3.1 载流子浓度的一般表达式—2.分布函数(含非简并半导体)
3.1 载流子浓度的一般表达式—3.一般表达式;基本特征;电中性方程
半导体的基本特征 Ø 本征半导体 Ø n型半导体 Ø p型半导体
EF=Ei ; n0=p0 EF>Ei ; n0>p0 EF<Ei ; n0<p0
电中性方程
Ø 本征半导体：
n p
Ø 只有施主的n型半导体： n nD p
Ø 只有受主的p型半导体： p n pA-
Ø 同时有施主和受主的半导体：
2 2
3
2
为导带有效状态密度
Nc表示导带中的等效量子态数目，即把能带中所有量子态都 等效到导带底。
电子占据能量为Ec的量子态的几率：fB
Ec
exp
Ec EF k0T
因此，导带中的电子浓度可写为：
n0 Nc fB Ec
把导带中所有量子态都集中在导带底处，其状态密度为Nc， 则导带中的电子浓度是Nc中被电子占据的量子态数。
GaAs 0.068m0 0.47m0
Ø 热平衡态非简并半导体导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0
一般表达式：
n0
Nc
exp Βιβλιοθήκη Ec EF k0Tp0
Nv
exp
Ev EF k0T
Ø导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0与温度T和费米能级EF的 位置有关。
(2)不同类型半导体的基本特征
本征半导体
n
p
A
p
nD
gv
E
V
2
2
2m*p 3 2
3
Ev E 1 2
2. 分布函数f(E)
f
(E)
1
1 exp E
EF
k0T
fB
(E)
Aexp
E k0T
3. 热平衡态非简并半导体载流子浓度的表达式
半导体物理第三章半导体中载流子的统计分布
第三章 半导体中载流子的统计分布第三章 Part 1 3.1 状态密度 3.2 3 2 费米能级和载流子的统计规律 3.3 电子和空穴浓度的一般表达式 电子和空穴浓度的 般表达式 3.4 本征半导体的载流子浓度 3.5 杂质半导体的载流子浓度 3.6 杂质补偿半导体 3.7 3 7 简并半导体3.1 状态密度状态密度g(E)dZ(E) g( E ) = dE表示在能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数。
dZ 为E到E+dE内的量子态数 计算状态密度的方法：1、k空间的量子态密度 1 k空间的量子态密度 2、dZ或Z(E)dZ=k空间量子态密度×能量间隔对应的k空间体积 Z(E)=k空间量子态密度×能量为E的等能面在k空间的体积一、导带底附近的状态密度1、k空间的量子态密度对于边长为L的立方晶体，波矢 对于边长为L的立方晶体 波矢 k 的三个分量为 的三个分量为： n n n 即( k x = x ， = y ， z = z ) k ky k x ,k y ,k z L L L 其中 n x , n y , n z 取 0，±1，±2… 每 个代表点都与体积为 每一个代表点都与体积为 1 = 1 的一个小 的 个小 L3 V 立方体相联系 即 k 空间中，电子的状态密度是V 若考虑电子的自旋，量子态密度是2V。
若考虑电子的自旋 量子态密度是2V一、导带底附近的状态密度2、求dZ或Z 2 dZ Z①等能面为球面：1 h2k 2 假设导带底在k=0，即 E (k ) = EC + * 2 mn以k 为半径的球面对应E，以 k + d k 为半径的球面对应E+dEdZ = 2V × 4πk dk2由 E - k 关系可解得 关系可解得：(2m ) ( E - EC ) k= h2∗ n112m dE kdk = 2 h∗ n一、导带底附近的状态密度得到(2m ) dZ = 4π V ( E - EC ) dE h1 23 ∗ 2 n 3所以(2m ) g ( E ) = 4π V ( E - EC ) h3 ∗ 2 n 31 2一、导带底附近的状态密度②实际材料： 对于Si、Ge来说，在导带底附近等能面为旋转椭球面 假设有S个能谷，在每个能谷附近：2 2 ⎡ k x + k y k z2 ⎤ h E( k ) = Ec + + ⎢ ⎥ 2 ⎣ mt ml ⎦ 2将上式变形2 kx2mt ( E − Ec ) h2态数为+2 ky2mt ( E − Ec ) h2+k z2 2ml ( E − Ec ) h2=1能量为E的等能面在k空间所围成的s个旋转椭球体积内的量子4 2 mt ( E − Ec ) [2 ml ( E − Ec )]1 2 Z ( E ) = 2Vs π 3 h2 h一、导带底附近的状态密度则导带底（附近）状态密度为(8s m ml ) dZ ( E ) gC ( E ) = = 4π V dE h2 2 t 312⋅ ( E − Ec)12* mn = mdn = ( s 2 mt2 ml )1 3 令 ，称 m 为导带底电子状态密度 dn有效质量，则 有效质量 则(2m ) dZ d (E) = 4π V gC ( E ) = dE h* 32 n 3( E − Ec)12二、价带顶的状态密度①等能面为球面： ①等能面为球面h2k 2 E (k ) = Ev 2m* pg v ( E ) = 4π V ⋅(2 m * ) 3 2 p h3( Ev - E )1 2②实际材料： 价带顶在 价带顶在k=0，而且重空穴带 (mp)h和轻空穴带 (mp)l在布里渊区 而 空穴带 ( ( 在布 渊区 的中心处重合。
载流子浓度参考资料-霍尔系数法
霍尔系数和电阻率的测量把通有电流的半导体置于磁场中，如果电流方向与磁场垂直，则在垂直于电流和磁场的方向会产生一附加的横向电场，这个现象称为霍尔效应。
随着半导体物理学的发展，霍尔系数和电导率的测量已成为研究半导体材料的主要方法之一。
通过实验测量半导体材料的霍尔系数和电导率可以判断材料的导电类型、载流子浓度、载流子迁移率等主要参数。
若能测量霍尔系数和电导率随温度变化的关系，还可以求出材料的杂质电离能和材料的禁带宽度。
一、实验目的1. 了解霍尔效应实验原理以及有关霍尔元件对材料要求的知识；2. 学习用“对称测量法”消除副效应的影响，测量并绘制试样的V H -I S 和V H -I M 曲线；3. 确定试样的导电类型、载流子浓度以及迁移率。
二、实验原理霍尔效应从本质上讲是运动的带电粒子在磁场中受洛仑兹力作用而引起的偏转。
当带电粒子（电子和空穴）被约束在固体材料中，这种偏转就导致在垂直于电流和磁场的方向上产生正负电荷的积累，从而形成附加的横向电场，即霍尔电场。
对于图2.1 (a)所示的N 型半导体试样，若在X 方向的电极D 、E 上通以电流I S ，在Z 方向加磁场B ，试样中载流子（电子）将受洛仑兹力：B v e F g （2.1）其中，e 为载流子（电子）电量，v 为载流子在电流方向上的平均定向漂移速率，B 为磁感无论载流子是正电荷还是负电荷，Fg 的方向均沿Y 方向，在此力的作用下，载流子发生偏移，则在Y 方向即试样A 、A ’电极两侧就开始聚集异号电荷，在A 、A ’两侧产生一个电位差V H ，形成相应的附加电场E H ——霍尔电场，相应的电压V H 称为霍尔电压，电极A 、A ’称为霍尔电极。
电场的指向取决于试样的导电类型。
N 型半导体的多数载流子为电子，P 型半导体的多数载流子为空穴。
对N 型试样，霍尔电场逆Y 方向，P 型试样则沿Y 方向，有I S (X)、B (Z) E H (Y) < 0 (N 型)E H (Y) > 0 (P 型)(a) (b) 图2.1 样品示意图显然，该电场是阻止载流子继续向侧面偏移。
第三章 热平衡时非简并半导体载流子浓度
x x+L
L=a×N
在 x 和 x+L 处，电子的波函数分别为φ(x) 和 φ(x+L)
φ(x)=φ(x+L)
e ikx u ( x) e ik ( x L )u ( x L) u ( x) u ( x L) e
ikx
e
ik ( x L )
e ikL e ikNa 1 cos k L 1 k L 2n (n 0,1,2 ) 2n k L 2 4 k 0, , L L
2
电子态数变化dZ(E)：
2V dV 2V 2 dZ 4k dk 3 3 (2 ) (2 )
2mn 3 / 2 1/ 2 dZ ( E ) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
导带底附近单位能量间隔的电子态数— 量子态（状态）密度为：
*
2mn 3 / 2 dZ 1/ 2 gc (E) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
∴ 电子浓度no：
3/ 2
e
Ec E F kT
2k Tmdn no N / V 2 2 h
3/ 2
e
Ec E F kT
电子占据导带底Ec 的几率
令：
2k Tmdn Nc 2 2 h
3/ 2
—— 导带的有效状态密度
Ec EF kT
ky
• • • • • • • • • • • • • •
• • • • • •
•
• • • •
ky
小立方的体积为：
2 2 2 (2 ) L L L V
3
一个允许电子存在的状 态在 k 空间所占的体积
【半导体培训资料】第三章-热平衡时非简并半导体载流子浓度
若晶体的体积为 V，那么电子的浓度为：
Ec'
f (E)gc (E)dE
n N Ec
V
V
空穴占据能量 E 的几率为：1－f(E) 空穴的浓度 p 为：
EV
1 f (E)gV (E)dE
p EV ' V
式中 Ev＇为价带底的能量
gV(E)为价带中单位能量间隔含有的状
态数—价带的状态密度
§3.2 热平衡态时电子在量 子态上的分布几率
• • • •• •
kx • • • • • • • •
小立方的体积为：
2 2 2 (2 )3
LLL V
一个允许电子存在的状 态在 k 空间所占的体积
单位 k 空间允许的状态数为：
1
(2 )3
V
(2 )3
V
单位k空间体积内所含的允许状态数 等于晶体体积 V/(2 )3
－－k 空间的量子态（状态）密度
h2
3/ 2 EcEF
e kT
∴ 电子浓度no：
no
N
/V
2
2kTmdn
h2
3/ 2 EcEF
e kT
电子占据导带底Ec 的几率
令：
Nc
2
2kTmdn
h2
3/ 2
—— 导带的有效状态密度
EcEF
no Nce kT
导带中的电子浓度是 Nc 中有电子占据的 量子态数。
2. 空穴浓度po
●电子是按什么规律分布在这些能 量状态的？
假设：导带中单位能量间隔含有
的状态数为 gc(E)—导带的状
态密度
能量为 E 的每个状态被电子占 有的几率为 f(E)
则在能量 dE 内的状态具有 的电子数为：f(E)gc(E)dE
半导体载流子浓度计算公式(二)
半导体载流子浓度计算公式(二)半导体载流子浓度计算公式前言半导体载流子浓度是指在半导体材料中的电子（n型半导体）或空穴（p型半导体）的浓度。
准确计算半导体载流子浓度对于电子学领域的研究和应用至关重要。
本文将介绍几个常用的半导体载流子浓度计算公式，并给出相关的例子说明。
1. 等效载流子浓度（Intrinsic Carrier Concentration）等效载流子浓度是指在杂质和外加电场都不影响半导体材料时的载流子浓度。
根据经验公式，等效载流子浓度的计算公式如下：[](其中，[](例子：假设某半导体材料的禁带宽度为，在室温下（300K），计算等效载流子浓度。
根据上述公式，代入相应的数值计算可得： []( 2. n型半导体载流子浓度（Electron Concentration in n-type Semiconductor）n型半导体载流子浓度是指在n型半导体中电子的浓度。
根据斯文特方程，n型半导体载流子浓度的计算公式如下：[](其中，[](例子：假设某n型半导体的等效载流子浓度为1e10/cm^3，在室温下（300K），费米能级与内禀能级的差为，计算n型半导体载流子浓度。
根据上述公式，代入相应的数值计算可得： [](3. p型半导体载流子浓度（Hole Concentration in p-type Semiconductor）p型半导体载流子浓度是指在p型半导体中空穴的浓度。
根据斯文特方程，p型半导体载流子浓度的计算公式如下：[](其中，[](例子：假设某p型半导体的等效载流子浓度为5e12/cm^3，在室温下（300K），费米能级与内禀能级的差为，计算p型半导体载流子浓度。
根据上述公式，代入相应的数值计算可得： [](总结本文介绍了常用的半导体载流子浓度计算公式，并通过例子进行了解释说明。
这些公式在半导体材料的研究和应用中具有重要的意义，帮助我们准确计算半导体中电子和空穴的浓度，为电子学领域的发展做出贡献。
3.1 载流子浓度的一般表达式—2.分布函数(含非简并半导体)
2.分布函数
(1) 费米分布函数和费米能级
能量为E的量子态被电子占据的几率f(E)为：
f
E
1
1 exp E
EF
k0T
描述热平衡状态下电子
系统性质的参考量—— 费米能级
电子的费米分布函数/费米-狄拉克分布函数。
它描写热平衡状态下，电子在允许的量子态上如何分布的一 个统计分布规律。
E EF
则
f E 1
2
E EF
则
f E 1
2
E EF
则 f E 1
2
Ø 无论如何， E<EF的量子态，被电子占据的几率总是大于50%； E>EF的量子态，被电子占据的几率总是小于50%。
Ø EF是量子态基本上被电子占据或基本上空着的一个 分界线。
Ø EF的位置比较直观的标志了电子占据量子态的状况。 Ø EF标志着电子填充能级的水平。
(2)玻耳兹曼分布函数
E EF k0T
费米分布函数
f
E
1
1 exp E
EF
k0T
fB
E
exp
E EF k0T
exp
EF k0T
exp
E k0T
Aexp
E k0T
电子的玻耳兹曼统计分布函数
上式说明，在一定温度下，电子占据能量为E的量子态
的几率由指数因子
exp
E k0T
决定。
Ø玻耳兹曼分布函数是对费米分布函数 在 E EF k0T（高能态）时的近似。
E EF k0T 时，可以得到 空穴的玻耳兹曼分布函数：
1
f
E
exp
EF E k0T
B exp
简并半导体的载流子浓度
一、状态密度
导带和价带是准连续的，定义单位能量间隔内的量 子态数为状态密度
dZ(E) g( E )
dE
为得到g(E) ，可以分为以下几步： ♦ 先计算出k空间中量子态密度； ♦ 然后计算出k空间能量为E的等能面在k空间围成的体
积，并和k空间量子态密度相乘得到Z(E)； ♦ 再按定义dZ/dE=g(E)求出g(E)。
h3
School of Microelectronics
n0
Ncexp(
Ec - EF k0T
)
同理可以得到价带空穴浓度
p0
1 V
Ev'
[1
Ev
f(E)]gV (E)dE
Nv exp( Ev EF k0T
)
其中 Nv 2(2 m*p k0T)3 2 称为价带有效状态密度，因此
h3
p0
Nvexp(
3.1 导带电子浓度与价带空穴浓度
要计算半导体中的导带电子浓度，必须先要知道导带中能 量间隔内有多少个量子态。
又因为这些量子态上并不是全部被电子占据，因此还要知 道能量为的量子态被电子占据的几率是多少。
将两者相乘后除以体积就得到区间的电子浓度，然后再由 导带底至导带顶积分就得到了导带的电子浓度。
School of Microelectronics
1. k空间量子态密度
kx，ky，kz在空间取值是均匀分布的，k空间每个允许的 k值所占体积为 1 1 1 1 ，那么允许k值的密度为
L1 L2 L3 V
1/(1/V)=V 。 由于每个k值可容纳自旋方向相反的两个电子，所以考虑
自旋k空间电子的量子态密度是2V。
半导体物理第三章03
Ev EF p0 NV exp( ) k0T
都是由费米能级EF和温度T表示出来的，通 常把温度T作为已知数，因此这两个方程式 中还含有 n0, p0, EF三个未知数。
第三章03
2/56
为了求得它们，还应再增加一个方程 式。从3.3节(本征半导体的载流子浓度) 及3.4节(杂质半导体的载流子浓度)中 看到这第三个方程式就是在具体情况 下的电中性条件 (或称为电荷中性方程 式)。 无论是在本征情况还是只含一种杂质 的情况下，都是利用电中性条件求得 费米能级EF，然后确定本征的或只含 一种杂质的情况下的载流子统计分布 。
第三章03
19/56
式(3-85)就是施主杂质未完全电离情况下载流子浓 度的普遍公式。对此式再讨论如下两种情况: ①极低温时，N’c很小，而NA很大， N’C <<NA。 则得 (N N ) 4N (N N ) N N
n0
' ' 2 ' c A
2
c
A
c
D
A
2 4 Nc' 1 (ND N A ) N A2 2
这就是同时含有一种施主杂质和一种受主 杂质情况下的电中性条件。
第三章03
8/56
它的意义是半导体中单位体积内 的正电荷数 (价带中的空穴浓度与 电离施主杂质浓度之和)等于单位 体积中的负电荷数 (导带中的电子 浓度与电离受主杂质浓度之和)。
第三章03
9/56
当半导体中存在着若干种施主杂质和若干 种受主杂质时，电中性条件显然是:
上式表明在低温弱电离区内，导带中电子浓度与 (ND-NA)以及导带底有效状态密度Nc都成正比关系， 并随温度升高而指数增大。
杂质半导体的载流子浓度
杂质半导体的载流子分布摘 要：非简并杂质半导体的载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度所决定。
对于杂质浓度一定的半导体，随着温度的升高载流子则是从以杂质电离为主要来源过渡到以本征激发为主要来源的过程，相应地，费米能级则从位于 杂质能级附近逐渐移近禁带中线处。
费米能级的位置不但反映了半导体导电类型而且还反映了半导体的掺杂水平。
关 键 词：费米能级；状态密度；能量态；非简并结构；玻尔兹曼分布函数 引 言：实践表明，半导体的导电性强烈地随温度而变化。
实际上这种变化主要是由于半导体中载流子浓度随温度变化而变化所造成的。
因此，要深入了解半导体的导电性及其他许多性质必须探求半导体中载流子浓度随温度变化的规律，以及解决如何计算一定温度下半导体中热载流子浓度的问题。
半导体材料中总是含有一定量的杂质，所以研究杂质半导体的载流子分布具有重要意义。
为计算热平衡状态载流子浓度以及求得它随温度变化的规律，我们需先掌握两方面的知识：第一，允许的量子态按能量如何分布；第二，电子在允许的量子态中如何分布；然后根据量子统计理论[1]、电子的费米分布函数f （E ）及数学计算得到非简并杂质半导体的载流子浓度。
在求解过程中用到了电中性条件，由于得到数学表达式较为复杂，因此人们以温度T 为划分标准，划分为几个不同温度区域来近似讨论。
分区是一种非常有用的方法，往往能够使非常复杂的问题进行简化并得到理想的结果。
1 费米能级状态密度概念：假定在能带中能量E~（E+dE ）之间无限小的能量间隔内有dZ 个量子态，则状态密度g(E)为()dZ g E dE= 。
物理意义是：状态密度g(E)就是在能带中能量E 附近每单位能量间隔内的量子态数。
在k 空间中，以|k |为半径作一球面，等能面是球面的情况下，通过计算可得到，导带低附近状态密度g(E)为[2]*3/21/23(2)()4()n c c m dZ g E V E E dE hπ==- （） ，其中*n m 导带低电子有效质量。
半导体的数值计算公式
半导体的数值计算公式引言。
半导体材料是一类在电子学和光电学中具有重要应用的材料，其电子输运性质的计算对于半导体器件设计和性能优化具有重要意义。
本文将介绍半导体的数值计算公式，包括载流子浓度、载流子迁移率和载流子扩散系数等重要参数的计算方法。
载流子浓度的计算。
半导体中的载流子浓度是指单位体积内自由载流子的数量，其计算公式为：\[n = N_c \exp\left(\frac{E_c E_f}{kT}\right)\]\[p = N_v \exp\left(\frac{E_f E_v}{kT}\right)\]其中，\(n\)表示电子浓度，\(p\)表示空穴浓度，\(N_c\)和\(N_v\)分别为价带和导带的有效状态密度，\(E_c\)和\(E_v\)分别为导带和价带的能量，\(E_f\)为费米能级，\(k\)为玻尔兹曼常数，\(T\)为温度。
通过这些公式，可以计算出半导体中的电子和空穴浓度。
载流子迁移率的计算。
载流子迁移率是指载流子在半导体中移动的速度，其计算公式为：\[μ_n = \frac{eτ_n}{m_n}\]\[μ_p = \frac{eτ_p}{m_p}\]其中，\(μ_n\)和\(μ_p\)分别表示电子和空穴的迁移率，\(e\)为电子的电荷，\(τ_n\)和\(τ_p\)分别为电子和空穴的平均寿命，\(m_n\)和\(m_p\)分别为电子和空穴的有效质量。
通过这些公式，可以计算出半导体中电子和空穴的迁移率。
载流子扩散系数的计算。
载流子扩散系数是指载流子在半导体中扩散的速度，其计算公式为：\[D_n = \frac{kT}{e}μ_n\]\[D_p = \frac{kT}{e}μ_p\]其中，\(D_n\)和\(D_p\)分别表示电子和空穴的扩散系数，\(k\)为玻尔兹曼常数，\(T\)为温度，\(e\)为电子的电荷，\(μ_n\)和\(μ_p\)分别为电子和空穴的迁移率。
通过这些公式，可以计算出半导体中电子和空穴的扩散系数。
半导体中载流子的统计分布
•同理，价带顶状态密度：
•gv(E)与gc(E)有相同的形式
•为空穴态密度有效质量 •由此可知： 状态密度gc(E)和gv(E)与能量 成正比，还 与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态 密度大。
•§3.2 费米能级和载流子统计分布
•一、载流子浓度的求解思路：
•(1)、 f(E)与体系所处的温度T直接相关
•T＞0k
•EF
电子占据
的界限
当T=0k时，
若E＜EF, f(E)=1 若E＞EF, f(E)=0
•1/2
•1 •f(E
)
若E＜EF, f(E) ＞1/2
若E＝EF, f(E) ＝1/2
若E＞EF, f(E) ＜1/2
•例子：当量子态的能量比费米能级高
•强n型
•费米能级的位置标志着电子填充水平的高低
•三、波尔兹曼（Boltzmann）分布函数
•1.电子的玻氏分布
•玻尔兹曼分布
•例如：E－EF=5kT时，
•可见，此时费米分布几率和波尔兹曼分布几 率
•基本相等。当E－EF＞＞kT时，量子态被电子 占据的概率很小，泡利不相容原理失去作用，
•对于本征 Si:
可以严格证明，杂质能级上电子占据的几率为：
半导体中载流子的统计分布
•中心问题：
•半导体中载流子浓度随温度变化的规律； •计算一定温度下半导体中热平衡载流子浓度。
•主要内容：
•●状态密度 •●费米能级和载流子的统计分布 •●本征半导体载流子浓度的计算 •●杂质半导体载流子浓度的计算 •●简并半导体载流子浓度的计算
•§3.1 状 态 密 度
态上的统计分布就能完全确定！
•2、费米能级EF的特点：
L3-半导体中的载流子(2)
§3 半导体中的载流子(2)
3.3 电导率和迁移率 霍尔效应
载流子的漂移运动是电场加速和散射的结果，两 者的共同作用使载流子在恒定外场下有稳定的漂 移速度。 迁移率一方面取决于有效质量，另一方面取决于 散射几率。 半导体的主要散射机构 3 _ ①电离杂质的散射 Pi N i T 32 ②晶格振动的散射 Ps T 2 在较高温度下，以晶格散射为主，在较低温 度下，以杂质散射主。 影响电导率的主要因素有载流子浓度，温度，散射 22
III
强电离区(饱和区)
ND ND ， 这时大部分杂质都已经电离，这时
于是有ED-EF>>kBT，因而费米能级EF位于ED之 下，由：
NC e ( EC EF ) / kBT N D
得到：
ND EF Ec k BT ln NC
6
§3 半导体中的载流子(2)
3.1 费米能级与载流子浓度的计算
3.3 电导率和迁移率 霍尔效应
电导率和迁移率 霍尔效应
(1) 电导率和迁移率 以空穴在半导体内的运动为例 dt内空穴通过ds的电荷量
dQ qpdsvp dt
单位时间流过垂直于电流方向的单位面积的 电荷即电流密度
dQ Jp qpv p dsdt
18
§3 半导体中的载流子(2)
3.3 电导率和迁移率 霍尔效应
外加电场时，空穴在电场力作用下沿电场方 向作定向运动。 载流子在电场作用下的定向运动称为漂移运 动，定向运动的速度称为漂移速度Vd 。
一般情况下，漂移运动速度正比于外电场
即 dp p E
其中p为空穴迁移率， 所以
J p qpu p E
19
§3 半导体中的载流子(2)
半导体物理学第三章半导体中载流子统计分布 96页
3.1.1 k空间中量子态的分布
每个允许的能量状态在k空间中与由整 数组（nx，ny，nz）决定的一个代表点 （ kx，ky，kZ ）相对应
对于边长为L的立方晶体
kx = 2πnx/L (nx = 0, ±1, ±2, …) ky = 2π ny/L (ny = 0, ±1, ±2, …) kz = 2π nz/L (nz = 0, ±1, ±2, …)
当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况 下，系统中增加一个电子所引起的系统的自由能 的变化等于系统的化学势也即为系统的费米能级
处于热平衡状态的系统有统一的化学势，则处于 热平衡的状态的电子系统有统一的费米能级
2、费米能级EF的意义
T=0: 当E<EF时， fF(E)=1, 当E>EF时，fF(E)=0, T>0: 当E<EF时， 1/2< fF(E)<1 当E=EF时， fF(E)=1/2 当E>EF时，0<fF(E)<1/2
k空间状态分布
在k空间中，每一代表点（一个能量状态）的体
积= (2π)3/L3= (2π)3/V，则K空间中代表点的密 度为V/8π3 ，即电子允许的能量状态密度为 V/8π3 。
一个能量状态能容纳 自旋相反的两个量子 态。则在k空间中，电 子的允许量子态密度 是2 V/8π3 。此时一 个量子态只能容纳一 个电子
在室温下(300K) k0T0.02e6v
它与半导体的禁带宽度相比还是很小的，如： Si的Eg＝1.12 eV。
例: 室温时硅(Si)的Ei就位于禁带中央之下约为 0.01eV的地方.也有少数半导体,Ei相对于禁带 中央的偏离较明显.如 InS，b
在室温下,本征费米能级移向导带
第 2 章 平衡半导体中的载流子浓度
第 2 章 平衡半导体中的载流子浓度
第 2 章 平衡半导体中的载流子浓度
式( 2. 8 )给出了在体积为 a3的晶体中能量在 E 到 E +d E 之间的量子态数，按照状态密度的定义，在单位体积、单位 能量间隔中的导带电子的状态密度为
需要说明的是，式( 2. 9 )只在 E ≥ E c 时有效。因此状态 密度同时是体积密度和能量密度，是双重密度函数，状态密 度的值和载流子的有效质量有关。
要想掌握任何半导体器件的工作原理，推导出它的电流 电压特性，必须首先能计算出半导体在平衡状态下的电子和 空穴两种载流子的浓度，因为电流是由载流子的定向运动产 生的。这就是这一章主要要解决的问题。
第 2 章 平衡半导体中的载流子浓度
2. 1 状态密度函数和费米分布函数
晶体中的电子是不可分辨的，而且按照以前学过的泡利 不相容原理，一个量子态上仅允许被一个电子占据。因此要 计算载流子的浓度，就等于计算被电子占据的量子态的数量。 要计算被电子占据的量子态的数量，首先要了解状态密度分 布的函数，了解量子态按能量的分布，即知道在导带中单位 能量间隔 d E 内有多少量子态。
第 2 章 平衡半导体中的载流子浓度
图 2.5 T =300K 时， 1- f ( E )(虚线)和 f ( E )(实线)与能量的关系
第 2 章 平衡半导体中的载流子浓度
[例 2.3 ] 证明在费米能级以上 Δ E 的量子态被电子占据 的概率和在费米能级以下 Δ E的量子态为空状态的概率相等。
第 2 章 平位体积、单位能量间隔中存在的量
子态数，其定义式为
为了计算出状态密度，利用了 k 空间的状态分布，先计 算出 k 空间的状态密度，再计算出在 k 空间能量分布在 E ~ E +d E 范围内的体积，二者相乘得到了 E ~ E +d E 范围内 存在的量子态数 Z ( E )，再代入式( 2.1 )中计算得到状态密 度。
第三章半导体 重点知识
价带顶态密度
1 V （ 2m ） gV ( E ) = （ EV E） 2 2 2π
3 * 2 p 3
结论：导带底和价带顶附近， 结论：导带底和价带顶附近，单位能量间隔内的量子 态数目，随载流子的能量增加按抛物线关系增大， 态数目，随载流子的能量增加按抛物线关系增大，即 能量越大，状态密度越大。 能量越大，状态密度越大。
3.2 费米能级和载流子的统计分布
费米分布函数f(E) 费米分布函数f(E) 热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统 计分布规律性 根据量子力学，电子为费米子，服从费米分布
f (E) =
1 1+ e
E EF k 0T
f(E)表示能量为E f(E)表示能量为E的一个量子态被一个电子占据 的概率。E 的概率。EF表示平衡状态的参数称为费米能级
2 2 C * n
得到K的表达式，并求导，得到KdK关于dE的表达式 5. 代入步骤3的结果，得到dZ与dE关系式
* dZ V ( 2mn )3 / 2 6. 根据定义 g ( E ) = = ( E EC )1/ 2 dE 2π 2 3
结论
3.1状态密度 3.1状态密度
3 * 2 n 3
1 V （2m ） 2 （E EC） 导带底态密度 g c ( E ) = 2 2π
1 f (E) = e
EF E k 0T
3.2 费米能级和载流子的统计分布
3。简并半导体和非简并半导体 。
简并半导体：掺杂浓度高，对于 型半导体 其费米能级E 型半导体， 简并半导体：掺杂浓度高，对于n型半导体，其费米能级 F 接近导带或进入导带中； 型半导体， 接近导带或进入导带中；对于 p型半导体，其费米能级 F 型半导体 其费米能级E 接近价带或进入价带中的半导体 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级EF在禁带中的 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级 半导体 n型半导体 型半导体 非简并 弱简并 简 并
半导体物理课件简并半导体及其载流子浓度
到
)]Nc
所以 ND Nc
2 π
F1 2 (
Ec EF k0T
)[1 2exp( ΔED )exp( Ec EF
k0T
k0T
)]
简并时Ec－EF=0，ξ=0，根据图3.4得到F1/2(0)≈0.6，所
以
Nc
2 π
F1 2(
Ec EF k0T
)
图图33不同分布函数得到的n0nc与与efeck0t关系????????????tkeetkeeeefcfcfc002200简并弱简并非简并如果si中施主浓度为nd施主杂质电离能为ed根据电中性条件n0nd入代入nd的和简并时的n0表达式得到所以时简并时ecef00图根据图34得到f12006所以tkee2exp1ntkeecf2nc0fdd0f21??????tkeecexptke2exp1tkeecf2ncn0f0d0f21d??????nctke2exp0681n0dd??究竟什么样的掺杂浓度会发生简并呢
k0T
k0T
化简为
n0
2
x1 2
Nc
dx
π
1 e xξ
0
一、简并半导体的载流子浓度
其称中 为积费分米-狄0 1 拉x1e2克xξ d积x 分F1，2 ( 因Ec此k0TE简F 并) F半1 2导( ξ )体的n0
表达式为
n0
2 π
NcF1 2 ξ
ξ Ec EF k0T
同理，对于p型半导体，有
p0
2 π
NV F1 2 ξ
ξ EF EV k0T
注：简并半导体中少子浓度与非简并无明显差别。
费米-狄拉克积分F1/2(ξ)与ξ的关系：
二、简并化条件
3.1 载流子浓度的一般表达式—3.一般表达式;基本特征;电中性方程
半导体的基本特征 Ø 本征半导体 Ø n型半导体 Ø p型半导体
EF=Ei ; n0=p0 EF>Ei ; n0>p0 EF<Ei ; n0<p0
电中性方程
Ø 本征半导体：
n p
Ø 只有施主的n型半导体： n nD p
Ø 只有受主的p型半导体： p n pA-
Ø 同时有施主和受主的半导体：
热平衡状态下非简并半导体
价带空穴浓度
p0
1 V
Ev Ev'
1
f
E
gv
E dE
Nv
exp
Ev EF k0T
其中 Nv 2
2 m*pk0T
h3
32
2
m*p k0T
2 2
3
2
为价带有效状态密度。
300K时，Si、Ge、GaAs的导带有效状态密度和价带有效状态密度
Nc (cm-3) Nv (cm-3)
2 2
3
2
为导带有效状态密度
Nc表示导带中的等效量子态数目，即把能带中所有量子态都 等效到导带底。
电子占据能量为Ec的量子态的几率：fB
Ec
exp
Ec EF k0T
因此，导带中的电子浓度可写为：
n0 Nc fB Ec
把导带中所有量子态都集中在导带底处，其状态密度为Nc， 则导带中的电子浓度是Nc中被电子占据的量子态数。
GaAs 0.068m0 0.47m0
Ø 热平衡态非简并半导体导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0
一般表达式：
n0
Nc
exp
Ec EF k0T
p0
Nv
exp
Ev EF k0T
3.1 载流子浓度的一般表达式—1.状态密度
第三讲半导体中载流子的统计分布3.1 载流子浓度的表达式•k 空间的量子态密度Ø 状态密度g (E )表示在能带中能量E 附近单位能量间隔内的量子态数。
•d Z 或Z (E )d Z =k 空间量子态密度×能量间隔对应的k 空间体积Ø 计算状态密度的方法()()EE Z E g d d =Z (E )= k 空间量子态密度×能量为E 的等能面在k 空间的体积1. 状态密度E 到E +d E 内的量子态数•代入状态密度定义式，求出g (E )33388L V ππ=每一个代表点都与体积为 的一个小立方体相联系即k 空间中，电子的状态密度是若考虑电子的自旋，量子态密度是在k 空间，波矢k 的取值为：38Vπ328V π（1）k 空间的量子态密度()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±±==±±==±±== ,2,1,02,2,1,02,21,02z z z y y y x x x n L n k n L n k ,n L n k πππacb对于Si 、Ge 来说，在导带底附近等能面为旋转椭球面,假设有s 个能谷，在每个能谷附近：2222c ()2x yz t l k k k E k E m m ⎡⎤+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()222c c c 2221222yxzttlkkkm m m E E E E E E ++=---（2）导带底附近的状态密度abcπ4每个椭球的体积：其中， ，为导带底电子状态密度有效质量()13*22n dn t lm m s m m==导带底（附近）状态密度为：()()()()32*12c c 232d d 2nm Z E V g E E E E π==- s 个旋转椭球内的量子态数：324()83V Z E s abcππ=⋅⋅k 空间的状态密度s 个椭球对应的k空间的体积在实际的硅、锗中，价带顶在布里渊区的中心，而且重空穴带 (m p )h 和轻空穴带 (m p )l 在k =0处重合。
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(2)玻耳兹曼分布函数
E EF k0T
费米分布函数
f
E
1
1 exp E
EF
k0T
fB
E
exp
E EF k0T
exp
EF k0T
exp
E k0T
Aexp
E k0T
电子的玻耳兹曼统计分布函数
上式说明，在一定温度下，电子占据能量为E的量子态
的几率由指数因子
exp
E k0T
3.1 载流子浓度的表达式
2.分布函数
(1) 费米分布函数和费米能级
能量为E的量子态被电子占据的几率f(E)为：
fE1源自1 exp EEFk0T
描述热平衡状态下电子
系统性质的参考量—— 费米能级
电子的费米分布函数/费米-狄拉克分布函数。
它描写热平衡状态下，电子在允许的量子态上如何分布的一 个统计分布规律。
非
简
并
EF
半
导
体
Ø价带中的空穴服从玻耳兹曼分布函数
ØEF位于禁带内，且与导带底或价带顶的距离远大于k0T
E EF
则
f E 1
2
E EF
则
f E 1
2
E EF
则 f E 1
2
Ø 无论如何， E<EF的量子态，被电子占据的几率总是大于50%； E>EF的量子态，被电子占据的几率总是小于50%。
Ø EF是量子态基本上被电子占据或基本上空着的一个 分界线。
Ø EF的位置比较直观的标志了电子占据量子态的状况。 Ø EF标志着电子填充能级的水平。
Ø 处于热平衡状态的电子系统具有统一的EF
Ø 只要知道了EF，在一定温度下，电子在各量子态上的统计 分布也就完全确定了。
分析费米分布函数的性质：
f
E
1
1 exp E
EF
k0T
T=0K 时：
E EF 则 f E 1
E EF 则 f E 0
f
E
1
1 exp E
EF
k0T
T >0K 时：
Ø 随着温度升高，E<EF的量子态被 电子占据的几率减小；而E>EF的 量子态被电子占据的几率增大。
决定。
Ø玻耳兹曼分布函数是对费米分布函数 在 E EF k0T（高能态）时的近似。
E EF k0T 时，可以得到 空穴的玻耳兹曼分布函数：
1
f
E
exp
EF E k0T
B exp
E k0T
Ø 电子的分布函数和空穴的分布函数关于EF对称
Ø导带中的电子服从玻耳兹曼分布函数