第五章、递归

递归
《数据结构》第五章
本章主要内容
递归概念 递归过程的计算机实现 递归过程不同实现方法 可利用递归方法实现的
算法 分治法问题举例 回溯法问题举例 广义表
递归概念
递归的概念：
若一个对象部分地包含自己，则称这个对象是递增归的。
递归问题的特点：
该问题能分解为两类子问题： 非终结问题：需进一步递归的子问题。 终结问题：不需进一步递归就可求解的子问题。 终结问题，亦称为递归终止条件。
while(n>1) { w->n=n;
w->tag=1; s.Push(*w); n- -; } sum+=n; while(! s.IsEmpty()) { *w=s.GetTop();
s.Pop(); if(w->tag==1) { w->tag=2; s.Push(*w); n=w->n-2; break; }
mmaaiinn(())
fa2c4t(4) 4* f4a*c6t(3) 3* 3fa*c2t(2) 2* f2a*c1t(1)
【例】用系统工作栈求裴波那契数列：
#include<iostream.h>
long Fib(long n)
{
if ( n<=1) return n;
return Fib( n-1 )+Fib( n-2 );
struct Node
//用户栈结点的类定义
{ long n; int tag;
Node(long m=0,int t=0):n(m),tag(t){ }
//构造函数，用于将整型数转换为Node型
};
void main()
{
long n;
cout<<"Enter number :";
cin>>n;
for(int i=0;i<=n;i++)
⑨
Fib(4)
⑤
⑧
Fib(3)
③
④
Fib(2)
⑥
⑦
Fib(2)
Fib(1)
Fib(1)
Fib(0)
①
②
Fib(1)
Fib(0)
1. 采用系统提供的递归工作栈：
计算机中对子程序的调用(即C/C++中的函数调用)通常是 通过程序中断方式实现的
采用程序中断方式
在调用子程序前，需要保护现场(即保护调用程序的 局部变量值、实在参数值),和保护断点(即返回地址)， 在调用子程序后，需要恢复现场和恢复断点。
cout<<"Fibonacci("<<i<<")="<<Fibonacci(i)<<endl;
}
(未完，转下页)
long Fibonacci(long n) //求裴波那契数列函数定义 {
Stack<Node> s(50); //用户定义栈 Node* w=new Node; long sum=0; do{
保护现场和断点、恢复现场和断点都是通过系统提供 栈来实现的。
在调用子程序前，系统自动生成一个包含现场和断点 数据的工作记录，并将工作记录压入系统栈保护起来
在返回调用程序前，系统自动从系统栈中将工作记录 弹出
使用系统提供的栈实现的递归过程，实质上是子程序嵌套 调用的特例，即函数嵌套调用自己。常称作递归算法。
2. 采用用户自定义栈实现递归过程：
递归过程也可通过引入用户自定义的栈模拟系统提供的 栈操作来加以实现。
这种实现不涉及程序的自我调用(即不涉及程序的中断调 用)。也就不涉及断点保护问题。
数据的入栈及出栈操作不是由系统自动完成，而是由用 户通过编码加以实现，通常称为非递归算法。
用户栈中保存的是不同层递归调用树操作产生的中间结 果数据。
非终结问题经过有限次递归，最终可分解为终结问题。
常见使用递归的地方：
定义是递归的： 数据结构是递增归的： 问题是递归的
递归过程的计算机实现
递归过程：
一个过程在进行中又涉及自身，称此过程为递归过程 此处过程有两种含义：广义的和狭义的
广义的递归过程：描述某个事件的进行特性。 狭义的递归过程(递归算法)：特指计算机中通过使用系
在上层运算即将转入下层运算前，将上层运算的中间结 果入栈。
在下层运算结束退回上层运算时，将上层运算的中间结 果出栈
使用用户定义栈求裴波那契数列: (黄色为修改部分)
#include<iostream.h>
#include "… …\sequence_stack.h"
long Fibonacci(long n)； //求裴波那契数列函数说明
fmffmfafafaaacaccaccttcitti(tn(t(n(2(4(24(13()3))))) fact(1) fact(2)
void main()
段则是共用的
fact(3)
{ cout<< fact(4); }
ffaacctt((44))
main() fact(4)
fact(3)
fact(2) fact(1)
不同层次的局部变量之间可通过实在参数与形式参数进 行数据传递。
#include<iostream.h>
long fact(long n) { if(n<=1)
return 1; else return n＊fact(n-1);}
函数递归调用, 各次调用的数据 存放在栈的不同 空间，彼此相互 独立，函数代码
}
void main()
{
long n; cout<<"Enter number :"; cin>>n;
for(int i=0;i<=n;i++)
cout<< "Fib(" << i << ")=" << Fib(i) <<endl;
}
说明：
main()调用Fib(),称作外部调用
Fib()自己调用自己称作内部调用
其特点是：
不同层次的递归调用，调用的是都是同一段代码(即递 归函数体自身)
但函数每递归调用自己一次，都必须在系统栈中重新分 配一个内存空间(即所谓工作记录)，以便存放本层使用 的局部变量和实在参数
显然，不同层次的递归调用，它们的局部变量的变量名 虽然相同，但是作为不同的工作记录的组成部份，存放 在系统栈的不同地方(即内存的不同地方)，它们之间是 彼此独立的。
统工作栈实现子程序的自我调用。
递归过程的计算机实现，可有三种方法：
利用系统提供的递归工作栈实现 利用用户自定义的栈实现 用叠代方法实现
用递归调用树描述递归过程：来自【例】裴波那契数列的递推公式：
Fib(n)=
n
当n=0或n=1时
Fib(n-1)+Fib(n-2) 当n>=2时
计算n==4时裴波那契数列的递归调用树：