等差数列典型例题及分析

第四章 数列

[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.正解：（1）a n =3n －2;

(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.

[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12

++=n n S n

求数列{}n a 的通项公式。

正解： ①当1=n 时，1

11==S a 当2≥n 时，3

4)1()1(222

2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，3

11==S a 当2≥n 时，n

n n n n a n 21)1()1(12

2=-----++= ∴ ⎩⎨

⎧=n a n 23

)

2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。

正解：由题意：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+70

2293030102

9101011d a d a 得152,521=

=d a 代入得S 40 ＝120402

39

40401=⨯⨯+

d a 。 [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；

正解： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2

)

545(n n n n n n

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

由此可以确定求其前n 项和的公式吗？

[例7]已知：n

n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为

最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） ⎩⎨

⎧<-=≥-+=+0

2lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 1024

2lg 1024<<⇒+≤<⇒n n

∴3402

=n （2） 0)2lg (2

)

1(1024=--+

=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令：0=n S 即 1024+0)2lg (2

)

1(=--n n 得：99.680412

lg 2048

≈+=

n ∵ +∈N n ∴6805

=n [例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02

=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2

222=+++-p n x p n x 的根。 （02>n S ） 证明：依题意p a a n n =++1

∵p a a a a n n n =+=++121 ∴np

a a n S n n =+=

2

)

(2212 ∵0

)lg (lg lg )lg (lg lg 2

2

2

2

=+++-p n x p n x ∴ 0)lg (lg 2

=-np x ∴n S np x 2== （获证）。 四、典型习题导练

1．已知n

n n S a a 2311+==-且，求n a 及n S 。

2．设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n Λ，求证：2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n 。3.求和: n

+++++++++++

ΛΛ3211

321121114.求和： )

12()34()9798()99100(2

22

2

2

2

2

2

-+-++-+-Λ5.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---2

2

2

,,依次成等差数列.6.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）。

A ．72

B ．60

C ．48

D ．36

7. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。8.已知数列⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧

+21n a 成等差数列，且713

,6115

3-=-=a a ，求8a 的值。§4.2等比数列的通项与求和

三、经典例题导讲

[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n

（q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。

A.等差数列

B.等比数列

C.既不是等差数列，也不是等比数列

D.既是等差数列，又是等比数列正解：当n ＝1时，a 1=S 1＝aq;

当n>1时，)1(1

1-=-=∴--q aq S S a n n n n

q a a n

n =∴

+1

（常数） 但q q a a ≠-=11

2

Θ

∴{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列，选C 。

[例2] 已知等比数列{}n a 的前n 项和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于. 错解：S 30= S 10·q 2

. ∴ q 2

＝7，q ＝7±

，∴ S 40= S 30·q =770±.

错因：是将等比数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等比数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等比数列.

正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--701)1(101)

1(30

1101q

q a q q a 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=-)

(3210110101舍去或q q q a ， ∴S 40=

20011401

=--）（q q

a . [例3] 求和：a+a 2

+a 3

+…+a n

.

错解： a+a 2

+a 3

+…+a n

＝a

a n

--11.

错因：是（1）数列｛a n

｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n 项和公式（2）用