截面惯性矩(材料力学)
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
截面惯性矩的计算
h 2
（B）（b）>（a）>（c） （D）（b）<（a）<（c）
b
y
y
h h
b
y
h
2h
h 2
x
h 2
x
h
2b
（a）
2b
（b）
2b
（c）
12
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
解题思路：
h 2
b
y
b
y
h h
b
y
h
2h
x
h 2
x
h 2
x
h
2b
（a）
2b
（b）
2b
（c）
（1）该截面相对于x轴的惯性矩可用组合法计算。 （2）计算图中小矩形相对于x轴的惯性矩需要用平行移轴公式。
C
a
S yC yc dA Ayc 0
A
aA
2
O
7
x
I x I xc a A
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
y
yc
同理可得：
I x I xc a A
2
xc dA
b
yc
C
a
I y I yc b2 A
x
c
I xy I xcyc abA
x
O
以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要注 意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公 式时要特别注意。
8
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例：计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x，y的惯 性矩，惯性积。
y xc
h b
x
《材料力学 第2版》_顾晓勤第05章第3节 惯性矩的平行移轴公式
13500)mm4
2.04104 m4
I y0
2
I i1 iy0
30 3003 12
270 503 12
mm4
7.03105 m4
0 13500 150 9000 13500
mm
90mm
i 1
（2）计算 T 形截面对于 x0 轴和 y0 轴的惯性矩
查表 5-1，得到矩形Ⅰ、Ⅱ对y0 轴的惯性矩：
I1 y0
30 300 3 12
mm 4
I2 y0
270 503 12
mm4
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
已知任意形状的截面如 图所示，C 为此截面的形心，
xC 、yC 为一对通过形心的坐
标轴。则定义图形对于形心
轴 xC 和 yC 的惯性矩为
I xC A yC2 dA I yC A xC2 dA
若 x 轴 // xC 轴，且相距为a；若 y 轴// yC 轴，且相距为b
第五章 截面的几何性质
（1）在C1xy 坐标系计算整个截面的形心坐标 xC 和 yC
矩形Ⅰ：A1 300 30 9000 mm 2 , xC1 0, yC1 0
矩形Ⅱ：A2 50 270 13500 mm 2, xC2 0, yC2 150
2
xC 0,
yC
i1 Ai yCi
2
Ai
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
例 5-5 T 形截面几何尺寸如图所示，现取质心坐
标系 Cx0 y0 ，其中 x0轴沿水平方向，y0 轴沿垂直方向。 试计算 T 形截面对于 x0轴和 y0轴的惯性矩。
材料力学 截面的几何性质
1、矩形截面 h
Iz
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
dy y
b y 3 2 1 bh3 3 h 12
2
同理
Iy
z2dA 1
A
12
hb3
b h z
y
26
2、实心圆截面
y
已知
IP
A2dA
D 4 32
D
z
则 I P A2 d A A y 2 d A A z 2 d I A z I y
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z
y
o
A dA
z
y
惯性积
定义
Iyz
yzdA
A
z y
A dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
4.3 形心主惯性轴和形心主惯性矩
若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal axis)。
图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以，图形 的对称轴就是形心主惯性轴。
形心主惯性轴的特点可归纳为以下几点： ⑴形心主惯性轴是通过形心，由角定向的一对互 相垂直的坐标轴。
32
32
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
IyIz1 2Ip6 D4414
由于y轴为对称轴，故
Iyz 0
z
y
d D
材料力学截面特性汇总
材料力学截面特性汇总一、引言材料力学截面特性是材料在应力作用下的力学性能表现。
在工程设计和结构分析中，了解材料力学截面特性对于确保结构的稳定性和安全性至关重要。
本文将对常见材料的力学截面特性进行汇总和总结，以供工程师和设计师参考和应用。
二、材料力学截面特性的概念材料力学截面特性是指材料在截面上的力学性能。
根据截面特性的研究对象的不同，可以分为以下几个方面：1. 截面形状特性截面形状特性是指截面的几何形状对其力学性能的影响。
截面形状特性包括截面面积、截面惯性矩、截面备战半径等。
例如，在梁的设计中，截面形状特性可以用来计算梁的承载能力和抗弯刚度。
2. 材料特性材料特性是指材料的物理和力学性质对其截面性能的影响。
材料特性包括杨氏模量、泊松比、屈服强度等。
在结构设计过程中，需要结合材料特性来计算结构的应变和应力分布。
3. 比例限制特性比例限制特性是指截面受应力作用时，截面形变受限的程度。
比例限制特性包括平面内应变、截面扭转等。
在设计中，比例限制特性能够预测结构在加载过程中的变形情况，从而优化结构设计。
三、常见材料的力学截面特性1. 钢材钢材是一种广泛应用于工程和建筑领域的材料，具有良好的力学性能和强度。
常见的钢材力学截面特性包括：•弹性模量：钢材的弹性模量通常较高，能够承受较大的应力而不发生塑性变形。
•屈服强度：钢材的屈服强度表示了钢材能够承受的最大应力，超过屈服强度后，钢材会发生塑性变形。
•剪切模量：剪切模量描述了钢材在剪切应力作用下的变形程度。
•截面惯性矩：截面惯性矩用于计算梁的扭转刚度和截面的抗扭能力。
2. 混凝土混凝土是一种常用于建筑结构的材料，具有较高的抗压强度和耐久性。
混凝土的力学截面特性包括：•压力区形状特性：混凝土在受压作用下会出现压力区，该区域的形状对混凝土的抗压承载能力有影响。
•弯曲形变特性：混凝土在受弯曲作用下会产生变形，在设计过程中需要考虑混凝土的弯曲刚度和变形限制。
•截面抗剪特性：混凝土的截面抗剪特性影响着结构的抗剪能力，在设计中需要选择适当的截面形状和钢筋布置来增强抗剪能力。
截面惯性矩(材料力学)
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
图示结构，试求杆件AB、CB的
应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直
径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。
B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 x Fy 0
b2h23 12
20Байду номын сангаас
20
100
3
12
16.67 105
3）求对整个截面形心ZC轴的惯性矩 IzC (Iz1 a12 A1) (Iz2 a22 A2 ) 66.67103 302 200016.67105 302 2000 53.34105 mm4
F
F 作用线也与杆件的轴线重
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
轴力和轴力图
例题3-1
A
F1 F1 F1
FN kN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
杆件的基本变形： 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
拉压变形
剪切变形
扭转变形
弯曲变形
二、杆件的轴向拉压变形分析
一、轴向拉伸和压缩的概念
特点：
作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
材料力学惯性矩公式
材料力学惯性矩公式在材料力学中，惯性矩是一个重要的物理量，它描述了物体对于转动的惯性特性。
在工程和科学领域中，我们经常需要计算和应用惯性矩，因此了解惯性矩的计算公式是非常重要的。
惯性矩的计算公式与物体的形状和质量分布有关。
对于不同形状的物体，我们需要使用不同的公式来计算其惯性矩。
下面，我将介绍一些常见形状的物体的惯性矩计算公式。
首先，我们来看一下关于直线轴的惯性矩计算公式。
对于质量分布均匀的直线轴，其惯性矩的计算公式为I=1/12ML^2，其中M为物体的质量，L为物体的长度。
这个公式适用于绕通过物体质心且与物体轴线平行的转动轴。
接下来，我们来看一下关于圆环的惯性矩计算公式。
对于半径为R、质量分布均匀的圆环，其惯性矩的计算公式为I=1/2MR^2，其中M为圆环的质量。
这个公式适用于绕通过圆环中心且与圆环轴线垂直的转动轴。
除了直线轴和圆环，对于其他形状的物体，我们也可以根据其几何形状和质量分布来推导出相应的惯性矩计算公式。
在工程实践中，我们经常会遇到需要计算复杂形状物体的惯性矩，这时候我们可以利用积分来进行计算。
除了单个物体的惯性矩计算，当多个物体组合在一起时，我们也需要考虑它们的复合惯性矩。
对于多个物体组合体的复合惯性矩计算，我们可以利用平行轴定理和垂直轴定理来简化计算过程。
在应用惯性矩计算公式时，我们需要注意保持单位的一致性，以及正确地考虑物体的质量分布情况。
在实际工程中，我们还需要考虑到材料的弹性模量、截面形状等因素，以便更准确地描述物体的转动特性。
总之，惯性矩是描述物体对于转动的惯性特性的重要物理量，其计算公式与物体的形状和质量分布有关。
在工程和科学领域中，我们经常需要计算和应用惯性矩，因此了解惯性矩的计算公式是非常重要的。
希望本文介绍的惯性矩计算公式能够对您有所帮助。
常见截面的惯性矩和抗弯截面系数
常见截面惯性矩和抗弯截面系数自动计算 简介本文档主要介绍：工程常见截面的截面惯性矩、抗弯截面系数，主要包括矩形、矩形管、圆形、圆管、椭圆、椭圆管、六边形、花键的截面惯性矩、抗弯截面系数公式及公式自动求值方法。
理论依据根据材料力学，抗弯截面系数W X 与截面惯性矩I X 的关系公式如下： 的距离离中性为，其中轴X最远点截面上W max maxy y I X X 。
下面一一列出前述各形状截面的公式和wxMaxima 计算机自动求值算式。
矩形矩形截面如下图所示。
平行于X 轴的矩形边长为b ，平行于Y 轴的矩形边长为h ，矩形截面相对于X 轴的截面惯性矩公式为:123bh I X = 其相对于X 轴的抗弯截面系数公式为:6212W 23max bh h bh y I X X === 下面为wxMaxima 计算机自动求值算式，将下面的内容复制进wxMaxima 软件的空白区域，将数值修改为与工程实际情况相符合的数值，然后点击菜单栏的“单元”→“对单元进行求值”,即可得到想要的结果：/*矩形的截面惯性矩和抗弯截面系数计算*//*设置软件输出结果为数值*/if numer#false then numer:true else numer:true;b:38;h:130;Ix:1/12*b*h^3;Wx:1/6*b*h^2;/*作用在截面上的弯矩*/M:109874;/*弯矩在截面上产生的应力*/σ:M/Wx;矩形管矩形管截面如下图所示。
平行于X 轴的内部矩形边长为b ，平行于Y 轴的内部矩形边长为h ，平行于X 轴的外部矩形边长为B ，平行于Y 轴的外地部矩形边长为H ，矩形管截面相对于X 轴的截面惯性矩公式为:1212-123333bh BH bh BH I X -== 其相对于X 轴的抗弯截面系数公式为:hbh BH h bh BH y I X X 6212W 3333max -=-== /*矩形管的截面惯性矩和抗弯截面系数计算*//*设置软件输出结果为数值*/if numer#false then numer:true else numer:true;b:38;h:130;Ix:(B*H^3-b*h^3)/12;Wx:(B*H^3-b*h^3)/6/H;/*作用在截面上的弯矩*/M:109874;/*弯矩在截面上产生的应力*/σ:M/Wx;圆形圆形截面如下图所示。
《材料力学惯性矩》课件
了解不同材料的弹性模量、泊松比和剪切 模量等力学性能参数，以便更好地理解和 应用材料力学的相关公式和定理。
掌握梁的弯曲和轴的扭转的基本 原理
通过学习梁的弯曲和轴的扭转的基本原理 ，掌握如何利用惯性矩解决工程实际问题 的方法和技巧。
实践应用
通过实践应用，将所学知识应用于解决实 际问题中，提高解决实际问题的能力和实 践经验。
计算方法
矩形截面
对于矩形截面，可直接计算其惯性矩。
圆环形截面
对于圆环形截面，其惯性矩等于圆环面积与圆周率π的乘积。
任意形状截面
对于任意形状截面，需要采用积分法计算其惯性矩。
分类与特性
分类
根据转动轴的位置，惯性矩可分为极惯性矩、静惯性矩和动惯性矩。
特性
惯性矩具有对称性，即当物体绕对称轴转动时，其惯性矩为零。此外，惯性矩 还具有叠加性，即多个物体组合时，其总惯性矩等于各个物体惯性矩之和。
航空航天器中的惯性矩应用
总结词
飞行稳定性、导航控制
详细描述
在航空航天器设计中，惯性矩对飞行稳定性和导航控制具有 重要影响。通过合理设计和控制航空航天器的惯性矩，可以 提高飞行器的飞行稳定性，保证导航控制的精度和可靠性， 确保飞行安全。
06 总结与展望
本章总结
惯性矩的概念
惯性矩是描述物体转动惯性的物理量，与物体的质量分布和旋转 轴的位置有关。
《材料力学惯性矩》PPT课件
目录
• 引言 • 材料力学基础 • 惯性矩概念 • 惯性矩的应用 • 案例分析 • 总结与展望
01 引言
课程简介
材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应 变、应力、强度、刚度和稳定性等行为的科学。
惯性矩是材料力学中的一个重要概念，它描述了 物体在受到外力矩作用时抵抗转动的能力。
常见截面惯性矩和抗弯截面系数自动计算
常见截面惯性矩和抗弯截面系数自动计算 简介本文档主要介绍：工程常见截面的截面惯性矩、抗弯截面系数，主要包括矩形、矩形管、圆形、圆管、椭圆、椭圆管、六边形、花键的截面惯性矩、抗弯截面系数公式及公式自动求值方法。
理论依据根据材料力学，抗弯截面系数W X 与截面惯性矩I X 的关系公式如下： 的距离离中性为，其中轴X最远点截面上W max maxy y I X X 。
下面一一列出前述各形状截面的公式和wxMaxima 计算机自动求值算式。
矩形矩形截面如下图所示。
平行于X 轴的矩形边长为b ，平行于Y 轴的矩形边长为h ，矩形截面相对于X 轴的截面惯性矩公式为:123bh I X = 其相对于X 轴的抗弯截面系数公式为:6212W 23max bh h bh y I X X === 下面为wxMaxima 计算机自动求值算式，将下面的内容复制进wxMaxima 软件的空白区域，将数值修改为与工程实际情况相符合的数值，然后点击菜单栏的“单元”→“对单元进行求值”,即可得到想要的结果：/*矩形的截面惯性矩和抗弯截面系数计算*//*设置软件输出结果为数值*/if numer#false then numer:true else numer:true;b:38;h:130;Ix:1/12*b*h^3;Wx:1/6*b*h^2;/*作用在截面上的弯矩*/M:109874;/*弯矩在截面上产生的应力*/σ:M/Wx;矩形管矩形管截面如下图所示。
平行于X 轴的内部矩形边长为b ，平行于Y 轴的内部矩形边长为h ，平行于X 轴的外部矩形边长为B ，平行于Y 轴的外地部矩形边长为H ，矩形管截面相对于X 轴的截面惯性矩公式为:1212-123333bh BH bh BH I X -== 其相对于X 轴的抗弯截面系数公式为:hbh BH h bh BH y I X X 6212W 3333max -=-== /*矩形管的截面惯性矩和抗弯截面系数计算*//*设置软件输出结果为数值*/if numer#false then numer:true else numer:true;b:38;h:130;Ix:(B*H^3-b*h^3)/12;Wx:(B*H^3-b*h^3)/6/H;/*作用在截面上的弯矩*/M:109874;/*弯矩在截面上产生的应力*/σ:M/Wx;圆形圆形截面如下图所示。
材料力学 附录 截面的几何性质
(Properties of Plane Areas) 三、组合截面的静矩和形心 (The first moments ¢roid of a composite area)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面.
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截 面对于同一轴的静矩.
(Properties of Plane Areas)
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
1
矩形 2
A2 10 80 800mm2
y2
10
80 2
50mm
z2 5mm
所以 y A1 y1 A2 y2 23mm A1 A2
z A1z1 A2z2 38mm A1 A2
y1
z1
2 z2
10
O y2
y
90
(Properties of Plane Areas)
方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
yC , zC￣ 过截面的形心 C 且与 y, z轴平行
的坐标轴(形心轴）
z
Iy , Iz , Iyz — 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积.
zC
IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
n
Ai zi
z
惯性矩
截面惯性矩编辑同义词截面矩一般指截面惯性矩计算公式编辑常见截面的惯性矩公式矩形b*h^3/12 其中：b—宽；h—高三角形b*h^3/36 其中：b—底长；h—高圆形π*d^4/64 其中：d—直径圆环形π*D^4*(1-α^4)/64; α=d/D 其中：d—内环直径；D—外环直径惯性矩编辑惯性矩I=质量X垂直轴二次）the moment of inertiacharacterize an object's angular acceleration due to torque.静矩静矩（面积X面内轴一次）把微元面积与各微元至截面上指定轴线距离乘积的积分称为截面的对指定轴的静矩Sx= ydF。
截面惯性矩截面惯性矩（I=面积X面内轴二次）截面惯性矩：the area moment of inertiacharacterized an object's ability to resist bending and is required to calculate displacement.截面各微元面积与各微元至截面某一指定轴线距离二次方乘积的积分Ix= y↑2dF。
截面极惯性矩截面极惯性矩（Ip=面积X垂直轴二次）。
扭转惯性矩Ip: the torsional moment of inertia极惯性矩the polar moment of inertia截面各微元面积与各微元至垂直于截面的某一指定轴线二次方乘积的积分Ip= P↑2dF。
a quantity to predict an object's ability to resist torsion, to calculate the angular displacement of an object subjected to a torque.相互关系截面惯性矩和极惯性矩的关系截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于截面对该二轴交点的极惯性矩Ip=Iy+Iz。
材料力学欧拉公式
材料力学欧拉公式介绍
---------------------------------------------------------------------- 材料力学欧拉公式指的是欧拉-伯努利梁理论公式，其公式表示为：EI(d²y/dx²) = M(x)
其中，E表示材料的弹性模量，I为梁截面的惯性矩，y为梁的挠曲距离，x为梁上的距离，M(x)表示该位置上的弯矩。
该公式表示材料弯曲时的内部力学关系，可用于分析梁的弯曲变形和离心力等问题。
欧拉公式是理解和计算梁的挠曲和变形的重要工具。
它适用于矩形或圆形截面梁的计算，可以用来计算梁的弯曲刚度、挠曲基频和高次振动模态等。
在工程实践中，欧拉公式被广泛应用于桥梁、建筑等结构物的设计和计算中，也被用于求解各种机械零件和装置的弯曲刚度及挠度等问题。
此外，欧拉公式也是学习结构工程学和机械工程学等领域的基础知识之一。
材料力学 截面性质
(Ai 和xi , yi分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）
5. 组合截面的形心坐标公式
n
将 S y Ai xi i1
n
S x Ai yi i1
代入 S y A x Sx A y
解得组合截面的形心坐标公式为：
n
Ai xi
x
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai yi
y
i 1 n
Ai
i 1
（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）
例 试计算图示三角形截面对x轴的静矩。
y
dy
h
b(y)
y
O
b
x
解：取平行于x轴的狭长条，易求 b( y) b (h y)
因此 d A b (h y) d y
ห้องสมุดไป่ตู้
h
所以对x轴的静矩为
h hb
bh2
S x
y d A (h y)y d y
A
0h
6
2
4
I2 xc yc
x
I x1 A y12 d A
y
Ix1
cos2
y2 d A sin2
A
x2 d A
A
2sin cos A xy d A
I x cos2 I y sin2 2I xy sin cos
利用二倍角函数代入上式，得转轴公式 ：
I x1
Ix
2
Iy
Ix
Iy 2
cos2
I xy sin 2
n
Ix
i1
I
xi
n
Iy
i1
I
yi
n
I xy I i1 xyi
《材料力学 第2版》_顾晓勤第05章第2节 截面的惯性矩、惯性积和惯性半径
2 2 2 22
64
第 2 节 截面的惯性矩、惯性积和惯性半径 第五章 截面的几何性质
例 5-4 如图所示，计算圆形截面对于 x 轴和 y轴
的惯性矩、惯性半径，以及极惯性矩、第一象限部
分对 x、y轴的惯性积。
解 取平行于 x 轴的狭
长条作为微面积 dA，则
dA b(y)dy 2 d 22 y2dy
dy
dA bdy
y
矩形截面对于 x 轴的惯性矩为
H
Ix A y2dA 2h2 y2bdy 2 2b [( H )3 ( h )3 ] 32 2 b (H 3 h3) 12
第 2 节 截面的惯性矩、惯性积和惯性半径 第五章 截面的几何性质
矩形截面对于 x 轴的惯性半径为
ix
Ix A
b 12
圆形截面对于 x 轴的惯性矩为
Ix A y2dA
d2
d 2
y2
2
d 2 2 y2 dy
πd 4 64
第 2 节 截面的惯性矩、惯性积和惯性半径 第五章 截面的几何性质
圆形截面对于 x 轴的惯性半径为
ix
Ix A
πd 4 πd 2
64 4
d 4
x 轴和 y 轴都与圆的直径重合，由
于对称的原因，有
第 2 节 截面的惯性矩、惯性积和惯性半径 第五章 截面的几何性质
设任意平面图形其面积
为A。x 轴和 y 轴为图形所在 平面内的坐标轴。在 ( x ，y )
处取微面积 dA，则定义图形
对于x 轴和 y轴 y2dA I y A x2dA
注意
由于 x2 和 y 2总是正的，所以 I x 和 I y 也恒
是正值。
惯性矩的量纲为长度的四次方。
截面图形的几何性质-材料力学
yC
Sz A
558000 9000
62
Sz Sz1 Sz2 120 40 20 140 30110 558000
A A1 A2 120 40 140 30 9000
120
I
CI
C
CII
II
y 30
参考轴
z 40
yC
zC 140
注意
① 由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上。 ② 组合图形形心计算公式也适用于负面积情况， 但要记住面积为负号。
z
I
C1 C
s
C2
II
b
y1 h
y
y2
t
典型例题
例3 已知组合截面尺寸t=20mm，h=140mm，b=100mm。试求截面图
形对形心轴 y 的惯性矩。
t
解： 由平行移轴定理
矩形1对y轴的惯性矩：
I (1) y
I y1
b12 A1
矩形2对y轴的惯性矩：
I (2) y
I y2
b22 A2
整个截面的惯性矩：
Iz
y 2 dA
A
h y2bdy 0
b
y3 3
/
h 0
bh3 3
y
h b
dy y
z
典型例题
例2 试求图示截面对形心轴zC轴的惯性矩。
IzC
y 2 dA
A
h
2 h
y2bdy
2
b
y3 3
h
/
2
h
2
bh3
12
I yC
z 2dA
A
y
yC
hb3 =
(完整)惯性矩与转动惯量的区别
惯性矩与转动惯量的区别在大学物理实验用共振法测量固体材料的杨氏模量的实验原理中,有涉及到惯性矩,若没有学过材料力学，可能会将此概念与普通力学中的转动惯量混淆。
现就本人的理解，将这两个概念作一对比,供初学者参考.惯性矩（截面的惯性矩的简称)：(英文area moment of inertia ）定义:梁的截面积对某坐标轴的距离（也叫惯性半径)的平方的乘积叫做对某轴的惯性矩.单位是长度的四次方。
梁的截面惯性矩越大，其强度和刚度越大,截面惯性矩是计算梁的挠度和转角的主要参数之一.在材料力学中用于弯曲计算.意义：是描述一个物体抵抗扭动、扭转能力的物理量。
是一个用于描述截面几何 性质的量。
其中：惯性矩（截面惯性矩）:面积元素d A 与其至x 轴或y 轴距离平方的乘积y 2d A 或x 2d A ，分别称为该面积元素对于x 轴或y 轴的惯性矩或截面二次轴矩.如对X 轴的惯性矩：极惯性矩(截面极惯性矩):截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于截面对该二轴交点的极惯性矩.如图形对O 点的极惯性矩； ⎰=A p dA I 2ρ ρ 为面元d A 到O 点的距离。
截面惯性矩和极惯性矩的关系： 截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和,等于截面对该二轴交点的极惯性矩：x y A A I I dA y x dA I +=+==⎰⎰)(222ρρ截面惯性矩：对某个轴而言；极惯性矩：对某个点而言.惯性矩的国际单位为：m 4。
转动惯量：(也叫惯性矩），英文是Moment of Inertia如对上图形O 点的转动惯量⎰=m dm I 2ρ d m 为质量元。
是用于描述物体转动惯性大小的物理量。
两者的区别:转动惯量Moment of Inertia ；截面惯量area moment of inertia ；xyd Ax y ρO。
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B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆）
F 用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 x Fy 0
FN1 cos 45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
截面上的应力
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
20 100 50＝32 10４mm3
§I-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
1、惯性矩：(惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物 体抵抗扭动，扭转的能力 ）
它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为
Ix y2dA
A
I y x2dA
A
注意：
1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同；
2）惯性矩永远为正值；
m
合。所以称为轴力。
F FN
FN
3、轴力正负号：拉为正、
F 压为负
Fx 0 FN F 0
FN F
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
轴力和轴力图
例题3-1
A
F1 F1 F1
FN kN
1 B 2 C 3D
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画
1 F2
2
F3
2
2
I Z1
Iy
IZ 2
Iy
IZ 2
cos 2a
I yz sin 2a
2.三个公式:设新坐标系由原坐标系逆转α角而得,且有
I y1
Iy
IZ 2
Iy
IZ 2
c os 2a
I yz sin 2a
IZ1
Iy
IZ 2
Iy
IZ 2
c os 2a
I yz sin 2a
I Y 1Z 1
Iy
2
杆件的基本变形： 拉（压）、剪切、扭转、弯曲
拉压变形
剪切变形
扭转变形
弯曲变形
二、杆件的轴向拉压变形分析
一、轴向拉伸和压缩的概念
特点：
作用在杆件上的外力合力的作用线与 杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸 长或缩短。
杆的受力简图为
拉伸
F
FF
压缩
F
二、拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力
2、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
1）形心公式：
dm tdA
xdm
质心：
xC
m
m
等厚
ydm 均质
y
yC
m
m
xtdA
A
xdA
A
Sy
tA
A
A 等于形心坐标
ytdA
A
A ydA Sx
tA
AA
x dA
xC y yC
xC
yC
xCi Ai
A (正负面积法公式 ) yCi Ai
I
x
I xC
b2A
I xy I xCyC abA
x
dA
a bC y
xC
x
A)在所有的平行轴中,图形对自身形心轴的惯性 矩为最小。
B)当图形至少有一条轴是图形的对称轴时,则有
I xy abA I xCyC 0
解例：组1）合写截出A面1，惯A性2及矩其的形计心算坐,标求a截1；面a2对ZC轴的y 惯性矩。
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
4.构件的强度计算
4.1截面的几何特征
§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径 §Ⅰ-3 惯性积 §Ⅰ-4的平行移轴公式
§Ⅰ-1 静矩和形心 1、静面矩（也叫面积矩简称静矩） y
(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。
定义 S y =∫A z dA Sz=∫A y dA
z dA y
z
例：矩形截面，面积为A。求： S y 、 Sz、 SzC
§2-4
2、材料拉伸时的设备
3、材料拉伸时的应力－应变曲线
低 碳c s
2、屈服阶段bc（失去抵
f 抗变形的能力）
s — 屈服极限 3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力）
a
o
b — 强度极限 4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob E
P — 比例极限 e — 弹性极限
a1 20 10 30mm
20
a2 30mm
A1 A2 20100 2000mm2 100
2)求出A1和A2分别对自身形心
A1 •••
Ⅱ
•
A2
100
Ⅰ
z1
a1 zc a2 30 z2
轴的惯性矩
z
I z1
b1h13 12
100 203
12
66.67 103
Iz2
b2h23 12
20
20
Sz
Ai yCi i1
Ai
Ai
n
ZC
Sy
Ai ZCi i1
Ai
Ai
例1：求图示T形截面的形心及对z轴的静矩 y
1.求形心
100
知A=A1+A2 yC１＝60
20
n yACi２yC＝i 0选坐标轴z1作为参考轴
yC i1 Ai
yC
20100 60 100 20 2
30 mm
100
２、求静矩
目录
一、概述
古代建筑结构
建于唐末（857年）的山西五台山佛光寺东大殿
古代建筑结构
建于辽代（1056年）的山西应县佛宫寺释迦塔 塔高9层共67.31米，用木材7400吨 900多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔
古代建筑结构
2200年以前建造的都江堰安澜索桥
古代建筑结构
建于隋代（605年）的河北赵州桥 桥长64.4米，跨径37.02米，用石2800吨
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析 。 作 业: 复习教材相关内容。
1、材料拉伸时的试件
力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
试
件
和
实
验 条 件
常 温 、
静
载
杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面 积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。
——横截面上的应力
——横截面上的应力
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假
设可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向 垂直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
IZ
sin 2a
I yz
c os 2a
3.主轴及主惯性矩:
1)主轴:图形若对坐标轴的惯矩为零时,这对坐标轴就称为
主轴.且当主轴为形心轴时,就称为形心主轴.用α0来表示 主轴的方向.
2)主惯性矩:相对主轴的惯性矩就称为主惯性矩.
杆件的拉压变形及强度计算
杆件的拉压变形及强度计算
一、概述 二 、杆件的轴向拉压变形分析 三、材料在拉伸和压缩时的力学性质 四、拉（压）杆的强度计算
y dz yC hz
解： dA hdz
zC
Sy
b 0
zhdz
hb2 2
A b 2
dy
a
y
z
0b
Sz
ah
ybdy
a
b[(a
h)2 2
a2]
11））同同一 一截截面面对对不不同同轴轴的的静静 矩矩不同同；；
bh[ h a] A[ h a]
2
2
2）静矩可为正，负值或零； 3）静矩的单位为m33;
例求圆形截面对形心轴的惯性矩。
y
解： D
IP
A
2dA
2 0
2 2d
D4
32
o
z
IP Iy0 Iz0
I y0
Iz0
IP 2
D4
64
§ I-3 惯性积
1.定义：图形对两个坐标轴的两个坐标之积的积分。
§ I-3 惯性积
2.表达式：
y
I yz yzdA
A
3.说明：
h
1）同一图形对不同轴的惯性积不同； A1 A2
z
2）惯性积可正，可负，可为零。
bb
3）惯性积的单位：m4
4.结论：
当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时，图形 对此轴的惯性积为零，反之，若图形对坐标系的惯性 积为零时，此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴。
§Ⅰ- 4平行移轴公式
1.平行移轴定理：
以形心为原点，建立与原坐标轴
y
yC
x
dA
a
Cy b
3.组合图形的形心和面积矩 1）组合图形
由简单图形（如三角形，圆形，矩形等）组合而成的 图形。
2）组合图形面积矩及形心的计算公式
等于各简单图形对同一轴的面积矩的代数和。即
SZ SZ1 SZ 2 ... SZn ydA ydA ... ydA Ai yCi