《直线的方程点斜式》优质课比赛教案

直线的方程——点斜式1.教材分析从研究直线方程开始，学生对“解析几何”的学习进入了实质性阶段，“直线与方程”关系的研究，是“曲线与方程”的关系研究的前奏和基础，所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何”教学的效果.刚刚接触“解析几何”的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何”的实质，而本节课则以比较浅显的问题开启了“解析几何”学习的先河，他们可渐渐地逐步深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系，进而可理解“两个独立条件确定一条直线”这个本质规律，从而自然地构建出本节课研究的内容.两种直线方程形式中的关键字“点、斜”与“斜、截”分别是“两个独立条件”的高度概括，是对直线方程特征的本质提炼.这些都是“解析几何”，乃至全部数学内容的精髓，引导学生深刻理解、熟练掌握这些，对于提高他们的数学素养大有裨益.贯穿“解析几何”始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性质，而本节课则以简单问题为载体，揭示了解决这个问题的基本方法和步骤，为进一步解决后继的问题打下了坚实的基础.“解析几何”中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课则以生动的具体事例有效地促进学生树立、巩固和熟练应用这些数学思想.教学是以发展学生的数学思维为重要目标，本节课则在优化数学思维的多种特征上有着独特的功能.综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着今后高中数学教学的成败.2.教学目标2.1 知识与技能(1)知道由一个点和斜率可以确定一条直线，探索并掌握直线的点斜式、斜截式方程；(2)能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并能化为一般式.2.2 过程与方法(1)让学生经历知识的构建过程，培养学生观察、探究能力；(2)使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系，渗透数形结合等数学思想.2.3 情感态度与价值观(1)使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；(2)利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣.3.教学重点与难点教学重点：直线的点斜式方程.教学难点：对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解.4.教学方法(1)教师为主导，学生为主体，师生互动为主线.(2)通过创设问题情境，引导学生观察、比较、转化、抽象来实现直线的点斜式教学，同时渗透数形结合等数学思想.5.教学过程5.1 问题情境（了解数学）问题1 (1)若同学小李说，有一条铁路经过徐州市，你能知道这条铁路的具体位置吗？(不知道，因为不知道这条铁路的方向)(2)若同学小王说，有一条铁路是正南正北方向，你能知道这条铁路的具体位置吗？(不知道，因为不知道这条铁路经过哪座城市)(3)若同学小张说，有一条铁路经过徐州市，且是正南正北方向，你能知道这条铁路的具体位置吗？(知道了)问题2 (1)过已知点A (−1，3)的直线有多少条？（无数条）(2)斜率为−2的直线有多少条？（无数条）(3)过已知点A (−1，3)，且斜率为−2的直线有多少条？（一条）问题3 确定一条直线需要几个独立条件？你能举例说明吗？学生可能的回答：(1)已知直线上的一点和直线的方向(斜率或倾斜角)；(2)已知直线上的两个点),(),,(222111y x P y x P .问题4 若),(),,(222111y x P y x P (x 1≠x 2)，则直线21P P 的斜率为 .若x 1=x 2，则直线21P P 的斜率 .5.2 学生活动（体验数学）探究：若直线l 经过点A (−1，3)，斜率为−2，点P 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(x ，y )应满足什么样条件?当点P (x ，y )在直线l 上运动时，点P 与定点A (−1，3)所确定的直线的斜率等于−2，故有2)1(3-=---x y ， （1） 即y −3= −2[x −(−1)]， （2）即2x +y −1=0. （3）问题5 点A （-1，3）的坐标满足上述各方程吗？答：方程（1）中x ≠-1，丢掉了点A ；方程（2）及（3）中x =-1，补上点A .问题6 直线l 上任意一点的坐标与方程（2）(或（3））的解有什么关系？答：当点P 在直线l 上运动时，其坐标（x ，y ）满足2x +y −1=0．反过来，以方程2x +y −1=0的解为坐标的点都在直线l 上．5.3 数学理论（建构数学）直线的点斜式方程:一般地，设直线l 经过点),(111y x P ，斜率为k ，直线l 上任意一点P 的坐标为(x ，y ). 当点P (x ，y )在直线l 上运动时，1PP 的斜率恒等于k ，即k x x y y =--11，（1x x ≠，除点1P 外）(丢掉了点P 1) 即)(11x x k y y -=-，（,1x x =包括点1P ）(补上点P 1)(比较重要的内容)方程)(11x x k y y -=-叫做直线的点斜式方程. (“点”和“斜”是两个独立条件的浓缩概括，一个极为传神精准的命名)说明：(1)可以验证，直线l 上的每个点（包括点1P ）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上；(2)当直线l 与x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为l 上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x =．当直线l 与y 轴垂直时，斜率为0，其方程能用点斜式表示.但因为l 上每一点的纵坐标都等于1y ，所以它的方程是1y y =，实际上可写为y -y 1 =0(x -0).特别地，x 轴、y 轴所在的直线的方程分别为y =0和x =0.问题7 这两个方程是否是直线的点斜式方程？（此问目的：加深对直线的点斜式方程的理解)5.4 数学应用（巩固数学）例1.(1)经过点P （2，-3），且与x 轴垂直的直线的方程为 .(2)经过点P （2，-3），且与y 轴垂直的直线的方程为 .(3)已知直线经过点P (−2，3)，斜率为2，求这条直线的方程．解：(3)由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y −3=2(x +2)，即2x −y +7=0.例2（课本P.71例2）已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是P （0，b ），求直线l 的方程.解：由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y −b =k (x −0)，即y =kx +b .5.5 数学理论（建构数学）直线的斜截式方程:方程y =kx +b 叫做直线的斜截式方程. (“斜”和“截”又是两个独立条件的浓缩概括，又一个极为传神精准的命名)问题8 由直线的斜截式方程可以联想到我们学习过的哪类函数？说明：(1)直线的斜截式方程是直线点斜式方程的一种特殊情况，即给出了直线与y 轴交点的纵坐标，从而给出了交点坐标(0，b )；(2)直线的斜截式方程、点斜式方程适用范围：直线的斜率存在；(3)直线的斜截式方程y =kx +b 与一次函数的表达式y =kx +b 虽然有着相同的“面孔”，但有着本质的区别，前者的k 可以为0，后者的k 却不可为0.即集合｛一次函数的y =kx +b 的图象｝是集合｛斜截式方程y =kx +b 表示的直线｝的真子集.(4)直线的斜截式方程y =kx +b 中的“b ”及直线“在y 轴上的截距”，也叫“纵截距”.名称中虽然有个“距”字，但这里的“b”却既可以为正、为负，也可以为0.但距离是恒为非负的，所以有“截距非距”之说.(5)如何记忆这两类直线方程？(“斜率公式→点斜式→斜截式”，理顺它们之间的逻辑关系，使学生形成自然的记忆)5.6 数学应用（巩固数学）练习：根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)经过点(4，−2)，斜率为3；y+2=3(x−4)，即3x−y−14=0.(2)经过点(3，1)，斜率为−2；y−1=−2(x−3)，即2x+y−7=0.(3)斜率为−2，在y轴上的截距为−2；y=−2x−2.(4)斜率为2，与x轴的交点的横坐标为−1.y−0=2[x−(−1)]，即2x−y+2=0.说明：练习(4)中，直线与x轴交点的横坐标，我们对称地称之为直线“在x轴上的截距”，也可称“横截距”.(与纵截距呼应，形成对偶关系)5.7 合作探究（感悟数学）探究1 在同一平面直角坐标系中作出直线y=2，y=x+2，y=−x+2，y=3x+2，y=−3x+2，…这些方程表示的直线有什么共同特点？你能用一个方程表示出它们来吗？(为研究方程y=kx+2作铺垫)推测：当k取任意实数时，方程y=kx+2表示的直线都经过点（0，2），它们是一组共点直线.问题9 这组直线包括所有过点（0，2）的直线吗？答：不含过点（0，2）的直线x=0.探究2 在同一平面直角坐标系中作出直线y=2x，y=2x+1，y=2x−1，y=2x+4，y=2x−4，…这些方程表示的直线有什么共同特点？你能用一个方程表示出它们来吗？(为研究方程y=2x+b作铺垫)推测：当b 取任意实数时，方程y =2x +b 表示的直线彼此平行，它们是一组平行直线，它们斜率相等，纵截距不等.5.8数学应用（巩固数学）练习1.当k 取任何实数值时，(1)直线y =kx +5恒过点 .(2)直线y =k (x +5)恒过点 .(3)直线y −2=k (x −4)恒过点 .练习2 .直线y =k (x +1)(k >0)的图象可能是（ ）5.9回顾小结（再现数学）（1）通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？①直线的点斜率式方程——)(11x x k y y -=-；②直线的斜截式方程——y =kx +b ；③直线斜截式方程y =kx +b 是点斜式方程)(11x x k y y -=-的特殊情况；④集合{一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象}是集合{斜截式方程y =kx +b 表示的直线}的真子集；⑤当过点),(111y x P 的直线，与x 轴垂直时，l 斜率不存在，其方程是1x x =；与y 轴垂直时，l 斜率为0，其方程是1y y =.（2）本节课用到的数学思想有哪些？(数形结合、分类讨论等)（3）通过本节课的学习，你会解哪些类型的题目？①由直线上一个点的坐标和直线的斜率求直线的方程；②能判断方程y =k (x +m )+n 所表示的直线(k ∈R )恒过定点（-m ,n ）.5.10 课后作业（再巩固数学）D .必做题：习题3.2 T1.(1)(2)(3)、T2、T9．选做题：习题3.2 T7、T8.思考题：如果给出直线上不同的两点，我们如何求此直线的方程？。