4 拉丁方设计解析

2 T r
横行平方和：SS r k ( xr x) 2 纵列平方和：SS
c
k
2 T c
C
k ( xc x)
2

k
2 t
C
处理平方和：
SSt k ( xt x)
2
T k
C
误差平方和：SS SS - SS - SS - SS e T r c t
2×2 拉丁方
A B
B A A B C B C A C A B A B C D B C D A C D A B D A B C
3×3 拉丁方
4×4 拉丁方
标准方（standard square）：是指代表处理的字母， 在第一行和第一列皆为顺序排列的拉丁方。
2×2 标准拉丁方
A B
B A
3×3 标准拉丁方
总 和
44+48+32+43+41=208 38+32+27+41+30=168 37+36+26+37+30=166 38+40+30+28+27=163 T=882
41.6 33.6 33.2 33.6
(2)平方和和自由度的分解 平方和的分解：
Ⅴ E(38) A(35)
D(26) C(41) B(41)
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ Ⅳ Ⅴ
(1)原始资料的整理 将试验结果整理成横行、纵列两向表：
横行 区组 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 纵列区组 Ⅰ D(37) B(48) C(27) Ⅱ A(38) E(40) B(32) Ⅲ C(38) D(36) A(32) Ⅳ B(44) C(32) E(30) Ⅴ E(38) A(35) D(26) Tr 195 191 147
饲料号
泌乳时间 Ⅰ Ⅱ 牛号 Ⅲ Ⅳ Ⅴ
一月 二月 三月 四月 五月 2 5 1 3 4 4 3 2 1 5 1 2 4 5 3 5 4 3 2 1 3 1 5 4 2
拉丁方设计
处理间
误差
变异
行区组
列区组
二、结果分析
拉丁方试验的任一观测值的线性模型为：
xij (t ) i j (t ) ij (t )
3
1 2 C E
2
B A
1
A B
4
D C
5
E D
1
2 3 4 5
A
B C D E
B
A D E C
C
E A B D
D
C E A Bຫໍສະໝຸດ Baidu
E
D B C A
3
4 5
A
B D
D
E C
C
D E
E
A B
B
C A
一、拉丁方设计
3. 行随机 按照行随机数字串的排列顺序“25431”进行行随机。
3
1 2 C E
2
B A
1
标准方个数 1 1 4 56 9408 16942086
拉丁方总数 2 12 576 161280 812851200 61479419904000
A B C
B C A
C A B
对试验单元分组时，可以依据两个相互独立的变异来源进 行，一个变异来源对应拉丁方的行，称为行区组；另一个变 异来源对应于拉丁方的列，称为列区组。 划分区组的原则与随机完全区组设计相同，只是多了一个 方向的局部控制。
(3)列方差分析表进行F检验
变异来源 横行（乳牛）间 纵列（月份）间 处理（饲料）间 误 差 df 4 4 4 12 SS 3224 2144 50504 7352 S2 536.00 806.00 12626.00 612.67 20.61** 3.26 5.41 F F0.05 F0.01
总变异
A B C
B C A
C A B
4×4标准拉丁方
5×5标准拉丁方
注：5×5标准拉丁方有56种，此为部分标准拉丁方
将标准方的行、列进行调换，可以转化出许多不同的拉丁方，
k k标准方
k!(k 1)!
表1 k×k的标准方个数和拉丁方总数
k× k 2× 2 3× 3 4× 4 5× 5 6× 6 7× 7
泌乳时间 Ⅰ Ⅱ
牛号 Ⅲ Ⅳ
一月 A B
C D
二月 B A
D E
三月 C E
A B
四月 D C
E A
五月 E D
B C
Ⅴ
E
C
D
B
A
一、拉丁方设计
1. 选择标准方
列随机
32154
行随机
25431
处理随机
51342
一、拉丁方设计
2. 列随机
按照列随机数字串的排列顺序“32145”进行列随机。 1 2 3 4 5
3.08 3.77 4.20 4.51
q0.01
4.32 5.04 5.50 5.84
LSR0.05
34.096 41.734 46.494 49.926
LSR0.01
47.822 55.793 60.885 64.649
(4)饲料间多重比较
差异显著性 α=0.05 α=0.01 a a A A
饲料
每个试验单元随机地接受一种处理。
试验设计与统计分析
概述
对比设计及分析
区组设计及分析 拉丁方设计及分析 裂区设计及分析 正交设计及分析 （latin square design）
“拉丁方（latin square）”一词最早是由 英国统计学家R. A. Fisher 提出的。 其含义是：将k个不同符号（字母或数字） 排列成k×k方块，使得每一个符号在每一行、 每一列都仅出现一次。
SS c
T
k T k
t
2 c
2
SS t
SS e SS T - SS r - SS c - SS t 7352
(2)平方和和自由度的分解
自由度的分解：
dfT=k×k-1=25-1=24
dfr =k-1=5-1=4
dfc =k-1=5-1=4 dft =k-1=5-1=4 dfe =dfT - dfr - dfc - dft=12
总自由度：
dfT=k×k-1
横行自由度： dfr =k-1
纵列自由度： dfc =k-1 处理自由度： dft =k-1 误差自由度： dfe =dfT - dfr - dfc - dft
表3 饲料类型对乳牛产乳量影响的试验资料
泌乳时间 Ⅰ 一月 2 300 4 420 1 350 5 280 3 400 二月 5 320 3 390 2 360 4 400 1 380 三月 1 390 2 280 4 400 3 390 5 350 四月 3 390 1 370 5 260 2 280 4 430 五月 4 380 5 270 3 400 1 370 2 320
如果前一阶段有残效，在后一阶段的试验中，就会
产生系统误差而影响试验的准确性。此时应根据实
际情况，安排适当的试验间歇期以消除残效。
横行、纵列区组因素与试验因素间不存在交互作用 ， 否则不能采用拉丁方设计。
例2：有A、B、C、D、E 5个水稻品种作比较试验，其中E为 标准品种，采用5×5拉丁方设计，其田间排列和产量结果见 下表，试进行统计分析。
（i = 1,2,…,k; j = 1,2,…k, k = 1,2,…k）
式中: μ 为总体平均数，
i 为横行的效应，
j 为纵列的效应，
ij (t ) 为独立的随机误差，具有 N (0, 2 )。
t 为处理的效应，
平方和与自由度的分解为：
SST = SSr+SSc+SSt+SSe
4号 3号
平均产乳量
406 394
1号
2号 5号
372
308 296
a
b b
A
B B
☼ 饲料4号、3号和1号的产乳量极显著高于饲料2号和5号；
☼ 饲料4号、3号和1号间差异未达显著； ☼ 饲料2号和5号间差异未达显著。
在进行拉丁方试验时，某些区组因素，如奶牛的泌
乳阶段，试验因素的各处理要逐个在不同阶段实施，
表4 水稻品比5×5拉丁方试验的产量结果(kg)
横行 区组
纵列区组
Ⅰ D(37) B(48)
C(27) E(28) A(34)
Ⅱ A(38) E(40)
B(32) D(37) C(30)
Ⅲ C(38) D(36)
A(32) B(43) E(27)
Ⅳ B(44) C(32)
E(30) A(38) D(30)
5 4 3 1
E
D B A C
A
C E D B
B
E D C A
C
B A E D
D
A C B E
2
5 4 3 1
2
4 1 5 3
5
3 2 4 1
1
2 4 3 5
3
1 5 2 4
4
5 3 1 2
2 5 4 3 1
3 2 4 1 5 3
2 5 3 2 4 1
1 1 2 4 3 5
4 3 1 5 2 4
5 4 5 3 1 2
1. 选择标准方
根据试验的处理数k选一个k×k的标准方。
例1：研究5种不同饲料对乳牛产乳量影响的试验 饲料
5种不同饲料（分别用1、2、3、4、5表示）
个体
时期
5头乳牛（分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ）
5个泌乳期（分别为一月、二月、三月、四月、五月）
5×5拉丁方设计。
一、拉丁方设计
1. 选择标准方
表2 饲料类型对乳牛产乳量影响的拉丁方设计
Ⅱ
牛号 Ⅲ Ⅳ
Ⅴ
(1)原始资料的整理
将试验结果整理成横行、纵列两向表：
泌乳时间 Ⅰ Ⅱ 一月 2 300 4 420 二月 5 320 3 390 三月 1 390 2 280 四月 3 390 1 370 五月 4 380 5 270 Tr 1780 1730
牛号
Ⅲ
Ⅳ Ⅴ Tc
1 350
5 280 3 400 1750
(2)平方和和自由度的分解
T 8880 3154176 k k 5 5
2 2
平方和的分解：
C
SST x2 C 3002 3202 3202 3154176 63224
SS r T k
2 r 2 2 2 （ 1780 1730 1880 ） C 3154176 3224 5 2 2 2 （ 1750 1850 1740 ） C 3154176 2144 5 2 2 2 （ 1480 1860 1540 ） C 3154176 50504 5
果树树龄
果树试验
树 体 长 势 平行于玻璃或膜
温室盆栽
平 行 于 墙
一、拉丁方设计 拉丁方设计在行和列两个方向都应用了局 部控制，使得行、列两向皆成区组。因此在试 验结果的统计分析上要比随机区组多一项区组 间变异。
当行间、列间皆有明显差异时，其行列两
个区组的变异可以从试验误差中分解出来。
一、拉丁方设计
A B
4
D C
5
E D 2 5 4
3 E D B
2 A C E
1 B E D
4 C B A
5 D A C
3
4 5
A
B D
D
E C
C
D E
E
A B
B
C A
3
1
A
C
D
B
C
A
E
D
B
E
一、拉丁方设计
4. 处理随机 处理的“51342”排列顺序即5=A, 1=B, 3=C, 4=D, 2=E 按照处理随机数字串的排列顺序“51342”进行处理随 机。 3 2 1 4 5 3 2 1 4 5 2
df T = dfr+ dfc+ dft+dfe
式中: r 表示横行, r = 1,2,…,k； c 表示纵列, c = 1,2,…,k; t 表示处理, t = 1,2,…k;
e 表示随机误差。
校正数：
T2 C k k
2 SS ( x x ) 总平方和： T
x2 C

Ⅳ Ⅴ
Tc
E(28) A(34)
174
D(37) C(30)
177
B(43) E(27)
176
A(38) D(30)
174
C(41) B(41)
181
187 162
T=882
(1)原始资料的整理
各品种总和和品种平均数 品 A 种 Tt 38+35+32+38+34=177 xt 35.4
B C D E
不同捕蛾灯的捕蛾效果比较试验。
不同的灯位？
不同的日期？ 烟叶毒素病不同毒素浓度诱病试验。 不同植株？ 同一植株上不同部位的叶片（老、嫩）？
如何将试验单元的两个干扰因子最大程度地减小？
拉丁方设计
双向随机区组设计
将试验单元按这两个干扰因子从两个方向划分区组， 在每个区组组合中安排一个试验单元，
24
63224
♠ ♠
乳牛和月份间的差异不是试验的目的，不需比较； 5种不同饲料间存在着极显著的差异，需作多重比较。
(4)饲料间多重比较
q法
2 se 612.67 sx 11.07 k 5
由dfe=12，秩次距k=2、3、4、5，查表得临界q值， 并求解LSR值。
k
2 3 4 5
q0.05
2 360
4 400 1 380 1850
4 400
3 390 5 350 1810
5 260
2 280 4 430 1730
3 400
1 370 2 320 1740
1770
1720 1880 T=8880
(1)原始资料的整理
将试验结果整理成处理的总和与平均数表：
饲料 Tt xt 5号 1480 296 1号 1860 372 3号 1970 394 4号 2030 406 2号 1540 308 总和 T=8880