数值分析报告 期末复习(整理版)
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
(完整版),数值分析笔记期末复习汇总,推荐文档
x
*n )
e(x *1)
f
(x *1,
x *2 ,, xn
x *n
)
e(x *n )
n i 1
f
(x *1, x *2 ,, x *n ) xi
e(x *i )
9、加减乘除运算的误差估计
加法
绝
对 误
e(x1 x2 ) e(x1) e(x2 )
差
绝
对
误 (x1 x2 ) (x1) (x2 )
x1
b
sign(b) 2a
b2 4ac 109
x1
x2
c a
x2
c a x1
109 109
1
求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，
结果的相对误差限较小
y 54321100 0.4100 0.3100 0.4100 54322
(三) 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶）
则称 r (x*) 为近似值 x*的相
对误差限。 （2）性质：
当|| er (x*) | 较小时，可用下
是有量纲的。 (2)绝对误差限是正的，有无穷
常取
er
( x*)
e( x*) x*
式计算
绝对误差是误差的绝对值？ 多个【则比 * 大的任意正数均
（错）
是绝对误差
限】
r
( x*)
(x*) | x |
取
x2* =3.14
作为 π 的近似值，则 | e2
| 0.00159
1 102 ：三个有效数字 2
取
x3* =3.1416 作为 π 的近似值，则 | e3
| 0.00000734
数值分析期末复习
有效数字
x=p =3.14159265…
按照四舍五入的原则可以得到x的前几位.
取3位x3*=3.14, e3*≤0.002, 取5位x5*=3.1416, e5*≤0.000008,
一般地,误差小于末位数字的半个单位
|p-3.14|≤0.5×10-2, |p -3.1416|≤0.5×10-4
28
引言
如果要求近似函数取给定的离散数据,则称之 为插值函数.实用上,我们常取结构相对比较简 单的代数多项式作为插值函数,这就是所谓的 代数插值. 本章先讨论代数插值,然后在此基础上进一步 研究所谓的样条插值.
29
引例
三角函数表的构造 如何用初等方法给出sin x在一系列点处的函 数值? 已知sin x在x=0,p/6,p/4,p/3,p/2等处的函数值. 将这些点处的函数值在图形上标出.
38
线性插值
问题 求作一次式 L1(x)，满足条件 L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1, 从几何图形上看,y= L1(x)表示过两点(xk,yk), (xk+1,yk+1)的直线,因此可表为如下对称形式: L1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x) 其中
En In In (1 nIn1) (1 nIn1)
n( In1 In1 )
nEn1
因此有En=(-1)nn!E0. 这说明第n步的误差是初始误差的n!倍. 下面的表给出了实际的误差.
12
例1的误差分析
n
In
En
n In
En
0 0.6321 2.056 10–5 5 0.1480 –2.467 10–3
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析_期末总复习-习题课.
2 0 2
矩阵A的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
所以谱半径 A max0,1,3 3
简述题
1. 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则 是什么？
解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概 率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远 远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数 相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化 计算步骤，减少运算次数。
,
(
x( A) 2
0).
1. 下列各数
都是经过四舍
五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，
并给出其误差限与相对误差限。
解： 有 5 位有效数字，其误差限
，相对
误差限
有 2 位有效数字，
有 5 位有效数字，
例2 设有三个近似数 a 2.31，b 1.93，c 2.24，
它们都有三位有效数字。试计算 p=a+bc 的误差界， 并问 p 的计算结果能有几位有效数字？
n
Ln( x） f (xk) l k( x) k0
Rn(x)
f (x) Ln(x)
f (n1) ( ) (n 1)!
n1(
x),
其中lk(x)
n
j0
x xj xk xj
(k 0,1,...n)
jk
显然，如此构造的L(x) 是不超过n次多项式。当n=1时，称为线性插值。当n=2时，
称为抛物线插值。
解 pA 2.311.93 2.24 6.6332, 于是有误差界
（pA）
（a
A）
（bAc
）
A
（aA） bA （cA） cA （bA）
0.005 0.00（ 5 1.93 2.24） 0.02585
数值分析笔记期末复习
第一章引论1、数值分析研究对象：数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
2、数值分析特点：①面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法②有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性③要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。
④要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
3、数值分析实质：是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及理论。
4、用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程实际问题--数学模型（应用数学）--数值计算方法--程序设计--上机计算结果（计算数学）5、误差来源及分类1.模型误差——从实际问题中抽象出数学模型2.观测误差——通过测量得到模型中参数的值（通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。
）要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为（截断误差）或（方法误差）原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差6、五个关于误差的概念5.有效数字（1）定义：若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n 位，则称近似值x*有n 位有效数字，或说x*精确到该位。
注意：近似值后面的零不能随便省去！2≤⨯1102≤⨯10.00000734102≤⨯（3）性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小 (2)有效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数的精确度！ 6、一元函数的误差估计问题：设y =f (x )，x 的近似值为x *，则y 的近似值 y *的误差如何计算？(*)(*)(*)(*)e y dy f x dx f x e x ''≈=≈ (*)(*)(*)e y f x e x '≈ *(*)(*)(*)(*)r r x e y f x e x f x '≈故相应的误差限计算如下(*)(*)(*)y f x x εε'≈ *(*)(*)(*)(*)r r x y f x x f x εε'≈ 7、二元函数的误差估计问题：设y=f(x1, x2)， x1, x2的近似值为x1*, x2* ，则y 的误差如何计算？**121212(*)*(,)(,)(*,*)e y y y f x x f x x df x x =-=-≈12121212(*,*)(*,*)(*)(*)f x x f x x e x e x x x ∂∂=+∂∂(*)(*)*(*)(*)(*)(*)(*)r r dy f x e x x e y f x e x y f x f x ''≈≈=1212121212121212(,)(,)(*,*)(*,*)(*)()()(*)(*)f x x f x x f x x f x x e y e x e x e x e x x x x x ∂∂∂∂=+≤⋅+⋅∂∂∂∂故绝对误差限为12121212(*,*)(*,*)(*)(*)(*)f x x f x x y x x x x εεε∂∂=+∂∂8、多元函数的误差估计121211121(*,*,,*)(*,*,,*)(*)*(*)(*)(*,*,,*)(*)n n n nnn i i i f x x x f x x x e y y y e x e x x x f x x x e x x =∂∂=-=++∂∂∂=∂∑9、加减乘除运算的误差估计（1）定义：初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异。
数值分析期末复习(整理版)
Chapter 1 误差误差限计算、有效数字分析•绝对课差址t洵准确俏”*为工的-个近似偵「称T —工対近似偵.T '的絶村谋差，简厳供邛*可简记为E.|g(T)|=| T —*|兰£(/)数值貞门称为T的11绐对误差限或误差限*l『*、F(x ) x —x E© ) = —=——为近似值/的担zt溟誉可简｛己址•有效数字若才作加的近tilt其鲍对误差的绝对值不超过某一位数字的半个单恆，而该位数字到F的第—位非零数字共有斤位關称用F近恤时具有血有效做字'简称丫有畀位有效数字.Chapter 2插值法差值条件(唯一性)1、拉格朗日差值a) 插值基函数b) 差值余项2.2拉格朗曰抽值2.2.1基函数考虑最简单、晟舉本的骼值问起+ 求押次插值家项式『低)…肋，便加滿足播值条伸可知，除斗点外.其余都星”.巧的零点■械可诛< (A) ^.4(X 一％[…(-V址 d 為"* <A -A；)X)=A(X - J- (A- - \_, )(.Y -J)其中M为常數.由&工戶1町得』=-------------------- -----------------(閔円)心7冷K%-咖卜-a -斗)和対讼>：T^V为准确血"为玄的一个近似伉称relativeerror称之为拉厳朗LI垒曲绘都是M次帝项武.. 2.1.2拉榕朗n插佢雾项式利用拉辭朗H皋啦数/态人构造次数不趙过"的雾项式£(巧二必机朗+^( v) + •…I J；/,(.v) = £昭(曰可知其搆足7韩为拉格阴Id插说饕砂式.再由插菽牟嘶的唯亠杵“ 鲁 D I特别地*造时又叫钱件擂僮其几何童又为过两点的直级-当*匸2时又叫拋物<线)掩值•具几何鳶义为过三点的拋物线.滾丘阖淘若取人1).伸伏=札1*…飒由插痕参项式的唯一性有£址工)# =x\ k= 0」厂』特别当k-OfiL就得到£佃-1□则铉格朗U的丄抚抽值雾项式为V)= j^(j(X> + I'Jj (x> + j/2(.v) * MQO=(2)弓…仗扣讪—协-町H^)xll(A + l)(r-JX^ 4}+3x —(x H)(x-LXx-3) 8 15■裁1M T-3X V-4)+^X HX A-1M A4)+ l(.v+lX.v-lXr-3)+ 3)a 1已知$ =五，耳=4眄=S.用皴件插值f即一次插惟藝坝如历的近似值.解片=2・曲=3•菇函数付别为：t-9 1 x-4 I4(J)=——=—(x-9j, Zjx)=——= -{x -4)砂14-9 5尸门9-4 5播債孝项式为V)-片fj.i) +」'占(巧-2x^(.v 夕”：(* 4)---(.V 4 J -4)(- (X + fr))所以乔金厶⑺二空R点5使2求过啟-1,-毎川』人(乱-创*(4」)的抛物线播值(即三次插値务项式).蔦-U 斗=-t t A|二L x2=3»A3- 4以为苗点加墓函.数分别为：厶何」匸迪住1±J (.r +lXA -3}(x-4)1(1 ► 1)(1-3)(1- 4J 12心)」：十汽-1年¥二Uw心一ncz (34-1X3-1X3-4) K=⑴】心-叭7= *十叫讣7】(4 + IX4-1X4-3) 152.23極値肇项M tt'r滾^Ji n(x)=f(x)兀糾也称为"次1川甘"叱插伯赛境式的余坝。
(整理)《数值分析》期末复习纲要.
《数值分析》期末复习纲要 第一章 数值计算中的误差分析主要内容(一)误差分析 1、误差的基本概念：（1）绝对误差：设x 是精确值， *x 是其近似值，则称()E x x x*=-是近似值*x 的绝对误差，简称误差。
特点：可正可负，带量纲。
（2）相对误差：称()r x x E x x *-=是近似值*x 的相对误差，若精确值x 未知，则定义()r x x E x x **-=。
注: 由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。
2、有效数字的概念：P6;3、算法的数值稳定性：数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。
数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。
P11：例子(二)算法设计的基本准则P11-15 应用实例：课堂练习，作业基本要求1、掌握误差、有效数字等基本概念2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。
（参见课堂练习、作业）第二章 线性代数方程组的数值解法直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得方程组的精确解。
迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。
主要内容（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法基本思想：按照各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解求解过程：⎩⎨⎧回代过程消元过程应用实例：课堂例题；练习 （二）高斯列主元消去法基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的 方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。
(每一步消元之前先按列选取主元) 应用实例：课堂例题，作业(三)迭代法基本原理：（1）将原方程组b Ax =改写成如下等价形式：f Bx x += （2）构造相应的迭代公式：f Bx x m m +=-)1()(（3）任取一初始向量)0(x代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列{}Tm n m m m x x x x ),,,()()(2)(1)( =，如果该向量序列{})(m x 收敛于某一向量Tn x x x x ),,,(21****= ，即),,2,1(lim )(n i x x i m i m ==*∞→Tn x x x x ),,,(21****= 即为原方程组的解。
《数值分析》期末复习纲要共6页文档
《数值分析》期末复习纲要第一章 数值计算中的误差分析主要内容(一)误差分析1、误差的基本概念：（1）绝对误差：设x 是精确值， *x 是其近似值，则称()E x x x *=-是近似值*x 的绝对误差，简称误差。
特点：可正可负，带量纲。
（2）相对误差：称()r x x E x x*-=是近似值*x 的相对误差，若精确值x 未知，则定义()r x x E x x **-=。
注: 由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。
2、有效数字的概念：P6;3、算法的数值稳定性：数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。
数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。
P11：例子(二)算法设计的基本准则P11-15应用实例：课堂练习，作业基本要求1、掌握误差、有效数字等基本概念2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。
（参见课堂练习、作业）第二章 线性代数方程组的数值解法直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得方程组的精确解。
迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。
主要内容（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法基本思想：按照各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解求解过程：⎩⎨⎧回代过程消元过程应用实例：课堂例题；练习（二）高斯列主元消去法基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的 方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。
(每一步消元之前先按列选取主元)应用实例：课堂例题，作业(三)迭代法基本原理：（1）将原方程组b Ax =改写成如下等价形式：（2）构造相应的迭代公式：f Bx x m m +=-)1()( （3）任取一初始向量)0(x代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列{}T m n m m m x x x x ),,,()()(2)(1)( =，如果该向量序列{})(m x 收敛于某一向量T n x x x x ),,,(21****= ，即T n x x x x ),,,(21****= 即为原方程组的解。
数值分析期末复习题
数值分析期末复习题⼀、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数，绝对误差为，相对误差为。
2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为。
3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。
4.设f(x)可微，求⽅程x=f(x)根的⽜顿迭代法格式是。
5.设⽅程x=?(x)有根x *,且设?(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为。
6.求解线性⽅程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为。
7.=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。
8.n 次Legendre 多项式的最⾼次项系数为。
9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为。
10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈?的代数精度为。
11.在区间[1，2]上满⾜插值条件??==3)2(1)1(P P 的⼀次多项式P(x)= 。
12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。
13．梯形公式和改进的Euler 公式都是阶精度的。
⼆、计算题1.利⽤矩阵的⾼斯消元法，解⽅程组=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。
3.求解超定⽅程组= ?43231211121x x的最⼩⼆乘解。
4.给定下列函数值表：求3次⾃然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建⽴f(x)的⼆次（抛物）插值公式，利⽤插值公式求115的近似值并估计误差。
数值分析报告期末考试复习题及其问题详解
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。
（4分）解：由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分） 解：{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解：①Newton 迭代格式为：xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式，使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分）解：作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分）解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x(x-1)=442++x x 4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x, k=2x ,计算得： (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m,k)= dx x ⎰-112=0(n,k)= dx x ⎰-113=0.5 (k,k)= dx x ⎰-114=0 (m,y)= dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x⎰-112=0 (k,y)= dx x ⎰-113=0.5得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+= 1分 平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位） （8分）解：用复合梯形公式：)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.139 4分用复合Simpson 公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++==3.142 4分11. 计算积分⎰=20sin πxdx I ，若用复合Simpson 公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解： ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ 2分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯ 1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π，由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯ 1分12. 用改进Euler 格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）解：改进Euler 格式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y 2分 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=0,1,2……） 2分 由y(1)=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明：]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分14. 证明：设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数，则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ，若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ 1分而x x ⋅=λλ x A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax 2分由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以 1分故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。
数值分析期末复习总结(优选.)
线性插值多项式（一次插值多项式）
n=2
L2 ( x) =
y0
(x ( x0
− −
x1 )( x − x2 ) x1 )( x0 − x2 )
+
y1
(x ( x1
− −
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
+
y2
(x ( x2
− −
x0 )( x − x1 ) x0 )( x2 − x1 )
f ( x=) f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [x, x0]
1
f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1] + ( x − x1 ) f [ x, x0 , x1]
2
……
f [ x, x0 , ... , xn−1] = f [ x0 , ... , xn ] + ( x − xn ) f [ x, x0 , ... , xn ] n−1
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Newton 插值
为什么 Newton 插值
Lagrange 插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函
数 lk(x) 都需重新计算，不太方便。
解决办法
设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即 n 次插值多项式 可以通过 n-1 次插值多项式生成 —— Newton 插值法
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新的基函数
设插值节点为 x0 , … , xn ，考虑插值基函数组 ϕ0(x) = 1 ϕ1( x)= x − x0 ϕ2( x) = ( x − x0 )( x − x1 )
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插值余项
几点说明
余项公式只有当 f(x) 的高阶导数存在时才能使用
ξx 与 x 有关，通常无法确定, 实际使用中通常是估计其上界
数值分析期末复习题
一、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数 ，绝对误差为 ， 相对误差为 。
2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为 。
3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。
4.设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是 。
5.设方程x=ϕ(x)有根x *,且设ϕ(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=ϕ(x k )收敛的充要条件为 。
6.求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为 。
7.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。
8.n 次Legendre 多项式的最高次项系数为 。
9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=⎰的代数精度为 。
10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈⎰的代数精度为 。
11.在区间[1，2]上满足插值条件⎩⎨⎧==3)2(1)1(P P 的一次多项式P(x)= 。
12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。
13．梯形公式和改进的Euler 公式都是 阶精度的。
二、计算题1.利用矩阵的高斯消元法，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。
3.求解超定方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43231211121x x的最小二乘解。
4.给定下列函数值表：求3次自然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建立f(x)的二次（抛物）插值公式，利用插值公式求115的近似值并估计误差。
数值分析期末复习
xn 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
yn 1.0959 1.1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ41 1.2662 1.3434 1.4164
在计算时,迭代终止的时间可以用上式判别
例. 判别下列方程组用J法和G-S法求解是否收敛
1 1 2 2 1 2 - 2 x1 1 1 x2 = 1 1 x3 1
ttttaluyuxx???????????????????????????求解242649615269186151840??????????????用lu直接三角分解法求解方程组axb其中a9232247????????????b11242621123121363321119ay???????????????????????????????????????????????????????????????????234212312122332147953105231ttylybyyyuxyx?求解即得求解得
所以Gauss-Seidel迭代法发散
说明G-S法发散时而J法却收敛 因此,不能说G-S法比J法更好
例： 已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商
公式求 7 的近似值。 解： x i
xi
1
2
f [ xi , xi +1 ]
f [ xi , xi +1 , xi + 2 ]
1 4
9
3
第三章 函数逼近的基本概念
曲线拟合的最小二乘法 已知一组实验数据，求它的拟合曲线。 线性化 建立法方程组 求解未知变量 给出拟合曲线函数
第四章 数值积分与数值微分
数值积分的基本思想 代数精度 牛顿-科特斯公式 等距离节点的求积公式 n=1 梯形公式 代数精度为1 n=2 Simpson公式 代数精度为3 n=4 Cotes公式 代数精度为5 偶阶求积公式的代数精度
数值分析期末复习知识点
第一章（有效数字位数）1、经四舍五入取近似值，其绝对误差限不超过末尾数字的半个单位。
2、设X*为准确值，X为近似值，称e=X*-X为近似值X的绝对误差，简称误差（显然e可正可负，准确值X*未知，因此e的准确值无法求出）3、|e|=|X-X*|≤ŋ，则称ŋ为近似值X的绝对误差限，简称误差限。
4、e r=e/X*称为相对误差，由于准确值X*总是未知的，所以也把e r*=e/X称为近似值X的相对误差5、|e r*|=|e/X|≤ŋ*，则称ŋ*为近似值X的相对误差限6、设X是X*的近似值，如果|X*-X|≤1/2×10-k,则称用X近似值表示X*时准确到小数点后第k位，并称从小数点后第k位起，直到最左边的非零数字之间的所有数字为有效数字，称有效数字的位数为有效数位。
7、设X是X*的近似值，X=±10m×0.a1a2…,其中a i（i=2，3…）是0到9之间的自然数，a1≠0，m为整数，如果|X*-X|≤1/2×10m-n，那么称近似值有n位有效数字。
8、四舍五入所得到的数均为有效数字，但并不是说非四舍五入所得到的数不能为有效数字。
第二章、非线性方程求根（不动点迭代、牛顿法、弦截法、快速弦截法、局部收敛、全局收敛、收敛阶）1、不动点迭代法（迭代法）（单根区间求解方法）：将非线性方程f（x）=0化为一个同解方程x=ø（x），若要求f（x*）=0，则x*=ø（x*），称x*为f（x）的零点，为ø（x）的一个不动点。
2、定理：设迭代函数ø（x）在【a，b】上连续，且满足（1）当x∈【a，b】时，a≤ø（x）≤b，（2）存在一正数L，满足0<L<1,且∀x∈【a，b】,有|ø/（x）|≤L<1。
则1、方程x=ø（x）在【a，b】内有唯一解x*。
2、对于任意初值x0∈【a，b】,迭代法x k+1=ø（x k）均收敛x*3、设ø（x）有不动点x*，如果存在x*的一个邻域 S:|X*-X|< ŋ,对任意初值x0∈S,迭代过程x k+1=ø（x k）均收敛，则称迭代过程在根x*邻近局部收敛。
数值分析期末考试复习题及其答案
《计篥方法P 实验报告1. 已知X ； =325413, X ； =0.325413都有6位有效数字，求绝对误差限。
(4 分)解：由已知可知，n 二6X ： =0.325413x1()6* =6北一n = 0,绝对误差限^ =丄 xl0° =0.522X ； =0・325413xl0°,k=(U—〃 = —6,绝对误差限& =-xl0"62・ -2分心（"刃=皿{1,8,32} = 32 1分|H|2 =732=4^23. 设/(x) = (x 2-«)3(6 分)① 写岀f (x)二0解的Newton 迭代格式②当a 为何值时，仏|=卩(忑)(k 二0,1……)产生的序列伉｝收敛于、伍【值分析期末考试复习题及其答案1 02.已知4= 02 0 -2解：”州=max{l,4,8} = &分4求IKMJK （6分） 4||^||x =max{l,6,6} = 6,分皿讥如)分_1 0 0 ■ '1A TA = 0 2-20 4 40 0■ 24 二 08 0 -2 4.0 32_w ：①Newton 迭代格式为：丿（忑）0（戈）=竺+丄6 6%(屛-°)' _ 5x k a , ・・ , ,6忑(X ；_G )26 6x©⑴三一曲曲以血）卜10—6/~vF<1,即-2<“ <22时迭代收敛 4・给定线性方程组Ax 二b,其中：A =3 -1用迭代公式牙=才「+a(b- Ax (k}) (k=0,1 ........... )求解 Ax 二b, 问取什么实数Q ，可使迭代收敛 （8分）-a 1 一2a.其特征方程为|刀-=八° 一3a}2（X=02分aA-(l -2<z)即，解得=l-a,22 =l-4a2分 要使其满足题意，须使p （B ） < 1,当且仅当0 vav0・52分'12 -2"丁111,b = 6 2 2 1.7.迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：A=L+D+UB, =-D~\L + U)= -1-2 -2 0 -22 -1 0|/1/ — By | = A 3= 0,/lj = = Aj = 0即p （B y ） = 0<l,由此可知Jacobi 迭代收敛1一 3a-la所给迭代公式的迭代矩阵为B = I — aA =2分试讨论解此方程的Jacobi5. 设方程Ax 二b,其中A =Gauss-Seidel 迭代格式：X 严=5-2垮）+2宅） ＜垮+—6-尤严—才 兀严）=7 — 2#申一 2卅Z用Doolittle 分解汁算下列3个线性代数方程组：Ax f =b, (i=l,2,3)其中"2 1 r4' A = 2 3 2 ,s = 7 2 3 4 96. 解: 上2 =兀］上3 =X2 （12分） ① Ax l =b 、x\ =A=由 Ly=bl,由 lxl=y, ②虹=b 2=LU 即y= 4791 10 0 11 12 得xl 二12 0'2 1 rT 2 32 x2= 12 3 4.11 0 o'TT1 1 oy= 1得y= 01 1 11由 Ly=b2=xl,即 (k=0,1,2, 3……)"2 1r丁「OS由Ux2=y,即 02 1 x2= 0得x2二 00 0 2③山3 =仏"2 1r'0.5'2 3 2 x3= 023 4.)0 0"'0.5 '由 Ly=b3=x2,即 1 10 y= 0得y 二 -0.51 110 .0 .'2 1r0.5 ''0.375 -由Ux3二y,即2 1 x3= -0.5得x3二 -0.250 2要求一次数不超过3的H 插值多项式，使 H 3(x /) = y r ,/73(x 1) = y I解：作重点的差分表，如下:H 3(X)= f[x {)] + /[x^x^ ](x-x Q ) + f[x 0,x^x { ](x-x ())(x-x I ) + /[xD ,x p x p x 2](x-x 0)(x-x I )2 二T+(x+l)-x(x+l)+2x. x(x+l)二2x 3 + x 27•已知 函 数 8.有如下函数表:关 数 据(6分)试讣算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式(7分) 解：由已知条件可作差分表，x f = x0 + ih = i (i=0, 1, 2, 3 )为等距插值节点,则Newton向前插值公式为:N3 = f0 + 气評农 + +(—。
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Chapter 1 误差
误差限计算、有效数字分析
Chapter 2 插值法
差值条件（唯一性）
1、拉格朗日差值
a)插值基函数
b)差值余项
2、牛顿插值
构造差商表
3、埃尔米特插值
构造三次埃尔米特插值多项式如下
4、分段低次插值
5、三次样条插值（概念）
2、式计算（向量、矩阵）
Chapter 4 数值积分与数值微分1、梯形公式、辛普森公式
2、
代数精度判断
3、龙贝格求积公式
4、高斯求积公式
5、高斯－勒让德求积公式
6、数值微分了解即可
Chapter 5解线性方程组的直接方法
1、消元法
2、LU分解法
Chapter 6解线性方程组的迭代法
1、雅克比迭代法、高斯-
塞德尔迭代法公式（会写）
2、给迭代公式，判断收敛性，谱半径。
Chapter 7非线性方程求根
1、二分法
（先判断有根区间）
2、
迭代的收敛性
3、牛顿迭代法
（代公式）
Chapter 9常微分方程初值问题数值解法
1、公式计算：四种，欧拉公式、改进的欧拉公式、隐式、梯形公式
2、判断局部截断误差（泰勒公式）
3、单步法的收敛性和稳定性分析
4、。