数列的概念及简单表示法(一轮复习)
2025届高考数学一轮总复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示法
第一节 数列的概念与简单表示法
课标
1.了解数列的概念和表示方法(表格、图象、通项公式、递推公式).
解读
2.了解数列是一种特殊的函数.
强基础 增分策略
知识梳理
1.数列的有关概念
概念
含义
数列的项
按照 确定的顺序 排列的一列数
数列中的 每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
数列
通项公式
前n项和
如果数列{an}的递推公式满足an+1-an=f(n)的形式,且f(n)可求和,那么就可
以运用累加法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,求出数列
{an}的通项公式.
对点训练
1
3 数列{an}中,a1=0,an+1-an= + +1,且
√ √
an=9,则 n=
.
答案 100
1
解析∵an+1-an= + +1
√ √
= √ + 1 − √,
∴an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1=√ − -1 + -1 − -2+…+√2 −
√1+0=√-1.∵an=9,即√-1=9,解得 n=100.
考向2.累乘法
-1
· ··
…·
2 3 4
+1
1
1
1
1
1
∴S30=1- + − +…+ −
2
2
3
30
数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)
所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
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命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
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，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
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4．(易错题)若数列
— 7—
4.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法 、图象法和 9 解析法 ．
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常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有 关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项 对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.
第一讲+数列的概念与简单表示法课件-2025届高三数学一轮复习
a6＝( )
A.3×44
B.3×44＋1
C.44
D.44＋1
解析：由an＋1＝3Sn，得到an＝3Sn－1(n≥2)，
两式相减，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， 则an＋1＝4an(n≥2)，因为a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，所以此数 列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an＝ a2qn-2＝3×4n-2(n≥2).则a6＝3×44.故选A.
1
＝
(2n
＋
1)
7 8
n＋1
，
an＋1 an
＝
(2n＋1)78n＋1 (2n－1)78n
＝
14n＋7 16n－8
.
当
aan＋n1>1 时，n<125；当aan＋n1<1 时，n>125.∵an>0，∴数列{an}的最大项 是 a8.
答案：8
考向 2 数列的周期性
[例3]已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公 通项公式 把数列的通项用公式表示
式 法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an， an－1)等表示数列的方法
3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn， 则 an＝SS1n， －nSn＝－11，，n≥2.
4.数列的分类
分类标准
类型
项数
有穷数列 无穷数列
项与项间的 大小关系
递增数列 递减数列
常数列
一轮复习-数列的概念与简单表示法
（1）
（2）
（3）
（4）
例2 写出数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
解：此数列的前四项1，3，5，7都 是序号的2倍减去1，所以通项公式 是：
an 2n 1
例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
（1）1,3,5,7; （2）4，9， 16，25；
这说明：数列的项是序号的函数，序号从1 开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就 是数列，这就是数列的实质。
所以：数列可以看成以正整数集N*（或它的有 限子集{1，2，3，4，…,n}）为定义域的函数 an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时， 所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如 果f(i) (i=1,2,3,…)有意义，那可得到一个数列 f(1),f(2),f(3),…f(n),… 即数列是一种特殊的函数。
数列的一般形式可以写成： a1, a2, a3,an ,,
其中an是数列的第n项，上面的数列又可简记为 an
根据数列的前若干项写出的通项 公式的形式唯一吗？请举例说明。
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式 ③ {an }表示以an为通项的数列，即{an }表示
无穷数列：项数无限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
(3)1， 1 ，1 ， 1 ； 23 4
高三一轮复习第五章 第一节数列的概念与简单表示法
课时作业1．在数列{a n }中，a n ＝n 2－9n －100，则最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项【解析】 ∵a n ＝(n －92)2－814－100，∴n ＝4或5时，a n 最小．【答案】 D2．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋)【解析】 观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D ．【答案】 D3．(2022·福建福州质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 019＝( )A ．1B ．0C ．2 019D ．－2 019【解析】 ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 019＝a 1＝1．【答案】 A4．(2022·大庆二模)已知数列{a n }满足：a n ＝{（3－a ）n －3，n ≤7a n －6，n >7(n ∈N *)，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3)C ．(1，3)D ．(2，3)【解析】 根据题意，a n＝f(n)＝{（3－a）n－3，n≤7a n－6，n>7，n∈N*，要使{a n}是递增数列，必有{3－a>0a>1（3－a）×7－3<a8－6，据此有：{a<3a>1a>2或a<－9，综上可得2<a<3．【答案】 D5．(2022·黄冈模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2－2n＋2，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝2n－3 B．a n＝2n＋3C．a n＝{1，n＝12n－3，n≥2D．a n＝{1，n＝12n＋3，n≥2【解析】 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－3，由于a1的值不适合上式，故选C．【答案】 C6．(多选)(2022·常州期末)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝1＋a n1－a n，使a n＝－12的n可以是( )A．2 019 B．2 021C．2 022 D．2 023【解析】 由题意可知，a1＝2，a2＝－3，a3＝－12，a4＝13，a5＝2，a6＝－3，a7＝－12，a8＝13，可得数列{a n}的周期为4，所以a2 019＝a3＝－12，a2 021＝a1＝2，a2 022＝a2＝－3，a2 023＝a3＝－12，所以使a n＝－12的n可以是2 019，2 023，故答案选AD．【答案】 AD7．(2022·石家庄二模)在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝7，a n＋2等于a n a n＋1(n∈N*)的个位数，则a2 015＝( )A．8 B．6C．4 D．2【解析】 由题意得a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8．所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2．【答案】 D8．(多选)已知数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，则下列各数是{a n}的项的有( )A．－2 B．2 3C．32D．3【解析】 ∵数列{a n}满足a1＝－12，a n＋1＝11－a n，∴a2＝11－(－12)＝23，a3＝11－a2＝3，a4＝11－a3＝－12＝a1，∴数列{a n}是周期为3的数列，且前3项为－12，23，3，故选BD．【答案】 BD9．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A．数列{n＋1n}的第k项为1＋1kB．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝2n－1D．数列{a n}的通项公式为a n＝nn＋1，n∈N*，则数列{a n}是递增数列【解析】 对于A，数列{n＋1n}的第k项为1＋1k，A正确；对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{b n}，则其通项公式为b n＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n＝b n＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；对于D，a n＝nn＋1＝1－1n＋1，则a n＋1－a n＝1n＋1－1n＋2＝1（n＋1）（n＋2）>0，因此数列{a n}是递增数列，D正确．故选ABD．【答案】 ABD10．(2022·太原二模)已知数列{a n}满足a1＝1，a n－a n＋1＝na n a n＋1(n∈N*)，则a n＝________．【解析】 由已知得1a n＋1－1a n＝n，∴1a n－1a n－1＝n－1，1a n－1－1a n－2＝n－2，…，1a2－1a1＝1，∴1a n －1a1＝n （n －1）2，∴1an ＝n 2－n ＋22，∴a n ＝2n 2－n ＋2．【答案】 2n 2－n ＋211．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________．【解析】 由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116． 【答案】 611612．数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5，n ∈N *，则a n ＝________．【解析】 在12a 1＋122a 2＋…＋12n a n ＝2n ＋5中，用n －1代换n 得12a 1＋122a 2＋…＋12n －1a n －1＝2(n －1)＋5 (n ≥2)，两式相减得12n a n ＝2，a n ＝2n ＋1，又12a 1＝7，即a 1＝14，故a n＝{14，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.【答案】 {14，n ＝1，2n ＋1，n ≥213．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ； (3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n)．【解】 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1．(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1an ＝n ＋1．∴a nan －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1，…a 3a 2＝3，a 2a1＝2，a 1＝1． 累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n! 故a n ＝n!(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln (1＋1n )，∴a n ＋1－a n ＝ln (1＋1n )＝ln n ＋1n．∴a n －a n －1＝ln nn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…a 2－a 1＝ln 21，∴a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n ．又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2．14．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【解】 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )， 又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *． (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2[12·(32)n －2＋a －3]，当n≥2时，a n＋1≥a n 12·(32)n－2＋a－3≥0 a≥－9．又a2＝a1＋3＞a1．综上，所求a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。
高考一轮复习 数列概念 知识点+例题+练习
自主梳理1．数列的定义按____________着的一列数叫数列，数列中的________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是______________________的函数，数列的一般形式为：________________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项．2．通项公式：如果数列{a n }的________与____之间的关系可以______________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．3．数列常用表示法有：____________________、________、________.4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、____________；按项的增减规律分为____________、____________、____________和________．递增数列⇔a n ＋1____a n ；递减数列⇔a n ＋1____a n ；常数列⇔a n ＋1____a n .5．a n 与S n 的关系：已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，n ＝1， ，n ≥2，.自我检测1．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝______.2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________.3．已知数列－1，85，－157，249，…按此规律，则这个数列的通项公式是______________________________．学生姓名教师姓名 班主任 日期时间段 年级 课时 教学内容数列的概念与简单表示法 教学目标1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 重点数学归纳方法、递推法 难点 同上4．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是________．5．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第________项的和最大．探究点一 由数列前几项求数列通项例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)23，415，635，863，1099，… (2)12，－2，92，－8，252，…变式迁移1 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，… (2)2，5，22，11，…(3)1,0,1,0，…探究点二 由递推公式求数列的通项例2 根据下列条件，写出该数列的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1 (n ≥2)．变式迁移2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n .探究点三 由a n 与S n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，求{a n }的通项公式．变式迁移3 (1)已知{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，求{a n }的通项公式．(2)已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n .1．数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项a n 与项数n 的关系．2．求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察；(2)数列{a n }的前n 项和S n 与数列{a n }的通项公式a n 的关系，要注意验证能否统一到一个式子中；(3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘．3．本节易错点是利用S n 求a n 时，忘记讨论n ＝1的情况．一、填空题1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．2．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝________.4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，则a 6＝________.5．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.6．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n (0≤a n <12)，2a n －1 (12≤a n <1)，若a 1＝67，则a 2 010的值为________．7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝__________________.8．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是____________．二、解答题9．写出下列各数列的一个通项公式．(1)112，223，334，445，…(2)－1，32，－13，34，－15，36…10．由下列数列{a n }递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
数列的概念与表示法一轮复习
数列的概念与表示法【知识梳理】1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类：(3)n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．【基础自测】1．数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是__________答案： a n ＝n2n －12．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为__________ 解析： a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 答案：－304．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54.5．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第________项的和最大．解析 a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，它是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大．【说明】1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)．【考点探究】考点一 由数列的前几项求数列的通项公式[例1] 下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝(－1)n －1＋32[解] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…. [答案] C 【一题多变】若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n }的一个通项公式为________．答案： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(n 为奇数)，1(n 为偶数).⎝⎛⎭⎫或a n ＝1＋(－1)n2或a n＝1＋cos n π2【由题悟法】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．2．由数列的前几项写出数列一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想． 【以题试法】1．写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…. 所以a n ＝13(10n －1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn ，也可写为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.考点二 由递推公式求数列的通项例2 根据下列条件，写出该数列的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1 (n ≥2)．【由题悟法】利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：(1)累加法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n ＋1与a n 的差的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n －1个式子相加，整理求出数列的通项公式．(2)累积法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n ＋1与a n 的商的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n －1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．解 (1)当n ＝1,2,3，…，n －1时，可得n －1个等式，a n －a n －1＝n －1，a n －1－a n －2＝n －2，…，a 2－a 1＝1，将其相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)．∴a n ＝a 1＋(1＋n －1)(n －1)2＝2＋n (n －1)2. (2)法一：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫121＝⎝⎛⎭⎫121＋2＋…＋(n －1)＝(1)21()2n n -，∴a n ＝(1)21()2n n -. 方法二 由2n －1a n ＝a n －1，得a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1a n －1.∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2a n －2＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫121a 1＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝(1)21()2n n - 【以题试法】 2.根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n . 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1a n＝n ＋1.∴a n a n －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1，……a 3a 2＝3，a 2a 1＝2，a 1＝1.累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n ！.故a n ＝n ！.(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n .∴a n －a n －1＝ln n n －1， a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……a 2－a 1＝ln 21，累加可得，a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＝ln n . 又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2.考点三 由a n 与S n 的关系求通项a n[例3] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.[解] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1， 故a n ＝⎩⎨⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2.【由题悟法】 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．【以题试法】3．已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n .解析：由2S n ＝a n ＋1，得S n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋122，当n ＝1时，a 1＝S 1＝⎝⎛⎭⎫a 1＋122，得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫a n ＋122－⎝⎛⎭⎫a n －1＋122，整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，∵数列{a n }各项为正，∴a n ＋a n －1>0. ∴a n －a n －1－2＝0.∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1. 考点四 数列的性质[例4] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.(1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？ [解] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．【一题多变】在本例条件下，设b n ＝a nn，则n 为何值时，b n 取得最小值？并求出最小值．解：b n ＝a n n ＝n 2－21n ＋20n ＝n ＋20n－21，令f (x )＝x ＋20x －21(x >0)，则f ′(x )＝1－20x 2，由f ′(x )＝0解得x ＝25或x ＝－25(舍)．而4<25<5，故当n ≤4时，数列{b n }单调递减；当n ≥5时，数列{b n }单调递增．而b 4＝4＋204－21＝－12，b 5＝5＋205－21＝－12，所以当n ＝4或n ＝5时，b n 取得最小值，最小值为－12.【由题悟法】 1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.【以题试法】4．数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是__________解：a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．【巩固练习】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于____________ 解析: 由题可知S n ＝2(a n －1)，所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2. 又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4.2．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为_________解析：a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，知a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2，故S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.3．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝___________解析： 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2.4．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n2a n ＋1，则其通项公式为________．解析：两边取倒数，得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ，故有1a n ＋1－1a n＝2.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝13，公差为2的等差数列，所以1a n ＝13＋2(n －1)＝6n －53，故a n ＝36n －5.5．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝___________解析：因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，所以a n ＝5＋(n ＋6)(n －1)2，所以a 2 012－5＝1 009×2 011.6．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________. 解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，则a 2 012＝________.解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期数列，周期为6，故a 2 012＝a 335×6＋2＝a 2＝2.8．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________. 解析：由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋1.则S n ＝2n ＋1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n＋1＝2n，n ＝1时不适合a n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.9．已知数列{a n }满足：a 1＝1，(n －1)a n ＝n ×2n a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：当n ≥2，有(n －1)a n ＝n ×2n a n －1，故a n a n －1＝nn －1×2n ，则有a n －1a n －2＝n －1n －2×2n －1，a n －2a n －3＝n －2n －3×2n －2，…，a 2a 1＝21×22.上述n －1个式子累乘，得a n a 1＝⎝⎛⎭⎫n n －1×2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n －2×2n －1×⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n －3×2n －2×…×⎝⎛⎭⎫21×22＝n ×2n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＝n ×2(n －1)(n ＋2)2.又因为a 1＝1，所以a n ＝n ×2(n －1)(n ＋2)2，而当n＝1时，a 1＝1×20＝1，也满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ×2(n －1)(n ＋2)2.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合，∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1. 11．数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋cn (n ∈N *，常数c ≠0)，且a 1，a 2，a 3成等比数列． (1)求c 的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)由题知，a 1＝2，a 2＝2＋c ，a 3＝2＋3c ， 因为a 1，a 2，a 3成等比数列，所以(2＋c )2＝2(2＋3c )， 解得c ＝0或c ＝2，又c ≠0，故c ＝2. (2)当n ≥2时，由a n ＋1＝a n ＋cn 得 a 2－a 1＝c ， a 3－a 2＝2c ， …a n －a n －1＝(n －1)c ，以上各式相加，得a n －a 1＝[1＋2＋…＋(n －1)]c ＝n (n －1)2c ，又a 1＝2，c ＝2，故a n ＝n 2－n ＋2(n ≥2)，当n ＝1时，上式也成立， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋2(n ∈N *)．。
届数学一轮复习第六章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案含解析
第1节数列的概念与简单表示法考试要求1。
了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。
知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
（2）递推公式：如果已知数列{a n｝的第1项（或前几项），且从第二项(或某一项）开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[常用结论与微点提醒]1。
数列的最大（小)项，可以用错误!(n≥2，n∈N＊）错误!求，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解.2.数列是按一定“次序"排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数"的排列顺序有关。
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。
诊断自测1。
判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”)（1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()（2)1，1，1，1,…，不能构成一个数列.（)（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列。
（）（4）如果数列｛a n｝的前n项和为S n，则对任意n∈N＊,都有a n＋1＝S n＋1－S n。
（）解析（1）数列:1,2,3和数列：3，2,1是不同的数列.(2）数列中的数是可以重复的,可以构成数列.(3）数列可以是常数列或摆动数列.答案（1)×(2)×（3)×（4）√2。
2025年高考数学一轮复习 第六章 数列-第一节 数列的概念及简单表示法【课件】
数列的项
每一个数
数列中的__________
数列的通项
数列{ }的第项
通项公式
数列{ }的前项和
数列{ }的第项 与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来
表示,这个式子叫作这个数列的通项公式
1 + 2 + ⋯ +
数列{ }中, =________________叫作数列的前项和
第六章 数列
第一节 数列的概念及简单表示法
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标解 通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公
读
式）,了解数列是一种特殊函数.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、数列的有关概念
概念
数列
含义
确定的顺序
按照____________排列的一列数
2
2
3
1
, 4 = 2 ；五边形数： , 5 = 2 − ；六边形数： , 6 = 22 − ,可以推
2
2
测 , 的表达式,由此计算 20,23 =( B )
A.4 020
B.4 010
C.4 210
D.4 120
[解析] 由题意可得 , = + , , = + , , = − ,
[解析] 当 = 时, = = ;当 ≥ 时,
= − − = + − [ −
+ ] = − , = 不满足上式,所以
, = ,
, = ,
高考数学一轮总复习课件：数列的概念及简单表示
1)(an－
2)．设bn＝an－
2，则bn＋1＝(
2
－1)·bn，即
bn＋1 bn
＝
2－1，
b1＝a1－ 2＝2－ 2，因此数列{bn}是以 2－1为公比，以2－ 2为
首项的等比数列．
所以bn＝(2－ 2)×( 2－1)n－1＝ 2×( 2－1)n，所以an＝ 2( 2 －1)n＋ 2.
(4)已知数列{an}满足a1＝ 2
【解析】
(累加法)原递推式可化为an＋1＝an＋
1 n
－
1 n＋1
，则a2
＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13，a4＝a3＋13－14，…，an＝an－1＋n－1 1－1n.
逐项相加，得an＝a1＋1－1n.又a1＝3，故an＝4－1n.
(2)设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·an＋12－nan2＋ 1
2 n
(3)an＝2n＋1－3
(4)an＝32n－1
状元笔记
已知数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解． (2)当出现aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解． (3)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列．
思考题2 (1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋ n（n1＋1），则通项公式an＝_4_－__1n____．
，
5 5
，
7 10
， 197
，…，对于分子3，5，
7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋ 1，对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4，9，16，…，
即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故可得它的一个 通项公式为an＝2nn2＋＋11.
第6章 第1节 数列的概念与简单表示法-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
6．已知数列{an}满足：an＝1－an1＋1，且 a1＝2，则 a2 019 1
＝____2____． 解析 由 an＝1－an1＋1可得 an＋1＝1－1an，结合 a1＝2，得
a2＝1－1 a1＝－1，a3＝1－1a2＝12，a4＝1－1a3＝2＝a1，所以数
列{an}是周期为 3 的周期数列，则 a2 019＝a3＋3×672＝a3＝12.
教材拓展
求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即 用aann≥ ≥aann－ ＋11，(n≥2，n∈N*)或aann≤ ≤aann－ ＋11，(n≥2，n∈N*)求解， 也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．
基础自测
◇疑误辨析
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1) 相 同 的 一 组 数 按 不 同 顺 序 排 列 时 都 表 示 同 一 个 数
① ②
显然当 n＝1 时不满足上式．
2，n＝1， ∴an＝ 2n－1，n≥2.
n
►规律方法 数 列 的 通 项 an 与 前 n 项 和 Sn 的 关 系 是 an ＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2. (1)当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－Sn－1，则 n＝1 的情况可并 入 n≥2 时的通项 an； (2)当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数的 形式表示．
n2＋n＋2 [例 2] 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝____2____．
[ 解析] 由条件知 an＋1－an＝n＋1． 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋ 3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋n＋2．
周期性
数列的概念及简单表示法(一轮复习)
题型分类·深度剖析
题型一
由数列的前几项求数列的通项
【例 1】 写出下面各数列的一个
通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，….
思维启迪
解析
探究提高
偶数项为 2＋1，所以 an＝ (－1)n·2＋n－1n.也可写为 an＝
§5.1 数列的概念及简单表示法
基础知识·自主学习
知识梳理
1．数列的定义
1．对数列概念的理解
按 一定次序 排列的一列数叫作数列， (1) 数 列 是 按 一 定 “ 次
序”排列的一列数，一
数列中的每一个数叫作这个数列的项 . 个数列不仅与构成它的
2．数列的分类
“数”有关，而且还与
分类 原则 按项 数分 类
(4)3,33,333,3 333，….
题型分类·深度剖析
题型一
由数列的前几项求数列的通项
【例 1】 写出下面各数列的一个
通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，….
通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，….
思维启迪
解析
探究提高
(1)据所给数列的前几项求其通 项公式时，需仔细观察分析，抓 住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行 归纳、联想．
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题28 数列的概念与简单表示法(解析版)
考点28 数列的概念与简单表示法1、数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B ．72C ．92D ．132【答案】B【解析】∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 2、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( ) A.a n =2n 2+3n-1 B.a n =n 2+5n-5 C.a n =2n 3-3n 2+3n-1 D.a n =2n 3-n 2+n-2【答案】C【解析】当n=1时,a 1=1,代入四个选项,排除A 、D;当n=2时,a 2=9,代入B 、C 选项,B 、C 都正确;当n=3时,a 3=35,代入B 、C 选项,B 错误,C 正确,所以选C .3、在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B ．158C ．34D ．38【答案】C【解析】由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,则(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)…(a 2 015a 2 017-)=( ) A.1 B.-1 C.2 017 D.-2 017【答案】B【解析】∵a 1a 3-=1×2-12=1,a 2a 4-=1×3-22=-1,a 3a 5-=2×5-32=1,…,a 2 015a 2 017-=1.∴(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)·…·(a 2 015a 2 017-)=11 008×(-1)1 007=-1. 5、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1.又a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，故a n ＝2n －1.又a n n ≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1,2,3,4}．6、已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则a 2 018的值为( )A ．－8B ．－3C ．－4D ．13【答案】B【解析】由a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)得，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，可见数列{a n }的周期为4，所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝－3.7、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n =2a n -3n ,则a 2 018= ( )A.22 018-1B.32 018-6C. 2 018-D. 2 018-【答案】A【解析】由题意可得3S n =2a n -3n ,3S n+1=2a n+1-3 (n+1), 两式作差可得3a n+1=2a n+1-2a n -3, 即a n+1=-2a n -3,则a n+1+1=-2(a n +1), 结合3S 1=2a 1-3=3a 1可得a 1=-3,a 1+1=-2, 则数列{a n +1}是首项为-2,公比为-2的等比数列, 据此有a 2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,∴a 2 018=22 018-1.故选A .8、已知数列{a n }与{b n }的通项公式分别为a n ＝－n 2＋4n ＋5，b n ＝n 2＋(2－a )n －2a .若对任意正整数n ，a n ＜0或b n ＜0，则a 的取值范围为( )A ．(5，＋∞)B ．(－∞，5)C ．(6，＋∞)D ．(－∞，6)【答案】A【解析】由a n ＝－n 2＋4n ＋5＝－(n ＋1)(n －5)可知，当n ＞5时，a n ＜0.由b n ＝n 2＋(2－a )n －2a ＝(n ＋2)(n －a )＜0及已知易知－2＜n ＜a ，为使当0＜n ≤5时，b n ＜0，只需a ＞5.故选A. 9、在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)【答案】A【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.10、若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)且a 1＝2，则满足不等式a n ＜462的最大正整数n 为( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22【答案】B【解析】由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1得，a n a n －1＝n ＋1n －1，则a n ＝a 1×⎝⎛⎭⎫a 2a 1×⎝⎛⎭⎫a 3a 2×…×⎝⎛⎭⎫a n a n －1＝2×31×42×…×n ＋1n －1＝n (n ＋1)．又a n ＜462，即n (n ＋1)＜462，所以n 2＋n －462＜0，即(n －21)(n ＋22)＜0，因为n ＞0，所以n ＜21.故所求的最大正整数n ＝20.11、数列{a n }满足a 1=,a n+1-1=a n (a n -1)(n ∈N +),且S n =+…+,则S n 的整数部分的所有可能值构成的集合是( ) A.{0,1,2} B.{0,1,2,3} C.{1,2} D.{0,2}【答案】A【解析】对a n+1-1=a n (a n -1)两边取倒数,得-=, S n =++…+=-+-+…+-=3-,由a n+1-a n =≥0,a n+1≥a n ,a n 为递增数列,a 1=,a 2=,a 3=,其中S 1=,整数部分为0,S 2=3-=,整数部分为0,S 3=,整数部分为1,由于S n <3,故选A .12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18= . 【答案】3【解析】由题意得a n +a n+1=5⇒a n+2+a n+1=5⇒a n =a n+2,所以a 18=a 2=5-a 1=3.13、已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －n 为奇数，则a 3a 4＝________.【答案】 54【解析】由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54.14、数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N +,则S 5= . 【答案】121【解析】由于解得a 1=1.由a n+1=S n+1-S n =2S n +1,得S n+1=3S n +1, 所以S n+1+=3S n +,所以是以为首项,3为公比的等比数列,所以S n +=×3n-1,即S n =,所以S 5=121.15、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】⎝⎛⎭⎫－12n －1 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，∴a 1＝1; 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，∴a n a n －1＝－12.∴数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1. 16、在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=,则S 2 019= . 【答案】0【解析】∵a 1=0,a n+1=,∴a 2==,a 3===-, a 4==0,即数列{a n }的取值具有周期性,周期为3,且a 1+a 2+a 3=0,则S 2 019=S 3×673=0. 17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n = .【答案】2n-1【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -n-2a n-1+(n-1), 即a n =2a n-1+1,∴a n +1=2(a n-1+1).又a 1=S 1=2a 1-1,∴a 1=1.∴数列{a n +1}是以首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n-1=2n , ∴a n =2n -1.18、已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4b 1，S n ＝2a n －2，nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．【答案】(1) 2n (2) n 3－n 2＋2n 2，n ∈N *【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，n ≥2.综上，数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n ，n ∈N *. (2)∵a 2＝4b 1＝4，∴b 1＝1.∵nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2，∴b n ＋1n ＋1－b nn ＝n ，故b n n －b n －1n －1＝n －1，…，b 33－b 22＝2，b 22－b 11＝1，n ≥2， 将上面各式累加得b n n －b 11＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n n －2，∴b n ＝n 3－n 2＋2n2，n ∈N *.19、设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【答案】(1) (a －3)2n －1 (2) [－9,3)∪(3，＋∞)【解析】(1)由题意知，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2S n ＋3n －3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，所以a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎡⎦⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3＞a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．20、已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，数列{b n }中，b n ＝1＋a na n .(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围． 【答案】(1) 1 (2) 3 －1 (3) (－7，－6)【解析】(1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.(2)∵a 1＝－52，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－52＋(n －1)＝n －72，∴b n ＝1＋1a n ＝1＋1n －72.∵函数f (x )＝1＋1x －72在⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上分别是单调减函数， ∴b 3＜b 2＜b 1＜1，当n ≥4时，1＜b n ≤b 4，∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1. (3)由b n ＝1＋1a n ，得b n ＝1＋1n ＋a 1－1.又函数f (x )＝1＋1x ＋a 1－1在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数，且x ＜1－a 1时，y ＜1；当x ＞1－a 1时，y ＞1.∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8， ∴7＜1－a 1＜8，∴－7＜a 1＜－6， ∴a 1的取值范围是(－7，－6)．。
数列的概念及简单表示方法
= ()
+1
在数列 中,
=
且1
+2
= 2, 求数列 的通项公式
3、构造法：
形如+1 = +
在数列 中, 1 = 1, +1 =
2
3
+ 1,求数列 的通项公式
, +
若数列 的前项和为 ：
1 , = 1
则 = ቊ
− −1 , ≥ 2
习题练习
求数列的通项公式
一、观察法：写出下面各数列的一个通项公式
（1）1，-3，5，-7，9,… = (−1)−1 × （2 − 1)
（2）9， 9，999，9999，… = 10 − 1
摆动数列
数列的函数特性
1、数列与函数的关系
数列可以看成一类特殊的函数 = (),定义域
为正整数集（或正整数集的有限子集），所以它的图
像是一系列鼓励的点，而不是连续不断的曲线。
2、数列的性质：单调性、周期性。
数列的前n项和 和通项 的关系
= 1 + 2 + 3 + ⋯ +
（或某一项）开始的任一项 与它的前一项n−1 （或前
几项）（ ≥ 2)的关系可以用一个公式表示，那么这个公
式就叫做该数列的递推公式。
例如：+1 = + 2, 1 = 1
递推公式包括两部分：开头，递推关系；
通项公式可以直接求出数列的任意一项，递推公式不可以
直接求出；
递推公式、通项公式共同点：都可以确定一个数列，求出
子 =(）， ∈ + 表达，这个式子叫做数列 的通项
公式。
高考数学大一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念及简单表示法课件 文
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2. 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 故an＝2n.
【答案】 C
(2)(2016·西安八校联考)观察下列三角形数表： 1 2 3 4 … 97 98 99 100 3 5 7 …… 195 197 199 8 12 ……… 392 396 20 ………… 788 …………… ……… …… …
其中从第2行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之 和，则该数表的最后一行的数为( )
高考真题演练 课时作业
突破考点 01
由数列前几项归纳数列的通项公式
（基础送分型——自主练透）
1．数列的分类
2.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个 式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
1.有限 无限 > < 2．序号n
【调研1】 (1)(2016·西安五校联考)下列可作为数列
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征，并对此进行归纳、猜想； ⑤若给出图示，充分结合图示分析规律． 2．由数列的前几项求通项时，数列的通项公式不唯一．
突破考点 02
Sn与an的关系
（高频考点型——多维探究）
数列的前n项和通常用Sn表示，记作____出下列各数列的一个通项公 式：
①－1,7，－13,19，… ②0.8,0.88,0.888，… ③1,0，13，0，15，0，17，0，… ④32，1，170，197，…
2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示方法【课件】
『变式训练』 1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 2Sn＝3an－3，则 a4 等于( B ) A．27 B．81 C．93 D．243
【解析】 根据 2Sn＝3an－3，可即 an＋1＝3an，当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3，所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公 比的等比数列，所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
【解析】 ∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． 而 a1＝S1＝5，∴an＝52， n－1n，＝n1≥，2.
易错点睛：(1)数列是特殊的函数，注意其自变量为正整数． (2)求数列前 n 项和 Sn 的最值时，注意项为零的情况． (3)使用 an＝Sn－Sn－1 求 an 时注意 n≥2 这一条件，要验证 n＝1 时是否成立．
满足条件
有穷数列 无穷数列
项数 项数
有限 无限
递增数列 递减数列
常数列
an＋1 an＋1 an＋1
> an < an ＝ an
其中 n∈N*
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和 解析法 ． 4．数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变 量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 an＝f(n)．也就是说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是 数列{an}．
同理令2nn－＋11＝15，得 n＝2，∴15为数列{an}的项；
高三第一轮复习数列的概念与简单表示法课件
1 ∴ Sn = . 2n
∴当 n ≥ 2, n ∈ N* 时, an = −2 Sn Sn −1 1 1 1 = −2 ⋅ ⋅ =− , 2n 2(n − 1) 2n(n − 1) 1 (n = 1) 2 ∴ an = . 1 − (n ≥ 2, n ∈ N* ) 2n(n − 1)
⋯⋯ a3 = 3, a2 a2 = 2, a1 a1 = 1.
累乘可个 ,
an = n × (n − 1) × (n − 2) × ⋯ × 3 × 2 × 1 = n！ . . 故 an = n！
1 (3) ∵ an+1 = an + ln(1 + ), n 1 n +1 . ∴ an+1 − an = ln(1 + ) = ln n n n ∴ an − an−1 = ln , n −1 n −1 an−1 − an−2 = ln , n−2 ⋯⋯ 2 a2 − a1 = ln , 1 ∴ an − a1 = ln n n −1 2 + ln + ⋯ + ln = ln n. n −1 1 n−2 又 a1 = 2,∴ an = ln n + 2.
此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A 3 3 1 选项为 ，B选项为 ，C选项为 ，均不为1，故 2 4 3 排除A 排除A、B、C，从而选D. 从而选D
在数列{ 3.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*), 则a100等于 A.1 解析 B.B.-1 方法一 C.5 （ B ） D.D.-5 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an
题型二
由数列的递推公式求通项a 由数列的递推公式求通项an
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基础知识·自主学习
知识梳理
2．数列的函数特征
数列是一个定义域为正 整数集 N*(或它的有限子
S1 5．已知 Sn，则 an＝ Sn－Sn－1
－2，„，a2－a1＝1，将其两边分 别相加，得 an－a1＝1＋2＋3＋„ ＋(n－1)，
1＋n－1n－1 ∴an＝a1＋ ＝2＋ 2 nn－1 . 2
题型分类·深度剖析
题型二 由数列的递推关系求通项公式
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 an.
§5.1 数列的概念及简单表示法
基础知识·自主学习
知识梳理
1．数列的定义 按 一定次序
1．对数列概念的理解
排列的一列数叫作数列， (1) 数 列 是 按 一 定 “ 次
序”排列的一列数，一 个数列不仅与构成它的 “数”有关，而且还与 这些“数”的排列顺序 有关． (2)数列的项与项数：数 列的项与项数是两个不 同的概念，数列的项是 指数列中某一确定的 数，而项数是指数列的 项对应的位置的序号．
(2)根据数列的前几项写出数列 的一个通项公式是不完全归纳 法，它蕴含着“从特殊到一般” 的思想， 由不完全归纳得出的结 果是不可靠的，要注意代值检 验，对于正负符号变化，可用 (－1)n 或(－1)n＋1 来调整．
题型分类·深度剖析
变式训练 1 根据数列的 前几项，写出数列的
解 (1)各项的分母分别为 21,22,23,24，„，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为 2－3 21－3 22－3 23－3 － ，原数列可化为－ 1 ， 2 ，－ 3 ， 2 2 2 2
题型三
【例 3】
由数列的前n项和求通项公式
已知下面数
思维启迪 解析
探究提高
列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
由数列的前n项和求通项公式
已知下面数
(1)据所给数列的前几项求其通 项公式时，需仔细观察分析，抓 住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等， 并对此进行 归纳、联想．
题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
an an＋1＝an
(1) 数 列 是 按 一 定 “ 次 序”排列的一列数，一 个数列不仅与构成它的 “数”有关，而且还与 这些“数”的排列顺序 有关． (2)数列的项与项数：数 列的项与项数是两个不 同的概念，数列的项是 指数列中某一确定的 数，而项数是指数列的 项对应的位置的序号．
基础知识·自主学习
n＝1 . n≥2
集{1,2,3，„，n})的特殊 函数，数列的通项公式也 就是相应的函数解析式， 即 f(n)＝an (n∈N*)．
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考点自测
题号
1 2 3 4 5
答案
an＝2n－1 (n∈N*)
解析
n(n－1)
2n－11 3
A A
题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
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题型一 由数列的前几项求数列的通项
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【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
基础知识·自主学习
知识梳理
2．数列的函数特征
3．数列的表示法
数列是一个定义域为正整
数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 数集 N*(或它的有限子集
图像 数，数列的通项公式也就 是相应的函数解析式，即 f(n)＝an (n∈N*)．
4．数列的通项公式
已知数列的递推关系，求数列的 通项时，通常用累加、累乘、构 造法求解． 当出现 an＝an－1＋m 时， 构造等差 数列；当出现 an＝xan－1＋y 时， 构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 an ＝f(n)时，用累乘法求解． an－1
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变式训练 2 根据下列 条件，确定数列{an} 的通项公式： (1)a1＝1，an＋1＝3an ＋2； n－1 (2)a1＝1，an＝ n ·an－1 (n≥2)； (3) 已 知 数 列 {an} 满 足 an ＋ 1 ＝an ＋3n＋ 2，且 a1＝2，求 an.
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题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
偶数项为 2＋1，所以 an＝ n n 2＋－1 (－1) · .也可写为 an＝ n
(4)将数列各项改写为 ， ， ， 3 3 3 9 999 ，„，分母都是 3，而分子 3 分别是 10－1,102 －1,103 －1,104 －1，„， 1 n 所以 an＝ (10 －1)． 3
－1 ，n为正奇数， n 3 ，n为正偶数. n 9 99 999
解 (1)各项减去 1 后为正偶数， 所以 an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少 1， 而 分 母 组 成 数 列 2n－1 21,22,23,24， 所以 an＝ n . „， 2 (3)奇数项为负，偶数项为正， 故通项公式中含因子(－1)n ； 各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4， „;而各项绝对值的分 子组成的数列中,奇数项为 1, 偶数项为 3,即奇数项为 2－1,
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， an＋1＋1 ∴ ＝3， ∴数列{an＋1}为等比数列， 公比 q＝3， an＋1 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·n－1，∴an＝2·n－1－1. 3 3 n－1 (2)∵an＝ a (n≥2)， n n－1 n－2 1 ∴an－1＝ an－2，„，a2＝ a1. 2 n－1 n－1 a1 1 12 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1··· „· ＝ ＝ . 23 n n n
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【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
(1)可构造等比数列求解； (2)可使用累加法．
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题型二 由数列的递推关系求通项公式
解析 探究提高 思维启迪 【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； 解 (1)∵an＋1＝2an＋1，令 an＋1 (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 ＋a＝2(an＋a)， an. 与 an＋1＝2an＋1 比较可知 a＝1，
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1 (n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1 n3n＋1 ＝ (n≥2)． 2 1 当 n＝1 时，a1＝ ×(3×1＋1)＝2 符合公式， 2 3 2 n ∴an＝ n ＋ . 2 2
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先观察各项的特点， 然后归纳 出其通项公式， 要注意项与项 数之间的关系， 项与前后项之 间的关系．
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题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
又 a1＝1，∴a1＋a＝2.
故{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
∴an＋1＝2·n－1＝2n， 2 故 an＝2n－1.
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题型二 由数列的递推关系求通项公式
解析 探究提高 思维启迪 【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 (2)当 n 取 1,2,3，„，n－1 时， an. 可得 n－1 个等式． 即 an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n
知识梳理
1．对数列概念的理解
有界 数列 标准 分类 摆动 数列
存在正数 M， 使|an|≤M 从第二项起， 有些项大于它 的前一项，有 些项小于它的 前一项的数列
(1) 数 列 是 按 一 定 “ 次 序”排列的一列数，一 个数列不仅与构成它的 “数”有关，而且还与 这些“数”的排列顺序 有关． (2)数列的项与项数：数 列的项与项数是两个不 同的概念，数列的项是 指数列中某一确定的 数，而项数是指数列的 项对应的位置的序号．