三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方

三角形中位线定理的证明及其教学说明

以下内容作者为:青岛第四中学杨瀚书老师

一、 三角形中位线定理的几种证明方法

法1: 如图所示,延长中位线DE 至F,使 ,连结CF,则 ,有AD

FC,所以FC

BD,则四边形BCFD 就是平行四边形,DF

BC 。因

为 ,所以DE

BC 2

1

.

法2:

如图所示,过C 作

交DE 的延长线于F,则

,有FC

AD,那么FC BD,则四边形BCFD 为平行四边形,DF

BC 。因为

,所以DE

BC 2

1

.

法3:如图所示,延长DE 至F,使 ,连接CF 、DC 、AF,则四边形ADCF 为平行四边形,有AD

CF,所以FC

BD,那么四边形BCFD 为平行四边

形,DF BC 。因为 ,所以DE

BC 2

1

.

法4:如图所示,过点E 作MN ∥AB,过点A 作AM ∥BC,则四边形ABNM 为平行四边形,易证CEN AEM ∆≅∆,从而点E 就是MN 的中点,易证四边形ADEM 与BDEN 都为平行四边形,所以DE=AM=NC=BN,DE ∥BC,即DE

BC 2

1

。

法5:如图所示,过三个顶点分别向中位线作垂线.

二、教学说明

1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程:“二维”转化为“一维”

在引导学生探索三角形中位线定理时,由于学生画出中位线后,就不难直观地发现平行关系,难的就是发现数量关系,我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系,从而作如下探索引导。

⑴如图,A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点,D、E分别就是AB、AC 的中点,线段DE与BC有什么关系？

A

B C

图⑴:

⑵如果点A不在直线BC上,图形如何变化？上述结论仍然成立不?

C

图⑵:

说明:学生观察(几何画板制作的)课件演示:当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上,这样由“二维”转化为“一维”,学生就不难猜想性质的两方面,特别就是数量关系,而想到去度量、验证与猜想,水到渠成、如果教师直接叫学生去度量角度与长度,就是强扭的瓜不甜、

2、教学重点:本课重点就是掌握与运用三角形中位线定理。

第一,要知道中位线定理的作用:可以证明两条直线平行及线段的倍分关系,计算边长或中位线的长。

第二,要知道中位线定理的使用形式,如:

∵ DE 就是△ABC 的中位线

∴ DE ∥BC,

BC DE 2

1

第三,让学生通过部分题目进行训练,进而掌握与运用三角形中位线定理。 题1 如图4、11-7,Rt△ABC,∠BAC＝90°,D、E 分别为AB,BC 的中点,点F 在CA 延长线上,∠FDA＝∠B、

(1)求证:AF ＝DE;(2)若AC ＝6,BC ＝10,求四边形AEDF 的周长、

分析 本题就是考查知识点较多的综合题,它不但考查应用三角形中位线定理的能力,而且还考查应用直角三角形与平行四边形有关性质的能力。

(1)要证AF ＝DE,因为它们刚好就是四边形的一组对边,这就启发我们设法证明AEDF 就是平行四边形、因为DE 就是三角形的中位线,所以DE∥AC、又题给条件∠FDA＝∠B,而在Rt△ABC 中,因AE 就是斜边上的中线,故AE ＝EB 、从而∠EAB ＝∠B、于就是∠EAB＝∠FDA、故得到AE∥DF、所以四边形AEDF 为平行四边形、

E

D A

C

(2)要求四边形AEDF 的周长,关键在于求AE 与DE,AE ＝21BC ＝5,DE ＝21

AC

＝3、

证明:(1)∵D、E 分别为AB 、BC 的中点, ∴DE∥AC ,即DE∥AF

∵Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,BE＝EC

∴EA＝EB ＝21

BC,∠EAB＝∠B

又∵∠FDA＝∠B, ∴∠EAB＝∠FDA

∴EA∥DF,AE DF 为平行四边形 ∴AF＝DE

(2)∵AC＝6,BC ＝10,

∴DE＝21AC ＝3,AE ＝21

BC ＝5

∴四边形AEDF 的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16

题2 如图,在四边形ABCD 中,AB ＝CD,E 、F 分别就是BC 、AD 的中点,延长BA 与CD 分别与EF 的延长线交于K 、H 。求证:∠BKE＝∠CHE、

分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质、由中点想到中位线,又要把结论联系起来,既要使中位线的另一端点处一理想的位置,又使需证明的角转移过来,可考虑,连BD,找BD 中点G,则EG 、FG 分别为△BCD、△DBA 的中位线,于就是得到了解题方法、考虑到结论辅助线不要乱作,取中点比作平行线好、

证明:连BD 并取BD 的中点G,连FG 、GE 在△DAB 与△BCD 中

∵F 就是AD 的中点,E 就是BC 的中点

∴FG∥AB 且FG ＝21AB,EG∥DC 且EG ＝21

DC

∴∠BKE＝∠GFE ,∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG

∴∠GFE＝∠GEF ∴∠BKE＝∠CHE

题3 如图, ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,O 为AC 、BD 的交点,P 、R 、Q 分别为AO 、DO 、BC 的中点,∠A OB ＝60°。求证:△PQR 为等边三角形、

分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边

中线定理。利用条件可知PR ＝21

AD,能否把PQ 、RQ 与AD(BC)联系起来成为解题