最新人教版高中数学选修2-2第二章《数学归纳法》知识梳理

2.3 数学归纳法

1．了解数学归纳法的原理．

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

1．数学归纳法

证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：

第一步，归纳奠基：证明当n 取______________时命题成立．

第二步，归纳递推：假设____________时命题成立，证明当________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

数学归纳法的第一步中n 的初始值怎样确定？ 【做一做1】 用数学归纳法证明1＋a ＋a 2

＋…＋a n ＋1

＝1－a n ＋

21－a

(a ≠1)，在验证n ＝1时，

等式左边为( )

A ．1

B ．1＋a

C ．1＋a ＋a 2

D ．1＋a ＋a 2＋a 3

【做一做2】 设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1

2k ，则S k ＋1为( )

A ．S k ＋1

2k ＋2

B ．S k ＋12k ＋1＋1

2k ＋2

C ．S k ＋12k ＋1－1

2k ＋2

D ．S k ＋12k ＋2－1

2k ＋1

【做一做3】 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有1

2n (n －3)条时，第一步验证n

等于__________．

2．数学归纳法的框图表示

答案：1．第一个值n 0(n 0∈N *) n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *) n ＝k ＋1 思考讨论

提示：数学归纳法的第一步中n 的初始值应根据命题的具体情况而确定，不一定是n 0

＝1，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，其初始值n 0＝3.

【做一做1】 C 因为左边式子中a 的最高指数是n ＋1，所以当n ＝1时，a 的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.

【做一做2】 C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由

S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，①

得S k ＋1＝

1k ＋2＋1k ＋3

＋…＋12k ＋12k ＋1＋1

2(k ＋1).②

由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－1

2(k ＋1).

故S k ＋1＝S k ＋

12k ＋1－12(k ＋1)

，故选C. 【做一做3】 3 ∵三角形是边数最少的凸多边形， ∴需验证的第一个n 值为3. 2．n ＝n 0 n ＝k ＋1 正整数

1．如何理解数学归纳法？ 剖析：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点：

(1)两个步骤缺一不可．

(2)在第一步中，n 的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n ＝n 0，n 0

＋1等)，证明应视具体情况而定．

(3)第二步中，证明n ＝k ＋1时，必须使用假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效．

(4)证明n ＝k ＋1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出假设里给出的形式，以便使用假设，然后再去凑出当n ＝k ＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．

数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集A ，若①1∈A ；②由k ∈A 可推出k ＋1∈A ，则A 含有所有的正整数．

2．运用数学归纳法要注意哪些？

剖析：正确运用数学归纳法应注意以下几点： (1)验证是基础．

数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．

(2)递推是关键．

数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程，必须把归纳假设“n ＝k ”作为条件来导出“n ＝k ＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．

(3)正确寻求递推关系．

我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，那么如何寻求递推关系呢？ ①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．

②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n 处在哪个位置．

③在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．

题型一 用数学归纳法证明等式 【例题1】 用数学归纳法证明：

⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n

(n ≥2，n ∈N *)． 分析：第一步先验证等式成立的第一个值n 0；第二步在n ＝k 时等式成立的基础上，等式左边加上n ＝k ＋1时新增的项，整理出等式右边的项．

反思：在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：

①验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.

②递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．

③利用假设是核心：在第(2)步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明方法就不是数学归纳法．

题型二 用数学归纳法证明不等式

【例题2】 已知函数f (x )＝1

3x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，

(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n

与1的大小，并说明理由． 分

析

：

(1)

求f ′(x )

→

得到式子a n ＋1≥(a n ＋1)2－1

→利用数学归纳法证明a n ≥2n －1(n ∈N *)

(2)由a n ≥2n －1得1＋a n ≥2n →

11＋a n ≤1

2

n →利用放缩法证明不等式成立 反思：利用数学归纳法证明与n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意：

①证明不等式时，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现．

②与n 有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等．

题型三 用数学归纳法证明几何问题

【例题3】 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．

分析：解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设．

反思：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成(k ＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．