弯矩M正应力σ

σdA x
σt,max y
横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比
正应力的大小沿截面高度呈线性变化，截面上下边缘处的 正应力绝对值最大，中性轴的正应力为零。
2、纯弯曲梁正应力
（二）正应力公式
变形几何关系 y
物理关系 s E
静力学关系
1 M
EIZ
s E y
s My
纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
纵向对称面 中性层
中性轴
1、现象和假设 纵向对称面
a
c
b
d
M
a
c
b
d
（一）梁的纯弯曲实验 1.纯弯曲实验
①横向线(a b、c d）变形 后仍为直线，仍与纵向线 正交，只是横向线间有相 对转动；
M ②横截面高度不变； ③纵向线变为曲线，且上 缩下伸。
q
l （a）
工32a （c）
q
解：1）作弯矩图
易知
M max

1 8
ql 2

1 22 62 8

99kN.m
7 103 N m 30103 m 170.7 104 1012 m4 123MPa
80 30
z K
y （b）
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
7.2.2 弯曲正应力强度条件
1. 正应力强度条件
s max

M max WZ
[s ]
[s]——材料的许用正应力
①矩形和工字形截面梁，对应的最大正应力为
M max WZ

7 10 3 N.m
426 .7 10 2 10 9 m3
164 MPa
3）计算梁固定端截面上K点处的弯曲正应力σK
梁的惯性矩为
IZ

bh3 12

40 80 3 mm 4 12
170.7 10 4 mm 4
梁固定端截面上K点处的弯曲正应力为
40
sK

M max yK IZ
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
2、纯弯曲梁正应力
（一）公式推导 几何关系
物理关系
导出 正应力计算公式
静力平衡条件
几何关系
从梁中截出长度为dx的一段来研究，将梁的轴线取为x 轴，横截面纵向对称轴为y轴，中性轴取为z轴。
设中性层的曲率半径为ρ，两横截面的
相对转角为dθ ，则距离中性层y处的纵
向变形为
在拉区s为正,压区s为负
3、最大正应力
由正应力计算公式知，横截面上离中性轴
最远的各点处，弯曲正应力最大。
s max

M
ymax Iz
令
WZ

IZ ymax
——抗弯截面系数
抗弯截面系数反映了截面形状和尺寸对弯
曲正应力的影响。
则
s max

M Wz
对于一般的等截面杆，最大正应力发 生在弯矩绝对值最大的截面的上下边 缘上；
s max

M max WZ
WZ

IZ ymax

IZ h
2
特点：最大拉应力=最大压应力
s max
s max
②T形截面梁的正应力
s max

M W1
W1

IZ y1
s max

M W2
W2
IZ y2
特点： 最大拉应力≠最大压应力
s max
s max
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形， 作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转 动，距中性轴等高处，变形相等。
单向受力假设：纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压 缩。
纵向对称面 中性层
横截面上各点处无剪切 变形，故纯弯曲时横截 中性轴 面上只有正应力。
常用截面的抗弯截面系数分别为
bh3
b
z
Wz

Iz ymax

12 h
bh2 6
y
2
z
d
y
Wz

Iz ymax

d 4 / 64
d/2

d 3
32
d
z
a
d
D
D
y
Wz

Iz ymax

D3
32
(1a 4)
[例7.1] 图示悬臂梁，横截面为矩形。梁自由端B受 集中荷载F=3.5kN作用，试计算梁的最大弯曲正应力 和危险截面上K点的弯曲正应力。
学习目标
掌握梁的弯曲正应力计算及强度条件。
目录
7.2.1 弯曲正应力一般公式 7.2.2 弯曲正应力强度条件 7.2.3 提高梁抗弯强度的措施
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
7.2.1 弯曲正应力一般公式
梁的AC、DB两段内，各横 截面上既有剪力又有弯矩，这 种弯曲称为横力弯曲。
IZ
为曲率半径
1
为梁弯曲变形后的曲率

2、纯弯曲梁正应力
（三）正应力公式适用条件
s My
IZ
M — 横截面上的弯矩 y — 所求应力点到中性轴的距离 Iz — 截面对中性轴的惯性矩
不仅适用于纯弯曲，也适用于横力弯曲； 适用于所有对称截面。
（四）应力正负号确定
M为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉; M为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压.
7.2.2 弯曲正应力强度条件
2.强度条件应用 依此强度准则可进行三类强度问题计算
① 校核强度：
s max

M max Wz

s
② 设计截面尺寸：
Wz

M max
[s ]
③ 确定许可载荷： M max Wz[s ]
[例7.2] 如图示一简支梁，由32a号工字钢制成，梁 上作用有均布荷载q=22kN/m，材料的许用应力 [σ]=150MPa，跨长l =6m。试校核该梁的强度。
l BB yd
对应的纵向线应变为
o1
l yd y
A
dx d
dθ
ρ
dx
o2
y
B′
B
横截面上任一点的纵向线应变与其到中性轴的距离成正比
物理关系
在弹性范围内，正应力与纵向线应变成正比，即
s E
σc,max
将 y 代入上式得：
s E y
o 中性轴
40
F
A
B
2m
80 30
z K
（a）
y
（b）
F
解：1）作梁的内力图 A
易知 M max 7kN m
B 2m
2）计算梁固定端截面上的 最大弯曲正应力
7kN.m
（a）
梁的弯曲截面系数为
M图：
（c）
WZ

bh 2 6
Байду номын сангаас
40 80 2 mm 3 6
426.7 10 2 mm 3
s max
在梁的CD段内，各横截面 上只有弯矩而无剪力，这种弯 曲称为纯弯曲。
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件
7.2.1 弯曲正应力一般公式
1、横力弯曲
内力
剪力FQ 弯矩M
切应力t 正应力s
2、纯弯曲
o dA M
x
FS σ dA
τ dA
y
内力：弯矩M
正应力σ
7.2 梁的弯曲正应力及强度条件 两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而