高二圆锥曲线经典练习题含答案

一．求离心率问题
1．已知椭圆和直线，若过C的左焦点和下顶点的
直线与平行，则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
2．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为（）
A．﹣1B．C．D．+1
3．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE 交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
4．过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[）B．[]C．[）D．[] 5．设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径
的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）
A．B．C．2D．
6．已知双曲线的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
7．若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲
线的离心率为（）
A．2B．C．D．2
8．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F1关于双曲线渐
近线的对称点P满足∠OPF2＝∠POF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．
二、圆锥曲线小题综合
9．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．8
10．已知抛物线x2＝16y的焦点为F，双曲线＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点
P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）
A．5B．7C．9D．11
11．已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）
A．B．
C．D．
12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1相交于M，N两点，若△MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p＝（）
A．2B．C．3D．6
13．已知椭圆与双曲线
有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则的最小值是（）A．4B．6C．8D．16
14．已知点M（1，0），A，B是椭圆+y2＝1上的动点，且＝0，则•的取值是（）
A．[，1]B．[1，9]C．[，9]D．[，3]
15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．3D．9
17．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝（）
A．3B．6C．9D．12
18．若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）
A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3]D．（1，3）
19．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）
A．B．e2﹣1C．D．e2+1
20．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线
的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（）A．B．C．D．
三．求轨迹方程问题
21．已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得弦长为8，求直线l的方程．
22．已知在平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段P A中点M的轨迹方程．
23．已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M 是FQ的中点，求点M的轨迹方程．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA 与直线EB的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|＝|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．
25．已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P的轨迹方程（化为标准方程）．
四、直线和圆锥的关系问题
26．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．28．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y﹣2＝0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x
轴上是否存在定点E，使得•为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存
在，请说明理由．
29．已知椭圆的左右顶点分别为A1，A2，右焦点F的坐标为
，点P坐标为（﹣2，2），且直线P A1⊥x轴，过点P作直线与椭圆E交于A，B两点（A，B在第一象限且点A在点B的上方），直线OP与AA2交于点Q，连接QA1．（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线QA1的斜率为k1，直线A1B的斜率为k2，问：k1k2的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由．
30．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C 上异于O的两点．
（I）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点．
31．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在
椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
32．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2＝4x的焦点恰好使椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程
（2）过点D（0，3）作直线l与椭圆C交于A，B两点，点N满足＝（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．
33．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3＝0的距离为5，且椭圆C的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）给出定点Q（，0），对于椭圆C的任意一条过Q的弦AB，+是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
34．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．
35．如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
36．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y＝kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k＝k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
37．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，直线l：x﹣my﹣1＝0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点D（，0），连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD 交于点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．
38．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲
线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．
39．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2．点P在椭圆C上，且满足△PF1F2的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
40．已知椭圆C：的离心率为，右焦点F2到直线l1：3x+4y＝0的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k•k′为定值．
一．选择题（共20小题）
1．已知椭圆和直线，若过C的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】求出椭圆的左焦点与下顶点坐标连线的斜率，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆和直线，若过C的左焦点和下顶点的直线与平行，
直线l的斜率为，所以，又b2+c2＝a2，
所以，
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
2．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为（）
A．﹣1B．C．D．+1
【分析】如图所示，△PF1F2为直角三角形，可得∠PF1F2＝90°，可得|PF1|＝2c，|PF2＝2c，利用椭圆的定义可得2c+2c＝2a，即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵△PF1F2为直角三角形，
∴∠PF1F2＝90°，
∴|PF1|＝2c，|PF2＝2c，
则2c+2c＝2a，
解得e＝＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE 交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．
【解答】解：可令F（﹣c，0），由x＝﹣c，可得y＝±b＝±，
由题意可设P（﹣c，），B（a，0），
可得BP的方程为：y＝﹣（x﹣a），
x＝0时，y＝，E（0，），A（﹣a，0），
则AE的方程为：y＝（x+a），
则M（﹣c，﹣），
M是线段PF的中点，
可得2•（﹣）＝，
即2a﹣2c＝a+c，即a＝3c，
可得e＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
4．过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[）B．[]C．[）D．[]【分析】由题意画出图形，可得四边形AF2BF1为矩形，则AB＝F1F2＝2c，结合AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，列式可得e关于∠ABF2的三角函数，利用辅助角公式化积后求解椭圆离心率的取值范围．
【解答】解：如图，
设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，
则四边形AF2BF1为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，
∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，
∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，
得e＝＝．
∵∠ABF2∈[]，∴，
则∈[]．
则椭圆离心率的取值范围为[]．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．
5．设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径
的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）
A．B．C．2D．
【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C的离心率．
【解答】解：如图，
由题意，把x＝代入x2+y2＝a2，得PQ＝，
再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，
∴，解得e＝．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．已知双曲线的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】不妨设直线l的斜率为﹣，∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣c），联立直线方程与双曲线方程，化为关于y的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解．【解答】解：如图，
不妨设直线l的斜率为﹣，∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣c），
联立，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．
∴．
由题意，方程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0的两根异号，
则a＞b，此时＜0，＞0．
则，即a＝2b．
∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．
7．若双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲线的离心率为（）
A．2B．C．D．2
【分析】渐近线与直线x+3y+1＝0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣3y+1＝0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x，
∴＝3，得b2＝9a2，c2﹣a2＝9a2，
此时，离心率e＝＝．
故选：C．
【点评】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
8．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，若点F1关于双曲线渐
近线的对称点P满足∠OPF2＝∠POF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．
【分析】连接OP，运用等边三角形的定义和垂直平分线的性质，以及点到直线的距离公式，可得|OP|＝c，O到PF1的距离为a，再由锐角三角函数的定义可得所求离心率的值．【解答】解：连接OP，可得|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝|PF2|＝c，
F1到渐近线bx+ay＝0的距离为d＝＝b，
在等腰三角形OPF1中，O到PF1的距离为a，
即sin∠OPF1＝sin30°＝＝，
可得e＝＝2．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查垂直平分线的性质以及化简运算能力，属于基础题．
9．若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．8
【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．
【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（）2，解得p＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．
10．已知抛物线x2＝16y的焦点为F，双曲线＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点
P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）
A．5B．7C．9D．11
【分析】由双曲线方程求出a及c的值，利用双曲线定义把|PF|+|PF1|转化为|PF1|+|PF2|+2a，连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，由两点间的距离公式求出|FF2|，则|PF|+|PF1|的最小值可求．
【解答】解：如图
由双曲线双曲线＝1，得a2＝3，b2＝5，
∴c2＝a2+b2＝9，则c＝3，
则F2（3，0），
∵|PF1|﹣|PF2|＝4，∴|PF1|＝4+|PF2|，
则|PF|+|PF1|＝|PF|+|PF2|+4，
连接FF2交双曲线右支于P，
则此时|PF|+|PF2|最小等于|FF2|，
∵F的坐标为（0，4），F2（3，0），
∴|FF2|＝5，
∴|PF|+|PF1|的最小值为5+4＝9．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查了双曲线的简单性质，训练了双曲线中最值问题的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．
11．已知双曲线（a＞0，b＞0）与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为（）
A．B．
C．D．
【分析】求出双曲线的渐近线方程可得，①求出椭圆的焦点坐标，可得c＝2，即a2+b2＝8，②，解方程可得a，b的值，进而得到双曲线的方程．
【解答】解：曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，可得，①，
椭圆的焦点为（±2，0），
可得c＝2，即a2+b2＝8，②
由①②可得a＝，b＝，
则双曲线的方程为．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查．
12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2＝1相交于M，N两点，若△MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p＝（）
A．2B．C．3D．6
【分析】利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N．利用三角形是直角三角形，转化求解即可．
【解答】解：由题设知抛物线y2＝2px的准线为x＝﹣，代入双曲线方程﹣x2＝1解得y＝±，
由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形，∴∠FMN＝，
∴tan∠FMN＝＝1，∴p2＝3+，即p＝2，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．
13．已知椭圆与双曲线
有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则的最小值是（）A．4B．6C．8D．16
【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a12+a22＝2c2，由此能求出9e12+e22的最小值．
【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|＝2a2，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|＝2a1，②
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2，③
①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2＝2a12+2a22，④
将④代入③，得a12+a22＝2c2，
∴9e12+e22＝+＝5++≥8，即的最小值是8．
故选：C．
【点评】本题考查9e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．
14．已知点M（1，0），A，B是椭圆+y2＝1上的动点，且＝0，则•的取值是（）
A．[，1]B．[1，9]C．[，9]D．[，3]
【分析】利用＝0，可得•＝•（﹣）＝，设A（2cosα，sinα），可得＝（2cosα﹣1）2+sin2α，即可求解数量积的取值范围．
【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，
设A（2cosα，sinα），
则＝（2cosα﹣1）2+sin2α＝3cos2α﹣4cosα+2＝3（cosα﹣）2+，
∴cosα＝时，的最小值为；cosα＝﹣1时，的最大值为9，
故选：C．
【点评】本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得m+5＝9，求出m＝4，由此能求出双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵抛物线y2＝12x的焦点为（3，0），
∴双曲线的一个焦点为（3，0），即c＝3．
双曲线可得
∴m＝4，
∴双曲线的渐近线方程为：．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．
16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．3D．9
【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（﹣a，0），AM的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM平行能求出实数a．
【解答】解：∵抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，
根据抛物线的焦半径公式得1+＝5，p＝8．
∴抛物线y2＝16x，
∴M（1，±4），
∵m＞0，
∴取M（1，4），
∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），
∴AM的斜率为，
双曲线的渐近线方程是，
由已知得，
解得a＝．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．
17．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝（）
A．3B．6C．9D．12
【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．
【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2＝8x的焦点（2，0）重合，
可得c＝2，a＝4，b2＝12，椭圆的标准方程为：，
抛物线的准线方程为：x＝﹣2，
由，解得y＝±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．
|AB|＝6．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
18．若双曲线的渐近线与抛物线y＝x2+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）
A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3]D．（1，3）
【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．
【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x+2＝0
∵渐近线与抛物线有交点
∴△＝﹣8≥0，求得b2≥8a2，
∴c＝≥3a
∴e＝≥3．
则双曲线的离心率e的取值范围：e≥3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．
19．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B 两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）
A．B．e2﹣1C．D．e2+1
【分析】利用抛物线的定义，确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，即可求得结论．
【解答】解：∵M在抛物线y2＝2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，
∴M的横坐标为，∴M（，p）
设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则
，
两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得
∴
∴
故选：A．
【点评】本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，
属于中档题．
20．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（）A．B．C．D．
【分析】根据抛物线的定义，可得点M到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，即即|1+|＝5，解可得p＝8，可得抛物线的方程，进而可得M的坐标；根据双曲线的性质，可得A的坐标与其渐近线的方程，根据题意，双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得
＝，解可得a的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，则点M到抛物线的准线x＝﹣的距离也为5，
即|1+|＝5，解可得p＝8；即抛物线的方程为y2＝16x，
易得m2＝2×8＝16，则m＝4，即M的坐标为（1，4）
双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A的坐标为（﹣，0），
其渐近线方程为y＝±x；
而K AM＝，
又由若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则有＝，
解可得a＝；
故选：B．
【点评】本题综合考查双曲线与抛物线的性质，难度一般；需要牢记双曲线的渐近线方程、定点坐标等．
二．解答题（共20小题）
21．已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离比等于5．（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得弦长为8，求直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是
什么图形；
（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，
得＝5，
即＝5，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．
即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．
∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，
所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，
此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2＝8，
∴l：x＝﹣2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，
圆心到l的距离d＝，
由题意，得（）2+42＝52，解得k＝．
∴直线l的方程为x﹣y+＝0．即5x﹣12y+46＝0．
综上，直线l的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．
【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．
22．已知在平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），设点A（1，）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段P A中点M的轨迹方程．
【分析】（1）由左焦点为F（﹣），右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（2）设线段P A的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由中点坐标公式可知，将P代入椭圆方程，即可求得线段P A中点M的轨迹方程【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设+＝1（a＞b＞0），
由椭圆的左焦点为F（﹣，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c＝，
则b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆的标准方程为：+y2＝1
（2）设线段P A的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），
由中点坐标公式可知，整理得：，
由点P在椭圆上，
∴+（2y﹣）2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴线段P A中点M的轨迹方程是：（x﹣）2+4（y﹣）2＝1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查轨迹方程的求法，中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
23．已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M 是FQ的中点，求点M的轨迹方程．
【分析】欲求点M的轨迹方程，设M（x，y），只须求得坐标x，y之间的关系式即可．再设P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0）结合中点坐标公式即可求得x，y的关系式．
【解答】解：设M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），易求y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0）
∵M是FQ的中点，
∴⇒，又Q是OP的中点
∴⇒，
∵P在抛物线y2＝4x上，∴（4y）2＝4（4x﹣2），
所以M点的轨迹方程为
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA 与直线EB的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|＝|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），将y＝k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+＝﹣，由此能求出点P纵坐标的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），
∵点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，
∴，
整理，得，x≠，
∴动点E的轨迹C的方程为，x．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），
将y＝k（x﹣1）代入，并整理，得
（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
△＝8k2+8＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2＝，
设MN的中点为Q，则，，
∴Q（，﹣），
由题意知k≠0，
又直线MN的垂直平分线的方程为y+＝﹣，
令x＝0，得y P＝，
当k＞0时，∵2k+，∴0＜；
当k＜0时，因为2k+≤﹣2，所以0＞y P≥﹣＝﹣．
综上所述，点P纵坐标的取值范围是[﹣]．
【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．
25．已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP相交于点P，它们的斜率之积为﹣，求点P的轨迹方程（化为标准方程）．
【分析】利用斜率的计算公式即可得出．
【解答】解：设点P（x，y），
则直线AP的斜率，
直线BP的斜率．
由题意得．
化简得：．
∴点P的轨迹方程是椭圆．
【点评】熟练掌握斜率的计算公式及椭圆的标准方程是解题的关键．只有去掉长轴的两个端点．
26．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）过点（2，0），且其中一个焦点的坐标为（1，0）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆交于两点A，B，在x轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求解a，b，然后求解椭圆的方程．
（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，联立，设A（x1，y1），
B（x2，y2），利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得a＝2，c＝1，∴，
则E的方程为；…………………（4分）
（Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得为定值，
联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，………（7分）
，。