上海市建平中学2021届高三下学期开学考试数学试题

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2022-2023学年上海市建平中学高三下学期3月月考数学试卷含详解

上海市建平中学2022-2023学年高三下3月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知(1,2),(,3),(2)a b a b a λ==-⊥，则λ=___________.2.设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数=a _____．3.4(12)x -的展开式中含2x 项的系数为_____．4.已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为_____．5.已知集合{}2{sin ,},20M y y x x N x x x ==∈=--<R ∣∣，则M N ⋂=_____．6.如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为______2cm.7.已知一个半径为4的扇形圆心角为(02π)θθ<<，面积为2π，若tan()3θϕ+=，则tan ϕ=_____．8.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在[]90,100这一组中的纵坐标为a ，则该次体能测试成绩的80%分位数约为___________分.9.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____．10.已知F 是椭圆E ：22221x y ab +=(0)a b >>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF=且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为______．11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面积，则2a S 的最小值为______.12.对于二元函数(),f x y ，(){}{}min max ,x yf x y 表示(),f x y 先关于y 求最大值，再关于x 求最小值.已知平面内非零向量a ，b ，c ，满足：a b ⊥，2a c b c a b⋅⋅=，记(),mc bf m n mc na-=-（m ，R n ∈，且0m ≠，0n ≠），则(){}{}min max ,mnf m n =______.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（）A.αβ⊥，//l βB.αβ⊥，l β⊂C.//l n ，n α⊥ D.m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n⊥14.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第x 周12345治愈人数y （单位：十人）38101415由上表可得y 关于x 的线性回归方程为 1y bx=+ ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A.1-B.0C.1D.215.设函数()f x 定义域为R,(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列四个结论错误个数是（）（1）7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(7)f x +为奇函数（3）()f x 在(6,8)上为减函数（4）()f x 的一个周期为8A.1B.2C.3D.416.已知共有()*k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量()1,n n n c a a += ，(,1)(1,2,,1)n d n n n k =+=-，若n n c d =，则满足条件的数列{}n a 的个数有（）个．A.2B.kC.12k - D.(1)22k k -三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913S S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列2n an b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？有出游意愿无出游意愿合计青年中年合计附：()20P K k ≥0.0500.0100.0050.001k 3.841 6.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图所示，在四棱锥S ABCD -中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，1BC =，又2SD =，120SDC ∠=︒，F 为SD 中点.（1）证明：//CF 平面SAB ；（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，且过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆E 的方程．（2）若点(1,0)S ，点T 为椭圆E 上的任意一点，求||TS的最大值与最小值．（3）设椭圆E 的下顶点为点A ，若不过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．若M ，N 的横坐标之积是2，证明：直线l 过定点．21.已知函数()e ,()sin cos x f x g x x x ==+．（1）求函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程；（2）已知1x e x ≥+对于x ∈R 恒成立，证明：当4πx >-时，()()f x g x ≥；（3）当4πx >-时，不等式()()()20f x g x ax a +--≥∈R ，求a 的取值范围．上海市建平中学2022-2023学年高三下3月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知(1,2),(,3),(2)a b a b a λ==-⊥，则λ=___________.【答案】4【分析】由题意可知，a b和的坐标，结合题中给的(2)a b a -⊥ ，可结合向量的坐标运算完成列式，计算λ.【详解】因为(1,2),(,3)a b λ== ，所以(2)a b λ-= （2-，1），而(2)a b a -⊥，所以(2)0a b a -= ，即12-20λ⨯+=（），解得4λ=.故答案为：4.2.设i 为虚数单位，若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数=a _____．【答案】1【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解．【详解】复数()()()()1i 1i 11i a a a ++=-++，因为复数()()1i 1i a ++是纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，解得1a =．故答案为：1．3.4(12)x -的展开式中含2x 项的系数为_____．【答案】24【分析】利用二项展开式的通项公式求出x 的指数为2的项，即得到其系数可求.【详解】()412x -的展开式中含2x 的项为()2224C 224-=x x ，系数为24．故答案为：24.4.已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为_____．【答案】()2214x y +-=【分析】把三个点代入圆的标准方程求解即可.【详解】设ABC 外接圆的方程为()()222,0x a y b r r -+-=>，则有()())()()()2222222220003a b r a b r a b r ⎧+-=⎪⎪⎪-+-=⎨⎪⎪-+-=⎪⎩，解得012a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则ABC 外接圆的方程为()2214x y +-=.故答案为：()2214x y +-=.5.已知集合{}2{sin ,},20M yy x x N x x x ==∈=--<R ∣∣，则M N ⋂=_____．【答案】{}|11x x -<≤【分析】利用正弦函数的值域与解二次不等式化简集合,M N ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】由正弦函数值域可知{}|11M y y =-≤≤，由220x x --<解得12x -<<，则{}|12N x x =-<<，所以{}|11M N x x =-<≤ .故答案为：{}|11x x -<≤.6.如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积为______2cm .【答案】300(4+【分析】根据棱柱表面积的求法，结合已知求茶叶盒的表面积.【详解】由题设，一个底面的面积为1161010sin 602S =⨯⨯⨯⨯︒=2cm ，一个侧面矩形面积为21020200S =⨯=2cm ，所以茶叶盒的表面积为1226300(4S S +=2cm .故答案为：300(47.已知一个半径为4的扇形圆心角为(02π)θθ<<，面积为2π，若tan()3θϕ+=，则tan ϕ=_____．【答案】12##0.5【分析】由扇形面积公式先求θ，再根据两角和差的正切公式求得结果.【详解】已知扇形半径为4r =，圆心角为θ，∵扇形面积2211142π222θθ===⋅=S lr r ，∴π4θ=，∴()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--，解得：1tan 2ϕ=.故答案为：12.8.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在[]90,100这一组中的纵坐标为a ，则该次体能测试成绩的80%分位数约为___________分.【答案】92【分析】先利用频率分布直方图进行数据分析，求出a ，再套公式求出80%分位数.【详解】由频率分布直方图知0.0350.0200.0140.0040.0020.075++++=，由()100.0751a ⨯+=得：0.025a =.因为0.020.040.140.20.350.75++++=，所以该次体能测试成绩的80%分位数落在[]90,100内，设其为x ，则由()900.0250.05x -⨯=，解得92x =.故答案为：92.9.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是_____．【答案】12##0.5【分析】随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况,根据组合知识求得基本事件的个数后可得概率【详解】已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况.所求概率为2231353548C C C C 1C 2+==P .故答案为：12.10.已知F 是椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF =且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为______．【答案】216【分析】取椭圆的右焦点F '，由直线l 过原点及椭圆的对称性可得四边形PFQF '为平行四边形，由||5||PF QF =及椭圆的性质可得3a PF '=，53a PF =，120PFQ ∠=︒余弦定理可得离心率的值.【详解】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-= ，||5||PF QF =5||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以3a PF '=，所以53a PF =，在PFF ' 中，22222214||||1cos 2259953322a a c PF PF FF FPF a PF PF a '+-+-∠===⨯⨯'''，整理，得2221360a c -=，即22136e =，由01e <<解得216e =.故答案为：216.11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面积，则2a S的最小值为______.【答案】22【分析】应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得sin()3sin cos B C A A +=，根据三角形性质有1cos 3A =，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最小值，注意取最小值的条件.【详解】由题设及正弦定理边角关系，sin cos sin cos 3sin cosBC C B A A +=，即sin()3sin cos B C A A +=，而A B C π++=，故sin 3sin cos A A A =，又sin 0A ≠，则1cos 3A =，故22sin 3A =，而2222222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，12sin 23bcS bc A ==，所以2223()262222a S bc bc =≥=，当且仅当b c =时等号成立，故2a S的最小值为22.故答案为：2212.对于二元函数(),f x y ，(){}{}min max ,xyf x y 表示(),f x y 先关于y 求最大值，再关于x 求最小值.已知平面内非零向量a ，b ，c ，满足：a b ⊥，2a c b c a b ⋅⋅=，记(),mc b f m n mc na -=- （m ，R n ∈，且0m ≠，0n ≠），则(){}{}min max ,mnf m n =______.【答案】2【分析】记a OA = ，b OB = ，c OC =，构建直角坐标系，根据向量几何意义判断OC 所在直线的斜率，设(),0A a ，()0,B b ，,2c C c ⎛⎫⎪⎝⎭，结合函数的定义、数形结合思想研究相关向量的模长随点的变化情况，进而求目标式的值.【详解】记a OA = ，b OB = ，c OC = ，则2a c b c a b⋅⋅= 表示OC 在OA 上的投影恰为OC 在OB上的投影的两倍，即射线OC 的斜率为12.设(),0A a ，()0,B b ，,2c C c ⎛⎫⎪⎝⎭，记mc OD = ，na OE =，则mc b BD -= ，mc na ED -= ，所以(),mc b BDf m n mc na ED-==- .先让m 不变，n 变化，即点D 固定，点E 变化，那么()0,mc b BD BDf m n mc na ED E D -==≤-，其中0E D OA ⊥，接着再让m 变化，即点D 变化，求0BDE D的最小值.因为02BD E D=，当且仅当4c b =时取得等号.综上，(){}{}min max ,2mnf m n =.故答案为：2【点睛】关键点点睛：利用向量几何意义，构建直角坐标系并设A 、B 、C 的坐标，根据函数新定义、数形结合思想将问题转化为两向量模长的比值，讨论动点位置变化对向量模长的影响确定目标式的值.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（）A.αβ⊥，//l βB.αβ⊥，l β⊂C.//l n ，n α⊥ D.m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n⊥【答案】C【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，当αβ⊥，//l β时，可能l ⊂α、//l α或l 与α相交，充分性不成立，A 错误；对于B ，当αβ⊥，l β⊂时，可能//l α或l 与α相交，充分性不成立，B 错误；对于C ，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C 正确；对于D ，若//m n ，则m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立，D 错误.故选：C .14.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第x 周12345治愈人数y （单位：十人）38101415由上表可得y 关于x 的线性回归方程为 1y bx=+ ，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（）A .1- B.0C.1 D.2【答案】A【分析】将样本中心点(),x y 的坐标代入回归直线方程，求出b的值，可得出回归直线方程，再将5x =代入回归直线方程，用15减去所得结果即可得解.【详解】由表格中的数据可得1234535x ++++==，38101415105y ++++==，由于回归直线过样本的中心点，则3110b += ，解得3b = ，回归直线方程为 31y x =+，将5x =代入回归直线方程可得 35116y =⨯+=，因此，第5周的残差为15161-=-.故选：A.15.设函数()f x 定义域为R,(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列四个结论错误个数是（）（1）7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(7)f x +为奇函数（3）()f x 在(6,8)上为减函数（4）()f x 的一个周期为8A.1 B.2C.3D.4【答案】A【分析】由()()11f x f x --=--、()()11f x f x -+=+可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫⎪⎝⎭、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案．【详解】由题设，()()11f x f x --=--，则()f x 关于()1,0-对称，所以()()1111f x f x ⎡⎤---=---⎣⎦，即()()2f x f x -=--，则()()222f x f x ⎡⎤--=---⎣⎦，即()()24f x f x -=--，由()()11f x f x -+=+，则()f x 关于1x =对称，所以()()1111f x f x ⎡⎤--+=-+⎣⎦，即()()2=f x f x -，综上，()()4f x f x =--，则()()()4448f x f x f x -=---=--，故()()8f x f x =-，即()()8f x f x =+易知()f x 的周期为8，所以(4)正确；77311132112222224f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以(1)正确；由()()17f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，所以(2)正确；由()1,0x ∈-时，()21f x x =-+递增，则()7,8x ∈时，()f x 递增，所以(3)错误．故选：A ．16.已知共有()*k k ∈N 项的数列{}n a ，12a =，定义向量()1,n n n c a a += ，(,1)(1,2,,1)n d n n n k =+=- ，若n n c d =，则满足条件的数列{}n a 的个数有（）个．A.2 B.kC.12k - D.(1)22k k -【答案】C【分析】通过向量的模相等，推出n a 与1n a +的关系，通过递推关系式，推出222211n a a n =-+，n 为奇数，222222n a a n =-+，n 为偶数，然后判断满足条件的数列{}n a 的个数．【详解】解：由||||n n c d = ，可知，22221(1)n n a a n n ++=++，即()22221(1)n n a a n n+-+=--，则222211(1)(1)n n a n a n +--+=--，推得222211,n a a n n =-+为奇数222222,n a a n n =-+为偶数另外由11c d =可以得出21a =或1-由上可看出，2n a 有唯一解，所以n a 有互为相反数的两解（除了已知的1a ）故n a 个数为12k -．故选：C ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，向量的模的求法，考查计算能力．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =，5913S S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列2n an b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =；（2）124433n n n +++-.【分析】（1）由953S S =，应用等差数列前n 项和、等差中项公式得510a =，结合已知求基本量，进而写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得24nn c n =+，应用分组求和，结合等差等比前n 项和公式求n T .【小问1详解】由题设953S S =，则19159()5()322a a a a ++=⨯，即533530a a ==，所以510a =，而36a =，易得2d =，则12a =，故1(1)2n a a n d n =+-=.【小问2详解】由（1）知：224nn n b ==，则24n n c n =+，所以1122(1)4(14)442(12...)(44...4)221433n n nn n n T n n n ++-=+++++++=⨯+=++--.18.为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？有出游意愿无出游意愿合计青年中年合计附：()20P K k ≥0.0500.0100.0050.0010k 3.8416.6357.87910.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）分布列见解析，35；（2）表格见解析，不能.【分析】（1）由题得样本中“00后”员工8人有出游意愿，2人无出游意愿，再写出X 的所有可能取值和对应的概率，即得X 的分布列和数学期望；（2）结合已知完成22⨯列联表，再利用独立性检验求解.【详解】解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数110010%10n =⨯=人，.由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X 的所有可能取值为0，1，2，.()383107015C P X C ===，()21823107115C C P X C ===，()12823101215C C P X C ===，随机变量X 的分布列为X 012P715715115.随机变量X 的期望()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=.（2）由题知，样本中中年员工占比为110%30%60%--=，人数210060%60n =⨯=人，青年员工人数310040%40n =⨯=人，.结合图3得到如下22⨯列联表，有出游意愿无出游意愿合计青年301040中年402060合计7030100.假设“有出游意愿与年龄段无关”，则()210030204010500.794 3.8417030406063k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，.∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关.19.如图所示，在四棱锥S ABCD -中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，1BC =，又2SD =，120SDC ∠=︒，F 为SD 中点.（1）证明：//CF 平面SAB ；（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面SAB 的法向量，再利用0CF n ⋅=即可求解；（2）根据（1）的结论，求出平面SAD 的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解；【小问1详解】过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，以DC ，DE ，DA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.如图所示因为120SDC ∠=︒，所以30SDE ∠=︒,又2SD =，所以点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为3，则有()()()()()130,0,0,,0,0,2,2,0,0,2,0,1,,,022D S A C B F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以()()532,0,1,2,,,0,22AB AS CF ⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面SAB 的法向量为(),,n x y z =，则n AB n AS ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩，即2020x z x z -⎧=-+-=⎪⎨⎪⎩，令x =5,y z ==，所以n =，所以550022CF n ⎛⎫⋅=-+⨯ ⎪⎝⎭，即CF n ⊥ ，又CF ⊄平面SAB ，所以//CF 平面SAB .【小问2详解】由（1）知，平面SAB的法向量为n =，()()0,0,0,,D S -()0,0,2,A 所以()()0,0,2,1,2,AD AS =-=--设平面SAD 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m AS ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=，即11112020z x z -=-+-=⎧⎪⎨⎪⎩，令1x =111,0y z ==，所以)m =，设平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角为θ，则10cos cos,5m nm nm nθ⋅=<>==.所以平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为105.20.已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，且过点12⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆E的方程．（2）若点(1,0)S，点T为椭圆E上的任意一点，求||TS的最大值与最小值．（3）设椭圆E的下顶点为点A，若不过点A且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于P，Q两点，直线AP，AQ分别与x轴交于M，N两点．若M ，N的横坐标之积是2，证明：直线l过定点．【答案】（1）2214x y+=（2）最小值是63，最大值是3（3）证明见解析【分析】（1）根据给定的条件，列出关于a b，的方程，求出a b，即可得到椭圆方程；（2）设()00,T x y，由()1,0S得：()001,TS x y=--，再根据两点间的距离公式及点()00,T x y在椭圆上，转化为二次函数的最值问题求解即可；（3）设直线l的方程为()0,1y kx m k m=+≠≠-，()()1122,,,P x y Q x y，求出M，N两点的横坐标，再联立l与E 的方程，通过韦达定理运算求解，即可求出m的值，从而可得直线的定点坐标．【小问1详解】依题意，2ab=，故椭圆E方程为：222214x yb b+=，又椭圆E过12⎛⎫⎪⎝⎭，于是有2213414b b+=，解得221,4b a==，所以椭圆E的方程为2214x y+=；【小问2详解】设()00,T x y，由()1,0S得：()001,TS x y=--，因为点()00,T xy在椭圆上，所以2214x y+=，所以TS====因为022x-≤≤，所以，当43x=时，TS有最小值为63，当02x =-时，TS有最大值为3；【小问3详解】由（1）知()0,1A -，依题意，设直线l 的方程为()0,1y kx m k m =+≠≠-，()()1122,,,P x y Q x y ，直线AP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标为111M x x y =+，同理得点N 的横坐标为221N x x y =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得，()222418440k x kmx m +++-=，()()222264441440k m k m ∆=-+->，即2241m k <+，122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，因此，()()()()121212121111M N x x x x x x y y kx m kx m ==++++++()()()1222121211x x k x x k m x x m =+++++()()222222244412448114141m k m km k k m m k k -+==--⎛⎫⋅++++ ⎪++⎝⎭，即()4121m m -=+，解得3m =，直线l 的方程为3y kx =+，l 过定点()0,3，所以直线l 过定点()0,3．21.已知函数()e ,()sin cos x f x g x x x ==+．（1）求函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程；（2）已知1x e x ≥+对于x ∈R 恒成立，证明：当4πx >-时，()()f x g x ≥；（3）当4πx >-时，不等式()()()20f x g x ax a +--≥∈R ，求a 的取值范围．【答案】（1）1y x =+（2）证明见解析（3）答案见解析【分析】（1）先求出()y g x =的导数，将点(0,1)横坐标代入导数求出切线的斜率，再写出切线的方程；（2）可设函数()()()x f x g x ϕ=-，借助导数，将区间分为π04x -＜＜和0x ≥分别研究函数的单调性，然后进行判断，通过放缩即可完成证明；（3）构造函数()e sin cos 2xG ax x x x +-=-+，利用()00G =得到()00G '=，从而求得参数的值，然后验证当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点即可.【小问1详解】已知()sin cos g x x x =+，则()cos sin '=-g x x x ，切线的斜率(0)1k g '==，所以函数()y g x =在点(0,1)处的切线方程为1y x =+.【小问2详解】由已知，()e xf x =，()sin cosg x x x =+，令()()e π(4))xf xg x x x ϕ-+==，所以()πe )4x x x ϕ'=-+，()00ϕ=①当π04x -＜＜时，ππ44x +0＜＜，所以π)4x +，而e 1x ＜，则()πe )04xx x ϕ'=+＜，所以，函数()x ϕ在)π(,04-上单调递减，故()()00x ϕϕ=＞；②当0x ≥时，构造函数()sin m x x x =-，()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在区间[)0,∞+上单调递增，()()00m x m ≥=，即sin x x ≥.由（1）e 1x x ≥+，所以当0x ≥时，()e sin cos e 10ϕ=--≥--≥xxx x x x ，当且仅当0x =时等号成立，综上所述，对任意4πx >-时，()()f x g x ≥.【小问3详解】当4πx >-时，不等式sin cos e 20x x x ax ++--≥（a ∈R ），不妨设()e sin cos 2xG ax x x x +-=-+，即()0G x ≥，因为()0G x ≥且()00G =，所以当0x =时，()G x 取得最小值.由于函数()G x 为可导函数，()πe 4xG x a x '=+-，则0x =为函数()G x 的极小值点，故()π01204G a a '=+-=-=，解得2a =，下面证明当2a =时，0x =为函数()G x 的极小值点，由（2）问可知，当4πx >-时，()e cos sin 2xx G x x '=+--，令()e cos sin 2xh x x x =+--，所以()()e sin co 0s xh x x x x ϕ'=--≥=，故函数()G x '在π,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()00G '=，所以当π04x -＜＜时，()()00G x G ''=＜，当0x ≥时，()()00G x G ''=＞，所以函数()G x 在π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在)(0,∞+上单调递增，所以0x =为函数()G x 的极小值点，满足题意.综上所述，2a =.【点睛】含有指数或对数函数的不等式恒成立问题方法点睛：在证明不等式恒成立的题目中，可借助“e 1xx ≥+”或“ln 1≤-x x ”等切线放缩，帮助我们将复杂关系变得简单，从而能够完成整体的证明.。

专题7.6---数学归纳法--学生版

专题7.6数学归纳法练基础1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)n n n +++++=++ 时，从n k =到1n k =+等式左边需增添的项是（）A ．22k +B ．[]2(1)1k ++C ．[(22)(23)]k k +++D ．[][](1)12(1)1k k ++++2．（2020·全国高三专题练习）已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1-111234+-+…+1-1n =2111 (24)2n n n ⎛⎫+++⎪++⎝⎭时，若已假设n=k (k ≥2，k 为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）A ．n=k+1时等式成立B ．n=k+2时等式成立C ．n=2k+2时等式成立D ．n=2(k+2)时等式成立3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋121n -＜n (n ∈N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（）A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋14．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式()*1114,21225n N n n n n ∈+++≤≥++ 时，可将其转化为证明（）A ．()*11141,2122521n n n n n n N +++≤+∈≥+++ B ．()*14,2122521111n n n n n n N +++≤∈-≥+++ C ．()*114,21225211N n n n n n n +++≤∈+≥++ D ．()*11141,212252N n n n n n n+++≤∈-≥++ 5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“1111...(,1)2321n n n N n *++++<∈>-”的过程中，由假设“n k =”成立，推导“1n k =+”也成立时，左边应增加的项数是（）A．kB．1k +C．2kD．21k +6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈ 能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足214(3)(2,)n n S a n n N *-=+∈≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =______________．8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列中，1=1,r1=1+∈∗用数学归纳法证明：<r1∈∗.9.（2021·全国高三专题练习）数列{}n a 满足()*2N n n S n a n =-∈.（1）计算123a a a 、、，并猜想n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{a n }满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上．（1）求234,,a a a 的值，并猜想数列{a n }的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．练提升1．（2021·全国）已知数列{}n a 满足()*1n n nna a n N a +=+∈，10a >，则当2n ≥时，下列判断一定正确的是（）A ．1n a n <+B ．211n n n n a a a a +++-<-C ．n a n≥D ．1n a n ≥+2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列{}n a ，满足()101a a a =<<，()()()*11ln 1n n n a a a n N ++=+∈，则（）A ．110nn a a n+<<<B ．110n n a a n+<<<C ．110n n a a n+<<<D ．110x n a a n+<<<3．（2020·浙江省桐庐中学）数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n N +=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则以下说法正确的个数（）①10n n a a +<<；②22221231n a a a a a ++++< ；③对任意正数b ，都存在正整数m 使得12311111111mb a a a a ++++>---- 成立；④11n a n <+.A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列{}n a 满足：10a =，()()1ln 1n an n a e a n *+=+-∈N ，前n 项和为n S （参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈，则下列选项错误的是（）.A ．{}21n a -是单调递增数列，{}2n a 是单调递减数列B ．1ln 3n n a a ++≤C ．2020670S <D ．212n na a -≤5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为___________.6．（2021·浙江高三期末）已知数列{}n a 满足0n a >，前n 项和为n S ，若33a =，且对任意的*k N ∈，均有211222k a k a -+=，21222log 1k k a a +=+，则1a =_______；20S =______.7．（2020·江苏南通·高三其他）数列{}n a 的前n 项和为n R ，记11nn i S i==∑，数列{}n b 满足11b a =，()12n n n n R b S a n n-=+≥，且数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）请写出n R ，n S ，n T 满足的关系式，并加以证明；（2）若数列{}n a 通项公式为112n n a -=，证明：22ln n T n <+．8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足：13c =，*1,n n n n b c c n N c +=+∈，证明*12(2),2n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+>∈9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ，n a ，n S 成等差数列，且542a S =+，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2nn na b S =，*n N ∈，证明：()12314421n n b b b +++≤-- ，*n N ∈．10.已知点(,)满足r1=.r1，r1=1−42(∈∗)，且点1的坐标为(−1,1).（1）求过点1,2的直线的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于∈∗，点都在（1）中的直线上.练真题1．（2020·全国高考真题（理））设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．2.（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时（Ⅰ）10n n x x +<<；（Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤；（Ⅲ）121122n n n x --≤≤．3．(湖北省高考真题)已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1()nn n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e xf x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（Ⅱ）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（Ⅲ）令112()nn n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明：e n n T S <．4.（2021·全国高三专题练习）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．5.(江苏省高考真题)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（Ⅰ）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线():10C xy x =>与直线:l y x =相交于1A ，作11A B l ⊥交x 轴于1B ，作12B A //l 交曲线C 于2A ，……，以此类推.（1）写出点123,,A A A 和123,,B B B 的坐标；（2）猜想()n A n N*∈的坐标，并用数学归纳法加以证明.。

2021届上海市建平中学第一周高三数学检测卷【原卷版】

0 x4
，当药剂
x4
在水中释放的浓度不低于 4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于 4
（毫克/升）且不高于10 （毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为 m = 4 ，请问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为 m ，为了在 7 天之内（从投放药剂之日算起）使得自来水始终达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m 的值．
2．
lim
n→+
n2 + n − 2
(n +1)2
的值为_____________．
3．已知
an
是等比数列，则行列式 a2 a3
a4 的值为_____________． a5
4．已知 x, y R+ ，且 x + 9 y = 1，则 xy 的最大值为_____________．
5．已知 cos2 = sin ，则 cos 2 的值为_____________．
11．已知 A, B,C 是单位圆上三个互不相同的点，若 AB = AC ，则 AB AC 的最小值为
_____________．
12．设 f ( x) 是定义在 (0,1) 上的函数，且满足：①对任意 x (0,1) ， f ( x) 0 恒成立；②
对任意 x1, x2 (0,1) ，
f f
14．在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同, 则积不容异”．其意思是：用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体 A, B 的体积不相等”
是“ A, B 在等高处的截面面积不恒相等”的（）

上海市浦东新区建平中学2021届高三10月月考数学试题

【详解】
解：∵点在第三象限，
∴ ，∴ 在第四象限.
故选：D.
16．D
【分析】
①举例若或判断；②不妨设函数的周期为判断；③利用函数定义判断；④根据函数具有反函数的条件判断.
【详解】
若或，都满足对任意，都有，故①错误；
不妨设函数的周期为，则，故在上不是单调函数，故②错误；
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ；故③正确；
∵若在上是单调函数，则函数存在反函数；
∴若函数不存在反函数，则在上不是单调函数，故④正确.
故选：D.
17．（1）；（2） .
【分析】
（1），结合角的范围解方程即可
（2）利用二倍角公式进行化简，利用弦化切，将（1）的值代入进行求解
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，解得，或，
∵ ，可得，
【详解】
因为函数在上单调递减,
所以 .
故答案为:
【点睛】
本题考查了根据二次函数的单调性求参数,根据二次函数的对称轴与区间的端点值的关系列式是解题关键,属于基础题.
6．
【分析】
函数有且仅有两个零点，等价转化为函数与的图形有2个交点，画出图象，利用数形结合得到答案.
【详解】
解：仅有两个不同零点，等价转化为函数与的图形有2个交点，画出函数和水平直线的图象如图,
【详解】
（1）由题意可得，∴椭圆方程为
（2）由题意得，此时直线方程为，将其代入椭圆方程整理可得
，其中
设，则
∴ ，由椭圆具有对称性，
∴不妨取，则，∴
（3）将直线方程代入椭圆方程整理可得，其中
，设，
则，

2018-2019学年建平中学高三开学考数学试卷含答案

建平中学高三数学开学考2018.09.06一. 填空题1. 若复数(1i)(i)a 是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为2. 已知集合2{|(1)()0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为3. 已知()f x 函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，32()f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为4. 已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是(2,1)A -、(3,2)B 、(3,1)C --，BC 边上的高为AD ，则D 的坐标是5. 集合2541{|()1}2xx A x -+=≥，2{|2(2)0}B x x a x a =--+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为6. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为7. 已知数列{}n a 的通项公式为|13|n a n =-，那么满足119102k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=的整数k 的个数为8. 已知整数以按如下规律排成一列：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，⋅⋅⋅，则第60个数对是9. 已知函数()sin()6f x x πω=+（0ω>），若函数()f x 图像上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为3π，则ω的值为 10. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当p q ⨯（p q ≤且 *,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p f n q =，如3(12)4f =，关于函数()f n 有下列叙述：①1(7)7f =；②3(24)8f =；③4(28)7f =；④9(144)16f =，其中正确的序号为11. 已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，若对于任意的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点，则a 的取值范围是12. 设函数11()()21x f x x x =++，O 为坐标原点，n A 为函数()y f x =图像上横坐标为n （*n ∈N ）的点，向量n OA 与向量(1,0)i =的夹角为n θ，则满足 125tan tan tan 3n θθθ++⋅⋅⋅+<的最大整数n 的值为二. 选择题13. 若a 、b 为实数，则()0ab a b -<成立的一个充分不必要条件是（） A. 110a b << B. 110b a << C. 11a b < D. 11b a< 14. 若非空集合A 、B 、C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”的必要条件15.在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为 11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（）A. B. 11[,)52 C. 1(5 D. 16. 对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n ∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ，那么下列命题正确的是（） A. 若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于M B. 若{}n a M ，则22{}n a M C. 若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M + D. 若{}n a M ，则{21}21n a M ++三. 解答题17. 设有两个命题：①“关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+>的解集是R ”；②“函数22()(21)f x a a =++是R 上的减函数”，若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围.18. 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.（1）若关于x 的不等式()1f x ≥在区间(,)a +∞上恒成立，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值.19. 如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，AB BC ==，1AD =，3CD =，PD =（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.20. 如图，直线220x y -+=经过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线10:3l x = 分别交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度的最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TSB 的面积为15？若存在，确定点T 的个数，若不存在，请说明理由.21. 已知集合2{|20,}A x x x x =--≤∈Z ，集合2{|lg(8)1}B x x x =++=，集合{|,,}C x x ab a A b B ==∈∈.（1）用列举法表示集合C ；（2）设集合C 的含n 个元素所有子集为n C ，记有限集合M 的所有元素和为()S M ，求12()()()n S C S C S C ++⋅⋅⋅+的值；（3）已知集合P 、Q 是集合C 的两个不同子集，若P 不是Q 的子集，且Q 不是P 的子集，求所有不同的有序集合对(,)P Q 的个数(,)n P Q .参考答案一. 填空题1. 12. 1{0}(,)4+∞3. 32()f x x x =--(0)x >4. (1,1)5. 32(1,]7 6. (5,7) 7. 2 8. (5,7) 9. 3210. ①③ 11. (0,1) 12. 3 12. 11tan ()2(1)n n n n θ=++，分组求和，1152()213n n S n =--<+，解得3n ≤.二. 选择题13. B 14. B 15. D 16. D三. 解答题 17. 若①为真，则1a <-或13a >，若②为真，则102a -<<，综上，11(,1)(,0)(,)23a ∈-∞--+∞. 18.（1）62(,][,)a ；（2）2min 22,0()32,0a a f x aa . 19.（1）BD =PB =BC =，PC =222PB BC PC +=，得证；（2）等体积法，26APBC P ABC A PBC V V h ，∴sin A PBC h AP θ-==. 20.（1）22141x y +=；（2）83；（3）即点T 到直线SB 2个. 21.（1）{1,1,2,2,4,0}C；（2）5(112240)2128；（3）666643322702.。

建平中学数学高三期中试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是：A. $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$B. $f(x) = \frac{1}{x}$C. $f(x) = \log_2(x - 1)$D. $f(x) = x^2$2. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$a > 0$，$b = 0$，$f(1) = 2$，$f(2) = 4$，则$f(x)$的对称轴为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 0$D. $x$不存在3. 下列各式中，正确的是：A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$B. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$C. $\lim_{x \to 0} (3x + 5) = 5$D. $\lim_{x \to 0} (x^2 - 1) = 0$4. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为2，且$a_1 + a_5 = 18$，则$a_3$的值为：A. 8B. 10C. 12D. 145. 在平面直角坐标系中，直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k^2 + b^2$的值为：A. 2B. 1C. 0D. 36. 已知复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$），若$\overline{z} = a - bi$，则$z$的实部为：A. $a$B. $-a$C. $b$D. $-b$7. 若$0 < a < 1$，则下列不等式中正确的是：A. $a^2 < a$B. $a^2 > a$C. $a^3 < a$D. $a^3 > a$8. 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (4, 6)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为：A. 12B. 18C. 24D. 309. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A =\frac{3}{5}$，$\cos B = \frac{4}{5}$，则$\sin C$的值为：A. $\frac{7}{25}$B. $\frac{24}{25}$C. $\frac{3}{5}$D. $\frac{4}{5}$10. 已知函数$f(x) = e^x + e^{-x}$，则$f(x)$的最小值为：A. 2B. $e$C. $e^2$D. $e^{-2}$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的第三项$a_3 = 5$，公差$d = 2$，则$a_1 =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 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上海市浦东新区建平中学2024届高三下学期2月考试数学试卷含答案解析

2023-2024学年上海市建平中学高三年级下学期数学试卷12024.2一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合{2},{1}A xx B x x =≤=≥-∣∣，则A B = __________．2.已知33sin ,π,π52x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则tan x =__________．3.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为______．4.不等式2log 3x <的解集是_____.5.已知向量a ，b 的夹角为2π3，1a = ，2b = ，则23a b +=r r __________．6.设关于x 的实系数方程230x mx -+=的两个虚根为α、β，则αβ+=______．7.甲、乙、丙、丁四个人随机站成一排拍照，则甲与乙、丙均相邻的概率为______．8.一项研究同年龄段的男､女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表：注意力稳定注意力不稳定男生297女生335依据()2 3.8410.05P χ≥≈，该__________实验该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持），参考公式：22()=,()()()()n ad bc n a b c da cb d a bcd χ-=+++++++9.已知()7280128(1)x a x a a x a x a x +-=++++ ，且113a=，则=a__________.10.设函数()()3e 5,Rx f x x tx t t =--+∈，若有且仅有两个整数(1,2)i x i =满足()0i f x >，则实数t 的取值范围为_________．11.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l，则双曲线的离心率为______.12.若对于任意自然数n ，函数πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在每个闭区间[]21,21n n -+上均有两个零点，则正实数ω的最小值是__________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（）①A ：“所取3件中至多2件次品”，B ：“所取3件中至少2件为次品”；②A ：“所取3件中有一件为次品”，B ：“所取3件中有二件为次品”；③A ：“所取3件中全是正品”，B ：“所取3件中至少有一件为次品”；④A ：“所取3件中至多有2件次品”，B ：“所取3件中至少有一件是正品”；A.①③B.②③C.②④D.③④14.已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是（）A.若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥B .若m n ∥，m αβ= ，则n α∥，n βC.若m n ∥，m α⊥，则n α⊥D.若m α⊥，m β⊥，则αβ∥15.实验测得六组成对数据(),x y 的值为()4,90，()5,84，()6,83，()7,80，()8,75，()9,68，由此可得y 与x 之间的回归方程为4y x b =-+，则可预测当10x =时，y 的值为（）A .67B.66C.65D.6416.已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.给出下列四个结论：①数列{}n a 每一项n a 都满足*01()n a n <≤∈N ；②数列{}n a 的前n 项和2n S <；③数列{}n a 每一项都满足21n a n ≤+成立；④数列{}n a 每一项n a 都满足1*1(()2n n a n -≥∈N .其中，所有正确结论的序号是（）A.①③B.②④C.①③④D.①②④三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数()2sincos 1222x x f x x =-+.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足221cos 2a b ac B -=-，求()f B 的取值范围.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，π2BAC ∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H ．（1）求直线1BB 与平面1A BC 所成角；（2）求点H 到平面1A BC 的距离．19.第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.先随即抽取了100名候选者的面试成绩，并分成n 组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[)65,75，第四组[75,85)，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）现规定分数排名前40%可以加入资深志愿者组，估计资深志愿者组的录取分数约为多少？（精确到0.1）（2）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率；（3）已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分以上的志愿者的平均成绩和方差为多少？20.已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 交抛物线于不同的,A B 两点.（1）若直线l 的方程为1y x =-，求线段AB 的长；（2）若直线l 经过点()1,0P -，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：,,A F B '三点共线；（3）若直线l 经过点()8,4M -，抛物线上是否存在定点N ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.21.已知()ln 1f x x a x =+-，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线与直线230x y ++=垂直，求a 的值；（2）设()()1g x f x x=+，函数()y g x =在0x x =时取到最小值()0g x ，求a 关于0x 的表达式，并求()0g x 的最大值；（3）当1a =-时，设()()T x f x x =+，数列{}(),1n a n n ∈≥N 满足()10,1a ∈，且()1n n a T a +=，证明：()1322,1n n n a a a n n ++++>∈≥N .2023-2024学年上海市建平中学高三年级下学期数学试卷12024.2一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合{2},{1}A xx B x x =≤=≥-∣∣，则A B = __________．【答案】{|12}x x -≤≤【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】集合{2},{1}A xx B x x =≤=≥-∣∣，所以{|12}A B x x =-≤≤ .故答案为：{|12}x x -≤≤2.已知33sin ,π,π52x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则tan x =__________．【答案】34##0.75【解析】【分析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解.【详解】由题知，4cos 5x ==±，又3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5x =-，所以sin 3tan cos 4x x x ==.故答案为：343.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为______．【答案】7.5##152【解析】【分析】由百分位数的定义即可得解.【详解】由题意60%106⨯=，所以这组数据的第60百分位数为787.52+=.故答案为：7.5.4.不等式2log 3x <的解集是_____.【答案】()0,8【解析】【分析】由对数函数的单调性可出原不等式的解集.【详解】因为函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，由22log 3log 8x <=可得08x <<.因此，不等式2log 3x <的解集为()0,8.故答案为：()0,8.5.已知向量a ，b的夹角为2π3，1a = ，2b = ，则23a b +=r r __________．【答案】【解析】【分析】根据向量a ，b的模和夹角即可得出23a b + 的值.【详解】由题意，向量a ，b的夹角为2π3，1a = ，2b = ，23a b +====，故答案为：.6.设关于x 的实系数方程230x mx -+=的两个虚根为α、β，则αβ+=______．【答案】【解析】【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解.【详解】由题可知，3αβ=，设i i a b a b αβ=+=-，，a ，b ∈R ，则3αβ=223a b ⇒+=，则αβ+==．故答案为：7.甲、乙、丙、丁四个人随机站成一排拍照，则甲与乙、丙均相邻的概率为______．【答案】16【解析】【分析】分别求解所有的基本事件和符合要求的基本事件，利用古典概率可得答案.【详解】四个人随机站成一排有：甲乙丙丁，甲乙丁丙，……，丁丙乙甲，共24种站位方式，甲与乙、丙均相邻的站位方式有：乙甲丙丁、丙甲乙丁、丁乙甲丙、丁丙甲乙，共4种，故甲与乙、丙均相邻的概率为41246=．故答案为：168.一项研究同年龄段的男､女生的注意力差别的脑功能实验，实验数据如下表：注意力稳定注意力不稳定男生297女生335依据()23.8410.05Pχ≥≈，该__________实验该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异（填拒绝或支持），参考公式：22()=,()()()()n ad bc n a b c d a c b d a b c d χ-=+++++++【答案】支持【解析】【分析】根据卡方公式计算即可做出判断.【详解】由表中数据：2274(145231)0.538 3.841(2933)(75)(297)(335)χ-=≈<++++，所以没有足够把握认为学生在注意力的稳定性上与性别有关，即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异.故答案为：支持9.已知()7280128(1)x a x a a x a x a x +-=++++ ，且113a =，则=a __________.【答案】2【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，分析含x 项的构成，求出a .【详解】由题意，1a 为()7280128(1)x a x a a x a x a x +-=++++ 中x 的系数.因为()71x -的二项展开式的通项公式为()717C 1,07rr rr T x r -+=-≤≤，所以()()71x a x +-的展开式中含x 项的系数为：()()767677C 1C 11713a a -+-=-+=，解得：2a =.故答案为：210.设函数()()3e 5,R xf x x tx t t =--+∈，若有且仅有两个整数(1,2)i x i =满足()0i f x >，则实数t 的取值范围为_________．【答案】e 3,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】设()()3e xg x x =-，()()5h x t x =-，利用导数求出()g x 的单调区间，即可求出其最大值，依题意有且仅有两个整数(1,2)i x i =满足()()i i g x h x >，即可得到()()110g h ->且()()000g h -≤，从而求出参数的取值范围.【详解】设()()3e x g x x =-，()()5h x t x =-，则()()e 2xg x x '=-，(),2x ∴∈-∞，()0g x '>，()g x 在(),2-∞上单调递增，()2,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 在()2,+∞上单调递减，2x ∴=时函数()g x 取极大值即最大值()()2max 2e g x g ==，又()03g =，()12e g =，()03g =，直线()()5h x t x =-恒过定点()5,0且斜率为t ，要使有且仅有两个整数(1,2)i x i =满足()0i f x >，即有且仅有两个整数(1,2)i x i =满足()()i i g x h x >，()()()112e 150g h t ∴-=-->且()()()003050g h t -=--≤，解得e 325t -<≤-，即e 3,25t ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.故答案为：e 3,25⎛⎤-- ⎥⎝⎦．11.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l ，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22BF AF =，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴==，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：2.12.若对于任意自然数n ，函数πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在每个闭区间[]21,21n n -+上均有两个零点，则正实数ω的最小值是__________.【答案】5π6【解析】【分析】根据整体法可得零点满足()16π,Z 6k x k ω+=∈，即可利用0n =时，[][]21,211,1n n -+=-，求解符合条件的,ω结合周期性验证所求,ω满足其他区间即可.【详解】令πππ,Z 32x k k ω+=+∈,则ππ,Z 6x k k ω=+∈，函数的零点()16π,Z6k x k ω+=∈0ω>，当0n =时，[][]21,211,1n n -+=-，此时符合条件的两个零点为故5ππ,66x x ωω=-=，故5π16ω-≥-，解得5π6ω≤，当5π6ω=时，5ππcos 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的零点为()16,Z 5k x k +=∈，因此零点为11171319,,1,,,,,5,55555-- ，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间[][][]1,1,1,3,3,5,- 上恰好有两个零点。

2021年高三下学期期初开学联考数学试卷含答案

绝密★启用前2021年高三下学期期初开学联考数学试卷含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．已知集合，则 ▲ ． 2．已知，那么复数 ▲ .3．从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为▲ ．4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于▲ ． 5．为了解宿迁市高三学生的身体发育情况，抽查了宿迁市100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．6.如图所示的流程图，最后输出的n 的值是 ▲ ．7.已知向量a ，b ，满足|a |＝1，| b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量（第5题）结束开始 P ← 0 n ← 1 P ←P ＋1n (n ＋1)n ← n ＋1 输出n YN （第6题）P ＜0.70CPDEFa ＋b 与向量a －b 的夹角是 ▲ ．8.如图，正三棱锥P －ABC 的所有棱长都为4．点D ，E ，F 分别在棱PA ，PB ，PC 上，满足PD ＝PF ＝1，PE ＝2，则三棱锥P – DEF 的体积是 ▲ ． 9.在中，，点是内心，且，则 ▲ ．10.已知锐角A ，B 满足tan(A ＋B )＝2tan A ，则tan B 的最大值是 ▲ ．11.如图，点分别是椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于另一点，过中心作直线的平行线交椭圆于两点，若则椭圆的离心率为 ▲ .12.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是 ▲ .13.已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是 ▲ ．14.设实数a ，x ，y ，满足⎩⎨⎧x ＋y ＝2a －1，x 2＋y 2＝a 2＋2a －3，则xy 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：15.（本小题满分14分）设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知C ＝π3，a cos A =b cos B ．（1）求角A 的大小；（2）如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2．过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PCA ＝α，求PM ＋PN 的最大值及此时α的取值．（第15题）ABDCMNPαC 11C第11题图16.（本小题满分14分）在正三棱柱中，点是的中点，．（1）求证：∥平面；（2）试在棱上找一点，使．17.（本小题满分14分）如图，xx年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，已知的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆绕中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为3 2．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2＋PB2的值与点P的位置无关，求k的值．19. (本题满分16分)设函数.（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.20．已知数列{a n}的首项a1＝a，S n是数列{a n}的前n项和，且满足：S2n＝3n2a n＋S2n－1，a n≠0，n≥2，n∈N*．(1)若数列{a n}是等差数列，求a的值；(2)确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a n}是递增数列．高三数学参考答案一、填空题1．2．3．4．5．40 6．4 7．2 3π8．9．10．2411. 12．13．（21,24）14．[114－322，114＋322]二、解答题15.（本小题满分14分）解（1）由a cos A＝b cos B及正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以有A＝B或A＋B＝π2．………………… 2分又因为C＝π3，得A＋B＝2π3，与A＋B＝π2矛盾，所以A＝B，60°αPNMC DBA（第15题）因此A＝π3．…………………4分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝PC·sin(π－∠PCB)＝2sin[π－(α＋π3)]＝2sin (α＋π3)，α∈(0，2π3).……………… 6分所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋π3)＝3sinα＋3cosα＝23sin(α＋π6).……………… 10分因为α∈(0，2π3)，所以α＋π6∈(π6，5π6)，从而有sin(α＋π6)∈(12，1]，即23sin(α＋π6)∈(3，23]．于是，当α＋π6＝π2，即α＝π3时，PM＋PN取得最大值23．…………… 14分16．（1）证明：连接，交于点, 连接. ∵、分别是、的中点，∴∥．………3分∵平面，平面，∴∥平面．………6分（2）为的中点．………7分证明如下：∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．∵为的中点，是的中点，∴，………9分∴，．又∵，，∴．………11分∵是正三角形，是的中点，∴．∵平面平面, 平面平面，平面，C11C∴平面． ∵平面，∴． ………13分 ∵， ∴平面． ∵平面，∴． ………14分18.（本小题满分16分）解（1）由题设可知a ＝2，e ＝c a ＝32，所以c ＝3，故b ＝1．因此，a ＝2，b ＝1． ………………… 2分（2）由（1）可得，椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1．设点P （m ，0）（－2≤m ≤2），点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）． (ⅰ)若k ＝1，则直线l 的方程为y ＝x －m ．联立直线l 与椭圆C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －m x 24＋y 2＝1．将y 消去，化简得54x 2－2mx ＋m 2－1＝0．解之得x 1＝2(2m －1－m 2)5， x 2＝2(2m ＋1－m 2)5，从而有，x 1＋x 2＝8m5， x 1· x 2＝4(m 2－1)5，而y 1＝x 1－m ，y 2＝x 2－m ，因此，∣AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2(x 1+x 2)2－4 x 1·x 2＝452·5－m 2，点O 到直线l 的距离d ＝∣m ∣2，所以，S △OAB ＝12×|AB |×d ＝255－m 2×|m |，因此，S 2△OAB ＝425( 5－m 2)×m 2≤425·(5－m 2＋m 22)2＝1．………………… 6分又－2≤m ≤2，即m 2∈[0，4]．所以，当5－m 2＝m 2，即m 2＝52， m ＝±102时，S △OAB 取得最大值1．………………… 8分(ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k (x －m ).将直线l 与椭圆C 的方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x －m ) x 24＋y 2＝1．将y 消去，化简得(1＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)＝0，解此方程，可得，x 1＋x 2＝8mk 21＋4k 2，x 1·x 2＝4(k 2m 2－1) 1＋4k 2．………………… 10分所以，PA 2＋PB 2＝(x 1－m )2＋y 12＋(x 2－m )2＋y 22＝34(x 12＋x 22)－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋2＝m 2·(－8k 4－6k 2＋2)＋(1＋4k 2)·(8k 2＋8) (1＋4k 2)2（*）. …………………14分因为PA 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，即（*）式取值与m 无关，所以有－8k 4－6k 2＋2＝0，解得k ＝±12．所以，k 的值为±12. …………………16分19.解:（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x ∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f / (1) = 0, 解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意；（2）∵又函数f(x)在定义域上是单调函数， ∴f / (x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f / (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2 +2x+b ≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立, 即b ≥-2x 2 -2x = 恒成立,由此得b ≥;若f / (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2 +2x+b ≤0,即b ≤- (2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立. 综上所述，实数b 的取值范围是.（3）当b= - 1时，函数f(x) = x 2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x 3 = x 2 – ln(x+1) – x 3，则h /(x) = - 3x 2 +2x - ，∴当时，h /(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减.又h(0)=0，∴当时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x 2 – ln(x+1) ＜x 3恒成立.故当时,有f(x) ＜x 3.. ∵取则有 ∴,故结论成立。

专题4 平面向量压轴小题(解析版)

专题4平面向量压轴小题一、单选题1．（2021·重庆九龙坡·高三期中）已知12AB AB ⊥，121OB OB ==，12AP AB AB =+，12OP <，则||OA 的取值范围（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题设易知四边形12B AB P 为矩形，构建以A 为原点直角坐标系，将问题转化为平面上满足1211,2OB OB OP ==<的情况下，结合两点距离公式求,O A 两点距离的范围. 【详解】由题设，四边形12B AB P 为矩形，构建以A 为原点的直角坐标系，如下图，若12(0,),(,0)B n B m ，则(,)P m n ，设(,)O x y ，∴22()1x y n +-=，22()1x m y -+=且2210()()4x m y n ≤-+-<，又22222||2[()()]OA x y x m y n =+=--+-，∴27||24OA <≤||2OA <≤ 故选：B 【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，将平面向量的模长问题转化为平面上两点的距离问题，应用解析法求范围. 2．（2021·浙江丽水·高三期中）已知平面向量1e ，2e ，a ，121e e ==，若()122a e e ⋅+≥，()121a e e ⋅-≥，则（）A ．a 的最小值是32B ．a 的最大值是32C ．a 的最小值是94D ．a 的最大值是94【答案】A 【分析】令1212,u e e v e e =+=-，可得u v ⊥，且2||u +2||4v =，设(2cos ,0),(0,2sin )u v αα== ，||a r =，a =(sin ,cos )r r ββ，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解. 【详解】令1212,u e e v e e =+=-，则22120u v e e ⋅=-=，故u v ⊥，且2||u +()22212||24v e e =+=，假设(2cos ,0),(0,2sin )u v αα== ，||a r =，a =(sin ,cos )r r ββ，所以根据已知条件有2cos sin 22sin cos 1a u r a v r αβαβ⎧⋅=⋅⋅≥⎪⎨⋅=⋅⋅≥⎪⎩，所以22(|cos sin ||sin cos |)3r r αβαβ≥⋅+⋅≥，即32r ≥，当且仅当3sin ,22r παβα==-=时等号成立，所以||a 的最小值是32，故选：A.3．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（理））已知点M 是ABC 所在平面内一点，若1123AM AB AC =+，则ABM 与BCM 的面积之比为（） A ．83B ．52C ．2D ．43【答案】C 【分析】作出图形，结合三点共线性质可得，()1AG AB AC λλ=+-，同时设AG tAM =，联立解出,t λ，进而确定GM GA关系，同时满足CG CB λ=，进而求出BGGC关系，即可求解两三角形面积之比. 【详解】如图，延长AM 交BC 于G ，则()1AG AB AC λλ=+-，因为A ，M ，G 三点共线，所以AG tAM =，即()11123AB AC t AB AC λλ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，所以12113λλ=-，则312λλ=-，故35λ=且65t =，又CG CB λ=，故35CG CB =，所以23BG GC =，16GM GA =，所以55112252BMC BGM BAM BAM S S S S ==⨯=△△△△，所以2BAM BMC S S =△△．故答案为：C4．（2021·浙江·模拟预测）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1(1)(01)BP BC BB λλλ=+-<<，则（）A ．存在P 点使得1BP A C ⊥B ．存在P 点使得1BP AC ⊥ C ．存在P 点使得BP AC ⊥D ．存在P 点使得1BP AB ⊥ 【答案】A 【分析】通过题干条件可得：P 点一定在线段1B C 上运动，即BP 一定在平面11BCC B 上，所以找到选项中的目标线段的特点，只有A 选项中A 1C 中含有的A 1点能够使得 A 1D （D 为B 1C 1的中点）垂直平面BCC 1B 1. 【详解】因为1(1)(01)BP BC BB λλλ=+-<<，由平面向量基本定理可得：P 点一定在线段1B C 上，所以取11B C 的中点D ，连接CD ，过B 作BP CD ⊥交CD 于点H ，交1B C 于点P ，因为1A D ⊥11C B ，1A D ⊥1BB ，1111C B BB B =，所以1A D ⊥平面11BCC B ，因为BP ⊂平面11BCC B ，所以1A D ⊥BP ，因为1A DDC D =，所以BP ⊥平面1A DC ，因为1AC ⊂平面1A DC ，所以1BP A C ⊥，其余均不可能．故选：A5．（2021·广东肇庆·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，13AE AD =，14BF BC =，CE 与DF 交于点O .设AB a =，AD b =，若AO a b λμ=+，则λμ+=（）A ．817B ．1917C ．317D ．1117【答案】B 【分析】根据,,D O F 和,,E O C 三点共线，可得AO x AD y AF =+和AO mAE nAC =+，利用平面向量线性运算可用,a b 表示出AO ，由此可得方程组求得,x y ，进而得到λμ+的值.【详解】连接AF ，AC ，,,D O F 三点共线，∴可设AO x AD y AF =+，则1x y +=， ()1144AO xAD y AB BF xAD y AB AD x y b ya ⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；,,E O C 三点共线，∴可设AO mAE nAC =+，则1m n +=， ()33m m AO AD n AD AB n b na ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭； 11143x y m n mx y ny n +=⎧⎪+=⎪⎪∴⎨+=+⎪⎪=⎪⎩，解得：917817x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，8111717AO a b ∴=+，即81119171717λμ+=+=. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据O 为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.6．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知a ，b ，e 是平面向量，e 与a 是单位向量，且a e ⊥，向量b 满足24830b e b -⋅+=，则||a b -的最大值与最小值之和是（）A ．B ．C ．4D ．【答案】A 【分析】将24830b e b -⋅+=变形为(2)(23)0b e b e -⋅-=，从而可得322e e b b ⎛⎫⎛⎫-⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(10)e =，，由向量减法及数量积可知b 的终点在以(10)，为圆心，以12为半径的圆周上，结合圆的性质可得答案. 【详解】由24830b e b -⋅+=得(2)(23)0b e b e -⋅-=，322e e b b ⎛⎫⎛⎫-⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴．不妨设(10)e =，，则b 的终点在以(10)，为圆心，以12为半径的圆周上．因为e 与a 是单位向量，所以||a b -的最大值是(01)，与圆心距离加12，12，最小值是(01)，与圆心距离减1212，故和为故选：A ．7．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））已知ABCD 是矩形，且满足3,4AB BC ==.其所在平面内点,M N 满足：3,2BM MC BN NC ==，则AD MN →→⋅的取值范围是（）A ．4080,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,403⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]44,44-D ．[]40,40-【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，根据题意得到点M ,N 的轨迹方程，然后作出图形，进而结合数量积的定义和坐标运算得到答案. 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,4,0,4,3,0,3B C D A设(),M x y ，由3BM MC =，所以=221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，记为圆1C ，设(),N a b ，由2BN NC =，所以=22166439a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，记为圆2C ,即为22166439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，两圆圆心距为：1116135||326C C =+=，半径和为：123825236r r +=+=，所以1112||C C r r >+，则两圆相离，如图所示，对圆1C ，令y =0，得：()()2,0,1,0E F -，令圆2C ，令y =0，得：()8,0,8,03G H ⎛⎫⎪⎝⎭，所以5,03FG →⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10,0EH →=，又()4,0AD →=，结合平面向量数量积的定义可知，AD MN →→⋅的最小值为()5204,0,033F DG A →→⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⋅，AD MN →→⋅的最大值为()()4,010,040A H D E →→=⋅=⋅.故选：B.8．（2021·全国·高三专题练习）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（）A ．3B ．C ．2D ．3-【答案】A 【分析】先利用圆的方程和弦长判定OAB 为等边三角形，设出符合条件的一条直线，再利用平面向量共线得到点的坐标，再利用数量积的坐标运算进行求解. 【详解】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，所以不妨设动直线l为2y =+，根据题意可得()2,0B -，(A -， ∵M 是线段AB的中点，∴32M ⎛- ⎝⎭，设(),C x y ，∵52CB CA =，∴()()52,12x y x y ---=--， ∴())521252x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩13C ⎛- ⎝⎭， ∴OC OM ⋅=131533222⎛⎛-⋅-=+= ⎝⎭⎝⎭.故选：A ．9．（2021·湖南·高三月考）在ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且1132AD AB AC →→→=+，则BCD ACDS S =（）A ．16B ．12C ．13D ．23【答案】B 【分析】设AD 交BC 于E ，然后根据条件得到点E 的位置，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比. 【详解】如图，设AD 交BC 于E ，且32AE xAD A x x B AC →→→→==+，由B ,E ,C 三点共线可得：61325x x x +=⇒=，∴2355AE AB AC →→→=+， ∴323255AE AB AC AE BE EC →→→→→→⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪⎭⎭=⎝⎝--. 设2CEDSy =，则3BEDSy =，∴5BCDSy =.又655AE AD AD DE →→→→⇒==，∴10ACDS y =，∴51102BCD ACDS y Sy ==. 故选：B.10．（2021·重庆一中高三月考）设G 为△ABC 的重心，若0,2BG AG AB ⋅==，则()22CA CB AB AC +⋅的取值范围为（） A ．（－80，160） B ．（－80，40） C ．（－40，80） D ．（－160，80）【答案】A 【分析】由题设知BG AG ⊥、D 为AB 的中点且2CG GD =，结合已知求出CD ，利用向量数量积的运算律有224()()CA CB CA CB CA CB ⋅=+--求得CA CB⋅，再由目标式中向量线性关系的几何意义及三角形三边关系，即可求范围. 【详解】∵0BG AG ⋅=，∴BG AG ⊥，连接CG 并延长交AB 于D ，则D 为AB 的中点，且2CG GD =，在Rt AGB △中，12ABGD ==，则3CD =， ∵22224()()4432CA CB CA CB CA CB CD AD ⋅=+--=-=， ∴8CA CB ⋅=，2222()[()2]()(3616)(8)CB AB AC CB CA CA CA AC B CB A C AC C =-⋅-⋅=--+⋅+220(8)AC =-，∵CD AD AC CD AD +>>-，即42AC >>， ∴()22(80,160)CB AB AC CA ∈-+⋅.故选：A 【点睛】关键点点睛：连接CG 并延长交AB 于D ，根据重心的性质可知D 为AB 的中点且2CG GD =，再由向量数量积的运算律求CA CB ⋅，结合相关向量线性关系的几何意义及三角形三边关系求目标式范围.11．（2021·山东·烟台二中三模）在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB BC CD ===，P 是腰AD 上的动点，则2PB PC -的最小值为（）A B ．3C D ．274【答案】C 【分析】过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，过C 作CF AB ⊥，垂足为F ，以E 为原点，分别以EB ，ED 所在的直线为x轴，y 轴，建立平面直角坐标系，运用坐标表示出2(2,PB PC x -=-，再由向量的数量积运算求得2PB PC -，根据二次函数的性质可得最值得选项. 【详解】过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，过C 作CF AB ⊥，垂足为F ，以E 为原点，分别以EB ，ED 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：由已知可得：1,1CD BC AD EF ====， 12AE BF ==，所以DE ==1.(0,0),(,0),2E A D -，3(1,0),(,0)2C F B ，因为P 是腰AD 上的点，所以设点P 的横坐标为 1(0)2x x -≤≤，因为直线AD的方程为112=-x，即=y(P x +，所以3(,2PB x =-，(1,)PC x =-，2(2,PB PC x ∴-=-，所以|2|(2PB PC -=当11,042x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，|2|PB PC -，故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查求向量的模的最值，关键在于建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算求得向量的模，再利用函数的性质求得最值.12．（2021·辽宁葫芦岛·二模）在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（） A ．3 B ．C ．1D ．13【答案】A 【分析】由向量加减的几何意义可得233AB AC AP =+，结合已知有233AM AN AP x y =+，根据三点共线知21133x y +=，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：23333BC AC AB AB ACAP AB BP AB AB -=+=+=+=+，又AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，∴233AM AN AP x y=+，由,,M P N 三点共线，有21133x y +=，∴215225)33333332(2)(x y x y y x x y y x +=+=++≥+=+，当且仅当x y =时等号成立. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到AP 、AM 、AN 的线性关系，根据三点共线有21133x y+=，再结合基本不等式求最值.13．（2021·浙江省宁海中学模拟预测）已知平面非零向量,,,a b c d 满足{}()(){},{||},0a b u u d u d c v v a v b ⊆-=⋅∈-⋅-=∣∣，则对于任意的d 使得()()//a d b d --（）A ．()()0d c d ⋅≤恒有解B ．()()10d c d -⋅≤恒有解C ．()()20d c d -⋅≤恒无解D ．()()30d c d -⋅≤恒无解【答案】B 【分析】设()(),0,,OD d r OU u x y ====，其中0r >，记,,OA a OB b OC c ===rx =，即()222120r x rx r y --++=，然后分1r =，01r <<，1r >三种情况讨论，再根据直线AB 是过点D 的直线与圆锥曲线E 的两个不同的交点和点C 在以AB 为直径的圆M 上，分析圆M 与相应准线的位置关系，即可求解. 【详解】解：设()(),0,,OD d r OU u x y ====，其中0r >，记,,OA a OB b OC c ===rx =，即()222120.r x rx r y --++=若1r =，则点U 的轨迹是拋物线，方程为E ：221y x =-，点D 恰为抛物线E 的焦点，则AB 是过点D 的直线与抛物线E 的两个不同的交点，点C 在以AB 为直径的圆M 上，此时0c d ⋅≥.若01r <<，则点U 的轨迹是椭圆，方程为E ：()222224241111r r r x y r r r --⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭，点D 为椭圆E 的左焦点，y 轴是椭圆的左准线，AB 是过点D 的直线与椭圆E 的两个不同的交点，点C 在以AB 为直径的圆M 上，此时圆M 与准线相离，故0.c d ⋅>若1r >，则点U 的轨迹是双曲线，方程为E ：()222224241111r r r x y r r r --⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，点D 为双曲线E 的右焦点，y 轴是双曲线的右准线，AB 是过点D 的直线与双曲线E 的两个不同的交点，点C 在以AB 为直径的圆M 上，此时圆M 与准线相交，故c d ⋅可正，可负，可零.所以，当01r <<时，恒有()()0d c d ⋅⋅>，故A 错误；当1r >时，()()20d c d -⋅⋅≤，与()()30d c d -⋅⋅≤均有解，故,C D 错误；故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用坐标法，设()(),0,,OD d r OU u x y ====，其中0r >，记,,OA a OB b OC c ===则有rx =，即()222120r x rx r y --++=，然后分1r =，01r <<，1r >三种情况讨论，将原问题转化为判断圆M 与准线的位置关系，从而解决问题.14．（2021·全国全国·模拟预测）设||=1a →，||b →，且a b →→⊥，若向量c →满足2c a b a b →→→→→--=-，则||c →的最大值是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B 【分析】设OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=，OD a b →→→=+，根据条件，借助平面图形得到点C 的轨迹，即可得到结果．【详解】如图，设OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=，OD a b →→→=+，连接AD ，BD ，则由a b →→⊥可知四边形OBDA 为矩形，则||||2a b a b →→→→+=-=. 由|()|2||c a b a b →→→→→-+=-，可得|()|4c a b →→→-+=，连接CD ，则4DC →=，所以点C 在以点D 为圆心，4为半径的圆上，所以OC →的最大值为246OD DC →→+=+=. 故选：B. 【点睛】对于向量模的最值或者范围的问题，我们往往采取数形结合的方式进行解决.首先我们要根据题目的条件将几个向量的起点平移到同一点，作出图形，最后根据所求向量的条件得出终点的轨迹. 15．（2021·上海市建平中学高三开学考试）已知ABC 的外接圆圆心为O ，6A π∠=，若(),AO xAB yAC x y R =+∈，则x y +的最大值为（）A．4+B．4- CD【答案】B 【分析】过点O 作⊥OD AB ，OE AC ⊥，利用圆的性质知,D E 为AB ,AC 中点，设AB a =，AC b =，利用向量的数量积结合已知条件得到22221212a xa yab b ya ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求出x y +，利用基本不等式求最值即可. 【详解】如图，过点O 作⊥OD AB ，OE AC ⊥OA OB =，OA OC =，OAB ∴和OAC 是等腰三角形，D ∴为AB 中点，E 为AC 中点，设AB a =，AC b =，则cos 6AB AC AB AC π⋅=⋅=21cos 2AB AO AB AO BAO AB AD a ⋅=⋅∠=⋅=21cos 2AC AO AC AO CAO AB AE b ⋅=⋅∠=⋅=AO xAB yAC =+，()2xAB y AB AO A AC xAB y B A A C B ∴⋅=⋅=⋅++，即2212a a a x b y =()2xAB y AC AO AC A AC y AC x AC B +=⋅+∴⋅=⋅，即2212b a a y b x =联立解得：2x =2y =22444b a x y a b ⎫+==+≤-=-⎪⎭当且仅当ba ab=，即a b =时，等号成立.所以x y +的最大值为4-故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查圆的性质，平面向量的数量积以及基本不等式求最值，利用圆的性质结合平面向量的数量积得到关于x ，y 的方程，进而求出x y +是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于难题. 16．（2021·浙江浙江·模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足2a =，1b c -=，若a 与b 的夹角为π3，则a c -的最小值为（）A 1BC 1D 【答案】A 【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到1a c a b -≥--，然后求a b -的最小值即可；解法二设OA a =，OB b =，OC c =，易得1BC =，则C 的轨迹是以B 为圆心，半径为1的圆，连接AB ，然后又A ，C ，B 三点共线且C 在A ，B 中间时，a c -取得最小值求解. 【详解】解法一由题可得，1a c a b b c a b b c a b -=-+-≥---=--，所以要求a c -的最小值，需求a b -的最小值. 因为2a =，a 与b 的夹角为π3，所以a b -的最小值为πsin3a = 所以131a c ab -≥--≥，即a c -的最小值为1，解法二如图，设OA a =，OB b =，OC c =，则c b BC -=，a c CA -=.由1b c c b -=-=，知1BC =，点C 的轨迹是以B 为圆心，半径为1的圆，连接AB ，结合图形可知，当A ，C ，B 三点共线且C 在A ，B 中间时，a c -取得最小值.由正弦定理得：πsin sin 3AB OAOBA =∠，所以AB =≥故a c -的最小值为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据a 与b 的夹角为π3，由a b -的最小值为πsin 3a 而得解.17．（2021·山东·模拟预测）在ABC 中，2BC=，若AB =，则BC BA ⋅的取值范围是（）A ．(6-+B ．6⎡-+⎣C ．(8-+D ．8⎡-+⎣【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，由AB 得到A 的轨迹，最后结合图形及向量的数量积运算可得结果. 【详解】以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0B -，()1,0C .设点()(),0A x y y ≠，由AB =，可得()()2222121x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()23x - (()220y y +=≠，故点A 的轨迹为圆（不包含与x 轴的交点），记圆()(2223x y -+=与x 轴的交点分别为M ，N （M 在N的左侧）则4MB =-4NB =+所以BC BA BC BA ⋅=⋅cos 8ABC BC BM ⋅∠>⋅=-8BC BA BC BN ⋅<⋅=+ 故选:C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是建立坐标后根据几何关系建立等式然后得到点A 的轨迹方程，二是求最值. 18．（2021·宁夏中卫·模拟预测（理））已知2a b ==，且a ，b 的夹角为60，若向量1c a -≤，则b c ⋅的取值范围是（）A ．[]4,4-B ．⎡-⎣C ．0,⎡⎣D ．[]0,4【答案】D 【分析】设()2,0a =，()1,3b =，(),c x y =．由1c a -≤得()2221x y -+≤，设2cos x r α=+，sin y r α=，得22sin 6b c r πα⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭可得答案．【详解】不妨设()2,0a =，()1,3b =，(),c x y =，且1cos 2a b =，，因为1c a -≤，所以()2221x y -+≤，设2cos x r α=+，sin y r α=，01r ≤≤，α∈R ，所以32cos sin 22sin 6b c x r r πααα⎛⎫⋅=+=+=++ ⎪⎝⎭，由于1sin 16r r r πα⎛⎫-≤-≤+≤≤ ⎪⎝⎭，故[]0,4b c ⋅∈．故选：D ．【点睛】本题考查了用向量的坐标运算求取值范围的问题，解题的关键点是设()2,0a =，()1,3b =，(),c x y =转化为坐标运算，考查了学生分析问题、解决问题的能力.19．（2021·全国·高三专题练习（理））半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足0OA AB AC ++=，点P 是圆内一点，则PA PO PB PC ⋅+⋅的取值范围为（）A ．[414)-，B ．[0)4，C ．[414]，D ．[416]，【答案】A 【分析】设OA 与BC 交于点D ，由0OA AB AC ++=得四边形OBAC 是菱形，D 是对角线中点，,,,PA PO PB PC 用PD 和其他向量表示并计算数量积后可得PA PO PB PC ⋅+⋅＝224PD -，由点与的位置关系可得PD 的取值范围，得结论．【详解】如图， OA 与BC 交于点D ，由0OA AB AC ++=得： 0OB AC +=，所以四边形OBAC 是菱形，且2OA OB ==，则1AD OD ==，BD DC == 由图知PB PD DB =+，PC PD DC =+，而DB DC =-， ∴22222||||||3PB PC PD DB PD DB PD ⋅=-=-=-，同理PA PD DA =+，PO PD DO =+，而DA DO =-，∴22222||||||1PA PO PD DO PD DO PD ⋅=-=-=-， ∴22||4PA PO PB PC PD ⋅+⋅=-，∵点P 是圆内一点，则03PD ≤<，∴414PA PO PB PC -≤⋅+⋅<，故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的运算，解题关键是是利用线段的中点的性质，把,,,PA PO PB PC 用PD 和其他向量相加，然后求数量积可化化简．二、多选题 20．（2021·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD ，()AE AB λλ=∈R ，P 为以A 为圆心、AB 为半径的四分之一圆弧上的任意一点，设向量AC xDE y AP =+，x y +，则λ可取（）A B C ．3 D ．2+【答案】BD 【分析】设BAP α∠=，根据向量运算得cos 1sin 1x y y x λαα+=⎧⎨-=⎩，进而得x y +(1)(sin 1)1sin cos λαλαα++=-+，(1)(sin 1)()1sin cos f λααλαα++=-+，[0,]2πα∈，求函数导数，得函数最小值2min 221()1f λλαλ+-==+，解方程求解即可. 【详解】设BAP α∠=，则cos sin A AP A B D αα=+，由AC xDE y AP =+，可得()(cos sin )(cos )(sin )AC x AE AD y AD x y B B x A A y AD ααλαα=-++=++-又AC AB AD =+，所以cos 1sin 1x y y x λαα+=⎧⎨-=⎩，解得sin cos sin cos 1sin cos x y ααλααλλαα-⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，所以sin cos 1sin cos sin cos x y ααλλααλαα-++=+++(1)sin (sin cos )1sin cos sin cos λαλααλλααλαα+-++=+++(1)(sin 1)1sin cos λαλαα++=-+，令(1)(sin 1)()1sin cos f λααλαα++=-+，[0,]2πα∈则21sin cos ()(sin cos )f αλααλαα+-'=+，(sin [0,])2πϕϕϕ==∈[0,]2πα∈，[,]2παϕϕϕ-∈--，记0sin()αϕ-=0()0f α'=，易得0min 000(1)(sin 1)()()1sin cos f f λαααλαα++==-+，此时由0cos()αϕ-=，可得2000021sin sin[()]sin()cos cos()sin 1λααϕϕαϕϕαϕϕλ-=-+=-+-=+，000022cos cos[()]cos()cos sin()sin 1λααϕϕαϕϕαϕϕλ=-+=---=+，所以222min022221(1)(1)211()()112111f f λλλλλααλλλλλλ-+++-+==-==-++++解得λ=2 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：在处理x y +(1)(sin 1)1sin cos λαλαα++=-+的最小值时，利用函数求导是本题的关键点，也是难点，借助辅助角公式得函数的极值点即为最值点，从而得解，本题的运算量较大，属于难题.21．（2021·湖北黄石·高三开学考试）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，,n n M N 是圆222:O x y n +=上两个不同的动点，n P 是n n M N 的中点，且满足()220n n n OM ON OP n *⋅+=∈N ．设,n n M N到直线20l y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，则下列说法中正确的是（） A ．向量n OM 与向量n ON 所成角为120︒ B ．n OP n = C ．22n a n n =+D ．若2n n a b n =+，则数列12{}(21)(21)n nn b b b +--的前n 项和为11121n +-- 【答案】ACD 【分析】对于A ，用n OM 与n ON 表示n OP ，结合给定向量等式计算判断；对于B ，求出||n OP 的值即可判断；对于C ，转化为点n P 到直线l 距离最大值并计算判断；对于D ，求出数列{}n b 的通项，代入并利用裂项相消法计算判断作答. 【详解】依题意，||||n n OM ON n ==，而点n P 是弦n n M N 的中点，则1()2n n n OP OM ON =+，2222111(2)422n n n n n n n OP OM OM ON ON OM ON n =+⋅+=+⋅，而220n n n OM ON OP ⋅+=，于是得212n n O n OM N ⋅=-，1cos 2||,||n n n n n n OM ON OM ON OM ON 〈〉==-⋅⋅，即120,n n OM ON 〈〉=，A 正确；显然n n OM N 是顶角120n n M ON ∠=的等腰三角形，则1|||co60|s 2n n OP OM n ==，B 不正确；依题意，点,n n M N 到直线2:0l y n n +++=的距离之和等于点n P 到直线l 距离的2倍，由1|2|n OP n =知，点n P 在以原点O 为圆心，12n 为半径的圆上，则点n P 到直线l 距离的最大值是点O 到直线l的距离加上半径12n ，而点O 到直线l 距离222n n d +==，则点n P 到直线l 距离的最大值是22n n +，因此，222()22n n a n n n =+=+，C 正确；由2n n a b n =+得，n b n =，则111122(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)n n n b n n n b b n n n n ++++---==------1112121n n +=---，因此，数列12{}(21)(21)n n n b b b +--的前n 项和2231111111111212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：ACD22．（2021·广东深圳·高三月考）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，2a =，O 为ABC的外接圆，OP mOB nOC =+，给出下列四个结论正确的是（） A ．若1m n ==，则||23OP =；B ．若P 在O 上，则m n +的最大值为2；C ．若P 在O 上，则221m n mn ++=；D ．若,[0,1]m n ∈，则点P的轨迹所对应图形的面积为【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算以及向量的求模公式可判断A ，根据向量的线性运算，结合点与圆的位置关系及基本不等式可判断BC ，根据向量的线性运算，结合点的轨迹及三角形的面积公式可判断D. 【详解】 6A π=，2a =，O 为ABC 的外接圆∴22421sin 2a R R A ===⇒= 260,2BOC A OB OC ∠=∠===对于A ：若1m n ==，则OP OB OC =+()222221223OP OB OCOB OC OB OC OP =+=++⋅=⇒=故A 正确对于BC ：由()22OP mOB nOC OP mOB nOC =+⇒=+ 22222m OB n OC mnOB OC =++⋅()22224444m n mn m n mn =++=++若P 在O 上，则2OP =()2222441m n mn m n mn ++=⇒++=()()222311124m n m n mn m n+⎛⎫∴+=+≤+⇒+≤ ⎪⎝⎭m n ∴+≤m n =时取等号）故B 错误，C 正确；对于D ：若,[0,1]m n ∈，则点P 的轨迹：当0,[0,1]m n =∈时,OP nOC =,此时点P 在线段OC ; 当0,m [0,1]n =∈时, OP mOB =,此时点P 在线段OB ;当1,[0,1]m n =∈时，OP OB nOC =+，构造平行四边形OBCD ,此时点P 在线段BD 上；当1,m [0,1]n =∈时，OP mOB OC =+，构造平行四边形OBCD ,此时点P 在线段CD 上；当(),0,1m n ∈时，OP mOB nOC =+，此时点P 在菱形OBCD 内部，综上P 点的轨迹为菱形OBCD 组成的图形区域，则12222sin 60232OBCOBCD S S ==⨯⨯⨯⨯=菱形故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了向量的线性运算以及向量的求模公式，点与圆的位置关系，基本不等式，点的轨迹及三角形的面积公式，熟悉以上内容综合运用是解题的关键.23．（2021·广东天河·高三月考）对于△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（） A ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅ B ．212AO AB AB ⋅=C ．向量AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线D ．过点G 的直线l 分别与AB 、AC 交于E 、F 两点，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=【答案】BCD 【分析】A ：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B ：根据||cos AO OAB ∠的几何意义即可判断正误；C ：应用向量数量积的运算律及定义化简()cos cos AB AC BC AB BAC C+⋅，再根据AH BC ⊥判断正误；D ：根据平面向量基本定理可得1133AG AE AF λμ=+，再由三点共线即可证. 【详解】A ：O 为外心，则OA OB OC ==，仅当AOB AOC BOC ∠=∠=∠时才有OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅，错误； B ：由||||cos AO AB AO AB OAB ⋅=∠，又||||cos 2AB AO OAB ∠=，故212AO AB AB ⋅=，正确；C ：||||cos()()cos cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC AB BC B BC AB BAC CAB BAC CAB Bπ⋅⋅-+⋅=+=+||||cos ||||0cos AC BC CBC BC AC C =-+=，即cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直，又AH BC ⊥，所以AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线，正确；D ：2111()3333AG AD AB AC AE AF λμ==+=+，又,,E G F 三点共线，则11133λμ+=，故113λμ+=，正确.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：综合应用外心、垂心、重心的性质，结合平面向量数量积的运算律、几何含义以及平面向量基本定理判断各选项正误.24．（2021·广东华侨中学高三月考）已知向量()1,sin θ=a ，(cos b θ=，则下列命题正确的是（）A ．存在θ，使得//a bB ．当tan 2θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有a b ≠D ．当3a b ⋅=-时，a 在b 方向上的投影为【答案】BD 【分析】A 选项考察向量平行坐标之间的关系；B 选项考察向量垂直时坐标之间的关系；C 选项分别求出,a b ，可以得到是否存在θ，使得a b =；D 选项中根据数量积求出θ角的三角函数值，可以求出a 在b 方向上的投影【详解】选项A 中，若//a b sin cos =θθ，sin 2θ=θ，所以A 错误选项B 中，若a b ⊥，则cos 0θθ=，cos θ=θ，得：tan θ=，所以选项B 正确选项C 中，1sin a =+2cos b =+2πθ=时，a b =，所以C 错误选项D 中，cos a b ⋅==θθ两边同时平方得：2222cos 2sin cos 3cos 3sin θ+θ+θθ=θ+θ ，化简得：222cos sin cos 0θ+θ-θθ=，同除2cos θ得：2tan 20θ-θ+=，(2tan 0θ=，所以tan θ=22sin 2cos θ=θ，解得：21cos 3θ=，设a 与b 的夹角为α，所以a 在b 方向上的投影cos 2cos a b a b ⋅-=⋅α===+D 选项正确故选：BD.25．（2021·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC △，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 、P 是锐角ABC 内的点，A 、B 、C 是ABC 的三个内角，且满足13PA PB PC CA ++=，OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则（）A ．::4:2:3PAB PBC PCA S S S =△△△ B ．πA BOC ∠+∠=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC 【答案】ABCD 【分析】13PA PB PC CA ++=变形后表示为2433PB PA PC =--，再由奔驰定理得出向量,,PB PA PC 的关系，利用平面向量基本定理判断A ，利用数量积的运算，变形后证明O 是ABC 的重心，由平面几何知识判断B ，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B 的结论可证明C ，求出,,AOB BOC COA △△△的面积，利用选项B 的结论转化，再利用选项C 的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D ．【详解】因为13PA PB PC CA ++=，所以1()3PA PB PC PA PC ++=-，即24033PA PB PC ++=，所以2433PB PA PC =--，又由奔驰定理0PBC PCA PAB S PA S PB S PC ++=△△△得PBC PAB PCA PCAS SPB PA PC S S =--△△△△，因为,PA PC 不共线，所以24,33PBC PAB PCA PCA S S S S -=--=-△△△△，所以::4:2:3PAB PBC PCA S S S =△△△，A 正确；延长,,AO BO CO 分别与对边交于点,,D E F ，如图，由OA OB OB OC ⋅=⋅得()0OB OA OC OB CA ⋅-=⋅=，所以OB AC ⊥，同理,OC AB OA BC ⊥⊥，所以O 是ABC 的垂心，所以四边形AEOF 中BAC EOF π∠+∠=，EOF BOC ∠=∠，所以A BOC π∠+∠=，B 正确；由OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅得cos cos cos OA OB AOB OB OC BOC OC OA AOC ∠=∠=∠，所以::cos :cos :cos OA OB OC BOC AOC AOB =∠∠∠，由选项B 得cos cos BOC A ∠=-，cos cos AOC B ∠=-，cos cos AOB C ∠=-，所以::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，C 正确；由上讨论知， 11sin sin 22OBC S OB OC BOC OB OC A =∠=△， 11sin sin 22OAC S OA OC AOC OA OC B =∠=△11sin sin 22OAB S OA OB AOB OA OB C =∠=∠△，所以sin sin sin ::::OBC OAC OAB A B CS S S AO OB OC=△△△，又由选项C ：::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，得sin sin sin ::::tan :tan :tan cos cos sin OBC OAC OAB A B CS S S A B C A B C==△△△，由奔驰定理：0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=得tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ，D 正确．故选：ABCD ．【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查学生的创新能力，理解新知识、应用新知识的能力．解题关键一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法是唯一的，由此可得等量关系，二是利用数量积的运算得出O 是三角形的垂心，由此利用平面几何知识得出角的关系，再利用三角函数知识进行推导得出相应结论．26．（2021·全国·高三专题练习（理））设1A ，2A ，3A ，4A 是两两不同的四个点，若1312A A A A λ=，1412A A A A μ=，且112λμ+=，则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ．现已知平面上两点C ，D 调和分割A ，B ，则下列说法正确的是（）A ．点C 可能是线段AB 的中点 B ．点D 不可能是线段AB 的中点C ．点C ，D 可能同时在线段AB 上D ．点C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】BD 【分析】由题意设()0,0A ，()10B ,，(),0C c ，(),0D d ，结合已知条件得112c d +=，根据选项考查112c d+=的解，用排除法选择答案即可. 【详解】由已知不妨设()0,0A ，()10B ,，(),0C c ，(),0D d ，由C ，D 调和分割A ，B 可知，()(),01,0c λ=，()(),01,0d μ=，,c d λμ∴== 代入112λμ+=得112c d+=(∗) 对于AB ，若C 是线段AB 的中点，则12c =，代入(∗)得，d 不存在，故C 不可能是线段AB 的中点，同理D 不可能是线段AB 的中点，故A 错误，B 正确；对于C ，若C ，D 同时在线段AB 上，则01c ≤≤，01d ≤≤代入(∗)得，1c d ==，此时C 和D 点重合，与已知矛盾，故C 错误；对于D ，若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，则1c >，1d >，则112c d +<，这与112c d+=矛盾，所以C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确；故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的应用问题，正确理解新定义的含义是解题的关键，考查学生的逻辑推理与特殊与一般思想，属于较难题.27．（2021·山东济宁·高三月考）如图，已知点,,A B C 是O 上三个不同定点，Q 为弦AB 的中点，*)(n D n N ∈是劣弧BC 上异于,B C 的一系列动点，连接n AD 交BC 于n P ，点()*n P n N ∈满足()1221n n n n n P C a P a P A Q →→→+-+⋅⋅=，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A ．数列{1}n a +是等比数列B ．37a =C ．21n a n =-D ．22nn S n =+-【答案】AB 【分析】由平面向量线性运算和向量共线可得到()12212=n n a a λλ+⎧-+=⎨-⎩，由此可确定递推关系式，得到121n n a a +=+，进而得数列{1}n a +是等比数列可判断A 选项；利用等比数列通项公式求得21nn a =-，可确定BC 正误；利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得n S ，知D 错误. 【详解】解：因为Q 为弦AB 的中点，所以12n n n P P Q A B P →→→=+⎛⎫⎪⎝⎭，所以2n n n P B A P P Q →→→=-，因为,,n B C P 三点共线，所以=,n n P C P R B λλ→→∈，又因为()1221n n n n n P C a P a P A Q →→→+-+⋅⋅=，所以()122122n n n n n n n n A Q Q A Q a P a P A P P P P λλλ→→→→→→+⎛⎫-+⋅=-=- ⎪⎝⋅⎭，所以()12212=n n a a λλ+⎧-+=⎨-⎩，消去λ得121n n a a +=+，所以()()1121n n a a ++=+，即1121n n a a ++=+()*n N ∈，所以数列{}1n a +是等比数列，公比为2，首项为112a +=，故A 选项正确；所以12nn a +=，故21n n a =-，所以33217a =-=，故B 选项正确，C 选项错误；此时数列{}n a 的前n 项和()()()()123123212*********n n n nS =-+-+-++-=++++-()12122212n n n n +-=-=---，故D 选项错误.故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与向量的综合应用问题，解题关键是能够根据平面向量的线性运算和向量共线的性质推导得到数列的递推关系式，由此构造出所需的等比数列进行求解.28．（2021·全国·高三专题练习）对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（） A ．212AO AB AB ⋅=B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线【答案】ACD【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直，从而说明D 正确.【详解】如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=()21·cos cos ?22AB AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正确； ··OAOB OAOC =等价于()·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵E,F ,G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=,故C 正确；cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B AC C π⋅-⋅=+ 0BC BC =-+=,∴cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴cos cos AB AC AB BAC C+与AH 共线，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.29．（2021·全国·高三专题练习）如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（）A ．||OA OC +有最大值也有最小值B ．OA OC ⋅有最大值无最小值 C ．||OA BC +有最小值无最大值D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值【答案】BD 【分析】设OCB α∠=，则()30,090ABx αα∠=+<<，所以()()2sin ,0,0,2cos B C αα，)30),sin(30)Aαα++， ()2sin ,2cos BC αα=-.由2OA OC +化简为54sin(230)α++根据α的范围可判断A ；由OA OC ⋅化简为1sin(230)2α++根据α的范围可判断B ；由2OA BC +化简为460)α++根据α的范围可判断C ；由OA BC ⋅化简为214sin α-根据α的范围可判断D.【详解】由题意30BCA ∠=，2,90BC A =∠=，所以1AC AB =，设OCB α∠=，则ABO ∠的补角即AB 与x 轴正半轴的夹角()30,090ABx αα∠=+<<，所以)30),sin(30)Aαα++，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，()2sin ,2cos BC αα=-，所以()330),sin(30)2cos OA OC ααα+=+++，。

上海建平实验学校2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

上海建平实验学校2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则A．0 B．7 C．14D．21参考答案：D略2. 下列命题：①在中，若，则；②已知，则在上的投影为；③已知，，则“”为假命题；④已知函数的导函数的最大值为，则函数的图象关于对称．其中真命题的个数为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：B①根据正弦定理可知在三角形中。

若，则，所以，正确。

在上的投影为，因为，所以，所以②错误。

③中命题为真，为真，所以为假命题，所以正确。

④中函数的导数为，最大值为，所以函数。

所以不是最值，所以错误，所以真命题有2个选B.3. “x≥1”是“lgx≥1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】lgx≥1，解得x≥10．即可判断出．【解答】解：lgx≥1，解得x≥10．∴“x≥1”是“lgx≥1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 设集合，，则（）A． B． C． D．参考答案：B5. 函数f（x）=8x﹣2﹣x+2的一个零点所在区间为( )A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）参考答案：B考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：紧扣函数零点存在的判定定理：函数连续，一正一负即可．解答：解：∵函数f（x）=8x﹣2﹣x+2在（0，+∞）上连续，且f（1）=8﹣1+2=9，f（2）=2﹣2+2=2，f（3）=﹣3+2=﹣，故选B．点评：本题考查了函数零点的判定，属于基础题．6. 执行如图所示的程序框图，如果输入a=6，b=2，则输出的S=（）A．30 B．120 C．360 D．720参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当x=2时跳出循环，输出结果．【解答】解：输入a=6，b=2，k=6，s=1，k=6≥a﹣b=4，s=6，k=5＞a﹣b，s=30，k=4≥a﹣b，s=120，k=3＜a﹣b，输出s=120，故选：B．【点评】本题考查程序框图，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．7. 若并且，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为A．32个 B．30个 C．62个 D．60个参考答案：D8. 如果复数的实部和虚部互为相反数，则的值等于（）A．0 B．1 C．2D．3参考答案：A略9. 将函数y＝sin(6x＋)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴方程为A． B. C. D.参考答案：A10. 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 ( )A． B．C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围是．参考答案：-1<m<112. 已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组表示的平面区域内，且（O为坐标原点）的最大值为2，则m=．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】利用向量的数量积化简表达式，得到目标函数，画出可行域，利用最优解求解即可．【解答】解：，令x+my=z，作出不等式组表示的可行域，由解得A（，），当m≥0时，目标函数在A处取得最大值2．分析知当时，z max=2．所以，解之得或（舍去），所以．故答案为：．13. （5分）设a+b=2，b＞0，则当a= 时，取得最小值．参考答案：﹣2【考点】：基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由于a+b=2，b＞0，从而=，（a＜2），设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a ＜2）设f （a ）=，（a ＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a ＜0时，f （a ）=﹣+，f′（a ）==，当a ＜﹣2时，f′（a ）＜0，当﹣2＜a ＜0时，f′（a ）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a ＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．【点评】：本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．14. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是参考答案：15. 坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为．现以极点O 为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(t 参数) (I)写出直线和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)设直线和曲线C 交于A ，B 两点，定点P(-2，-3)，求的值．参考答案：Ⅰ），所以，所以，即；直线的普通方程为：；………………………………5分（Ⅱ）把直线的参数方程带入到圆：，得，因为点显然在直线上，由直线标准参数方程下的几何意义知=所以.………………………………10分略16. 已知方程表示圆，则的取值范围为__________．参考答案：若方程表示圆，则，解得，故的取值范围为．17. 已知向量，，若，则实数的值等于_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021届上海市建平中学高三冲刺模拟卷3数学试题(解析版)

上海市建平中学2021届高三冲刺模拟卷3数学试题一、填空题1．已知定义在[﹣1，1]上的函数f （x ）值域为[﹣2，0]，则y =f （cosx ）的值域为_____．2．已知直线l 的参数方程是10.820.6x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则它的普通方程是_____． 3．已知定义在R 上的增函数()y f x =满足()()40f x f x +-=，若实数,a b 满足不等式()()0f a f b +≥，则22a b +的最小值是______．4．已知点P 是棱长为1的正方体1111A B C D ABCD -的底面1111D C B A 上一点(包括边界)，则PA PC ⋅的取值范围是____.5．一个球的体积为36π，则该球的表面积为______.6．已知等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则{}n a 的前n 项积123n a a a a 的最大值为______. 7．现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为_____．8．已知点()3,1A ，5,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数()21log 1x f x x +=-的图像上，则四边形ABCD 的面积为______.9．已知集合M=251434⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，，集合M 的所有非空子集依次记为：M 1，M 2，...,M 15，设m 1，m 2，...，m 15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m 1+m 2+...+m 15=_____10．给定正整数n 和正数b ，对于满足条件211n a a b +-=的所有无穷等差数列{}n a ，当1n a +=________时，1221n n n y a a a +++=+++取得最大值．11．函数f （x ）=sinπx+cosπx+|sinπx ﹣cosπx|对任意x ∈R 有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 2﹣x 1|的最小值为．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a =________．二、单选题13．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（）A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线14．已知函数*()21,f x x x N =+∈.若*0,x n N ∃∈，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足1MF =且0MP MF ⋅=,则PM 的最小值为（）A ．B ．3C ．D ．116．关于曲线C ：221x y --+=的下列说法：①关于原点对称；②关于直线0x y +=对称；③是封闭图形，面积大于2π；④不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；⑤与曲线D ：||||22x y +=的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题17．如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.(1)求证：//AC 平面PDB ；(2)求二面角P AB C 的余弦值.18．如图所示，某人在斜坡P 处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高80AB =米，塔所在山高220OA =米，200OC =米，观测者所在斜坡CD 近似看成直线，斜坡与水平面夹角为α，1tan 2α=（1）以射线OC 为Ox 轴的正向，OB 为Oy 轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD 所在直线方程；（2）当观察者P 视角APB ∠最大时，求点P 的坐标（人的身高忽略不计）.19．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，()21103C x x x =+（万元）.当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），每千件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．如图，设椭圆22221(0)y x a b a b +=>>两顶点(,0),(,0)A b B b -，短轴长为4，焦距为2，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆交于,C D 两点．设直线AC 与直线BD 交于点1Q .（1）求椭圆的方程；（2）求线段,C D 中点Q 的轨迹方程；（3）求证：点1Q 的横坐标为定值.21．已知函数()(1|1|)f x a x =--，a 为常数，且1a >.（1）证明函数()f x 的图象关于直线1x =对称；（2）当2a =时，讨论方程(())f f x m =解的个数；（3）若0x 满足()()00f f x x =，但()00f x x ≠，则称0x 为函数()f x 的二阶周期点，则()f x 是否有两个二阶周期点，说明理由.参考答案：1．[﹣2，0]【解析】【分析】根据cosx 范围确定函数f （x ）自变量，再根据条件确定值域.【详解】∵f （x ）的定义域是[﹣1，1]，值域是[﹣2，0]，而cosx ∈[﹣1，1]，故f （cosx ）的值域是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点睛】本题考查函数定义域与值域，考查基本分析求解能力，属基础题.2．3x ﹣4y +5=0【解析】【分析】根据加减消元得普通方程.【详解】10.83438345020.6x t x y x y y t =+⎧∴-=-⇒-+=⎨=+⎩故答案为：3450x y -+=【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3．8【解析】【分析】由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果.【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=-()f x 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥则可知可行域如下图所示：则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值()222min 482a b -∴+== 本题正确结果；8【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.4．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设()(,,0,0,1[])P x y x y ∈，利用空间向量的坐标运算可知22111222PA PC x y ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅+，利用,[0,1]x y ∈可求解. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则1(0,0,0)A ，(0,0,1)A ，(1,1,1)C ，设()(,,0,0,1[])P x y x y ∈则,,)1(PA x y -=-，,(),111PC x y -=-，∴()()22111111222PA PC x x y y x y ⎛⎫⎛⎫=----+=--+ ⎪ ⋅+⎪⎝⎭⎝⎭ ∵,[0,1]x y ∈，∴当12x =，12y =时，PA PC ⋅有最小值12. 当点P 取(0,0,0)，(1,0,0)，(1,1,0)，(0,1,0)时，PA PC ⋅有最大值1.∴PA PC ⋅的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：利用几何意义求最值的几种常见形式有：①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y 轴截距的问题； ②斜率型：y b z x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=22A B +题.5．36π【解析】【分析】设球的半径为r ，由球的体积求出r 的值，再由球的表面积公式即可求解.【详解】设球的半径为r ，由题意可得：34π36π3r =，所以327r = 解得：3r =，所以该球的表面积为224π4π336πr =⨯=,故答案为：36π.6．64【解析】【分析】设公比为q ，利用2413a a q a a +=+求得q ，结合等比数列通项公式求得1a ，将所求式子变为217222n n -+，利用二次函数性质求得21722n n -+的最大值，代入即可得到所求的最大值. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则1324131312a q a q a a q a a a a ++===++ 2131115104a a a a q a ∴+=+==，解得：18a = ()()()21173123122212311218222n n n n n n nn n n n a a a a a q ---++++⋅⋅⋅+--∴⋅⋅⋅=⋅=⋅==n N *∈ ∴当3n =或4时，2max 17622n n ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ()6123max 264n a a a a ∴⋅⋅⋅== 故答案为：64【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量和最值问题的求解，关键是能够将所求的前n 项积表示为关于n 的复合函数的形式，结合二次函数的最值与指数函数的性质可求得结果；易错点是忽略n *∈N 的条件，造成二次函数最值求解错误.7．472【解析】【分析】利用间接法，先求出不考虑特殊情况共有多少种取法，再减去每一种小球各取三个和两个红色小球的情况，即为所求.【详解】由题意，不考虑特殊情况，共有C 163＝560种取法，其中每一种小球各取三个，有4C 43＝16种取法，两个红色小球，共有C 42C 121＝72种取法，故所求的取法共有560﹣16﹣72＝472种．故答案为：472．8．263【解析】【分析】根据奇偶性的判定可知()f x 为奇函数，由此可知,A C 关于原点对称，,B D 关于原点对称；利用直线方程的求法可求得直线AB ，进而得到原点O 到直线AB 的距离d ，利用两点间距离公式可求得AB ，由42ABCD OAB S S AB d ∆==⋅可求得结果.【详解】由101x x +>-得：1x <-或1x >，即()f x 定义域为()(),11,-∞-+∞()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+- ()f x ∴为定义在()(),11,-∞-+∞上的奇函数C ∴与A 关于原点O 对称，B 与D 关于原点O 对称 4ABCD OAB S S ∆∴= 又2135433AB k -==-- ∴直线AB 方程为：()3134y x -=--，即34130x y +-=O ∴到直线AB 距离135d =，又53AB = 113526442533ABCD OAB S S ∆∴==⨯⨯⨯= 故答案为：263【点睛】本题考查四边形面积的求解问题，涉及到函数奇偶性与对称性的应用、直线方程的求解、两点间距离公式和点到直线距离公式的应用等知识；关键是能够根据对称性确定所求四边形面积为OAB ∆面积的四倍. 9．132 【解析】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数()()()251434f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当1x =时，函数的值就是所有子集的乘积．【详解】集合M 的所有非空子集的乘积之和为函数()()()251434f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中所有项数之和1T - 令1x =，()()2519151111142534342T ⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯+⨯+=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15131122T -=-= 故答案为132【点睛】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思想的应用，属于难题．10．32##1.5 【解析】【分析】1(1)(1)2++=++n n n y a n d ，把11n a a d n +-=代入得113(1)2+-=+n a a y n ，211n a b a +=+代入得y ，根据二次函数配方可得答案.【详解】12211(1)(1)2n n n n n n y a a a a n d +++++=++=++，把11n a a d n +-=代入得113(1)2+-=+n a a y n ，又因为211n a b a +=+，代入得2113(1)2++-+-=+n n a a b y n ，根据二次函数配方得：211394(1)228++-⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭n n b y a n ，即当132n a +=时，y 达到最大. 故答案为：1.5 .11．【解析】【详解】试题分析：先将函数写出分段函数，结合三角函数的图象，再确定|x 2﹣x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．解：由题意可得，f （x ）=，若f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）恒成立，则f （x 1）为函数的最小值，f （x 2）为函数的最大值．|x 2﹣x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x=时，函数取得最大值2，x=时，sinπx=cosπx =﹣，函数取得最小值，∴|x 2﹣x 1|的最小值为﹣=，故答案为．考点：正弦函数的图象．12．(1)2n n π- 【解析】【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得1n n a a n π+-=，再利用“累加”法和等差数列的前n 项和公式，即可求解．【详解】由题意，因为10a =，当1n =时，12()|sin |,[0,]f x x x a =∈，又因为对任意的实数[0,1)m ∈，1()f x m =总有两个不同的根，所以2a π=，所以12()sin ,[0,],f x x x a ππ=∈=，又22311()|sin ()||sin ()|cos ,[,]222x f x x a x x a ππ=-=-=∈，对任意的实数[0,1)m ∈，1()f x m =总有两个不同的根，所以33a π=，又33411()|sin ()||sin (3)|cos ,[3,]323x f x x a x x a ππ=-=-=∈，对任意的实数[0,1)m ∈，1()f x m =总有两个不同的根，所以46a π=，由此可得1n n a a n π+-=，所以1211(1)()()1(1)2n n n n n a a a a a a n πππ--=+-++-=+++-=，所以(1)2n n n a π-=．故答案为(1)2n n π-．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．13．D【解析】【详解】设m 在平面α上的投影'm ，'m 与直线l 交于点O .在平面α上，以O 为原点、直线l 为y轴建立直角坐标系.则设'm 的方程为y kx =.又设点P （x ， y ）.则点P 到直线l 的距离x ，点P 到直线'm .从而，点P 到直线m 的距离平方等于()2221y kx a k -++，其中，a 为直线m 到平面α的距离.因此，点P 的轨迹方程为()22221y kx a x k -+=+，即为双曲线.14．B【解析】【分析】由000()(1)()63f x f x f x n +++++=，得（2x 0+1）+[2（x 0+1）+1]+…+[2（x 0+n ）+1]＝63，化简可得（n+1）（2x 0+n+1）＝63，由*0,x n N ∈，得0n 172n 19x +=⎧⎨++=⎩或0132121n x n +=⎧⎨++=⎩ ，解出即可．【详解】由000()(1)()63f x f x f x n +++++=，得（2x 0+1）+[2（x 0+1）+1]+…+[2（x 0+n ）+1]＝63所以2（n+1）x 0+2（1+2+…n ）+（n+1）＝63，即（n+1）（2x 0+n+1）＝63，由*0,x n N ∈，得0n 172n 19x +=⎧⎨++=⎩或0132121n x n +=⎧⎨++=⎩，解得061n x =⎧⎨=⎩或0n 29x =⎧⎨=⎩，所以函数f （x ）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故选B ．【点睛】本题考查数列求和及函数求值，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力，属于基础题． 15．A【解析】【详解】由题意得所以考点：圆的切线长，椭圆定义16．D【解析】【分析】根据题意，分析点(,)x y --与点(,)y x --是否在曲线上，可判断①②；由曲线C 的方程可知x 、y 均没有最大值和最小值可以判断③；曲线C 与圆、曲线D 联立可判断④⑤；【详解】根据题意，对于①，将原方程中的x 换成x -，y 换成y -，方程不变，所以曲线C 关于原点对称，故①正确；对于②，将原方程中的x 换成y -，y 换成x -，方程与原方程相同，故②正确；对于③，曲线C 方程中，x 、y 均没有最大值和最小值，则C 不是封闭图形，故③错误；对于④，曲线C ：22111x y +=与圆：222x y +=联立无解，所以曲线与圆222x y +=无公共点，故④正确；对于⑤，0,0x y >>时，曲线:2D x y +=2211:1C x y+=只有一个公共点(2,2)，根据对称性，可得曲线C 与曲线:22D x y +=⑤正确。

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建平中学高三数学练习2021.02.24一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合{}1,3,5A =，()2,B =+∞，则A B =__________.2. 复数11iz i-=+的实部为___________. 3. 已知球的半径为3，则它的体积为__________. 4. 已知1cos 23πθ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则()cos 2θ=__________.5. 若直线1l ：210mx y ++=与2l ：43y x =+互相垂直，则实数m =__________.6. 已知0a >且1a ≠，设函数2,3()3log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是___________.7. 若多项式827801278(2)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x +=+++++++++，则17a a +的值为_________.8. 若抛物线24y x =的准线与曲线221(0)4x y y a +=≥只有一个交点，则实数a 的取值范围是__________. 9. 甲和乙等六名志愿者参加进博会A ，B ，C ，D ，E 五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为_____________.（结果用数字表示） 10. 已知ABC △中，23A π∠=，4AB =，若点D 在边BC 上，且2BD DC =，AD =，则AC 的长为___________.11. 有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为___________.12. 已知()y f x =是奇函数，定义域为[]1,1-.当0x >时，()211()10,4x f x x Q ααα-⎛⎫=-->∈ ⎪⎝⎭，当函数()()g x f x t =-有3个零点，实数t 的取值范围是__________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.选对得5分，否则一律得零分.13. 已知实数A ，B ，C 满足0ABC ≠，则“0ABC >”是“方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14. 当1m ≠±时，方程组12mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩的解的情况为（）A. 仅有唯一解B. 有唯一解或无穷多解C. 无解或无穷多解D. 有唯一解或无解15. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值为（）A. 2B.3C.13D.4316. 已知ABC △的外接圆圆心为O ，6A π∠=，若(),AO xAB yAC x y R =+∈，则x y +的最大值为（）A. 4+B. 4-C.2D.4三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，ABC △是边长为4的正三角形，侧棱PB 与底面所成角为3π.（1）求三棱锥P ABC -的体积V ；（2）若D 为PB 中点，求异面直线PA 与CD 所成角的大小.18. 已知函数2()cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()2f A =，1b =，ABC △的面积为a 的值. 19. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：()60,02070,20120140x v k R kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时. （1）若车流速度v 不小于50千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭.A为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若20OB OC +=，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. 已知正整数数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，212026(1)1n n n a a n a +++=≥+.（1）已知52a =，61013a =，求a 和b 的值；（2）若1a =，求证211202621n n n ba ab +---≤+；（3）求a b +的取值范围.建平中学高三数学练习2021.02.24一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. {}3,52. 03. 36π4.79 5. 12 6. ⎫⎪⎪⎣⎭7. 16 8. ()[),01,-∞+∞ 9. 1680 10. 3 11. 1010 12.{}111,0,144⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13-16：DACB三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.【答案】（1）∵PA ⊥底面ABC ，∴PBA ∠为侧棱PB 与底面所成的角，即3PBA π∠=，∴PA =又144sin 23S π=⨯⨯⨯=111633V Sh ==⨯=，即三棱锥P ABC -的体积为16；（2）取AB 中点E ，连结DE ，CE ，则//DE PA ，∴CDE ∠就是异面直线PA 与CD 所成的角（或其补角），CE =12DE PA ==PA ⊥底面ABC ，∴DE ⊥底面ABC . 在直角三角形CDE 中，tan 1CE CDE DE ∠==，所以4CDE π∠=，所以异面直线PA 与CD 所成角的大小为4π.18.【答案】（1）2()cos 226f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为π，单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）因为()f A =，所以2262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 216A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故6A π=，11sin 1sin 226ABC S bc A c π==⨯⨯⨯=△c =，2222cos 7a b c bc A =+-=，所以a = 19.【答案】（1）由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入70140kv x=--，得070140120k =--，解得1400k =，所以60,020140070,20120140x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩. 当020x <≤时，6050v =≥，符合题意；当20120x <≤时，令14007050140x-≥-，解得70x ≤，所以2070x <≤.综上，070x <≤.答：若车流速度v 不小于50千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,70.（2）由题意得60,020140070,20120140x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，当020x <≤时，60y x =为增函数，所以1200y ≤，等号当且仅当20x =成立；当20120x <≤时，14002020(140)2800707070140140140x x x y x x x x x x --⎛⎫⎡⎤=-=-=+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦28002800702070160(140)140140x x x x ⎧⎫⎛⎫⎡⎤=+-=--+⎨⎬ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎩⎭7016070(1603792⎡≤-=-≈⎢⎣.即3792y ≤，等号当且仅当2800140140x x-=-，即()21402800x -=，即140x -=±(]1408720,120x =-≈∈成立.综上，y 的最大值约为3792，此时x 约为87.答：隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.20.【答案】（1）由题意得24a =，解得2a =.把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程22221x y a b +=，得221914a b +=.由于2a =，解得b =22143x y +=. （2）因为20OB OC +=，则得10,2OC OB ⎛=-= ⎝⎭，即C ⎛⎝⎭，又因为()2,0A -，所以直线AP的方程为)2y x =+. 由222)143y x x y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得65P ⎛⎝⎭，所以AP ==，即线段AP的长为5. （3）由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线PB：y kx =令0y =，得D k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由22143ykx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22340k x +-=，解得0x =（舍去）或234x k =+. 所以P⎝⎭.于是直线AP 的方程为2)y x=+.令0x =得，即C ⎛⎫⎝.所以四边形ABDC的面积等于12212C k AD B ⎛⎫⎛=+=⨯⨯⎝⎭ 即四边形ABDC 的面积为定值 21.【答案】（1）2a =，1013b =；（2）由题意可得：2122026n n n n a a a a ++++=+，则212323120262026n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++=+⎧⎨+=+⎩，两式相减可得()()31221n n n n n a a a a a ++++-+=-，即23121n nn n n a a a a a ++++--=+，因为{}n a 是正整数数列，所以212n a ++≥，于是2113111122n n n n n a a a a a a ++---≤-≤≤-1112026120262121n n a b a b b --+-=-=++. （3）由（2）知()()31221n n n n n a a a a a ++++-+=-，①若20n n a a +-=，即{}n a 是周期为2的周期数列，则有120261n n n a a a ++=+，即12026n na a +=.由{}n a 是正整数数列，所以11,2,1013,2026n a +=，经验证，12026a b =⎧⎨=⎩，20261a b =⎧⎨=⎩，21013a b =⎧⎨=⎩，10132a b =⎧⎨=⎩均符合题意. ②若20n n a a +-≠，当1n =时，有()()423311a a a a a -+=-，当2n =时，有()()534421a a a a a -+=-，两式相除可得()()33534111a a a a a -+=-+（*），因为{}n a 是正整数数列.所以（*）不可能成立.理由如下：若531a a -≥，则()()333534111a a a a a a -<<+-+；若530a a -<，则()()335341011a a a a a -≤<+-+.综上，必有{}n a 是周期为2的周期数列，且有12026a b =⎧⎨=⎩，20261a b =⎧⎨=⎩，21013a b =⎧⎨=⎩，10132a b =⎧⎨=⎩，因为{}1015,2027a b +∈.。