多元函数微分学复习题及标准答案

合集下载

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

《多元函数微分学》练习题参考答案

解：在 L 上任取一点 P ( x, y ),
f (x , y ) = 0
考虑 d = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 在条件 f ( x, y ) = 0 下的极值问题作 F = ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) + λ f ( x , y ) ，则
' ⎧ ⎪ F x = 2(x − x 0 ) + λ f 'x ( x , y ) = 0 ， ⎨ ' ⎪ ⎩F y = 2( y − y 0 ) + λ f 'y (x , y ) = 0 2 2 2 2 2
P87-练习 4 设 z = f ( xy,
x y ) + g ( ) ，其中 f 有二阶连续偏导数， g 有二阶导数，求 y x
∂2z ．（2000） ∂x∂y
解: 根据复合函数求偏导公式
∂z 1 y = f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ (− 2 ) , ∂x y x
24
∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ ⎛ 1 y ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ ( − 2 ) ⎟ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ y x ⎠ x 1 1 x y 1 = f1′ + y[ f11′′ x + f12′′ ⋅ (− 2 )] − 2 f 2′ + [ f 21′′ x + f 22′′ ⋅ (− 2 )] − g ′′ ⋅ 3 − g ′ ⋅ 2 y y y y x x 1 x y 1 = f1′ + xyf11′′ − 2 f 2′ − 3 f 22′′ − 3 g ′′ − 2 g ′ y y x x

多元函数微分学练习题及答案

三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ，也是所求函数的最大值点，所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微

（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

1第八章多元函数微分法及其应用(A)1．填空题．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z ∂∂∂2，则在D 上，上， x y zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的处连续的条件。

条件。

2．求下列函数的定义域．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx zu +=3．求下列各极限．求下列各极限(1)x xyy x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23yx z ∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数．求下列函数的偏导数(1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，te u =，t v ln =，求全导数dt dz。

7．设()z y e u x-=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu 。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y yx z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

的偏导数。

10．设y x ye z x2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y zz x ln =确定的隐函数，求x z∂∂，yz ∂∂。

高等数学第九章多元函数微分学试题及答案

第九章多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ，此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

多元函数微分学复习题及答案

多元函数微分学复习题及答案一、选择题1. 极限lim x y x y x y →→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或122、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=?1100，则极限lim (,)x y f x y →→00= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=?222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续(D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则??u x= （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22vu uv +- 8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-?? ???处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限lim sin()x y xy x →→0π= .答：π2、极限lim ln()x y x y e x y→→++01222= .答：ln 23、函数z x y =+ln()的定义域为 .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 .答：-≤≤11x ，y ≠05、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++?? ? 22，则f kx ky (,)=.答：k f x y 2?(,)6、设函数f x y xyx y(,)=+，则f x y x y (,)+-=.答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-?+<+≥??11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A=.答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= .答：19、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x yyx (,)cos =-122的间断点为 .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=?? ???，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则??22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye x y - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则zy= _______ .答：2112xyz xy-- 19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2）27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图图图图图2、求极限lim sin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=?++→→limsin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x y xy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0 232211=-++?→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy →→-+0416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 0416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,.解：u y y x x =-sin sin u x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y +++=0，则??z x z y y x =-++同理可得：??z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy yz F F x z x y y x ++-=-=++-=-=, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =?+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：u x a a ax x yz =-+-ln 1，??u y a z a x yz =?+ln ，??u zya a x yz =+lnd (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a . 则水池造价()S xy xz yz a =++44 且xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 =-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ?，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'?=-+=?'=-++=??'=+-=?，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>?=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题 1、设)11(yx e z +-= 求证zyz y x z x 222=??+??证明：因为2)11(1x e x z y x ?=??+- 2)11(1ye y z y x ?=??+- 所以z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=??+??+-+-2、证明函数nx e y t kn sin 2-=满足关系式22x y k ty ??=??证明：因为nx e kn kn nx e ty t kn tkn sin )(sin 2222?-=-??=??--nxne x yt kn cos 2-=?? nx e n xyt kn sin 2222--=??nx e kn xy k t kn sin 2222--=??所以22xy k t y ??=??3、设z xy xF (u ) 而xyu =F (u )为可导函数证明xyz yz y x z x +=??+证明：y z y x z x +])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ??'+?+??'++=)]([)]()([u F x y u F x y u F y x '+?+'-+=xy xF (u )xy z xy。

多元函数微分学复习习题及答案

欢迎阅读第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1.极限=（ B ）lim x y x yx y →→+00242(A)等于0；(B)不存在； (C)等于；(D)存在且不等于0或121223 0x y →→4、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）z f x y =(,)(,)x y 00(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件5、设，则= （ B ）u y x =arctan∂∂ux(A)； (B) ； (C)；(D)x x y 22+-+yx y 22yx y 22+-+x x y 226、设，则（ A ）f x y yx(,)arcsin=f x '(,)21=（A ）；（B ）；（C ）；（D ）-1414-12127、若，则（　C ）)ln(y x z -==∂∂+∂∂yz y x z x 8、设9、若1011（（12f （A ）点是函数的极大值点；（B ）点是函数的极小值点；P 0z P 0z （C ）点非函数的极值点；（D ）条件不够，无法判定。

P 0z 二、填空题1、极限= ??????? 。

答：limsin()x y xy x→→0ππ2、极限=??????? 。

答：limln()x y x y e x y→→++01222ln 23、函数的定义域为 ??????? 。

答：z x y =+ln()x y +≥14、函数的定义域为 ??????? 。

答：，z xy=arcsin -≤≤11x y ≠05、设函数，则= ??????? 。

答：f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22f kx ky (,)k f x y 2⋅(,)678，x xy =ln 91解：(1)要使函数有意义，必须有，即有.z =2210x y --≥221x y +≤故所求函数的定义域为,图形为图3.122{(,)|1}D x y x y =+≤(2)要使函数有意义，必须有.故所有函数的定义域为，ln()z x y =+0x y +>{}(,)|0D x y x y =+>图形为图3.2(3)要使函数有意义，必须有，即且.1ln()z x y =+ln()0x y +≠0x y +>1x y +≠欢迎阅读故该函数的定义域为，图形为图3.3{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，(4)要使函数有意义，必须有.故该函数的定义域为，ln(1)z xy =-10xy ->{(,)|1}D x y xy =>图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42解：x y 34、设解：z 1单y 解：L 利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=，)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x 令，解得唯一驻点（120，80）.⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx又因，得06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A .0105.332>⨯=--B ACe n d欢迎阅读得极大值. 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与320)80,120(=L 80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题1、设? 求证? )11(y x e z +-=z yz y x z x 222=∂∂+∂∂2? 3?? ? ? x y F y x -=∂∂y z F z -=∂∂zx F x z -=∂∂所以 ?1)()((-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂∂∂zx y z x y F F F F F F x z z yy x。

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

多元函数微分学习题及详细解答

C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z(x, y)
D. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)
3.证明：函数 f (x, y) xy 在点 O(0, 0) 处可微。
证明：由定义，
f
x
(0,
0)
lim
x0
（f x, 0) x
f
(0, 0)
0
4.设
z
xy＋f
(u),
，u
y x
，f
(u)
为可微函数，求:
x
z x
y
z y
解： z x
y
xf
(u)
y x2
f (u)
f (u)
y
y x
f (u)
z x xf (u) 1 x f (u).
y
x
故
x
z x
y z y
x
f
(u)
y
f
(u) x
y
yx
f (u)
xf (u) xy yf (u) xy yf (u)
（3）如果函数 f (x, y) 在点 0, 0 处连续，那么下列命题正确的是（ B ）
A.若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在点 0,0 处可微
x0 x y
y0
B.
若极限 lim x0
f (x, y) 存在，则 x2 y2
f (x, y) 在点 0, 0 处可微
y0
2 ，求
f
xx
(0,0,1),f
yz
(0,
1,0),f
zzx
(2,0,1)

《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案

第2章多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。

(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。

(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。

(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。

2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。

第八章(理工)多元函数的微分学

。
4、过曲面 z − e + 2 xy = 3 上点 (1, 2, 0) 处的切平面方程为解析：切点的方向向量为 n = (2 y , 2 x,1 − e ) ⇒ n
z
G
G
(1,2,0)
= (4, 2, 0) = (2,1, 0) ，则有点向式 2( x −1) + ( y − 2) = 0
⇒ 2x + y − 4 = 0
∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w 2 = − − − − = − − − ∂x 2 ∂u 2 ∂x ∂u∂v ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w 2 = − − + + = − + + − = − + − ∂y 2 ∂u 2 ∂y ∂u∂v ∂y ∂u∂v ∂y ∂v 2 ∂y ∂u 2 ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 ∂u 2 ∂u∂v ∂v 2 ∂2 z ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂ 2 w ∂u ∂ 2 w ∂v ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w = 1− 2 − + + = 1− 2 − + + = 1− 2 + 2 ∂x∂y ∂u ∂x ∂u∂v ∂x ∂u∂v ∂x ∂v 2 ∂x ∂u ∂u∂v ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v ∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w ∂2w +2 + = − 2 −2 − + 2(1 − 2 + 2 ） − 2 +2 − ＝− 4 2 + 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u ∂v ∂u ∂u∂v ∂v 2 ∂u

高数第八章多元函数复习题答案

第八章多元函数微分学复习题答案一、单项选择题：1、以下各式中不正确的有（A ）A 、01lim 2222=+++∞→∞→y x y x y xB 、1lim 2210=+→→y x yy x C 、2ln )ln(lim2201=++→→y x e x y y x D 、不存在2200limy x xyy x +→→2、设y ez xcos sin = ，则=∂∂∂），（202πx y z( B )A 、0B 、1－C 、1D 、e3、设函数221ln y x z ++= ，则它在点)1,1(处的全微分=dz ( A )A 、)(31dy dx + B 、dy dx + C 、)(3dy dx + D 、)(2dy dx +4、(,)f x y 在点00(,)x y 处具有连续偏导数是(,)f x y 在点00(,)x y 处可微的（ B ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件5、函数xyxe z =，则=∂∂xz （ D ） A.xy xye B.xye x 2C.xye D.()xye xy +16、函数xy z =在（0，0）处（ D ）A.()0,0不是驻点B.有极小值C. 有极大值D. 无极值..;..;.;.) B (,],[,],[.7无关条件充要条件充分条件必要条件是函数在该点可微的连续在点的偏导数函数D C B A ；y x yzx z y x f z ∂∂∂∂=二、填空题：1、22(,)(2,0)sin lim x y xy y→= 2 ； 2、设2x xyz y e =+，则(1,2)z y∂=∂ 21e + ；3、函数)1ln(912222-++--=y x yx z 的定义域是}91|),{(22<+<y x y x ；4、函数22y x z =在点)1,2(-处当01.0,02.0-=∆=∆y x 时的全微分，=dz 0.16 5、函数2221ln 4yx y x z ---=的连续区域为}4,0,0,1|),{(222yx y x y x y x ≥≠≠<+ ；6、设()y x z z ,=是由方程yzx ln=确定的隐函数，则=∂∂x z z； 7、函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处不连续；（填写“连续”或“不连续”）8、若函数),(y x f z =可微，,2x y =则函数),(2x x f z =的全导数=dxdz''2y x xff +9、函数z =1，1）处的全微分dz =)(31dy dx +10、设)1ln(y xz +=，则=)1,1(dz )(21dy dx - ；11、211lim 0y x x y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 1 ；;.12————————————条件充分条件而不是必要微分存在的各偏导数的存在只是全三、计算题：1、设,24,3,22y x v y x u u z v +=+==求yz x z ∂∂∂∂,。

专升本高等数学(二)-多元函数微分学

专升本高等数学(二)-多元函数微分学(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：10，分数：20.00)1.∙ A.{(x，y)｜x2+y2≤4}∙ B.{(x，y)｜x2+y2≤4且x≠0}∙ C.{(x，y)｜0＜x2+y2≤4}∙ D.{(x，y)｜x2+y2≤4且y≠0}（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 解不等式组[*]得0＜x2+y2≤4．2.函数z=ln(x2+y2______∙ A.{(x，y)｜ 0＜x2+y2≤2}∙ B.{(x，y)｜0≤x2+y2≤2)∙ C.{(x，y)｜ 0＜x2+y2＜2}∙ D.{(x，y)｜0≤x2+y2＜2}（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 解不等式组[*]得0＜x2+y2≤2.3.设f(x，y)=，则=______ A． B． C． D（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] [*]4.设f(x-y, lnx)=，则f(x，y)=A． B． C D．xe x（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] [*] 作变量代换，令[*]解得[*]代入给定函数表达式，则有[*]，即[*]．5.二元函数z=(1+3x)2y______∙ A.2y(1+3x)2y-1∙ B.6y(1+3x)2y-1∙ C.(1+3x)2y ln(1+3x)∙ D.6y(1+3x)2y（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] [*]=2y(1+3x)2y-1·3=6y(1+3x)2y-1．6.已知f(xy,x-y)=x2+y2______∙ A.2+2y∙ B.2-2y∙ C.2x+2y∙ D.2x-2y（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 作变量代换，令u=xy，v=x-y，由于f(xy，x-y)=x2+y2=(x-y)2+2xy，即f(u，v)=2u+v2，所以[*][*]．7.设z=(lny)xy______∙ A.xy(lny)xy-1∙ B.(lny)xy lnlny∙ C.y(lny)xy lnlny∙ D.x(Iny)xy lnlny（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] [*]=(lny)xy ln(lny)·y=y(lny)xy lnlny．8.z=3xy______∙ A.y·3xy∙ B.3xy ln3∙ C.xy3xy-1∙ D.y·3xy ln3（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]．9.设z=sin(xy2)______∙ A.xycos(xy2)∙ B.-xycos(xy2)∙ C.-y2cos(xy2)∙ D.y2cos(xy2)（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]．10.设，则等于______ A． B． C． D （分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*].二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：10，分数：20.00)11. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1＜x2+y2≤2）解析：解不等式组[*]得1＜x2+y2≤2.12.______.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：y≥x, x2+y2＜1且x2+y2≠0）解析：解不等式组[*]得[*]即y≥x, x2+y2＜1且x2+y2≠013.设f(x，y)=，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]14.f(x，y)= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2y）解析：因为[*]，所以f(x，y)=x2y．15.设z=e x2y．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2xye x2y）解析：[*]=e x2y·[*]=2xye x2y.16.设z=ln(xy+lny)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]17.设，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[*]18.设，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]19.设，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-e）解析：[*]20.设z=cos(x2+y2)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-2xsin(x2+y2)）解析：[*]三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：5，分数：60.00)求下列函数的偏导数．（分数：12.00）(1).设z=，求， 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设，求， 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设z=tan(xy2+x3y)，求， 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]=sec2(xy2+x3y)·(y2+3x2y)，[*]=sec2(xy2+x3y)·(2xy+x3).)解析：(4).设，求， 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求全微分．（分数：12.00）(1).设z=e x2+y2，求dz．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]=e x2+y2·2x, [*]=e x2+y2·2y.dz=[*]=2xe x2+y2dx+2ye x2+y2dy=2e x2+y2(xdx+ydy).)解析：(2).设z=arctan(xy)，求dz．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设z=e y(x2+y2)，求dz．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(z=e y(x2+y2)=e x2y+y3,[*]=e x2y+y3·(2xy), [*]=e x2y+y3·(x2+3y2).[*]=e y(x2+y2)[2xydx+(x2+3y2)dy].)解析：(4).设z=xe-xy+sin(xy)，求dz．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]=e-xy-xye-xy+ycos(xy), [*]=-x2e-xy+xcos(xy),[*]=[(1-xy)e-xy+ycos(xy)]dx+[-x2e-xy+xcos(xy)]dy.)解析：求由方程所确定的隐函数的偏导数或全微分．（分数：9.00）(1).设z=f(x，y)是由方程xz=y+e z（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解法Ⅰ(公式法)令F(x，y，z)=xz-y-e z，则[*]解法Ⅱ等式两边分别对x求偏导数，得[*]，经整理，得[*])解析：(2).设z=f(x，y)是由方程e-xy-2z+e z=0所确定的隐函数，求dz．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解法Ⅰ(公式法)令F(x，y，z)=e-xy-2z+e z，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，Y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*]解法Ⅱ(直接微分法)方程两边同时求微分，有e-xy(-ydx-xdy)-2dz+e z dz=0,经整理，得[*])解析：(3).设z=(x，y)是由方程x2+z2=2ye z所确定的隐函数，求dz．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解法Ⅰ(公式法)令F(x，y，z)=x2+z2-2ye z,[*][*]解法Ⅱ(直接微分法)方程两边同时求微分，有2xdx+2zdz=2e z dy+2ye z dz，经整理，得[*])解析：求二阶偏导数．（分数：12.00）(1).设z=x lny, 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设z=sin(x2-y2) 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]=2xcos(x2-y2),[*]=2cos(x2-y2)-4x2sin(x2-y2).)解析：(3).设z=2cos2，求 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] [*]=-cos(2x-y).)解析：(4).设z=ln(x-y2) 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求下列二元函数的极值．（分数：15.00）(1).求函数f(x，y)=x2-6x+y2的极值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解方程组[*] 得驻点(3，0)，计算[*]B2-AC=-4＜0，A=2＞0，所以f(3，0)=-9为极小值．)解析：(2).求函数f(x，y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 得驻点(1，0)，(1，2)，(-3，0)，(-3，2)，故f"xx(x，y)=6x+6，f"xy(x，y)=0，f"yy(x，y)=-6y+6，对于驻点(1，0)，A=f"xx(1，0)=12，B=f"xy(1，0)=0，C=f"yy(1，0)=6．B2-AC=02-12×6=-72＜0，所以驻点(1，0)是极小值点，极小值f(1，0)=-5．对于驻点(1，2)，A=f"xx(1，2)=12，B=f"xy(1，2)=0，C=f"yy(1，2)=-6，B2-AC=02-12×(-6)=72＞0，所以驻点(1，2)不是极值点．对于驻点(-3，0)，A=f"xx(-3，0)=-12，B=f"xy(-3，0)=0，C=f"yy(-3，0)=6，B2-AC=02-(-12)×6=72＞0，所以驻点(-3，0)不是极值点．对于驻点(-3，2)，A=f"xx(-3，2)=-12，B=f"xy(-3，2)=0，C=f"yy(-3，2)=-6，B2-AC=02-(-12)×(-6)=-72＜0，所以驻点(-3，2)是极大值点．极大值f(-3，2)=31．)解析：(3).求函数f(x，y)=xy在约束条件x+y=1的极值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-1)，求出F的所有一阶偏导数并令其等于零，得联立方程组 [*] 所以极值点为[*]，函数的极值为[*]．)解析：(4).从斜边长为a的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设直角三角形的两条直角边的长分为x，y，则求周长函数为S=x+y+a在满足约束条件x2+y2=a2下的最大值点．F(x，y，λ)=(x+y+a)+λ(x2+y2-a2)，[*]解得[*]，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有所求，即当直角三角形为等腰直角三角形，即两直角边的边长各为[*]时，周长最大，且最大周长为[*])解析：(5). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设长、宽、高分为x，y，z，长方体的体积为V=xyz，对角线的长应满足关系式d2=x2+y2+z2，本题为求体积函数V=xyz在约束条件d2=x2+y2+z2下的极大值．作拉格朗F{函数F(x，y，λ)=xyz+λ(x2+y2+z2-d2)，[*]解得[*]，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有最大值，即当长、宽、高各为2时，体积最大，且最大体积V=8．)解析：。

第八章多元函数微积分

第八章多元函数微积分试题三一、填空题(2⨯10=20分)1. 母线平行于Y 轴，且通过曲线⎩⎨⎧2x 2+y 2+z 2=16x 2-y 2+z 2=0的柱面方程是。

[解析]：方程不含y 时，表示母线平行于Y 轴的柱面。

消去y 2得到3x 2+2z 2=16，为所求的柱面方程2. 设(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)=(x 2-y 2)-sin2xyx 2+y 2, 则 f(x+y,x-y)= 。

[解析]：f(x+y,x-y)= ((x+y)2-(x-y)2)-sin 2(x+y)(x-y) (x+y)2+(x-y)2 = 4xy-sin 2(x 2-y 2)(x 2+y 2)3. 设f(x,y)= ⎩⎪⎨⎪⎧xy x 2+y 2 当x 2+y 2≠00 当x 2+y 2=0，则 f x '(0,0)= 。

[解析]： f 'x (x 0,y 0)= lim ∆x →0f(∆x+x 0,y 0)-f(x 0,y 0)∆x , f x '(0,0)= lim ∆x →0f(∆x,0)-f(0,0)∆x = lim ∆x →00-0∆x =0 4. 设z=f[x,g(x,y)], y=φ(x)，f, g, φ 均为可微函数，则dzdx= 。

[解析]：根据复合函数求导数规则，dzdx = f '1 +f '2 (g 'x +g 'y •φ')5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则∂z ∂x •∂x ∂y •∂y∂z= 。

[解析]：根据隐函数求导数规则，∂z ∂x •∂x ∂y •∂y ∂z = (- F 'x F 'z )•(- F 'y F 'x )•(- F 'zF 'y ) = -16. 设z=f (arctan y x )，f 为可微函数，且f '(x)=x 2, 则 ∂z∂x |(1,1) = 。

多元微分学复习题答案.doc

―z =击5?的定义域是（{(x, y)| / < 4x,0 < X2 + / <1}).函数g =润+)，. 2]OXA 5.函数z = -x/y2在点（2 , 1 ）处对x的偏导数为（；OX_ 17 (2J))广=-1(2,1))•成）.（1,2）4dz = 48c/x+i08dy（A）］血,（*。

+&'，。

+匀）-/（*。

'“。

）A O （B）Hm/（*。

+&40+颂）一/（*。

"。

）Ax（C）/（—+&，，.）-六*.，））Ax （D）hm/（毛）'月 + 颂）一，（％丸）Ax多元微分学复习题答案一、填空题7 = In X——的定义域是({3y)|x>0,0 V]2 +,2 < [}) yji-x2 - y22.设二元函数/。

,了）=旦】，则f（x-y,x+y）=（-21—）.x y JT _）广2 23.设函数/(x+j) = xj,则f(x,y)=(* 一)').44.设函数z = e'+，，则翌=（；=2/+、（1 + 2/））.dx志~6.函数z = 2xy2-x/y2在点（1 , 2）处对），的偏导数为X= (4xy + 2~)(i,2) y7.二元函数z=x2y3在点（3, 2）处的全微分是（8.函数z = %2+5y2 -6x + 10y+ 6 的驻点是(三、选择题:I.以下极限中，（c ）表示阳2.以下结论中正确的是（C ）（A）f（x,y）在点（％了。

）处一阶偏导数存在，则f（x,y）在点（乩,光）连续;（B）f（x,y）在点（％坊）处一阶偏导数存在，则f（X,y）在点（工0，光）可微;（C ）f（x,y）在点（Do）时微，则f（X, y）在点（x0o T0）处一阶偏导数存在;(A)若|（S =。

，的（》0，光）=0(A)点（0 , 0 ）是该函数的一个驻点;sin-2/-2r(2sin4r-6r)（D ） f （x ,y ）在点（m ）连续，则f （x,y ）在点（X 。

多元函数微分学练习题及答案

六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy

ln x y
xln y
2、u x f 1 y 2 . f ( y x zx ) y f 3 ,z u yx2 f(x z xy y )f3 z
.
3、fx(x,y)(x22xyy32)2,x2
练习题一. 填空:
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx fy 0
则在D上，f（ x,y）（）
2 、二元函数 z ln 4 arcsin 1 的定义域是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8

高等数学题库第08章(多元函数微分学).

- 1 -第八章多元函数微积分习题一一、填空题1. 设f(x,y)=x-3y. ，则f(2,-1)=_______,f(-1,2)=________x2+y2_______. 2. 已知f(x,y)=2x2+y2+1，则f(x,2x)=__________二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.z=3. z=y-x 2. z=-x+-y 4-x2-y24. z=log2xy习题二一、是非题1. 设z=x+lny，则2∂z1=2x+ （）∂xy2. 若函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存在，则该函数在P点处一定连续（）3. 函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0) （）xy⎧,x2+y2≠0⎪4. 函数f(x,y)=⎨x2+y2在点(0,0)处有fx(0,0)=0及⎪0,x2+y2=0⎩fy(0,0)=0 （）5. 函数z=x2+y2在点(0,0)处连续，但该函数在点(0,0)处的两个偏导数zx(0,0),zy(0,0)均不存在。

（）二、填空题- 2 -1. 设z=lnx∂z∂z，则=___________;∂x∂yy2x=2y=1=___________;2. 设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数fx(a,b)和fy(a,b)均存在，则limh→0f(a+h,b)-f(a,b-2h)=_________.h2xy+sin(xy);x2+ey三、求下列函数的偏导数：1. z=x3y-y3x+1;2. z=3. z=(1+xy)y;4. z=lntanx; y5. u=xy2+yz2+zx2∂2z∂2z∂2z四、求下列函数的2,和：∂x∂y2∂x∂y3241. z=x+3xy+y+2;2. z=xy五、计算下列各题1. 设f(x,y)=e-sinx(x+2y),求fx(0,1),fy(0,1);∂2z2. 设f(x,y)=xln(x+y)，求2∂x六、设z=ln(x+y)，证明：x1313∂2z,2x=1∂yy=2∂2z,x=1∂x∂yy=2.x=1y=2∂z∂z1+y=. ∂x∂y3习题三一、填空题2xy_____. 1．z=xy+e在点(x,y)处的dz=__________ 2．z=xx+y_____. 在点(0,1)处的dz=__________- 3 -3．设z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量为∆z，全微分为dz，则f(x,y)在点(x0,y0) 处的全增量与全微分的关系式是__________________.二、选择题1．在点P处函数f(x,y)的全微分df存在的充分条件为（）A、f的全部二阶偏导数均存在B、f连续C、f的全部一阶偏导数均连续D、f连续且fx,fy均存在2．使得df=∆f的函数f为（）A、ax+by+c(a,b,c为常数)B、sin(xy)C、e+eD、x2+y22三、设z=xy，当∆x=0.1,∆y=0.2时，在(1,2)点处，求∆z和dz。

多元函数微分学复习题及标准答案

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

《多元函数微分学》练习题参考答案

多元函数微分学练习题及答案

（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案

高等数学第九章多元函数微分学试题及答案

多元函数微分学复习题及答案

多元函数微分学复习习题及答案

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

多元函数微分学习题及详细解答

《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案

第八章(理工)多元函数的微分学

高数第八章 多元函数 复习题答案

专升本高等数学(二)-多元函数微分学

第八章多元函数微积分

多元微分学复习题答案.doc

多元函数微分学练习题及答案

高等数学题库第08章(多元函数微分学).

高数第八章多元函数复习题答案