-23)
由式(1.1-19)和式(1.1-23)很容易验证两个本征矢的正交性
x x 0
(1.1-24)
二、 量子信息
利用微观粒子状态表示的信息称为量子信息
量子信息的载体可以是任意两态的微观粒子系统。 微观粒子系统举例： ◆光子具有两个不同的线偏振态或 椭 圆偏振态； ◆恒定磁场中原子核的自旋； ◆具有二能级的原子、分子或离子；
a x a z b z b
(1.1-14)
由 x 的归一化条件可得
x x a b 1
2 2
(1.1-15)
由 Pauli 矩阵
x的本征值方程
x x x
(1.1-16)
即
0 1 a b a 1 0 b a b
0 1
(1.1-11)
1 自旋 的粒子的自旋角动量算符可以表示为： 2
1 S 2
(1.1-12)
因为态矢量 和 均为二分量，自旋角动量算符应为2×2矩阵。 式（1.1-12）中2×2矩阵 的x,y,z的分量分别为:
0 1 x 1 0
c1 c2
右矢量的复共轭矢量叫做左矢量，n维左矢量可以表示为：
(1.1-4)

波函数满足归一化条件：
a , a , , a
† * 1 * 2 * n
(1.1-5)
1
n维矢量空间中单位矩阵可以用任意的、构成完备系的基矢
(1.1-6)
i
表示： (1.1-7)
量子计算机 —— 一类遵循量子力学规律存储量子信息、实现量子计算的物理装置。 当某个装置处理和计算的是量子信息，运行的是量子算法时，它就是量 子计算机。 经典计算机特点 量子计算机特点
（A）经典计算机输入态和 输出态都是经典信号；
（A）量子计算机的输入态和输出 态为一般的叠加态，其相互之间 通常不正交； （B）量子计算机中的变换为所有 可能的幺正变换。得出输出态之后， 量子计算机对输出态进行一定的测 量，给出计算结果。
Pauli 自旋矩阵
0 i y i 0
z 0 1
1
0
(1.1-13)
【例 1.1-1】试用自旋算符S 2 ，s z 的本征态 和 表示 s x 的本征态。
1 1 1 s 解 设 s x 的本征值为 和 的本征态分别记作 x 和 x ， 的本征值为 z 2 2 2 1 和 的本征态分别记作 z 和 z 。将 x 用 s z 的本征态 z 和 z 展开，则 2
§ 1.1 量子信息
一、 量子力学基础
1. 量子
现代物理将微观世界中所有的微观粒子（光子、电子、原子等） 统称为量子。 量子假说：对于一定频率 的电磁辐射，物体只能以此最小单位 吸收或发射它，换言之，吸收和发射电磁辐射只能以“量子”方式进 行，每个“量子” 的能量可以表示为:
h
式中h 为普朗克常数。
物理量A的测量值必须为实数
(1.1-10)
3. 自旋1/2体系的量子态
1 自旋 2 的粒子在z轴方向的投影只有自旋向上和向下两种可能，因此可自 1 旋 的粒子的状态可用二分量矢量来表示。朝z轴正向的自旋（自旋向上） 2 态 和朝 可用列矢量表示 : z轴负向的自旋（自旋向下）态
1 0
量子计算机是一种遵循量子力学规律，进行高速运算、存储及处理量 子信息的物理装置，其运行的是量子算法，处理速度惊人，比传统计 算机快数十亿倍。
囚禁原子是原子物理学的一种新的实验平台，研究人员可 以用此方法自由操纵单个原子，此步奏完成后，就可以开 始冷却原子。可以说，囚禁原子是量子计算机的通用方案。
冷冻原子
(1.1-17)
得到
ab
1 ，因此最后得到 2
(1.1-18)
再利用式（1.1-15）得到 a b
s的自旋向上的本征态： x
(1.1-19)
x
1 ( z z ) 2
对于 x ，利用
x x x
0 1 a b a 1 0 b a b
量子算法
目录
• 量子计算理论 • 量子神经计算 • 量子神经网络模型 • 量子遗传算法
绪论
信息学理论 ——
研究信息的产生、存储、加工、传播等行为的科学理论
信源 消息
编码器 信号
信道 信号+干扰 干扰 噪声源
译码器 消息
信宿
通信系统的理论模型
信源 消息
编码器 信号
信道 信号+干扰 干扰 噪声源
译码器 消息
（B）经典计算机内部的每 一步变换都将正交态演化 为正交态。
通用图灵机是不可逆的。但Bennett 证明了，所有经典不可逆的计 算机都可以改造为逆计算机，而不影响其计算能力。 量子计算机的概念源于对可逆计算机的研究！！！
a b

ab
a b

ab b
图1.4-1 不可逆异或门改进为可逆异或门
D-WAVE量子计算机
(1.1-1)
2. 态矢量
描述微观粒子在三维空间运动的波函数ψ可以用坐标矢量 r = (x,y,z)和时
间t的复函数ψ（r,t）来表示。粒子的波函数也叫做几率幅，其模的平方 表示在时刻t粒子出现在位置r上的几率密度。
(r , t ) * (r , t ) (r , t )
2
(1.1-2)
二、量子计算机
1. 量子计算机概念的出现
◆ 量子信息理论的研究起始于二十世纪七十年代的光量子通信研究。
◆ 二十世纪八十年代初，计算机科学的研究领域里就出现了量子计 算机的概念。
◆ 在进入九十年代之后由E.Bernstein 和U.Vazirani俩位对量子计算 机在数学上给予严格的形式化描述
2. 量子计算机与可逆计算
§ 1.2 经典解读
一、 薛定谔猫和EPR佯谬
1. 薛定谔猫
薛定谔猫的实 验装置巧妙地 将微观放射源 和宏观的猫联 系起来
2. EPR佯谬
爱因斯坦 (A.Einstein ) 波多尔斯基 (B. Podolsky) 罗森 (N. Rosen)
量子力学 是否自洽 是否完备
玻尔
“EPR佯谬” 思想实验
1 0 0
0 1 1
(1.1-25)
一个量子比特能够处于既不是 0 又不是 1 的状态上，而是处于 0 和 1 的一个线性组合的所谓中间状态之上，即处于 0 和 1 的叠加态上。
a 0 b 1
n个量子比特的状态：
(1.1-26)
1 2
处理单元：可以想象成一个读写头（Head）
控制单元
Tape
0
1
2
3
4
5
„ „
Head q0
TM运算过程
0 Tape
1
2 a
3
4
5
„ „
Head
q0
0 Tape
1
2 b
3
4
5
„ „
Head
q1
TM正式定义 ：
M = (Q, , )
有限状态集 有限带符号集 转移函数
磁带上空白用#或B表示 转移函数 : Q Q { L,R,N }
这场争论的本质—— 真实世界是遵从爱因斯坦的居于实在论，还是玻尔的非局域理论？ 判定这场战争的依据—— 基于爱因斯坦的隐参数理论推到得到的贝尔不等式
§ 1.4 图灵机、经典计算机与量子计算机
一、图灵机与经典计算机
经典计算机实际上就是一个通用图灵机（Turing-machine，简称TM） 图 灵 机 的 基 本 模 型 记忆单元：可以想象ຫໍສະໝຸດ Baidu一条磁带（Tape）
1928年哈特来（R .V. L . Hartley）首先提出了“信息”这一概念。 1948年控制论创始人维纳（N . Wiener）指出“信息是信息，不是物质，
也不是能量”。
1948年香农（C . E . Shannon）对信息及其行为进行了定性和定量的描述。
香农给出了两个著名的基本定理：