数列的概念及简单表示法(一轮复习)

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
(2)根据数列的前几项写出数列 的一个通项公式是不完全归纳 法，它蕴含着“从特殊到一般” 的思想， 由不完全归纳得出的结 果是不可靠的，要注意代值检 验，对于正负符号变化，可用 (－1)n 或(－1)n＋1 来调整．
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变式训练 1 根据数列的 前几项，写出数列的
解 (1)各项的分母分别为 21,22,23,24，„，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为 2－3 21－3 22－3 23－3 － ，原数列可化为－ 1 ， 2 ，－ 3 ， 2 2 2 2
如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函 数关系可以用一个表示式子表示成 an＝f(n), 那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
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知识梳理
2．数列的函数特征
数列是一个定义域为正 整数集 N*(或它的有限子
S1 5．已知 Sn，则 an＝ Sn－Sn－1
§5.1 数列的概念及简单表示法
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知识梳理
1．数列的定义 按 一定次序
1．对数列概念的理解
排列的一列数叫作数列， (1) 数 列 是 按 一 定 “ 次
序”排列的一列数，一 个数列不仅与构成它的 “数”有关，而且还与 这些“数”的排列顺序 有关． (2)数列的项与项数：数 列的项与项数是两个不 同的概念，数列的项是 指数列中某一确定的 数，而项数是指数列的 项对应的位置的序号．
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 an.
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题型二 由数列的递推关系求通项公式
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 an.
an an＋1＝an
(1) 数 列 是 按 一 定 “ 次 序”排列的一列数，一 个数列不仅与构成它的 “数”有关，而且还与 这些“数”的排列顺序 有关． (2)数列的项与项数：数 列的项与项数是两个不 同的概念，数列的项是 指数列中某一确定的 数，而项数是指数列的 项对应的位置的序号．
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思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
已知数列的递推关系，求数列的 通项时，通常用累加、累乘、构 造法求解． 当出现 an＝an－1＋m 时， 构造等差 数列；当出现 an＝xan－1＋y 时， 构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 an ＝f(n)时，用累乘法求解． an－1
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变式训练 2 根据下列 条件，确定数列{an} 的通项公式： (1)a1＝1，an＋1＝3an ＋2； n－1 (2)a1＝1，an＝ n ·an－1 (n≥2)； (3) 已 知 数 列 {an} 满 足 an ＋ 1 ＝an ＋3n＋ 2，且 a1＝2，求 an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， an＋1＋1 ∴ ＝3， ∴数列{an＋1}为等比数列， 公比 q＝3， an＋1 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·n－1，∴an＝2·n－1－1. 3 3 n－1 (2)∵an＝ a (n≥2)， n n－1 n－2 1 ∴an－1＝ an－2，„，a2＝ a1. 2 n－1 n－1 a1 1 12 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1··· „· ＝ ＝ . 23 n n n
n＝1 . n≥2
集{1,2,3，„，n})的特殊 函数，数列的通项公式也 就是相应的函数解析式， 即 f(n)＝an (n∈N*)．
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考点自测
题号
1 2 3 4 5
答案
an＝2n－1 (n∈N*)
解析
n(n－1)
2n－11 3
A A
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题型一 由数列的前几项求数列的通项
先观察各项的特点， 然后归纳 出其通项公式， 要注意项与项 数之间的关系， 项与前后项之 间的关系．
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题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
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题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
数列中的每一个数叫作这个数列的 项 . 2．数列的分类
分类 原则 按项 数分 类
类型
满足条件
有穷数列 项数 有限 无穷数列 项数 无限
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知识梳理
1．对数列概念的理解
按项 与项 间的 大小 关系 分类 递减数列 常数列 递增数列 an＋1 ____an >
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ< an＋1___
其 中 n ∈ N*
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1 (n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1 n3n＋1 ＝ (n≥2)． 2 1 当 n＝1 时，a1＝ ×(3×1＋1)＝2 符合公式， 2 3 2 n ∴an＝ n ＋ . 2 2
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(1)可构造等比数列求解； (2)可使用累加法．
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题型二 由数列的递推关系求通项公式
解析 探究提高 思维启迪 【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； 解 (1)∵an＋1＝2an＋1，令 an＋1 (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 ＋a＝2(an＋a)， an. 与 an＋1＝2an＋1 比较可知 a＝1，
偶数项为 2＋1，所以 an＝ n n 2＋－1 (－1) · .也可写为 an＝ n
(4)将数列各项改写为 ， ， ， 3 3 3 9 999 ，„，分母都是 3，而分子 3 分别是 10－1,102 －1,103 －1,104 －1，„， 1 n 所以 an＝ (10 －1)． 3
－1 ，n为正奇数， n 3 ，n为正偶数. n 9 99 999
解 (1)各项减去 1 后为正偶数， 所以 an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少 1， 而 分 母 组 成 数 列 2n－1 21,22,23,24， 所以 an＝ n . „， 2 (3)奇数项为负，偶数项为正， 故通项公式中含因子(－1)n ； 各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4， „;而各项绝对值的分 子组成的数列中,奇数项为 1, 偶数项为 3,即奇数项为 2－1,
一个通项公式： 1 1 5 13 24－3 2n－3 (1) ， ，－ ， ， n 2 4 8 16 4 ，„，因此 an＝(－1) · n . 2 2 29 61 3 5 7 9 (2)将数列统一为 ，， ， ， 对于分子 3,5,7,9， „， „， － ， ，„； 2 5 10 17 32 64 是序号的 2 倍加 1， 可得分子的通项公式为 bn＝2n＋ 3 7 9 (2) ，1， ， ，„； 1，对于分母 2,5,10,17，„，联想到数列 1,4,9,16，„， 2 10 17 2 2 (3)0,1,0,1，„.
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题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
(1)据所给数列的前几项求其通 项公式时，需仔细观察分析，抓 住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等， 并对此进行 归纳、联想．
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题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 写出下面各数列的一个 通项公式： (1)3,5,7,9，„； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ， ， ， ， ， － － „； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，„.
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知识梳理
2．数列的函数特征
3．数列的表示法
数列是一个定义域为正整
数列有三种表示法，它们分别是 列表法 、 数集 N*(或它的有限子集
图像法 和 解析法 ．
{1,2,3，„，n})的特殊函 数，数列的通项公式也就 是相应的函数解析式，即 f(n)＝an (n∈N*)．
4．数列的通项公式
又 a1＝1，∴a1＋a＝2.
故{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
∴an＋1＝2·n－1＝2n， 2 故 an＝2n－1.
题型分类·深度剖析
题型二 由数列的递推关系求通项公式
解析 探究提高 思维启迪 【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 (2)当 n 取 1,2,3，„，n－1 时， an. 可得 n－1 个等式． 即 an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n
即数列{n }， 可得分母的通项公式为 cn＝n ＋1， 因此 2n＋1 可得它的一个通项公式为 an＝ 2 . n ＋1 0 n为奇数 1＋－1n (3)an ＝ 或 an ＝ 或 an ＝ 2 1 n为偶数 1＋cos nπ . 2
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题型二 由数列的递推关系求通项公式
题型三
【例 3】
由数列的前n项和求通项公式
已知下面数
思维启迪 解析
探究提高
列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
由数列的前n项和求通项公式
已知下面数
－2，„，a2－a1＝1，将其两边分 别相加，得 an－a1＝1＋2＋3＋„ ＋(n－1)，
1＋n－1n－1 ∴an＝a1＋ ＝2＋ 2 nn－1 . 2
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题型二 由数列的递推关系求通项公式
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求 an.
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1．对数列概念的理解
有界 数列 标准 分类 摆动 数列
存在正数 M， 使|an|≤M 从第二项起， 有些项大于它 的前一项，有 些项小于它的 前一项的数列
(1) 数 列 是 按 一 定 “ 次 序”排列的一列数，一 个数列不仅与构成它的 “数”有关，而且还与 这些“数”的排列顺序 有关． (2)数列的项与项数：数 列的项与项数是两个不 同的概念，数列的项是 指数列中某一确定的 数，而项数是指数列的 项对应的位置的序号．