上海市建平中学2021届高三下学期开学考试数学试题

建平中学高三数学练习

2021.02.24

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合{}1,3,5A =，()2,B =+∞，则A B =__________.

2. 复数11i

z i

-=

+的实部为___________. 3. 已知球的半径为3，则它的体积为__________. 4. 已知1cos 23πθ⎛⎫

-=-

⎪⎝⎭

，则()cos 2θ=__________.

5. 若直线1l ：210mx y ++=与2l ：43y x =+互相垂直，则实数m =__________.

6. 已知0a >且1a ≠，设函数2,3

()3log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨

+>⎩

的最大值为1，则实数a 的取值范围是___________.

7. 若多项式82

7801278(2)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x +=+++++

++++，则17a a +的值为_________.

8. 若抛物线2

4y x =的准线与曲线22

1(0)4

x y y a +=≥只有一个交点，则实数a 的取值范围是__________. 9. 甲和乙等六名志愿者参加进博会A ，B ，C ，D ，E 五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为_____________.（结果用数字表示） 10. 已知ABC △中，23

A π

∠=，4AB =，若点D 在边BC 上，且2BD DC =

，AD =，则AC 的

长为___________.

11. 有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，

1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫

==≤≤∈⎨

⎬⎩⎭

的所有非空子集的“积数”的和为___________.

12. 已知()y f x =是奇函数，定义域为[]1,1-.当0x >时，()21

1()10,4x f x x Q ααα-⎛⎫

=-->∈ ⎪

⎝⎭

，当函

数()()g x f x t =-有3个零点，实数t 的取值范围是__________.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，

将代表答案的小方格涂黑.选对得5分，否则一律得零分.

13. 已知实数A ，B ，C 满足0ABC ≠，则“0ABC >”是“方程2

2

Ax By C +=表示的曲线为椭圆”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 非充分非必要条件

14. 当1m ≠±时，方程组1

2mx y m x my m

+=+⎧⎨+=⎩的解的情况为（ ）

A. 仅有唯一解

B. 有唯一解或无穷多解

C. 无解或无穷多解

D. 有唯一解或无解

15. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值为（ ）

A. 2

B.

3

C.

13

D.

43

16. 已知ABC △的外接圆圆心为O ，6

A π

∠=

，若(),AO xAB yAC x y R =+∈，则x y +的最大值为（ ）

A. 4+

B. 4-

C.

2

D.

4

三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.

17. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，ABC △是边长为4的正三角形，侧棱PB 与底面所成角为

3

π.

（1）求三棱锥P ABC -的体积V ；

（2）若D 为PB 中点，求异面直线PA 与CD 所成角的大小.

18. 已知函数2()cos f x x x x =

+.

（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；

（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(

)2

f A =

，1b =，ABC △

的面积为a 的值. 19. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度v （单

位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：()60,020

70,20120140x v k R k

x x <≤⎧⎪

=∈⎨-<≤⎪-⎩

.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时. （1）若车流速度v 不小于50千米/小时，求车流密度x 的取值范围；

（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.

20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点31,2Q ⎛⎫

⎪⎝⎭

.A

为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .

（1）求椭圆Γ的标准方程；

（2）若20OB OC +=，求线段AP 的长；

（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. 已知正整数数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，212026

(1)1

n n n a a n a +++=≥+.

（1）已知52a =，61013a =，求a 和b 的值； （2）若1a =，求证21

1202621

n n n b

a a

b +---≤+； （3）求a b +的取值范围.