九年级上一元二次方程课件
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2、已知x=0是关于x的一元二次 方程(a-1)x²+x+a²-1=0的一个根， 求a的值
P28 2. 7.
1.根据下列问题列方程，并将其化成一元二 次方程的一般形式：
（1）一个圆的面积是6.28m2 ，求半径（≈3.14） （2）一个直角三角形的两条直角边相差3cm， 面积是9cm2 ，求较长的直角边的长。 （3）参加聚会的每两人都握了一次手，所有人 共握手10次，有多少人参加聚会？
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式
ax2 bx c 0a 0
这种形式叫做一元二次方程的一般形
式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是 一次项，b是一次项系数；c是常数项．
一元二次方程的项和各项系数
P28 1
❖ 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数：
⑴ 3x2 1 6x
⑵ (x 2)(x 3) 8
⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
?
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1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
(1)x 2x2 5 0 (2)4x2 3 y 1 0
(3)ax2 bx c 0 (4)x( x 1) 2 0
(5)a2 1 0 a
(6)(m 2)2 1
是一元二次方程的有：(1) (4) (6)
例题2
将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一 元二次方程的一般形式，并写出二次项 系数、一次项系数及常数项。
（２）
1 x2
1 x
2
0
（3）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；
（4）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；
（5）ax2＋bx＋c＝０
第22章复习 ┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程的定义 例 1 已知方程(m＋2)xm＋2mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方
程，则 m＝________. [答案] 2
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
方程① ② ③有什么特点？
x2＋2x－4=0 ① x2－75x+350=0 ②
x2 x 56 ③
（m 1)x m 1 mx m2 1 0
是一元二次方程，求m的值。
❖ 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x 的最高次数∣m∣+1＝2，
❖ 解之得，m=1或m=－1， ❖ 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， ❖ 所以m=1。
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
练习：
1、已知x=1是关于x的一元二次 方程2x²+kx-1=0的一个根，求k 的值
解：去括号，得
3x2+3x-2x-2=8x-3
移项，合并同类项得
3x2-7x+1=0
例题3 例题讲解
❖ 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条 件下此方程为一元二次方程？在什么条 件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
1、判断下列方程，哪些是一元二次方程 （） （1）x3－２ｘ2＋５＝０；
x
BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B
x2 2(2 x)
整理得 x2 2x 4 0
?
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cm .
x
根据方盒的底面积为3600cm2,
得 (100 2x)(50 2x) 3600
即
x2 75x 350 0
3600
100㎝
50㎝
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛?
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
?
问题(1)要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少
米?
A
分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC 2-x
应有如下关系:
C
AC BC 即 BC2 2AC
二次项 系数
一次项 系数
a≠0 ax2+bx+c=0
二次项 一次项
常数项
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－1x=5
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－11= －5x
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
例题1
下列方程中哪些是一元二次方程？
数学·新课标（RJ）
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
❖ 什么叫方程的根？
❖ 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。
❖ 解：把x＝2代入原方程得： ❖ (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 ❖ 解这个方程得：m＝6
3、已知关于x的方程
（１）这些方程的两边都是整式 （２）方程中只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
2、一元二次方程的一般形式
方程的本质 1、下列式子哪些是方程？ 特征是什么？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ ❖ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
P28 2. 7.
1.根据下列问题列方程，并将其化成一元二 次方程的一般形式：
（1）一个圆的面积是6.28m2 ，求半径（≈3.14） （2）一个直角三角形的两条直角边相差3cm， 面积是9cm2 ，求较长的直角边的长。 （3）参加聚会的每两人都握了一次手，所有人 共握手10次，有多少人参加聚会？
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式
ax2 bx c 0a 0
这种形式叫做一元二次方程的一般形
式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是 一次项，b是一次项系数；c是常数项．
一元二次方程的项和各项系数
P28 1
❖ 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数：
⑴ 3x2 1 6x
⑵ (x 2)(x 3) 8
⑶ (2 3 x)(2 3 x) (x 3)2
?
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1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。
(1)x 2x2 5 0 (2)4x2 3 y 1 0
(3)ax2 bx c 0 (4)x( x 1) 2 0
(5)a2 1 0 a
(6)(m 2)2 1
是一元二次方程的有：(1) (4) (6)
例题2
将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一 元二次方程的一般形式，并写出二次项 系数、一次项系数及常数项。
（２）
1 x2
1 x
2
0
（3）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；
（4）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；
（5）ax2＋bx＋c＝０
第22章复习 ┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程的定义 例 1 已知方程(m＋2)xm＋2mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方
程，则 m＝________. [答案] 2
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56
方程① ② ③有什么特点？
x2＋2x－4=0 ① x2－75x+350=0 ②
x2 x 56 ③
（m 1)x m 1 mx m2 1 0
是一元二次方程，求m的值。
❖ 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x 的最高次数∣m∣+1＝2，
❖ 解之得，m=1或m=－1， ❖ 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， ❖ 所以m=1。
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
练习：
1、已知x=1是关于x的一元二次 方程2x²+kx-1=0的一个根，求k 的值
解：去括号，得
3x2+3x-2x-2=8x-3
移项，合并同类项得
3x2-7x+1=0
例题3 例题讲解
❖ 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条 件下此方程为一元二次方程？在什么条 件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
1、判断下列方程，哪些是一元二次方程 （） （1）x3－２ｘ2＋５＝０；
x
BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B
x2 2(2 x)
整理得 x2 2x 4 0
?
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cm .
x
根据方盒的底面积为3600cm2,
得 (100 2x)(50 2x) 3600
即
x2 75x 350 0
3600
100㎝
50㎝
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛?
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
?
问题(1)要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少
米?
A
分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC 2-x
应有如下关系:
C
AC BC 即 BC2 2AC
二次项 系数
一次项 系数
a≠0 ax2+bx+c=0
二次项 一次项
常数项
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2－1x=5
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－11= －5x
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
例题1
下列方程中哪些是一元二次方程？
数学·新课标（RJ）
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
❖ 什么叫方程的根？
❖ 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。
❖ 解：把x＝2代入原方程得： ❖ (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 ❖ 解这个方程得：m＝6
3、已知关于x的方程
（１）这些方程的两边都是整式 （２）方程中只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
2、一元二次方程的一般形式
方程的本质 1、下列式子哪些是方程？ 特征是什么？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ ❖ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？