八年级数学上册第四章一次函数4一次函数的应用4.4.1一次函数的应用教案新版北师大版
八年级数学上册4.4.1一次函数的应用教案(新版)北师大版
课题：4.4.1 一次函数的应用教学目标：1．了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．2．经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法；3．经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．教学重点与难点重点：根据所给信息，利用待定系数法确定一次函数的表达式．难点：在实际问题情景中寻找条件，确定一次函数的表达式．课前准备教师准备：彩色粉笔，对多媒体课件．学生准备：三角尺．教学过程一、创设情境，导入新课活动内容：回顾与思考下列问题.（多媒体出示）问题1．一次函数的一般形式是什么？正比例函数呢？问题2．一次函数图像是什么？正比例函数的图像呢？问题3．一次函数具有什么性质？问题4．已知一次函数表达式，如何画一次函数图像？处理方式：学生口答，教师用多媒体展示上述各题.然后教师提出问题：若已知一次函数的图像，你能确定一次函数表达式吗？（师板书课题——4.4一次函数的应用）设计意图：学生回顾一次函数正比例函数相关知识，使学生深信确定了两点，一次函数图像也就确定了．为下边根据题意（或图像）确定函数表达式做好铺垫．二、探究学习，感悟新知活动内容1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示．(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？问题1：观察图象，你知道它是什么函数吗？问题2：如何写出v与t之间的关系式？问题3：求下滑3秒时物体的速度是多少，实质是已知什么？求什么？处理方式:学生讨论交流，在完成上述3个问题后再完成(1)、(2)题的解答，学生之间互相补充．教师适时点评，强调：图象是一条过原点的直线，确定函数的类型是正比例函数，然后设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出k即可．教师要规范解题过程.设计意图：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数除原点外只需一个点坐标．想一想：问题：确定正比例函数的表达式需要几个条件？为什么？一次函数呢？处理方式:学生讨论交流后展示学习成果，强调：确定正比例函数的表达式需要一个条件（一个点坐标），因为确定正比例函数表达式就是确定k的值，猜想：确定一次函数表达式就是确定k，b的值，所以，确定一次函数的表达式需要两个条件（两个点的坐标）.设计意图：在实践的基础上学生加以归纳总结．一次函数图像是直线画图时需要两个点，要确定函数关系式则需要两点的坐标来确定k，b的值．让大部分学生认识到确定一个字母k的值需要一个条件．要确定两个字母k，b的值则需两个条件．三、例题解析，应用新知活动内容1：确定正比例函数表达式（就是确定k的值），除原点外，还需一个点的坐标．那么要确定一次函数表达式（确定k和b的值）就需要两个点的坐标，接下来我们一起看下面的例题：例1 如图所示，已知直线AB和x轴交于点B,和y轴交于点A,①写出A、B两点的坐标.②求直线AB的表达式.处理方式: (教师点拨）通过图像看出两点的坐标A(0，B(4，0)，然后师生共同完求出表达式，教师板书做题步骤并做好示范．解：设一次函数表达式为y=kx+b．把x= 0，y=2代入y=kx+b，得2=b．①把x= 4, y= 0代入y=kx+b，得 0= 4×k+b②把b=2代入②，得k= -0.5．所以一次函数表达式是y=-0.5x+2．设计意图：用列表的方式列出已知点的坐标，学生上节课已经很熟悉了本例意在让学生体会从题意中得出点坐标的过程，这一点是求一次函数表达式的前提，下边例题找点坐标就有难度，本例做个过渡，同时让学生初步认识确定一次函数表达式的一般步骤．议一议：怎样确定一次函数的表达式？处理方式:小组讨论交流，由小组代表讲一讲求一次函数的表达式步骤.教师用多媒体显示并强调：1. 设一次函数表达式；2. 根据已知条件列出有关方程；3. 解方程；4. 把求出的k，b代回表达式即可.说明：这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.设计意图：结合上题，使学生发现、体会、总结出确定一次函数表达式的一般步骤，从中使学生学会探究数学问题的方法和过程，提高学生学习的能力.例2 在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y 与x之间的函数关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．问题1：不挂物体时长14.5厘米，是什么意思．问题2：当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米怎样理解？问题3：你能写出y与x之间的函数关系式吗？问题4：当所挂物体的质量为4千克时，弹簧的长度是多少?处理方式:学生讨论交流，使学生明白：当x=0时y=14.5；当x=3时，y=16．就相当于已知两点坐标（0，14.5），（3，16）．然后有学生试着写出做题步骤，教师在对学生学习成果进行评价时进一步规范做题步骤．解：设y kx b=+，根据题意，得14.5=b①16=3k+b，②将14.5k=．b=代入②，得0.5所以在弹性限度内，0.514.5=+．y x当4x=时，0.5414.516.5y=⨯+=（厘米）．即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米．设计意图：本题选取的是弹簧被拉长一个生活现象，从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，并利用函数表达式解决实际问题. 通过问题的探究，使学生进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型，体会一次函数的应用价值．预设：学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y与x间的关系式．对此，我给予肯定．四、巩固训练，拓展提升1．若一次函数2=+的图象经过A（－1，1），则b=，该函数图象经过y x b点B（1，）和点C（，0）．2．如图，直线l是一次函数y kx b=+的图象，填空：（1）b=，k=；（2）当30x=时，y=；（3）当30y=时，x=．3．已知直线l与直线2=-平行，且与y轴交于点y x（0，2），求直线l的表达式．处理方式：三名同学到黑板做题．教师巡视指导，关注困难生，对第2题要求写出做题步骤，第3题指导学生合理设出表达式．在学生练习结束后评价黑板学生做题情况．并予以鼓励．设计意图：三个练习意在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．三个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求一次函数的方法．对于问题2，我让学生写出做题步骤并进行规范．对于问题3，我引导学生分析，平行的位置关系确定了k的值相等，直接设y=-2x+b代入（0，2）求b．学生出现解题格式不规范的情况，我给予示范，训练学生规范答题的习惯．五、回顾反思，提炼升华活动内容：通过本节课的学习你有何收获？有何困惑？有何感想？处理方式：多由几名学生讲述,学生相互补充、完善.教师给予引导。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4.4一次函数的应用(教案)
今天在教授一次函数的应用这一章节时，我发现学生们对于一次函数的实际意义和如何建立数学模型感到很有兴趣。他们对于将实际问题转化为数学表达式的过程感到好奇，这也让我意识到，将数学知识与现实生活紧密结合起来，能够有效提升学生的学习积极性。
在讲授过程中，我注意到有些学生在理解斜率的物理意义时遇到了困难。我通过举例和图示来帮助他们理解，但感觉还需要在今后的教学中继续加强这一部分的讲解和练习。可能通过更多的实际案例，让学生自己探索和发现斜率在不同情境下的含义，会更加有助于他们的理解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在总结回顾环节，我询问了学生是否有疑问，很高兴的是，他们能够提出一些深入的问题，这表明他们真正在思考和学习。但我也意识到，可能还有部分学生因为害羞或其他原因没有提问。我需要寻找更多途径，如课后辅导、小组互助等，来确保每一个学生都能得到帮助，解决他们的困惑。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数4.4一次函数的应用（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学上册第四章一次函数的4.4节，主要内容包括：
1.利用一次函数解决实际问题，如斜率与实际意义的联系；
2.一次函数图像在坐标平面上的应用，如何从图像中获取信息；
3.通过一次函数的例子，让学生理解函数与方程的关系；
举例：在讲解斜率的实际意义时，通过具体例子（如物体的匀速运动）来说明斜率与速度的关系，帮助学生理解斜率在现实中的具体应用。在绘制图像时，指导学生通过选取点、画直线等步骤，掌握绘制一次函数图像的技巧。对于变量关系的识别，可以通过案例教学，让学生在实际问题中练习区分变量和常量。在参数估计方面，教授学生使用实际数据点和函数表达式来计算k和b的值，并进行验证。
4.4.1一次函数的应用(教案)
3.逻辑推理：引导学生运用一次函数相关知识进行逻辑推理，培养他们分析问题、解决问题的逻辑思维能力。
4.数学抽象：培养学生从实际问题中抽象出数学模型，理解并运用一次函数的概念及其性质。
5.数学表达：通过一次函数图像的绘制和解释，提高学生的数学表达能力，使他们能够清晰、准确地描述数学问题和解答过程。
6.团队合作：鼓励学生在解决问题时进行合作交流，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）一次函数的定义及其图像特点：y=kx+b（k≠0，k、b为常数），强调k、b的物理意义，斜率k代表直线的倾斜程度，截距b代表直线与y轴的交点。
-通过实例让学生理解k、b在图像中的具体表现，如：当k>0时，图像呈现上升趋势；当k<0时，图像呈现下降趋势；b>0时，图像与y轴正向相交；b<0时，图像与y轴负向相交。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（2）一次函数在实际问题中的应用：行程问题、价格问题、速度与时间问题等，掌握将实际问题转化为一次函数模型的方法。
-以行程问题为例，讲解如何根据速度和时间计算路程，以及如何利用一次函数图像分析物体的运动状态。
（3）一次函数图像的绘制方法：掌握根据实际问题绘制一次函数图像的步骤，包括确定坐标轴、标定关键点、绘制直线等。
八年级数学上册 第四章 一次函数 4 一次函数的应用 4.4.2 简单一次函数的实际应用教案
(1)根据图象求出上述气体的压强P与温度t的函数关系式；
(2)当 压强P为200千帕时，求上述气体的温度．
解：(1)因为函数P＝kt＋b的图象经过点(0，100)，(25，110)
让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组 长督促组员迅速完成．
教学过程
教学环节
课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环
节一
师生合作完成教材第92页“议一议”的学习与探究．
讨论：一元一次方程0.5x＋1＝0与一次函数y＝0.5x＋1有什么联系？
课中作业
课本91页例2
环
节
二
典例讲解：
所以，
把①代入②得，k＝ ，
故所求函数关系式 为P＝ t＋100(t≥0)；
(2)当P＝200时，由(1)得 t＋100＝200，解得t＝250.
即 当压强为200千帕时，气体的温度是250℃.
课中作业
课本92页做一 做
环
节
三
仿例：某种拖拉机的油箱可储油40升，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y(升)与工作时间x(小时)之间为一次函数关系如图．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)一 箱油可供拖拉机工作几小时？
解：(1)设y＝kx＋b，根据题意，
得 ∴ ∴y＝－5x＋40；
(2)8小时．
课中作业
课本92页议一议
课后ห้องสมุดไป่ตู้业设计：
92页知识技能，数学理解
（修改人：）
板书设计：
一次函数的应用
北师大版数学八年级上册4《一次函数的应用》教学设计3
北师大版数学八年级上册4《一次函数的应用》教学设计3一. 教材分析《一次函数的应用》是北师大版数学八年级上册第四单元的内容。
本节课主要让学生了解一次函数在实际生活中的应用，学会用一次函数解决实际问题。
教材通过生活实例引入一次函数，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了直线、斜率等基本概念，对函数有了初步的认识。
但八年级的学生还未能完全将数学知识应用于实际生活中，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将数学知识与生活实际相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.让学生了解一次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
2.让学生掌握一次函数的定义和性质，能运用一次函数解决实际问题。
3.培养学生的团队合作精神，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.一次函数在实际生活中的应用。
2.一次函数的定义和性质。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极参与，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活案例，用于引导学生思考和讨论。
2.准备一次函数的定义和性质的PPT，用于讲解和展示。
3.准备课后作业，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，如购物时如何规划路线，让学生感受数学在生活中的应用，引出一次函数的概念。
2.呈现（15分钟）呈现一次函数的定义和性质，引导学生理解并掌握一次函数的基本概念。
3.操练（10分钟）让学生通过小组合作，运用一次函数解决实际问题。
教师给予引导和指导，确保学生能够正确运用一次函数解决实际问题。
4.巩固（5分钟）通过课后作业，让学生巩固所学知识，提高学生的数学应用能力。
5.拓展（5分钟）引导学生思考一次函数在其他领域的应用，如物理学、经济学等，拓宽学生的视野。
6.小结（3分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调一次函数在实际生活中的应用。
7.家庭作业（2分钟）布置课后作业，让学生巩固所学知识，提高学生的数学应用能力。
4.4.1一次函数的应用教学设计2024-2025学年北师大版八年级数学上册
3.巩固练习（15分钟）
a.课堂练习（5分钟）：教师布置几道一次函数在实际问题中的应用题，要求学生在课堂上独立完成，巩固所学知识。
b.小组讨论（5分钟）：学生分为小组，讨论解题思路，分享解题经验，互相学习。
c.课堂提问（5分钟）：教师针对练习题进行提问，检查学生对一次函数应用的掌握情况。
板书设计
①重点知识点：
-一次函数的定义与图象特征
-一次函数在实际问题中的应用
-建立一次函数模型的方法
②关键词与句：
-关键词：一次函数、图象、应用、模型、实际问题
-关键句：一次函数图象是一条直线；通过一次函数解决实际问题；建立数学模型分析数量关系
③艺术性与趣味性设计：
-使用不同颜色的粉笔，突出重点知识点和关键句；
6.课后作业（5分钟）
布置与一次函数应用相关的课后作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
教学过程中，注意以下几点：
1.教师应密切关注学生的学习情况，根据学生的反应调整教学节奏和难度。
2.创设情境和提出问题时，要贴近学生的生活实际，激发学生的学习兴趣。
3.讲解过程中，注重师生互动，鼓励学生提问，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
2.教学软件：运用数学软件辅助教学，让学生更直观地观察一次函数的性质，提高教学效果。
3.网络资源：引导学生查阅相关资料，拓展知识面，培养自主学习能力。
教学过程设计
1.导入环节（5分钟）
创设情境：教师展示一次函数在实际生活中的应用实例，如“小明骑自行车去公园，速度与时间的关系”，引发学生思考一次函数在现实情境中的作用。
学情分析
八年级学生在知识层面，已具备一次函数的基本概念、图象特征及简单应用能力，但在将一次函数与实际问题结合解决方面，仍需加强。在能力方面，学生的逻辑思维能力、观察能力和分析能力逐渐提升，但问题解决能力、团队合作能力有待提高。素质方面，学生具备一定的自主学习能力和探究精神，但学习习惯、时间管理等方面存在差异，对学习效果产生影响。
八年级数学上册 第4章 一次函数 第4节 一次函数的应用教案 (新版)北师大版
解：可以看出，当 时， 上对应点在
上对应点的下方，
（4）如果一直追下去，那么 能否追 上 ？
解：如图 ， 相交于点P．因此，如果一直追下去，那么 一定能追上 ．
（5）当 逃到离海岸 海里的公海时， 将无法对其进行检查．照此速度， 能否在 逃到公海前将其拦截？
解：从图中可以看出， 与 交点P的纵坐标小于 ，这说明在 逃入 公海前，我边防快艇 能够追上 ．
（1）当小聪追上小慧时 ，他们是否已经过了“草甸”？
（2）当小聪到达“飞瀑 ”时，小慧离“飞瀑”还有多少千米？
分析：
当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？
解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为 、 ，
一次函数应用
教学目标
1、在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；
2、在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．
3、在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．
重点
一次函数图象的应用
难点
从函数图象中正确读取信息
⑵在两个 人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？⑶这个问题中的两个变量是什么？它们之间是什么函数关系？⑷如果用 表示路程， 表示时间，那么他们的函数解析式是一样？他们各自的解析式分别是什么？
内容2： 深入探究
例2我边防局接到情报，近海处有一可疑船只 正向公海方向行驶．边防局迅速 派出快艇 追赶（如图），下图中 ， 分别表示两船相对于海岸的距离 （海里）与追赶时间 （分）之间的关系．
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第四章一次函数4.4一次函数的应用(第1课时)教案
第四章一次函数4一次函数的应用第1课时确定一次函数表达式教学目标教学反思1.了解确定一次函数的条件，能用待定系数法求出一些简单的一次函数的表达式；2.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；3.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.教学重难点重点：1.了解确定一次函数的条件；2.能用待定系数法求出一些简单的一次函数的表达式.难点：能利用一次函数解决简单的实际问题.教学过程导入新课知识回顾1.什么是一次函数？什么是正比例函数？2.一次函数的图象是什么？正比例函数的图象呢？3.表示函数的方法有哪些？4.画出y＝-2x-4的图象，根据图象回答下列问题：（1）y的值随x值的增大而__________；（2）图象与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是_________；（3）判断下列各点是否在函数y＝-2x-4的图象上.A（1，-6）；B（-3，1）学生思考，给出答案.1.若两个变量x，y间的关系式可以表示成y＝kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.当b＝0时，即y＝kx,称y是x的正比例函数.2.一次函数的图象是一条直线；正比例函数的图象是过原点的一条直线.3.列表法、图象法和关系式法.4.（1）减小；（2）（-2，0），（0，-4）；（3）A.探究新知假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间的关系如图所示.（1）这是一次多少米的赛跑？（2）甲、乙二人谁先到达终点？（3）甲、乙二人的速度分别是多少？（4）求甲、乙二人y与x的函数关系式.想一想：1.确定正比例函数的表达式需要几个条件？(1个)2.确定一次函数的表达式呢？（2个）例1某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s)与其下滑时间t（s）的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式.(2)下滑3秒时物体的速度是多少？【解】(1)设函数表达式为v＝kt (k为常数且k≠0).∵(2,5)在图象上,把点（2，5）的坐标代入，得5＝2k,∴ k＝2.5，∴v＝2.5 t.(2)当t＝3s时，v＝2.5×3＝7.5(m／s).所以下滑3s时物体的速度是7.5 m／s.例2在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.【解】设y＝kx+b(k≠0)，由题意，得14.5＝b, 16＝3k+b,解得b＝14.5 ,k＝0.5.所以在弹性限度内，y＝0.5x+14.5.当x＝4时，y＝0.5×4+14.5＝16.5（cm）.即当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm.教师总结：教学反思求一次函数表达式的步骤 ：1.设——设一次函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0）；2.代——将点的坐标代入y ＝kx +b 中,列出关于k ，b 的方程组；3.解——解方程组求出k ，b 值；4.定——把求出的k ，b 值代回到表达式中即可.像这种求函数表达式的方法叫做待定系数法.课堂练习 1.若一次函数y ＝2x +b 的图象经过A （-1，1），则=b ，该函数图象经过点B （1， ）和点C （ ，0）.2.如图，直线l 是一次函数y ＝kx +b 的图象，填空：（1）=b ，=k ，所以函数关系式为___________；（2）当x ＝30时，=y ；（3）当y ＝30时，=x .3.如图，直线l 是一次函数y ＝kx +b 的图象，求它的表达式.4.已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式.5.某市出租车计费方法如图所示，x （km ）表示行驶里程，y （元）表示车费,请根据图象回答下列问题：（1）求出租车的起步价是多少元，并求当x ＞3时，y 关于x 的函数表达式；（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程.参考答案1.3,5,-1.5教学反思2.(1)2,23-,y ＝23x -+2 (2)-18 (3)-423.解：y ＝-3x4.解：设一次函数的表达式为y ＝kx +b (k ≠0)， ∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点（0，2），∴ b ＝2.∵一次函数的图象与x 轴的交点是2,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴ 12222k⨯-⨯=，解得k ＝1或-1.∴ 一次函数的表达式为y ＝x +2或y ＝-x +2. 5.解：（1）8，y ＝2x +2；（2）令y ＝32，则2x +2＝32，x ＝15，∴ 这位乘客乘车的里程为15 km.课堂小结(学生总结，老师点评)用待定系数法确定一次函数表达式的步骤布置作业习题4.5 必做题：第2题 选做题：3，4题任选一题板书设计第四章 一次函数4 一次函数的应用第1课时 确定一次函数表达式用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： 1.设—— 设一次函数表达式为y ＝kx +b (k ≠0)；2.代—— 将点的坐标代入y ＝kx +b 中,列出关于k ，b 的方程组；3.解—— 解方程组求出k ，b 值；4.定—— 把求出的k ，b 值代回到表达式中即可.。
北师大版八年级上册第四章一次函数第四节一次函数的应用教案
第四章一次函数第四节一次函数的应用教案一次函数的应用教案一、教学目标1. 理解一次函数的应用问题，掌握如何将实际问题转化为数学模型。
2. 掌握一次函数的应用方法，能够运用其解决实际问题。
3. 培养学生的数学应用能力，提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：一次函数的应用方法和实际应用。
2. 教学难点：将实际问题转化为数学模型，并能够正确运用一次函数解决实际问题。
三、教学过程1. 引入问题：通过实际问题的引入，让学生了解一次函数的应用背景和意义，激发学生解决问题的兴趣。
2. 分析问题：引导学生分析实际问题中的数量关系，将其转化为一次函数的形式，讲解一次函数的应用方法。
3. 探究模型：通过具体问题的解决，让学生了解如何将实际问题转化为数学模型，并能够通过模型求解问题的答案。
4. 拓展应用：举例说明一次函数在实践中的应用，例如，在物理学中的速度-时间问题、经济学中的成本与收益问题等，让学生理解其实际应用的价值。
5. 巩固练习：通过小组讨论、个人作业等方式，让学生进行练习和巩固，加深对知识的理解和掌握。
6. 课堂总结：回顾一次函数的应用方法、实际应用及数学建模的过程，强调其重要性和应用价值。
四、教学方法和手段1. 讲解法：通过讲解一次函数的应用方法和数学建模的过程，使学生理解其基本原理。
2. 实例分析法：通过分析具体问题的例子，帮助学生理解如何运用一次函数解决实际问题。
3. 图像观察法：引导学生观察一次函数的图像，通过观察和分析图像，让学生理解其性质和规律。
4. 小组讨论法：组织学生进行小组讨论，促进相互交流和学习，加深学生对知识的理解和应用。
5. 互动问答法：鼓励学生提出疑问，组织课堂讨论，激发学生的学习热情和参与意识。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 基础练习：选择一些基本的应用题，让学生练习一次函数的应用方法和数学建模。
2. 提高练习：给出一些较为复杂的实际问题，让学生在课堂上进行小组讨论并解决。
八年级数学上册 4.4.1 一次函数的应用教案 (新版)北师大版(1)
课题：4.4.1 一次函数的应用教学目标：1．了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．2．经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法；3．经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．教学重点与难点重点：根据所给信息，利用待定系数法确定一次函数的表达式．难点：在实际问题情景中寻找条件，确定一次函数的表达式．课前准备教师准备：彩色粉笔，对多媒体课件．学生准备：三角尺．教学过程一、创设情境，导入新课活动内容：回顾与思考下列问题.（多媒体出示）问题1．一次函数的一般形式是什么？正比例函数呢？问题2．一次函数图像是什么？正比例函数的图像呢？问题3．一次函数具有什么性质？问题4．已知一次函数表达式，如何画一次函数图像？处理方式：学生口答，教师用多媒体展示上述各题.然后教师提出问题：若已知一次函数的图像，你能确定一次函数表达式吗？（师板书课题——4.4一次函数的应用）设计意图：学生回顾一次函数正比例函数相关知识，使学生深信确定了两点，一次函数图像也就确定了．为下边根据题意（或图像）确定函数表达式做好铺垫．二、探究学习，感悟新知活动内容1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示．(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？问题1：观察图象，你知道它是什么函数吗？问题2：如何写出v与t之间的关系式？问题3：求下滑3秒时物体的速度是多少，实质是已知什么？求什么？处理方式:学生讨论交流，在完成上述3个问题后再完成(1)、(2)题的解答，学生之间互相补充．教师适时点评，强调：图象是一条过原点的直线，确定函数的类型是正比例函数，然后设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出k即可．教师要规范解题过程.设计意图：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数除原点外只需一个点坐标．想一想：问题：确定正比例函数的表达式需要几个条件？为什么？一次函数呢？处理方式:学生讨论交流后展示学习成果，强调：确定正比例函数的表达式需要一个条件（一个点坐标），因为确定正比例函数表达式就是确定k的值，猜想：确定一次函数表达式就是确定k，b的值，所以，确定一次函数的表达式需要两个条件（两个点的坐标）.设计意图：在实践的基础上学生加以归纳总结．一次函数图像是直线画图时需要两个点，要确定函数关系式则需要两点的坐标来确定k，b的值．让大部分学生认识到确定一个字母k的值需要一个条件．要确定两个字母k，b的值则需两个条件．三、例题解析，应用新知活动内容1：确定正比例函数表达式（就是确定k的值），除原点外，还需一个点的坐标．那么要确定一次函数表达式（确定k和b的值）就需要两个点的坐标，接下来我们一起看下面的例题：例1 如图所示，已知直线AB和x轴交于点B,和y轴交于点A,①写出A、B两点的坐标.②求直线AB的表达式.处理方式: (教师点拨）通过图像看出两点的坐标A(0，B(4，0)，然后师生共同完求出表达式，教师板书做题步骤并做好示范．解：设一次函数表达式为y=kx+b．把x= 0，y=2代入y=kx+b，得2=b．①把x= 4, y= 0代入y=kx+b，得 0= 4×k+b②把b=2代入②，得k= -0.5．所以一次函数表达式是y=-0.5x+2．设计意图：用列表的方式列出已知点的坐标，学生上节课已经很熟悉了本例意在让学生体会从题意中得出点坐标的过程，这一点是求一次函数表达式的前提，下边例题找点坐标就有难度，本例做个过渡，同时让学生初步认识确定一次函数表达式的一般步骤．议一议：怎样确定一次函数的表达式？处理方式:小组讨论交流，由小组代表讲一讲求一次函数的表达式步骤.教师用多媒体显示并强调：1. 设一次函数表达式；2. 根据已知条件列出有关方程；3. 解方程；4. 把求出的k，b代回表达式即可.说明：这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.设计意图：结合上题，使学生发现、体会、总结出确定一次函数表达式的一般步骤，从中使学生学会探究数学问题的方法和过程，提高学生学习的能力.例2 在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y 与x之间的函数关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．问题1：不挂物体时长14.5厘米，是什么意思．问题2：当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米怎样理解？问题3：你能写出y与x之间的函数关系式吗？问题4：当所挂物体的质量为4千克时，弹簧的长度是多少?处理方式:学生讨论交流，使学生明白：当x=0时y=14.5；当x=3时，y=16．就相当于已知两点坐标（0，14.5），（3，16）．然后有学生试着写出做题步骤，教师在对学生学习成果进行评价时进一步规范做题步骤．解：设y kx b=+，根据题意，得14.5=b①16=3k+b，②将14.5k=．b=代入②，得0.5所以在弹性限度内，0.514.5=+．y x当4y=⨯+=（厘米）．x=时，0.5414.516.5即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米．设计意图：本题选取的是弹簧被拉长一个生活现象，从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，并利用函数表达式解决实际问题. 通过问题的探究，使学生进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型，体会一次函数的应用价值．预设：学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y与x间的关系式．对此，我给予肯定．四、巩固训练，拓展提升1．若一次函数2=+的图象经过A（－1，1），则b=，该函数图象经过y x b点B（1，）和点C（，0）．2．如图，直线l是一次函数y kx b=+的图象，填空：（1）b=，k=；（2）当30x=时，y=；（3）当30y=时，x=．3．已知直线l与直线2=-平行，且与y轴交于点y x（0，2），求直线l的表达式．处理方式：三名同学到黑板做题．教师巡视指导，关注困难生，对第2题要求写出做题步骤，第3题指导学生合理设出表达式．在学生练习结束后评价黑板学生做题情况．并予以鼓励．设计意图：三个练习意在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．三个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求一次函数的方法．对于问题2，我让学生写出做题步骤并进行规范．对于问题3，我引导学生分析，平行的位置关系确定了k的值相等，直接设y=-2x+b代入（0，2）求b．学生出现解题格式不规范的情况，我给予示范，训练学生规范答题的习惯．五、回顾反思，提炼升华活动内容：通过本节课的学习你有何收获？有何困惑？有何感想？处理方式：多由几名学生讲述,学生相互补充、完善.教师给予引导。
北师大版数学：八年级上册教案4.4一次函数的应用
４.４一次函数的应用(1)一、教学分析【教材分析】“一次函数的应用”是北师大版数学八年级上册第四章第四节，学生在七年级上册“整式及其加减”一章，让学生结合具体情境列出相应的代数式，实际上就是函数思想的初步渗透。
在八年级有学习了平面直角坐标系、一次函数的概念、一次函数的图象。
学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。
在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．【教学目标分析】根据《课程标准》的要求，结合本节课确定教学目标为：知识技能：1、经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。
2、进一步发展数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。
3、利用一次函数图象分析、解决简单的实际问题，发展几何直观。
4、初步体会函数与方程的联系。
数学思考：体会数形结合的思想，解决实际问题，体会几何直观。
问题解决：由现实背景确定一次函数，关注图象特征确定一次函数表达式。
情感态度：积极参与数学活动，养成独立思考的能力，培养合作交流的意识【教学重点难点】教学重点：一次函数图像的应用。
注重提高学生的数形结合的思想。
教学难点：从函数图像中正确读取信息，解决实际问题。
帮助学生建立转化的思想方法。
【我的思考】本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练．二、教学过程设计第一环节：复习旧知画出y=-2x-4的图象，根据图象回答下列问题：（1）y的值随x值的增大而________；（2）图象与x轴的交点坐标是_______，与y轴的交点坐标是_______；（3）判断下列各点是否在函数y＝-2x－4的图象上．A （1，-6）B（-3，1）分析：将x的值代入函数表达式，如果等于y的值，这个点就在函数的图象上；否则，这个点不在函数的图象上．完成以上问题之后，和同学们一同复习一下关于一次函数的知识：提问：（1）什么是一次函数？（2）一次函数的图象是什么？（3）一次函数具有什么性质？目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．第二环节：探索新知展示实际情境1：图片展示，从学生所体验过的冰滑梯开始。
八年级数学上册 4.4.1 一次函数的应用教案 (新版)北师大版
4.4.1一次函数的应用教学目标：1．了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题；2．经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法．教学重难点：重点：是探究确定一次函数表达式的方法；难点：是将所学的确定一次函数表达式的方法进行灵活运用教法与学法指导：本节课采用了“学导练当堂清”的教学模式，首先通过对一次函数的复习，提出了本课时的学习任务：通过图像、实际情景和表格来确定一次函数的表达式，关键是真正让小组之间的合作交流起来，发挥集体智慧，通过相互间的合作与交流，发展学生合作交流的能力和数学表达能力；教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生的主体作用.课前准备：制作课件和导学案；教学过程：一、问题导入，复习回顾师：1.下列函数中是一次函数的是( )A．y=2x2－1 B．y=－ C．y= D．y=3x+2x2－12.什么是一次函数？一次函数定义中要注意什么？3.一次函数图像是什么形状？画一次函数图像至少要几个点？4.一次函数具有什么性质？（学生回答，教师给与及时的评价）师：我们知道，已知一次函数的表达式可以画出函数图像并得到它的有关性质，如果给你函数相关信息，能否求出函数的表达式呢？要确定一次函数表达式需要几个条件呢？今天就让我们一起来探究这个问题。
设计意图：本节主要的内容是确定表达式，以学生已掌握的知识为切入点，提出问题，使学生明确这节课的学习任务.二、自主学习，合作探究1.通过图像确定正比例函数的表达式师：多媒体显示:某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如图所示．(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？分析：首先此函数的图象过原点可知是正比例函数，因此v与t满足的关系式为：v=kt.其次点(2,5)在直线上又知这点的坐标满足关系式，把t.=2，v=5代入v=kt.中即可求出k的值.生:展示合作结果；生1：这道题是某物体速度与下滑时间的关系，2秒时速度为5米/秒，1秒的速度就是2.5米/秒，所以V=2.5t，当t=3时，V=2.5×3=7.5（米/秒）．师征求其他学生意见，然后示范解：(1)设Ｖ＝kt;∵(2,5)在图象上∴5＝2k k =2.5 ∴V=2.5t(2) 当t=3时，V=2.5×3=7.5（米/秒）．师：大家思考一下，确定正比例函数的表达式只要根据条件求出k的值就行，那么需要几个条件可以确定k的值？生2：知道一个点就行．师：实际上就是知道一个自变量和相对应的因变量的值，然后代入关系式，解出k的值，如何确定一个一次函数的表达式呢？设计意图:由学生参与正比例函数关系式的形成过程，教师应做好应有的预设，就是学生不太可能去用待定系数法去求函数关系式，所以教师允许学生去说自己所想，然后将待定系数的思想渗透到教学中去．2.通过具体情境确定一次函数的表达式师：课件出示“范例导航”例1 在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，当所挂物体的质量为0千克时，弹簧长14．5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．分析：生：认真读题后，小组展开讨论，探索出解题思路.然后各个小组派代表回答。
北师大版数学八年级上册4《一次函数的应用》教案1
北师大版数学八年级上册4《一次函数的应用》教案1一. 教材分析《一次函数的应用》是北师大版数学八年级上册第4章的内容。
本节课主要让学生了解一次函数在实际生活中的应用，学会利用一次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
教材通过实例引导学生理解一次函数的定义，掌握一次函数的性质，并能运用一次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，具备了一定的问题解决能力。
但部分学生对实际问题与数学知识的联系还不够明确，需要老师在教学中加以引导。
此外，学生对数学应用题的兴趣不高，教师应注重激发学生的学习兴趣，提高他们的数学应用意识。
三. 教学目标1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的性质。
2.学会利用一次函数解决实际问题，提高数学应用能力。
3.培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质。
2.一次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一次函数，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.启发式教学法：引导学生主动探究一次函数的定义和性质，培养学生的思维能力。
3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，共同解决实际问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一次函数的定义、性质及实际应用。
2.实例材料：收集一些与生活密切相关的一次函数实例，用于引导学生学习。
3.练习题：准备一些有关一次函数的应用题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一次函数在生活中的应用实例，如线性增长、直线距离等，引导学生关注一次函数的实际意义。
2.呈现（10分钟）（1）介绍一次函数的定义：y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。
（2）讲解一次函数的性质：随着x的增大，y的值会按照k的的正负和大小变化。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，分析实例中的一次函数关系，并绘制函数图像。
教师巡回指导，解答学生疑问。
北师大版数学八年级上册4《一次函数的应用》教学设计1
北师大版数学八年级上册4《一次函数的应用》教学设计1一. 教材分析《一次函数的应用》是北师大版数学八年级上册第4章的内容。
本节课的主要内容是一次函数在实际生活中的应用，通过实例让学生了解一次函数的性质，学会用一次函数解决实际问题。
教材通过丰富的实例，引导学生探究一次函数的图象和性质，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的概念、一次函数的定义和图象，具备了一定的函数知识基础。
但学生对实际问题与函数关系的理解还不够深入，解决实际问题的能力有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过实例引导学生将实际问题转化为函数问题，培养学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解一次函数在实际生活中的应用，学会用一次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生掌握一次函数的图象和性质，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生运用数学解决实际问题的意识。
四. 教学重难点1.重点：一次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为函数问题，并运用一次函数解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生了解一次函数在实际中的应用。
2.启发式教学法：引导学生主动探究一次函数的图象和性质，培养学生解决问题的能力。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论实际问题，共同寻找解决方法，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一次函数的图象和实例。
2.实例材料：准备一些实际问题，作为教学案例。
3.练习题：准备一些练习题，巩固学生对一次函数应用的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如身高与年龄的关系、商品价格与数量的关系等，引导学生思考这些实际问题是否可以用一次函数来表示。
2.呈现（10分钟）教师展示一次函数的图象，引导学生观察图象，了解一次函数的性质。
北师大版八年级数学上册：44一次函数的应用优秀教学案例
（五）作业小结
1.布置具有层次性的作业，让学生在巩固知识的同时，提高自己的数学素养；
2.要求学生在作业中运用一次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力；
3.鼓励学生总结本节课的学习收获，反思自己在学习过程中的成长和进步。
五、案例亮点
北师大版八年级数学上册：44一次函数的应用优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版八年级数学上册第四章“一次函数的应用”，旨在让学生掌握一次函数的定义性质和图象，并能应用于解决实际问题。北师大版教材以实际问题为切入点，引导学生探索一次函数的规律，从而培养学生的数学应用能力。
章节内容主要包括：一次函数的定义、斜率和截距、一次函数的图象与性质、一次函数在实际问题中的应用。在学习过程中，学生需要通过观察、分析、归纳、实践等环节，掌握一次函数的基本概念，并能运用到实际问题中。
考虑到八年级学生的认知水平，本节课通过丰富的实例和生动的教学手段，激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题的能力。在教学过程中，注重引导学生主动探究、合作交流，从而提高学生的数学素养。同时，本节课还关注学生的个体差异，根据学生的实际情况给予针对性的指导，使全体学生能在原有基础上得到提高。
二、教学目标
（一）知识与技能
2.通过设计有趣的数学游戏，如“猜价格”游戏，让学生在游戏中自然而然地接触到一次函数的应用；
3.创设问题情境，如“小明每天跑步的速度保持不变，他跑步的时间与路程之间的关系是怎样的？”引导学生思考并探索一次函数的规律。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“一次函数的图象有什么特点？如何判断两个变量之间的线性关系？”；
1.了解一次函数的定义、斜率和截距的概念，掌握一次函数的图象与性质；
八年级数学上册第四章一次函数4一次函数的应用教案(新版)北师大版
4 一次函数的应用（第1课时）一、学生起点分析本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法．在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．二、教学任务分析本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念——基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练．本节课的教学目标是：①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法；③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置．第一环节：复习引入内容：提问：（1）什么是一次函数？（2）一次函数的图象是什么？（3）一次函数具有什么性质？目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．第二环节：初步探究内容1：展示实际情境提供两个问题情境，供老师选用．实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t (秒)的关系如图所示．(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y与时间x的关系如图所示．（1）这是一次多少米的赛跑？（2）甲、乙二人谁先到达终点？（3）甲、乙二人的速度分别是多少？（4）求甲、乙二人y与x的函数关系式．目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式．教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．内容2：想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？目的：在实践的基础上学生加以归纳总结．这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量k、b，所以需要两个条件来确定．第三环节：深入探究内容1：例1在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm．写出y与x之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度．解：设y kx b=+，根据题意，得14.5=b，①16=3k+b，②将14.5k=．b=代入②，得0.5所以在弹性限度内，0.514.5=+．y x当4x=时，0.5414.516.5y=⨯+=（厘米）．即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米．目的：引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．教学注意事项：学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y与x间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．内容2：想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤．求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．2．根据已知条件列出有关方程．3．解方程．4．把求出的k，b值代回到表达式中即可．目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升．在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．第四环节：反馈练习内容：1．如图，直线l是一次函数y kx b=+的图象，求它的表达式．2．若一次函数2y x b=+的图象经过A（－1，1），则b=，该函数图象经过点B （1，）和点C（，0）．3．如图，直线l是一次函数y kx b=+的图象，填空：（1）b=，k=；（2）当30x=时，y=；（3）当30y=时，x=．4．已知直线l与直线2y x=-平行，且与y轴交于点（0，2），求直线l的表达式．答案：1．3y x=-2．33,(1,5),(,0)2b B C=-．3．（1）22,3b k==-；（2）18-；（3）42-．4．22y x=-+．目的：四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．效果：四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求一次函数的方法．对于问题4，教师可引导学生分析，并教学生要学会画图，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．第五环节：课时小结内容：总结本课知识与方法1．本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出k，b 的值，从而确定函数解析式．其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k，b的方程；（3）解方程，求k，b；4．把k，b代回表达式中，写出表达式．2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．第六环节：作业布置教材习题4.5第1，2，3，4题目的：进一步巩固当天所学知识．教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大．四、教学设计反思1.设计理念本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题．本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础．2．突出重点、突破难点策略探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获．3.分层教学根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择拓展资源中内容进行补充或拓展，也可留作课后作业．4 一次函数的应用（第2课时）一、学生起点分析在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用．二、教学任务分析本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节的第2课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础．教学目标1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；3.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．4.在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．教学重点一次函数图象的应用教学难点从函数图象中正确读取信息三、教法学法1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展”2．课前准备：教具：教材，课件，电脑学具：教材，练习本，铅笔，直尺四、教学过程：本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．第一环节：情境引入内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系，如图所示，结合图象回答下列问题．(1)农民自带的零钱是多少?(2)试求降价前y与x之间的关系．(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱(含备用零钱)是26元，试问他一共带了多少千克土豆?活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习． 活动效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题． 第二环节：问题解决 内容1：例1小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36km /h ，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km /h ．（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少千米？ 分析：当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t 时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为1S 、2S ，由题意得：136S t =，22610S t =+ 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得⑴ 条直线136S t =，22610S t =+的交点坐标为（1，36）这说明当小聪追上小慧时，1236km S S ==，即离“古刹”36km ，已超过35km ，也就是说，他们已经过了“草甸”⑵当小聪到达“飞瀑”时，即145km S =，此时242.5km S = ． 所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km ）思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为136S t =，小慧的解析式为22610S t =+)？活动目的：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析．⑴两个人是否同时起步？⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？⑶这个问题中的两个变量是什么？它们之间是什么函数关系？⑷如果用S 表示路程，t 表示时间，那么他们的函数解析式是一样？他们各自的解析式分别是什么？ 内容2：深入探究例2我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B 追赶（如图），下图中1l ，2l 分别表示两船相对于海岸的距离S （海里）与追赶时间t （分）之间的关系．根据图象回答下列问题：（1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的关系？ 解：观察图象，得当0t =时，B 距海岸0 n mile ，即0S =，故1l 表示B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系；（2）A ，B 哪个速度快？解：从0增加到10时，2l 的纵坐标增加了2，而1l 的纵坐标增加了5，即10 min 内，A 行驶了2海里，B 行驶了5 n mile ，所以B 的速度快． （3）15 min 内B 能否追上A ？解：可以看出，当15t =时，1l 上对应点在2l 上对应点的下方，（4）如果一直追下去，那么B 能否追上A ？海岸公 海AB解：如图1l ，2l 相交于点P ．因此，如果一直追下去，那么B 一定能追上A ． （5）当A 逃到离海岸2l 海里的公海时，B 将无法对其进行检查．照此速度，B 能否在A 逃到公海前将其拦截？解：从图中可以看出，1l 与2l 交点P 的纵坐标小于2l ，这说明在A 逃入公海前，我边防快艇B 能够追上A ．活动目的：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系． 说明：学生在教师的引导下，逐步形成了良好的识图能力． 第三环节：反馈练习内容：观察甲、乙两图，解答下列问题1．填空：两图中的（ ）图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所描述的情节． 2．根据1中所填答案的图象填写下表：3．根据1中所填答案的图象求：（1）龟免赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的取值范围）； （2）乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程？4．请你根据另一幅图表，充分发挥你的想象，自编一则新的“龟免赛跑”的寓言故事，要求如下：（1）用简洁明快的语言概括大意，不能超过200字；（2）图表中能确定的数值，在故事叙述中不得少于3个，且要分别涉及时间、路和速度这三个量．意图：旨在检测学生的识图能力，可根据学生情况和上课情况适当调整．说明：练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生从不同的图象中获取信息，对同学的回答，教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮助他们树立信心． 5．如图，A l 与B l 分别表示A 步行与B 骑车同一路上行驶的路程S 与时间t 的关系． （1）B 出发时与A 相距多少千米？（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是多少小时？（3）B 出发后经过多少小时与A 相遇？（4）若B 的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 那么经过多少时间与A 相遇？相遇点离B 的出发点多远？ 你能用哪些方法解决这个问题？在图中表示出这个相遇点C ．6.甲．乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为y 甲（棵），乙班植树的总量为y 乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x （时），y 甲，y 乙分别与x 之间的部分函数图象如图所示． （1）当06x ≤≤时，分别求y 甲，y 乙与x 之间的函数关系式． （2）如果甲，乙两班均保持前6 h 的工作效率，通过计算说明，当8x =时，甲，乙两班植树的总量之和能否超过260棵． （3）如果6 h 后，甲班保持前6 h 的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当8x =时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵． 第四环节：课时小结内容：本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关y )系式完全通过计算解决问题．通过列出关系式解决问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．意图：引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法．说明：让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结．第五环节：作业布置教材习题4.6五、教学设计反思（1）设计理念函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是初中阶段数学学习的一个重要内容．在本节教学设计中，进一步体现了“问题情境——建立数学模型——应用与拓展”的模式．让学生从实际问题中抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质，进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题．（2）突出重点、突破难点的策略本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力．附：板书设计。
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一次函数的应用
课 题 一次函数的应用 安排 共（ 1 ） 类型三 根据实际问题确定一次函数的表达式 某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价. 数量x/千克 售价y/元 1 8＋0.4 2 16＋0.8 3 24＋1.2 4 32＋1.6
5 40＋2.0
… …
解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3
倍、……
解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x
的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量
是2.5千克时的售价是21元．
方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化
关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
课后作业设计：
导学案 （修改人： ）
板书设计：
确定一次函数表达式⎩
⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k ≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）
教学反思：
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．。