第二讲 质数问题(教师版)

第一讲 质数问题【基础知识】一．质数与合数及其性质1．正整数分为三类：① 单位数1；② 质数（或素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质数（或素数）；③合数：如果一个正整数包含有大于1且小于其本身的因子，则称这个正整数为合数.2．有关质（素）数的一些性质(1) b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；（2）若p 是质（素）数，a 为任一整数，则必有a p |或（p a ,）＝1；（3）设n a a a ,,,21 为n 个整数，p 为质（素）数，且n a a a p 21|，则p 必整除某个i a （1i n ≤≤ ），特别地，若p 是质数，且n a p |，则a p |；（4）（算术基本定理，也叫整数的唯一分解定理）任何一个大于1的正整数a ，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；（5）任何大于1的整数a 能唯一地写成k i p p p a k a k a a ,,,2,1,2121 == ①的形式，其中i p 为质（素）数（)(j i p p j i <<）。

上式叫做整数a 的标准分解式；（6）若a 的标准分解式为①，a 的正因数的个数记为)(a f ，则)1()1)(1()(21+++=k a a a a f 。

二.最大公约数及性质1、定义（最大公约数） 设b a ,不全为零，同时整除b a ,的整数（如1±）称为它们的公约数。

因为b a ,不全为零，故b a ,只有有限多个，我们将其中最大一个称为b a ,的最大公约数，用符号（b a ,）表示。

显然，最大公约数是一个正整数。

当（b a ,）＝1（即b a ,的公约数只有1±）时，我们称a 与b 互素（互质）。

同样，如果对于多个（不全为零）的整数c b a ,,, ，可类似地定义它们的最大公约数（c b a ,,, ）。

若（c b a ,,, ）＝1，则称c b a ,,, 互素。

请注意，此时不能推出c b a ,,, 两两互素；但反过来，若c b a ,,, 两两互素，则显然有（c b a ,,, ）＝1。

2、最大公约数的性质例如任意改变b a ,的符号，不改变（b a ,）的值，即),(),(b a b a =±±；（b a ,）可以交换，（b a ,）＝（a b ,）；（b a ,）作为b 的函数，以a 为周期，即对于任意的实数x ，有（ax b a +,）＝（b a ,）等等。

为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质：（1）设b a ,是不全为0的整数，则存在整数y x ,，使得),(b a by ax =+；（2）（裴蜀定理）两个整数b a ,互素的充要条件是存在整数y x ,，使得1=+by ax ；事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。

反过来，若有y x ,使等式成立，不妨设d b a =),(，则b d a d |,|，故ax d |及by d |，于是)(|by ax d +，即1|d ，从而1=d 。

（3）若b m a m |,|，则),(|b a m ，即b a ,的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数；（4）若0>m ，则),(),(b a m mb ma =；（5）若d b a =),(，则1,=⎪⎭⎫ ⎝⎛d b d a ，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数； （6）若1),(,1),(==m b m a ，则1),(=m ab ，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。

并由此可以推出：若1),(=b a ，对于0>∀k 有1),(=b a k ，进而有对0>∀l 有1),(=l k b a 。

（7）设ac b |，若1),(=c b ，则a b |；（8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。

一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。

（9）辗转相除法：设两数为a 、b(b ＜a)，求它们最大公约数(a 、b)的步骤如下：① 用b 除a ，得()111,0a bq r r b =+≤<，若10r=，则(a ，b)＝b ； ② 若10r ≠，则再用1r 除b ，得()1222,0b rq r r b =+≤<，若20r=，则(a ，b)＝1r . ③ 若20r ≠，则继续用2r 除1r ，……如此下去，直到能整除为止，其中最后一个非零余数即为(a ，b). 例如：求212与36的最大公因数.三.最小公倍数及性质1、最小公倍数定义： 设b a ,是两个非零整数，一个同时为b a ,倍数的数称为它们的公倍数，b a ,的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为b a ,的最小公倍数，记作[]b a ,，对于多个非零实数c b a ,,, ，可类似地定义它们的最小公倍数［c b a ,,, ］。

2、最小公倍数的性质（1）a 与b 的任一公倍数都是[]b a ,的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立；（2）两个整数b a ,的最大公约数与最小公倍数满足：[]||,),(ab b a b a =（但请注意，这只限于两个整数的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不成立）；（3）若c b a ,,, 两两互素，则［c b a ,,, ］＝｜a b c ⋅⋅⋅ ｜；（4）若d c d b d a |,,|,| ，且c b a ,,, 两两互素，则a b c ⋅⋅⋅ ｜d 。

【例题分析】1．证明：100102000个被1001整除。

证明：]110)10()10)[(110(1)10(110100136653666336673200102000+-+-+=+=+=个 所以)1001(1103=+整除100102000个。

2．对正整数n ，记)(n S 为n 的十进制表示中数码之和。

证明：n |9的充要条件是)(|9n S 。

证明：设011010a a a n k k +⨯++⨯= （这里90≤≤i a ，且0≠k a ），则n a a a n S +++= 10)(，于是有=-)(n S n )110()110(1-⨯++-⨯a a k k ①对于k i ≤≤1，知)110(|9-i ，故①式右端k 个加项中的每一个都是9的倍数，从而由整除的性质可知它们的和也能被9整除，即))((|9n S n -。

由此可易推出结论的两个方面。

3．设正整数c b a ,,的最大公约数是1，并且c ba ab =-，证明b a -是一个完全平方数。

证明：设d b a =),(，则d a a 1=，d b b 1=，其中1),(11=b a ，由于1),,(=c b a ，故(,)1d c =，现在问题中的等式可以转化为1111cb ca b da -= ①由此可见1a 整除1cb 。

因为1),(11=b a ，故c a |1，同样可得c b |1，再由1),(11=b a 便可以推出c b a |11。

设k b a c 11=，其中k 是一个正整数。

一方面，显然k 整除c ；另一方面，结合①式，得=d )(11b a k -，故d k |，从而),(|d c k ，但1),(=d c ，故1=k 。

因此，11b a d -=，故211)(d b a d b a =-=-，这样就证明了b a -是一个完全平方数。

4．求出所有的正整数对),(n m ，使得113-+m n n 与311m mn +-都是整数. 解：由于n m ,是对称的，不妨设n m ≥.当n m =时，则2111111*223=⇔∈-+=-+-=-+n N n n n n n n n ，从而n m =＝2； 当n m >时，若1=n 时，则有2|1-m ，所以2=m 或3；若2≥n 时，由于113-+m n n 是一个整数，从而*N k ∈∃使得)1)(1(13--=+mn kn n 即=-1kn <-+113m n n 111123-+=-+n n n n ，所以k ＜11<21n +-。

又由于2≥n ，*N k ∈，所以1=k 。

所以321(1)(1)1n n mn mn n mn +=--=--+，从而*212111N n n n n m ∈-++=-+=得2=n 或3， 5=m ； 综上知所有的),(n m 为（2,2）,(2,1),(1,2),(3,1),(1,3),(5,2),(2,5),(5,3),(3,5).5．数列{}n f的通项公式为n n n f ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，n ∈+Z ． 记1212C +C ++C n n n n n n S f f f = ，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．解：记αβ==则()()10S n n i i i i i i n n n i i C C αβαβ===--()()11n n n n αβ⎡⎤⎤⎥=+-+=-⎦⎥⎝⎭⎝⎭⎦注意到5531==，可得()1121S 3S S n n n n n n n ++++⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=-+--=-*⎢⎥⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎭ 因此，S n+2除以8的余数，完全由S n+1、S n 除以8的余数确定.11211122122,3S C f S C f C f ==+= ，故由(*)式可以算出{}n S 各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而83n S n ⇔，故当且仅当38n n S 时，.6．设y x ,是正整数，y x <且667=+y x ，它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，求y x ,。

解：设d y x =),(，则nd y md x ==,，其中1),(=n m 且n m <，于是mnd y x =],[。

所以⎪⎩⎪⎨⎧==+120667dmnd nd md即⎩⎨⎧⨯⨯=⨯=+5322923)(3mn d n m )2()1( 由n m <及（2）可得：⎩⎨⎧⎩⎨⎧====;602;1201n m n m ⎩⎨⎧⎩⎨⎧====;304;403n m n m ⎩⎨⎧⎩⎨⎧====;206;245n m n m ⎩⎨⎧⎩⎨⎧====1210;158n m n m 。

由（1）可知只能取⎩⎨⎧⎩⎨⎧====;158;245n m n m从而23=d 或29，故552,115==y x 或435,232==y x 。